2024-2025學(xué)年山東省濱州市某中學(xué)高二（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年山東省濱州市北鎮(zhèn)中學(xué)高二(上)第一次月考數(shù)學(xué)試

卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4(2,-1,4)關(guān)于平面。孫對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(2,—1,-4)B.(—2,—1,-4)C.(2,1,—4)D.(—2,1,4)

2.已知向量2=(1,-4,3)石=(2,4久,y+1)分別是直線八，L的一個(gè)方向向量，若，1〃，2，貝h+y=()

A.-3B.-4C.3D.4

3.已知圓N+y2+2%_4y+1=0關(guān)于直線%—y+t=0對(duì)稱，則實(shí)數(shù)t=()

A.-3B.1C.-1D.3

4.在直三棱柱ABC—AiBiCi中，AB1AC,AB=AC=1,AA、=5貝！J異面直線與BC所成角的余弦

值為()

5.已知棱長(zhǎng)為2的正方體ZBCD-Z/iCiDi內(nèi)有一內(nèi)切球。，點(diǎn)P在球。的表面上運(yùn)動(dòng)，則方?無(wú)的取值范

圍為()

A.[-2,2]B.[0,2]C.[-2,4]D.[0,4]

6.若圓%2+y2-2x-6y+1=0上恰有三點(diǎn)到直線y=k%的距離為2,則k的值為()

A.■^或2B..或々C.2D.

7.已知曲線y=1+J4-%2與直線y=/c(x-2)+4有兩個(gè)相異的交點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是()

A.島.B.島總C.百.)D.f)

8.已知點(diǎn)P在直線x+y=4上，過(guò)點(diǎn)P作圓。：/+必=4的兩條切線，切點(diǎn)分別為4,B,點(diǎn)M在圓G：

(久—4)2+(y—5)2=1上，則點(diǎn)M到直線48距離的最大值為()

A.4B.6C.，1。-1D."13-1

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.給出下列命題，其中正確的命題是()

A.若直線珀勺方向向量為之=(1,0,3),平面a的法向量為/=(-2,0,|),則直線〃/a

B.若對(duì)空間中任意一點(diǎn)0,有而=9+那+次，則P、2、B、C四點(diǎn)共面

第1頁(yè)，共8頁(yè)

C.兩個(gè)非零向量與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則這兩個(gè)向量共線

D.己知向量之=(9,4,-4),b=(1,2,2),則五在右上的投影向量為(1,2,2)

10.下列四個(gè)選項(xiàng)中，說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A.坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角和斜率

B,直線ax+2y+6=0與直線比+(a-l)y+a2-l=0互相平行，貝Ua=-1

C.過(guò)Qi，%),。2，及)兩點(diǎn)(問(wèn)*x2ly1彳段)的所有直線的方程為艮二元=而三

D.經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為x+y-2=0.

11.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯(約公元前262?前190)發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)48的距離之比為定值

2(%力1)的點(diǎn)的軌跡是圓.后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.在平面直

角坐標(biāo)系xOy中，已知4(一1,0),8(2,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足搭|=寺，直線I：mx-y+m+1=0,貝!|()

A.直線，過(guò)定點(diǎn)(-1,1)

B.動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為(x+2尸+y2=4

C.動(dòng)點(diǎn)P到直線2的距離的最大值為裾+1

D.若點(diǎn)D的坐標(biāo)為(—1,1),則|PD|+2|P4|的最小值為聞/---------J

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。人〃

12.如圖，平行六面體48CD—&8傳以1各條棱長(zhǎng)均為1,NB44i=ND4

々=60。，ABAD=90°,則線段ZQ的長(zhǎng)度為.AB

13.當(dāng)直線/：a久一y+2-a=0被圓C：(久一3尸+(y-l)2=9截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，實(shí)數(shù)a的值為.

14.已知點(diǎn)P為直線I：x+y—2=0上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C：*2+2%+y2=。的切線pa,PF)切點(diǎn)為4

B,當(dāng)|PC|?|48|最小時(shí)，直線力B的方程為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知空間中三點(diǎn)4(2,0,—2),5(1,-1-2),C(3,0-4),設(shè)之=屈,b=AC.

Q)已知(。+防1反求k的值；

(2)若囪=6,且"〃前,求才的坐標(biāo).

16.(本小題15分)

已知兩直線，i：3x—y—l=0,I2：x+2y—5=0.

(1)求過(guò)兩直線的交點(diǎn)，且垂直于直線3久+4y-5=0的直線方程；

(2)已知兩點(diǎn)4(—1,1),8(0,2),動(dòng)點(diǎn)P在直線匕上運(yùn)動(dòng)，求|P*+|PB|的最小值.

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17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P—4BCD中，PD=2,AD=1,PD1DA,PD1DC,底面4BCD為正方形，M,N分別

為4。，PD的中點(diǎn).

(1)求證：P4〃平面MNC；

(2)求直線PB與平面MNC所成角的正弦值；入

⑶求點(diǎn)B到平面MNC的距離./：\\

18.(本小題17分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的半徑為1,其圓心在射線y=x(x20)上，且|OC|=2顯

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線/過(guò)點(diǎn)P(l,0),且與圓C相切，求直線/的方程；

⑶自點(diǎn)4(-3,3)發(fā)出的光線m射到%軸上，被無(wú)軸反射，其反射光線所在的直線與圓C相切，求光線小所在直

線的方程.

19.(本小題17分)

已知兩個(gè)定點(diǎn)4(—4,0),5(-1,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足伊用=2|PB|.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線E,直線I：y=kx-4.

①求曲線E的軌跡方程；

(II)若I與曲線E交于不同的C,。兩點(diǎn)，且NC。。=90。(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線/的斜率；

(III)若k=|,Q是直線1上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)Q作曲線E的兩條切線QM,QN,切點(diǎn)為M,N,探究：直線MN是否

過(guò)定點(diǎn).

第3頁(yè)，共8頁(yè)

參考答案

1.A

2.C

3.0

4.C

5.4

6.D

7.B

8.B

9.BCD

10.AD

11.ABD

12.^5

13.2

14.3%+3y+1=0

15.解：(1)空間中三點(diǎn)4(20—2),B(l-l-2),。(3,0,-4),

設(shè)之=四，b=AC,

由題知Q=AB=(―1,—1,0),b=AC=(1,0,—2),

ct+kb=(k—1,—1,—2/c),

v(a+kb)1b,(a-b=fc-1+4/c=0,

解得k='

(2)c//BC,麗=(2,1,-2),

c=ABC=(2A,A,-2A),

|c|=6,.1-4(24)2+42+(-22)2=6,解得4=+2,

.?.c=(4,2-4)^c=(-4-2,4).

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16.1?：(1)聯(lián)立器±5之00,解得x=l，y=2，

因?yàn)樗笾本€垂直于直線3x+4y-5=0,所以所求直線的斜率為g,

故所求直線方程為y=|(x-l)+2,即4x-3y+2=0；

(2)設(shè)點(diǎn)B(0,2)關(guān)于直線人對(duì)稱的點(diǎn)為C(x,y),

”=—工

1

X：qy+2_1,解得久=1,y=

匕義3-二-155

則|P4|+\PB\=\PA\+\PC\>\AC\=[(2+1)2+((―1)2=2#,

故|PA|+|PB|的最小值為2#.

17.(1)證明：因?yàn)镸,N分別為4D,PD的中點(diǎn)，

所以P4//MN,

又P4C平面MNC,MNu平面MNC,

故24〃平面MNC；

(2)解：由于PD1DA,PD1DC,ADCDC=D,AD,DCu平面力BCD,

所以PD1平面4BCD,

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

-1

貝C(0,l,0),P(0,0,2),M(1,0,0),N(0,0,l),

所以方=(LL―2),近=(0,1,-1),而=

設(shè)平面MNC的法向量為日=(%,y,z),

第5頁(yè)，共8頁(yè)

(n-MN=~~x+z=0

則限配=屋=0'令yj則zjx=2,

故裝=(2,1,1),

麗.￡=1X2+1X1+(-2)X1=1,|而I=J12+12+(-2)2=#,而=遂2+12+12=

所以COS<PB,n>=\rz=

\PB\?\n\J6.J66

設(shè)直線PB與平面MNC所成角為仇

所以sin。=Icos<PB,n>I=7,

6

故直線PB與平面MNC所成角的正弦值為之

o

(3)因?yàn)榫?(0,1,0)-(1,1,0)=(-1,0,0),

又平面MNC的法向量為/=(2,1,1),

所以點(diǎn)B到平面MNC的距離為d=匹等=號(hào)不=坐.

\n\^4+1+13

18.解:(1)設(shè)圓心C(a,a),a>0,

由于|0C|=2^/2,所以|0C|=2^/2=y/2a,所以a=2,

即圓心C的坐標(biāo)為(2,2),則圓C的方程為(久―2尸+(y—2)2=1;

(2)若直線Z的斜率不存在，則直線I的方程為x=l,

圓心C到直線x=1的距離d=2-1=1,此時(shí)滿足直線，和圓C相切；

若直線2的斜率存在，設(shè)直線/的斜率為匕則直線/的方程為y=依久-1),

^kx—y—k=0,

因?yàn)橹本€環(huán)口圓C相切，

所以圓心C到直線E的距離d=,2'=2'=1,

-yJX-lK-A/-1--T-K-2

即|/c—2|=y/1+k2,平方得女2一4女+4=1+H,

即々=p此時(shí)直線/的方程為加-y-,=0,即3%—4y—3=0,

444

所以直線2的方程為久=1或3%—4)/-3=0；

(3)如圖所示，圓(x—2)2+(y—2尸=1關(guān)于x軸的對(duì)稱方程是(乂一2A+(y+2尸=1,

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設(shè)租的方程為y—3=k(x+3),&flkx—y+3fc+3=0,由于對(duì)稱圓心(2,—2)到zn的距離為圓的半徑1,

|2/c+2+3k+3|

則一存市一二L

從而可得的=—|比2=—故光線ni所在直線的方程是3x+4y—3=?；?久+3y+3=0.

19.解：(1)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x,y),

由|P4|=2|PB|,得：V(x+4)2+y2=2^+l)2+y2,

平方可得比