2025屆浙江省蒼南縣金鄉(xiāng)衛(wèi)城中學高二上數學期末聯考模擬試題含解析

2025屆浙江省蒼南縣金鄉(xiāng)衛(wèi)城中學高二上數學期末聯考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，P是橢圓第一象限上一點，A，B，C是橢圓與坐標軸的交點，O為坐標原點，過A作AN平行于直線BP交y軸于N，直線CP交x軸于M，直線BP交x軸于E.現有下列三個式子：①；②；③.其中為定值的所有編號是（）A.①③ B.②③C.①② D.①②③2．經過兩點直線的傾斜角是（）A. B.C. D.3．已知，是橢圓的兩焦點，是橢圓上任一點，從引外角平分線的垂線，垂足為，則點的軌跡為（）A.圓 B.兩個圓C.橢圓 D.兩個橢圓4．已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，.若雙曲線M的右支上存在點P，使，則雙曲線M的離心率的取值范圍為（）A. B.C. D.5．設，“命題”是“命題”的（）A.充分且不必要條件 B.必要且不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6．已知三棱柱的所有棱長均為2，平面，則異面直線，所成角的余弦值為（）A. B.C. D.7．已知橢圓的左頂點為，上頂點為，右焦點為，若，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.8．已知向量與向量垂直，則實數x的值為（）A.﹣1 B.1C.﹣6 D.69．在一次拋硬幣的試驗中，某同學用一枚質地均勻的硬幣做了100次試驗，發(fā)現正面朝上出現了48次，那么出現正面朝上的頻率和概率分別為（）A.0.48，0.48 B.0.5，0.5C.0.48，0.5 D.0.5，0.4810．某工廠對一批產品進行了抽樣檢測.右圖是根據抽樣檢測后的產品凈重（單位：克）數據繪制的頻率分布直方圖，其中產品凈重的范圍是[96，106]，樣本數據分組為[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知樣本中產品凈重小于100克的個數是36，則樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產品的個數是.A.90 B.75C.60 D.4511．已知點，點關于原點的對稱點為，則（）A. B.C. D.12．正方體的表面積為，則正方體外接球的表面積為（

）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．等差數列的前n項和分別為，若對任意正整數n都有，則的值為___________.14．已知拋物線的準線方程為，在拋物線C上存在A、B兩點關于直線對稱，設弦AB的中點為M，O為坐標原點，則的值為___________.15．函數僅有一個零點，則實數的取值范圍是_________.16．寫出一個公比為3，且第三項小于1的等比數列______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓：，定點，Q為圓上的一動點，點P在半徑CQ上，且，設點P的軌跡為曲線E.（1）求曲線E的方程；（2）過點的直線交曲線E于A，B兩點，過點H與AB垂直的直線與x軸交于點N，當取最大值時，求直線AB的方程.18．（12分）在三角形ABC中，三個頂點的坐標分別為，，，且D為AC的中點.（1）求三角形ABC的外接圓M方程；（2）求直線BD與外接圓M相交產生的相交弦的長度.19．（12分）已知函數在處的切線垂直于直線.（1）求（2）求的單調區(qū)間20．（12分）在等差數列中，（1）求數列的通項公式；（2）設數列是首項為1，公比為2的等比數列，求數列的前項和.21．（12分）如圖甲是由正方形，等邊和等邊組成的一個平面圖形，其中，將其沿，，折起得三棱錐，如圖乙.（1）求證：平面平面；（2）過棱作平面交棱于點，且三棱錐和的體積比為，求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）如圖，四棱錐中，底面為正方形，底面，，點，，分別為，，的中點，平面棱（1）試確定的值，并證明你的結論；（2）求平面與平面夾角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據斜率的公式，可以得到的值是定值，然后結合已知逐一判斷即可.【詳解】設，所以有，，因此，所以有，，，，，，故，，.故選：D【點睛】關鍵點睛：利用斜率公式得到之間的關系是解題的關鍵.2、B【解析】求出直線的斜率后可得傾斜角【詳解】經過兩點的直線的斜率為，設該直線的傾斜角為，則，又，所以.故選：B3、A【解析】設的延長線交的延長線于點，由橢圓性質推導出，由題意知是△的中位線，從而得到點的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓【詳解】是焦點為、的橢圓上一點為的外角平分線，，設的延長線交的延長線于點，如圖，，，，由題意知是△的中位線，，點的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓故選：A4、A【解析】利用三角形正弦定理結合，用a，c表示出，再由點P的位置列出不等式求解即得.【詳解】依題意，點P不與雙曲線頂點重合，在中，由正弦定理得：，因，于是得，而點P在雙曲線M的右支上，即，從而有，點P在雙曲線M的右支上運動，并且異于頂點，于是有，因此，，而，整理得，即，解得，又，故有，所以雙曲線M的離心率的取值范圍為.故選：A5、A【解析】根據充分、必要條件的概念理解，可得結果.【詳解】由，則或所以“”可推出“或”但“或”不能推出“”故命題是命題充分且不必要條件故選：A【點睛】本題主要考查充分、必要條件的概念理解，屬基礎題.6、A【解析】建立空間直角坐標系，利用向量法求解【詳解】以為坐標原點，平面內過點且垂直于的直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，∴，，∴，∴異面直線，所成角的余弦值為.故選：A7、B【解析】根據題意得到，根據，化簡得到，進而得到離心率的不等式，即可求解.【詳解】由題意，橢圓的左頂點為，上頂點為，所以，，因為，可得，即，又由，可得，可得，解得，又因為橢圓的離心率，所以，即橢圓的離心率為.故選：B.【點睛】求解橢圓或雙曲線離心率的三種方法：1、定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據離心率的定義求解離心率；2、齊次式法：由已知條件得出關于的二元齊次方程，然后轉化為關于的一元二次方程求解；3、特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.8、B【解析】根據數量積的坐標計算公式代入可得的值【詳解】解：向量，與向量垂直，則，由數量積的坐標公式可得：，解得，故選：【點睛】本題考查空間向量的坐標運算，以及數量積的坐標公式，屬于基礎題9、C【解析】頻率跟實驗次數有關，概率是一種現象的固有屬性，與實驗次數無關，即可得到答案.【詳解】頻率跟實驗次數有關，出現正面朝上的頻率為實驗中出現正面朝上的次數除以總試驗次數，故為.概率是拋硬幣試驗的固有屬性，與實驗次數無關，拋硬幣正面朝上的概率為.故選：C10、A【解析】樣本中產品凈重小于100克的頻率為(0.050＋0.100)×2＝0.3，頻數為36，∴樣本總數為.∵樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產品的頻率為(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，∴樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產品的個數為120×0.75＝90.考點：頻率分布直方圖.11、C【解析】根據空間兩點間距離公式，結合對稱性進行求解即可.【詳解】因為點關于原點的對稱點為，所以,因此，故選：C12、B【解析】由正方體表面積求得棱長，再求得正方體的對角線長，即為外接球的直徑，從而可得球表面積【詳解】設正方體棱長為，由得，正方體對角線長，所以其外接球半徑為，球表面積為故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##0.68【解析】利用等差數列求和公式與等差中項進行求解.【詳解】由題意得：，同理可得：，所以故答案為：14、5【解析】先運用點差法得到，然后通過兩點距離公式求出結果詳解】解：拋物線的準線方程為，所以，解得，所以拋物線的方程為，設點，，，，的中點為，，則，，兩式相減得，即，又因為，兩點關于直線對稱，所以，解得，可得，則，故答案為：515、【解析】根據題意求出函數的導函數并且通過導數求出原函數的單調區(qū)間，進而得到原函數的極值，因為函數僅有一個零點，所以結合函數的性質可得函數的極大值小于或極小值大于，即可得到答案.【詳解】解：由題意可得：函數，所以，令，則或，令，則，所以函數的單調增區(qū)間為和，減區(qū)間為所以當時函數有極大值，當時函數有極小值，，因為函數僅有一個零點，，所以或，解得或.所以實數的取值范圍是故答案為：16、（答案不唯一）【解析】由條件確定該等比數列的首項的可能值，由此確定該數列的通項公式.【詳解】設數列的公比為，則，由已知可得，∴，所以，故可取，故滿足條件的等比數列的通項公式可能為，故答案為：（答案不唯一）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】(1)結合已知條件可得到點P在線段QF的垂直平分線上，然后利用橢圓定義即可求解；(2)結合已知條件設出直線的方程，然后聯立橢圓方程，利用弦長公式求出，再設出直線NH的方程，求出N點坐標，進而求出，然后表示出，再利用換元法和均值不等式求解即可.【小問1詳解】設點的坐標為，∵，∴點P在線段QF垂直平分線上，∴，又∵，∴∴點P在以C，F為焦點的橢圓上，且，∴，∴曲線的方程為：.【小問2詳解】設直線AB方程為，，由，解得，，解得，由韋達定理可知，，，∴∵AB與HN垂直，∴直線NH的方程為，令，得，∴，又由，∴，∴設則∴當且僅當即時等號成立，有最大值，此時滿足，故，所以直線AB的方程為：，即或.18、（1）；（2）.【解析】（1）根據題意，結合直角三角形外接圓的圓心為斜邊的中點，即可求解；（2）根據題意，結合點到直線的距離，以及弦長公式，即可求解.【小問1詳解】根據題意，易知是以BC為斜邊的直角三角形，故外接圓圓心是B，C的中點，半徑為BC長度的一半為，故三角形ABC的外接圓M方程為.【小問2詳解】因為D為AC的中點，所以易求.故直線BD的方程為，圓心到直線的距離，故相交弦的長度為.19、（1）；（2）在內單調遞減，在內單調遞增【解析】（1）由題意求導可得，代入可得（1），從而求，進而求切線方程；（2）的定義域為，，從而求單調性【詳解】解：（1）因為在處切線垂直于，所以（2）因為的定義域為當時，當時，在內單調遞減，在內單調遞增【點睛】本題考查導數的幾何意義，利用導數研究函數的單調性，屬于基礎題.20、（1）（2）【解析】（1）根據等差數列條件列方程，即可求通項公式；（2）先由等比數列通項公式求出，解得，分組求和即可.【小問1詳解】設等差數列的公差為，則，∴，由，∴，∴數列的通項公式為.【小問2詳解】∵數列是首項為1，公比為2的等比數列，∴，即，∴，∴.21、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）取的中點為，連接，，證明，，即證平面，即證得面面垂直；（2）建立如圖空間直角坐標系，寫出對應點的坐標和向量的坐標，再計算平面法向量，利用所求角的正弦為即得結果.【詳解】（1）證明：如圖，取的中點為，連接，.∵，∴.∵，，∴，同理.又，∴，∴.∵，，平面，∴平面.又平面，∴平面平面；（2）解：如圖建立空間直角坐標系，根據邊長關系可知，，，，，∴，.∵三棱錐和的體積比為，∴，∴，∴.設平面的法向量為，則，令，得.設直線與平面所成角為，則.∴直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】方法點睛：求空間中直線與平面所成角的常見方法為：（1）定義法：直接作平面的垂線，找到線面成角；（2）等體積法：不作垂線，通過等體積法間接求點到面的距離，距離與斜線長的比值即線面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量與斜線方向向量所成的余弦值的絕對值，即是線面成角的正弦值.22、（1），證明見解析（2）【解析】（1），利