2025屆南陽(yáng)六校高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試試題含解析

2025屆南陽(yáng)六校高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．半徑為，圓心角為的弧長(zhǎng)為（）A. B.C. D.2．設(shè)，，若，則的最小值為（）A. B.6C. D.3．若實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是（）A.18 B.9C.6 D.24．設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件5．已知函數(shù)，若正數(shù)，，滿足，則（）A.B.C.D.6．函數(shù)的定義域?yàn)?，且為奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的所有零點(diǎn)之和是（）A.2 B.4C.6 D.87．設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.8．直線過點(diǎn)且與以點(diǎn)為端點(diǎn)的線段恒相交，則的斜率取值范圍是（）.A. B.C. D.9．如圖，在中，是的中點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值是A. B.1C. D.10．設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（）A.函數(shù)的值域是；B.點(diǎn)是函數(shù)的圖像的一個(gè)對(duì)稱中心；C.直線是函數(shù)的圖像的一條對(duì)稱軸；D.將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，若，則的最小值是___________.12．已知函數(shù)，是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，則_________.13．已知函數(shù)f(x)=π6x,x14．若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.15．已知函數(shù)則_______.16．請(qǐng)寫出一個(gè)最小正周期為，且在上單調(diào)遞增的函數(shù)__________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）求的值；（2）求的值18．已知函數(shù)，.（1）若在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍；（2）在（1）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)與函數(shù)的圖象在區(qū)間上有唯一的交點(diǎn)，若存在，求出的范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由.19．如圖，已知圓心在x軸正半軸上的圓C與直線5x+12y+21＝0相切，與y軸交于M，N兩點(diǎn)且∠MCN＝120°.（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求過點(diǎn)P（0，3）的直線l與圓C交于不同的兩點(diǎn)D，E，若|DE|＝2，求直線l的方程.20．在△中，已知，直線經(jīng)過點(diǎn)(Ⅰ)若直線:與線段交于點(diǎn)，且為△外心，求△的外接圓的方程；(Ⅱ)若直線方程為，且△的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)21．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，如果存在函?shù)，使得函數(shù)的值域仍是，那么稱是函數(shù)的一個(gè)等值域變換.（1）判斷下列函數(shù)是不是函數(shù)的一個(gè)等值域變換？說明你的理由；①；②.（2）設(shè)的定義域?yàn)?，已知是的一個(gè)等值域變換，且函數(shù)的定義域?yàn)?，求?shí)數(shù)的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】利用弧長(zhǎng)公式即可得出【詳解】解：，弧長(zhǎng)cm故選：D2、C【解析】由已知可得，將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得所求代數(shù)式的最小值.【詳解】，，，由可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.因此，的最小值為.故選：C.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.3、C【解析】，利用基本不等式注意等號(hào)成立條件，求最小值即可【詳解】∵，，∴當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)∴的最小值為6故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了利用基本不等式求和的最小值，注意應(yīng)用基本不等式的前提條件：“一正二定三相等”4、B【解析】分別求出兩個(gè)不等式的的取值范圍，根據(jù)的取值范圍判斷充分必要性.【詳解】等價(jià)于，解得：；等價(jià)于，解得：，可以推出，而不能推出，所以是的必要不充分條件，所以“”是“”的必要不充分條件故選：B5、B【解析】首先判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增；然后根據(jù)，同時(shí)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及放縮法即可證明選項(xiàng)B；通過舉例說明可判斷選項(xiàng)A，C，D.【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)在上單調(diào)遞增；因?yàn)?，，，均為正?shù)，所以，又，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以，選項(xiàng)B正確；當(dāng)時(shí)，滿足，但不滿足，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，滿足，但此時(shí)，不滿足，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，滿足，但此時(shí)，不滿足，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：B.6、B【解析】根據(jù)題意可知圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，由的解析式求出時(shí)的零點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性即可求出時(shí)的零點(diǎn)，即可求解.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，將的圖象向右平移個(gè)單位可得的圖象，所以圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，令解得：或，因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則當(dāng)時(shí)，有兩解，為或，所以函數(shù)的所有零點(diǎn)之和是，故選：B第II卷（非選擇題7、C【解析】比較a、b、c與0和1的大小即可判斷它們之間的大小.【詳解】，，，故故選：C.8、D【解析】詳解】∵∴根據(jù)如下圖形可知，使直線與線段相交的斜率取值范圍是故選：D.9、C【解析】以作為基底表示出，利用平面向量基本定理，即可求出【詳解】∵分別是的中點(diǎn)，∴.又，∴.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量基本定理以及向量的線性運(yùn)算，意在考查學(xué)生的邏輯推理能力10、B【解析】根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可；【詳解】解：因?yàn)?，，所以，即函?shù)的值域是，故A正確；因?yàn)?，所以函?shù)關(guān)于對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以函?shù)關(guān)于直線對(duì)稱，故C正確；將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到為偶函數(shù)，故D正確；故選：B二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、16【解析】乘1后借助已知展開，然后由基本不等式可得.【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)且僅當(dāng)，，即時(shí)，取“=”號(hào)，所以的最小值為16.故答案為：1612、27【解析】由于奇函數(shù)的定義域必然關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可得m的值，再求【詳解】由于奇函數(shù)的定義域必然關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱∴m＝3，故f（m）＝故答案為27【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性，利用了奇函數(shù)的定義域必然關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，屬于基礎(chǔ)題13、12##【解析】利用分段函數(shù)的解析式，代入求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=所以f(f(13))=f故答案為：114、【解析】由題意根據(jù)數(shù)形結(jié)合，只要，并且對(duì)稱軸在之間，，解不等式組即可【詳解】由題意，要使函數(shù)區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，只要，即，解得，故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)零點(diǎn)的分布，關(guān)鍵是結(jié)合二次函數(shù)圖象等價(jià)得到不等式組，常見的形式有考慮端點(diǎn)值處函數(shù)值的符號(hào)，對(duì)稱軸與所給區(qū)間的關(guān)系，對(duì)稱軸處函數(shù)值的符號(hào)等，屬于中檔題.15、【解析】根據(jù)分段函數(shù)解析式，由內(nèi)而外，逐步計(jì)算，即可得出結(jié)果.【詳解】∵，，則∴.故答案為：.16、或（不唯一）.【解析】根據(jù)函數(shù)最小正周期為，可構(gòu)造正弦型、余弦型或者正切型函數(shù)，再結(jié)合在上單調(diào)遞增，構(gòu)造即可.【詳解】解：根據(jù)函數(shù)最小正周期為，可構(gòu)造正弦型、余弦型或者正切型函數(shù)，再結(jié)合在上單調(diào)遞增，構(gòu)造即可，如或滿足題意故答案為：或（不唯一）.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，化簡(jiǎn)計(jì)算，即可得答案.（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，化簡(jiǎn)計(jì)算，即可得答案.【詳解】（1）原式；（2）原式18、（1）或；（2）存在，且的取值范圍是.【解析】（1）分、兩種情況討論，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)可出關(guān)于的不等式，綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）分、、、四種情況討論，分析兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式（組），綜合可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，是二次函數(shù)，其對(duì)稱軸為直線，在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，或，即或，解得：或或.綜上：或.【小問2詳解】解：①當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，則函數(shù)單調(diào)遞增，因?yàn)?，，由零點(diǎn)存在定理可知，存在唯一的使得，此時(shí)，函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有唯一的交點(diǎn)，合乎題意；②當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖象開口向下，對(duì)稱軸為直線，所以，在上單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，要使得函數(shù)與函數(shù)的圖象在區(qū)間上有唯一的交點(diǎn)，則，解得，此時(shí)；③當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖象開口向上，對(duì)稱軸，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則函數(shù)上單調(diào)遞增，要使得函數(shù)與函數(shù)的圖象在區(qū)間上有唯一的交點(diǎn)，則，解得，此時(shí)；④當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖象開口向上，對(duì)稱軸，所以，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，則，，所以，在上恒成立，此時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖象在區(qū)間上沒有交點(diǎn).綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.19、（1）（x﹣1）2+y2＝4；（2）y或x＝0【解析】（1）由題意設(shè)圓心為，且，再由已知求解三角形可得，于是可設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由點(diǎn)到直線的距離列式求得值，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求；（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，利用圓心到直線的距離等于半徑列式求得，可得直線方程，驗(yàn)證當(dāng)時(shí)滿足題意，則答案可求【詳解】解：（1）由題意設(shè)圓心為，且，由，可得中，，，則，于是可設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，又點(diǎn)到直線的距離，解得或（舍去）故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即則由題意可知，圓心到直線的距離故，解得又當(dāng)時(shí)滿足題意，故直線的方程為或【點(diǎn)睛】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是中檔題．20、（Ⅰ）（Ⅱ）或【解析】（Ⅰ）先求出直線的方程，進(jìn)而得到D點(diǎn)坐標(biāo)，為直徑長(zhǎng)，從而得到△的外接圓的方程；（Ⅱ）由題意可得，，從而解得點(diǎn)的坐標(biāo)【詳解】（Ⅰ）解法一：由已知得，直線的方程為，即，聯(lián)立方程組得：，解得，又，△的外接圓的半徑為∴△的外接圓的方程為.解法二：由已知得，,且為△的外心，∴△為直角三角形，為線段的中點(diǎn)，∴圓心，圓的半徑,∴△的外接圓的方程為.或線段即為△的外接圓的直徑，故有△的外接圓的方程為，即（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由已知得，,所在直線方程，到直線的距離，①又點(diǎn)的坐標(biāo)為滿足方程，即②聯(lián)立①②解得：或，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或【點(diǎn)睛】本題考查了圓的方程，直線的交點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離，考查了邏輯推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）①不是等值域變換，②是等值域變換；（2）.【解析】（1）運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的值域和基本不等式，結(jié)合新定義即可判斷①；運(yùn)用二次函數(shù)的值域和指數(shù)函數(shù)的值域，結(jié)合