河南省登封市嵩陽(yáng)高級(jí)中學(xué)2025屆高一上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

河南省登封市嵩陽(yáng)高級(jí)中學(xué)2025屆高一上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．如圖，已知的直觀圖是一個(gè)直角邊長(zhǎng)是1的等腰直角三角形，那么的面積是A. B.C.1 D.2．設(shè)函數(shù)的部分圖象如圖所示，若，且，則（）A. B.C. D.3．在下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)并且定義域?yàn)槭牵ǎ〢. B.C. D.4．已知函數(shù)，將的圖象上所有點(diǎn)沿x軸平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，且函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則的最小值是（）A. B.C. D.5．“x＝1”是“x2－4x＋3＝0”的A.充分不必要條件B必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件6．下面四個(gè)不等式中不正確的為A. B.C. D.7．已知．則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8．A. B.C.2 D.49．已知六邊形是邊長(zhǎng)為1的正六邊形，則的值為A. B.C. D.10．已知角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)___________12．已知，若是的充分不必要條件，則的取值范圍為_(kāi)_____13．計(jì)算___________.14．若關(guān)于的方程只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.15．已知函數(shù)，則的值是________16．集合，，則__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知(1)求的定義域；(2)判斷的奇偶性并予以證明；(3)求使的的取值范圍18．在單位圓中，已知第二象限角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，若.（1）求、、的值；（2）分別求、、的值.19．已知,當(dāng)時(shí)，.（1）若函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，求此時(shí)函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值.20．已知，，，.（1）求和的值；（2）求的值.21．某校在2013年的自主招生考試成績(jī)中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的筆試成績(jī)，按成績(jī)共分成五組：第1組[75，80），第2組[80，85），第3組[85，90），第4組[90，95），第5組[95，100]，得到的頻率分布直方圖如圖所示，同時(shí)規(guī)定成績(jī)?cè)?5分以上的學(xué)生為“優(yōu)秀”，成績(jī)小于85分的學(xué)生為“良好”，且只有成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)秀”的學(xué)生才能獲得面試資格（1）求出第4組的頻率，并補(bǔ)全頻率分布直方圖；（2）根據(jù)樣本頻率分布直方圖估計(jì)樣本的中位數(shù)與平均數(shù)；（3）如果用分層抽樣的方法從“優(yōu)秀”和“良好”的學(xué)生中共選出5人，再?gòu)倪@5人中選2人，那么至少有一人是“優(yōu)秀”的概率是多少？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的基本原理，將平面直觀圖與還原為原幾何圖形，利用三角形面積公式可得結(jié)果.【詳解】平面直觀圖與其原圖形如圖，直觀圖是直角邊長(zhǎng)為的等腰直角三角形，還原回原圖形后，邊還原為長(zhǎng)度不變，仍為，直觀圖中的在原圖形中還原為長(zhǎng)度，且長(zhǎng)度為，所以原圖形的面積為，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查直觀圖還原幾何圖形，屬于簡(jiǎn)單題.利用斜二測(cè)畫(huà)法作直觀圖，主要注意兩點(diǎn)：一是與軸平行的線(xiàn)段仍然與與軸平行且相等；二是與軸平行的線(xiàn)段仍然與軸平行且長(zhǎng)度減半.2、C【解析】根據(jù)圖像求出，由得到，代入即可求解.【詳解】根據(jù)函數(shù)的部分圖象，可得：A=1;因?yàn)?，，結(jié)合五點(diǎn)法作圖可得，，如果，且，結(jié)合，可得，，，故選：C3、C【解析】分別判斷每個(gè)函數(shù)的定義域和奇偶性即可.【詳解】對(duì)A，的定義域?yàn)?，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，令，的定義域?yàn)椋?，所以為奇函?shù)，故C正確.對(duì)D，的定義域?yàn)?，故D錯(cuò)誤.故選：C.4、B【解析】先將解析式化簡(jiǎn)后，由三角函數(shù)圖象變換得到的解析式后求解.【詳解】若向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到，由題意得，的最小值為；若向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到，同理得的最小值為，故選：B5、A【解析】將代入可判斷充分性,求解方程可判斷必要性,即可得到結(jié)果.【詳解】將代入中可得,即“”是“”的充分條件；由可得,即或,所以“”不是“”的必要條件,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查充分條件和必要條件的判定，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】A，利用三角函數(shù)線(xiàn)比較大??；B，取中間值1和這兩個(gè)數(shù)比較；C，利用對(duì)數(shù)函數(shù)圖象比較這兩個(gè)數(shù)的大小；D，取中間值1和這兩個(gè)數(shù)比較【詳解】解：A，如圖，利用三角函數(shù)線(xiàn)可知，所對(duì)的弧長(zhǎng)為，，∴，A對(duì)；B，由于，B錯(cuò)；C，如圖，，則，C對(duì)；D，，D對(duì)；故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查比較兩個(gè)數(shù)的大小，考查三角函數(shù)線(xiàn)的作用，考查指對(duì)數(shù)式的大小，屬于基礎(chǔ)題7、A【解析】求解出成立的充要條件，再與分析比對(duì)即可得解.【詳解】，，則或，由得，由得，顯然，，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：充分不必要條件的判斷：p是q的充分不必要條件，則p對(duì)應(yīng)集合是q對(duì)應(yīng)集合的真子集.8、D【解析】因，選D9、D【解析】如圖，，選D.10、D【解析】先利用三角函數(shù)的恒等變換確定點(diǎn)P的坐標(biāo)，再根據(jù)三角函數(shù)的定義求得答案.【詳解】,,即，則，故選：D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)過(guò)定點(diǎn),結(jié)合函數(shù)圖像平移變換,即可得過(guò)的定點(diǎn).【詳解】因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)（,且）過(guò)定點(diǎn)是將向左平移2個(gè)單位得到所以過(guò)定點(diǎn).故答案為：.12、【解析】根據(jù)不等式的解法求出的等價(jià)條件，結(jié)合充分不必要條件的定義建立不等式關(guān)系即可【詳解】由得得或，由得或，得或，若是的充分不必要條件，則即得，又，則，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故填：【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，求出不等式的等價(jià)條件結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵，為基礎(chǔ)題13、2【解析】利用指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則即可計(jì)算作答.【詳解】.故答案：214、【解析】把關(guān)于的方程只有一個(gè)實(shí)根，轉(zhuǎn)化為曲線(xiàn)與直線(xiàn)的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出曲線(xiàn)與直線(xiàn)的圖象，結(jié)合圖象，即可求解.【詳解】由題意，關(guān)于方程只有一個(gè)實(shí)根，轉(zhuǎn)化為曲線(xiàn)與直線(xiàn)的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出曲線(xiàn)與直線(xiàn)的圖象，如圖所示，結(jié)合圖象可知，當(dāng)直線(xiàn)介于和之間的直線(xiàn)或與重合的直線(xiàn)符合題意，又由直線(xiàn)在軸上的截距分別為，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中把方程的解轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與曲線(xiàn)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合圖象求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15、-1【解析】利用分段函數(shù)的解析式，代入即可求解.【詳解】解：因?yàn)?，則.故答案為：-116、【解析】通過(guò)求二次函數(shù)的值域化簡(jiǎn)集合,再根據(jù)交集的概念運(yùn)算可得答案.【詳解】因?yàn)?,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了交集的運(yùn)算,考查了求二次函數(shù)的值域,搞清楚集合中元素符號(hào)是解題關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析.【解析】(1)求對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，只要真數(shù)大于0即可；(2)利用奇偶性的定義，看和的關(guān)系，得到結(jié)論；(3)由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，要使,需分和兩種情況討論，即可得到結(jié)果.【詳解】(1)由>0，解得x∈(－1,1)(2)f(－x)＝loga＝－f(x)，且x∈(－1,1)，∴函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)(3)若a>1，f(x)>0，則>1，解得0<x<1；若0<a<1，f(x)>0，則0<<1，解得－1<x<0.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的定義域、奇偶性與單調(diào)性，屬于中檔題.判斷函數(shù)的奇偶性首先要看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，如果不對(duì)稱(chēng)，既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，如果對(duì)稱(chēng)常見(jiàn)方法有：（1）直接法，(正為偶函數(shù)，負(fù)為減函數(shù))；（2）和差法，（和為零奇函數(shù)，差為零偶函數(shù)）；（3）作商法，（為偶函數(shù)，為奇函數(shù)）.18、（1），，（2），，【解析】（1）先由三角函數(shù)的定義得到，再利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系進(jìn)行求解；（2）利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值.【小問(wèn)1詳解】解：由三角函數(shù)定義，得，由得，又因?yàn)闉榈诙笙藿?，所以，則；【小問(wèn)2詳解】解：由誘導(dǎo)公式，得:，則，.19、(1)(2)或.【解析】（1）由計(jì)算；（2）只有一個(gè)解，由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為方程只有一個(gè)正根，分，和討論【詳解】（1）,當(dāng)時(shí)，.函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，，解得，此時(shí)函數(shù).（2），∵函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，只有一個(gè)正解，∴當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)正根，若，解得，此時(shí)，滿(mǎn)足題意；若方程有兩個(gè)相異實(shí)根，則兩根之積為，此時(shí)方程有一個(gè)正根，符合題意；綜上，或.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)與方程根的分布問(wèn)題．解題時(shí)注意函數(shù)的定義域，在轉(zhuǎn)化時(shí)要正確確定方程根的范圍，對(duì)多項(xiàng)式方程，要按最高次項(xiàng)系數(shù)為0和不為0進(jìn)行分類(lèi)討論20、（1）；（2）.【解析】（1）由二倍角公式得，結(jié)合和解方程即可；（2）依次計(jì)算和的值，代入求解即可.試題解析：（1）由，得，因?yàn)?，所以，又，所以，所?（2）因?yàn)?，所以，所以，于是，又，所以，由?），所以.21、（1）第4組的頻率為0.2，作圖見(jiàn)解析（2）樣本中位數(shù)的估計(jì)值為，平均數(shù)為87.25（3）0.9【解析】(1)利用頻率和為1,計(jì)算可得答案,計(jì)算可得第四個(gè)矩形的高度為0.2÷5=0.04,由此作圖即可;(2)設(shè)樣本的中位數(shù)為x，由5×0.01+5×0.07+（x﹣85）×0.06＝0.5解出即可得到中位數(shù),根據(jù)77.5×0.05+82.5×0.35+87.5×0.30+92.5×0.20+97.5×0.10計(jì)算即可得到平均數(shù);(3)通過(guò)列舉法可得所有基本事件的總數(shù)以及至少有一人是“優(yōu)秀”的總數(shù),再利用古典概型概率公式計(jì)算可得.【詳解】（1）其它組的頻率為（0.01+0.07+0.06+0.02）×5＝0.8，所以第4組的頻率為0.2，頻率分布圖如圖：（2）設(shè)樣本的中位數(shù)為x，則5×0.01+5×0.07+（x﹣85）×0.06＝0.5，解得x，∴樣本中位數(shù)的估計(jì)值為，平均數(shù)為77.5×0.05+82.5×0.35+87.5×0.30+92.5×0.20+97.5×0.10＝87.25；（3）依題意良好的人數(shù)為40×0.4＝16人，優(yōu)秀的人數(shù)為40×0.6＝24人優(yōu)秀與良好的人數(shù)比為3：2，所以采用分層抽樣的方