南昌市第二十八中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

南昌市第二十八中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知拋物線，過(guò)其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B.C. D.2．1852年英國(guó)來(lái)華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問(wèn)題解法傳至歐洲，西方人稱之為“中國(guó)剩余定理”．現(xiàn)有這樣一個(gè)問(wèn)題：將1到200中被3整除余1且被4整除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則=（）A.130 B.132C.140 D.1443．設(shè)，，若，其中是自然對(duì)數(shù)底，則（）A. B.C. D.4．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.和 B.和C.和 D.和5．方程表示的曲線是（）A.一個(gè)橢圓和一條直線 B.一個(gè)橢圓和一條射線C.一條射線 D.一個(gè)橢圓6．若正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則直線A1C1到平面ACD1的距離為（）A.1 B.C. D.7．已知向量，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．8．已知命題若直線與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線與拋物線相切，命題若，則方程表示橢圓.下列命題是真命題的是A. B.C. D.9．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，若，則（）A. B.C. D.10．如圖，在空間四邊形中，（）A. B.C. D.11．已知，為雙曲線：的焦點(diǎn)，為，（其中為雙曲線半焦距），與雙曲線的交點(diǎn)，且有，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.12．兩圓和的位置關(guān)系是（）A.內(nèi)切 B.外離C.外切 D.相交二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)，則曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角是_______14．已知圓，過(guò)點(diǎn)作圓O的切線，則切線方程為_(kāi)__________.15．已知p：≤0，q：4x＋2x－m≤0，若p是q的充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________16．圓與圓的公共弦長(zhǎng)為_(kāi)_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓左，右頂點(diǎn)分別是，，且，是橢圓上異于，的不同的兩點(diǎn)（1）若，證明：直線必過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；（2）設(shè)點(diǎn)是以為直徑的圓和以為直徑的圓的另一個(gè)交點(diǎn)，記線段的中點(diǎn)為，若，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程18．（12分）已知函數(shù)，在處有極值.（1）求、的值；（2）若，有個(gè)不同實(shí)根，求的范圍.19．（12分）如圖，正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且（1）證明：面；（2）求平面和平面夾角的余弦值20．（12分）已知公差大于零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，求非零常數(shù)；21．（12分）求適合條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（1）長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，且過(guò)點(diǎn)；（2）在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線互相垂直，且焦距為6.22．（10分）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是，已知（1）求角B的大??；（2）求三角形ABC的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】設(shè)，進(jìn)而根據(jù)題意，結(jié)合中點(diǎn)弦的問(wèn)題得，進(jìn)而再求解準(zhǔn)線方程即可.【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)，所以①，②，所以，①②得：，即，因?yàn)橹本€AB的斜率為1，線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，所以，即，所以拋物線，準(zhǔn)線方程為.故選：B2、A【解析】分析數(shù)列的特點(diǎn)，可知其是等差數(shù)列，寫(xiě)出其通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得結(jié)果,【詳解】被3整除余1且被4整除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，這樣的數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為10，公差為12的等差數(shù)列，所以，故，故選:A.3、A【解析】利用函數(shù)的單調(diào)性可得正確的選項(xiàng).【詳解】令，因?yàn)榫鶠椋蕿樯系脑龊瘮?shù)，由可得，故，故選：A.4、D【解析】本題是焦點(diǎn)在x軸的橢圓，求出c，即可求得焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為和.故選：D5、A【解析】根據(jù)題意得到或，即可求解.【詳解】由方程，可得或，即或，所以方程表示的曲線為一個(gè)橢圓或一條直線.故選：A.6、B【解析】先證明點(diǎn)A1到平面ACD1的距離即為直線A1C1到平面ACD1的距離，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解.【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，所以A1C1//平面ACD1，則點(diǎn)A1到平面ACD1的距離即為直線A1C1到平面ACD1的距離.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易知＝(0,0,1)，由題得平面,所以平面,所以,同理,因?yàn)槠矫?，所以平面，所以是平面一個(gè)法向量，所以平面ACD1的一個(gè)法向量為＝(1,1,1)，故所求的距離為.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求點(diǎn)到平面的距離常用的方法有：（1）幾何法（找作證指求）；（2）向量法；（3）等體積法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.7、D【解析】由題可知：，，，故選；D8、B【解析】若直線與拋物線的對(duì)稱軸平行，滿足條件，此時(shí)直線與拋物線相交，可判斷命題為假；當(dāng)時(shí)，，命題為真，根據(jù)復(fù)合命題的真假關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】若直線與拋物線的對(duì)稱軸平行，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，直線與拋物不相切，可得命題是假命題，當(dāng)時(shí)，，方程表示橢圓命題是真命題，則是真命題.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合命題真假的判斷，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】求導(dǎo)后，令，可求得，再令可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所?故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，考查了求導(dǎo)函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】利用空間向量加減法法則直接運(yùn)算即可.【詳解】根據(jù)向量的加法、減法法則得.故選：A.11、B【解析】根據(jù)求得的關(guān)系，結(jié)合雙曲線的定義以及勾股定理，即可求得的等量關(guān)系，再求離心率即可.【詳解】根據(jù)題意，連接，作圖如下：顯然為直角三角形，又，又點(diǎn)在雙曲線上，故可得，解得，由勾股定理可得：，即，即，，故雙曲線的離心率為.故選：B.12、A【解析】計(jì)算出圓心距，利用幾何法可判斷兩圓的位置關(guān)系.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，兩圓圓心距為，則，因此，兩圓和內(nèi)切.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用導(dǎo)數(shù)的定義，化簡(jiǎn)整理，可得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，即，又所以所求切線的傾斜角為故答案為：14、或【解析】首先判斷點(diǎn)圓位置關(guān)系，再設(shè)切線方程并聯(lián)立圓的方程，根據(jù)所得方程求參數(shù)k，即可寫(xiě)出切線方程.【詳解】由題設(shè)，，故在圓外，根據(jù)圓及，知：過(guò)作圓O的切線斜率一定存在，∴可設(shè)切線為，聯(lián)立圓的方程，整理得，∴，解得或.∴切線方程為或.故答案為：或.15、m≥6【解析】分別求出p，q成立的等價(jià)條件，利用p是q的充分條件，轉(zhuǎn)為當(dāng)0＜x≤1時(shí)，m大于等于的最大值，求出最值即可確定m的取值范圍【詳解】由，得0＜x≤1，即p：0＜x≤1由4x+2x﹣m≤0得4x+2x≤m因?yàn)椋筽是q的充分條件，則當(dāng)0＜x≤1時(shí)，m大于等于的最大值，令，則在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)取到最大值6，所以m≥6故答案為：m≥6【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用,考查函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化的思想，屬于基礎(chǔ)題16、【解析】?jī)蓤A方程相減可得公共弦所在直線方程，即該直線截其中一圓求弦長(zhǎng)即可【詳解】圓與圓兩式相減得，公共弦所在直線方程為：圓，圓心為到公共弦的距離為：公共弦長(zhǎng)故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）設(shè)，首先證明，從而可得到，即得到；進(jìn)而可得到四邊形為平行四邊形；再根據(jù)為的中點(diǎn)，即可證明直線必過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消元，寫(xiě)韋達(dá)；根據(jù)條件可求出直線MN過(guò)定點(diǎn)，從而可得到過(guò)定點(diǎn)，進(jìn)而可得到點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，從而可求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程【小問(wèn)1詳解】設(shè)，則，即因?yàn)?，，所以因?yàn)?，所以，所?同理可證.因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以直線必過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，整理得，則，，.因?yàn)?，所以，因?yàn)椋獾没?當(dāng)時(shí)，直線的方程為過(guò)點(diǎn)A，不滿足題意，所以舍去；所以直線的方程為，所以直線過(guò)定點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，因?yàn)?，所以直線的方程為，經(jīng)驗(yàn)證，符合題意.故直線過(guò)定點(diǎn).因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以過(guò)定點(diǎn).因?yàn)榇怪逼椒止蚕?，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，該圓的半徑，圓心坐標(biāo)為，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為18、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)題設(shè)條件可得，由此可解得與的值（2）依題意可知直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍介于極小值與極大值之間.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，在處有極值，所以，即，解得，.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，所以在上，，單調(diào)遞增，在上，，單調(diào)遞減，在上，，單調(diào)遞增，所以，，若有3個(gè)不同實(shí)根，則，所以的取值范圍為.19、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）證明平面，可得出，再由結(jié)合線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】證明：正中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，因?yàn)槠矫?，平面，則，，則平面，平面，則，又，且，平面.【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，平面，平面，則，又因?yàn)椋?，故平面，所以，平面的一個(gè)法向量為，則.因此，平面和平面夾角的余弦值為.20、（1）（2）【解析】(1)利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得,聯(lián)立方程可得,代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求;(2)代入等差數(shù)列的前和公式可求,進(jìn)一步可得,然后結(jié)合等差數(shù)列的定義可得,從而可求.【詳解】（1）為等差數(shù)列，，又是方程的兩個(gè)根，（2）由（1）可知，為等差數(shù)列，舍去)當(dāng)時(shí)，為等差數(shù)列，滿足要求【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式的綜合運(yùn)用,屬于中檔題.21、（1）或（2）【解析】（1）待定系數(shù)法去求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；（2）待定系數(shù)法去求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，方程可設(shè)為，將點(diǎn)代入得，解之得，則所求橢圓方程為當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，方程可設(shè)為，將點(diǎn)代入得，解之得，則所求橢圓方程為【小問(wèn)2詳解】橢圓方程可設(shè)為，則，解之得，則橢圓方程為22、（1）B=300（2）【解析】分析：（1）由同角三角函數(shù)