河北省石家莊市行唐縣第三中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

河北省石家莊市行唐縣第三中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．中國(guó)明代商人程大位對(duì)文學(xué)和數(shù)學(xué)頗感興趣，他于60歲時(shí)完成杰作《直指算法統(tǒng)宗》．這是一本風(fēng)行東亞的數(shù)學(xué)名著，該書A.76石 B.77石C.78石 D.79石2．已知△ABC的頂點(diǎn)B、C在橢圓＋y2＝1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則△ABC的周長(zhǎng)是（）A.2 B.6C.4 D.123．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)巨著，書中有如下問題：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百銭.欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪褭、上造、公士（大夫爵位最高，爵位依次從高變低）5個(gè)人共出100錢，按照爵位從高到低每人所出錢數(shù)成等差數(shù)列，問這5個(gè)人各出多少錢？”在這個(gè)問題中，若公士出28錢，則不更出的錢數(shù)為（）A.14 B.20C.18 D.164．已知F為橢圓C：=1(a>b>0)右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，若|OP|=|OF|，∠POF=120°，則橢圓C的離心率為（）A. B.C.-1 D.-15．已知直線l：過橢圓的左焦點(diǎn)F，與橢圓在x軸上方的交點(diǎn)為P，Q為線段PF的中點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.6．空氣質(zhì)量指數(shù)大小分為五級(jí)指數(shù)越大說明污染的情況越嚴(yán)重，對(duì)人體危害越大，指數(shù)范圍在：，，，，分別對(duì)應(yīng)“優(yōu)”、“良”、“輕中度污染”、“中度重污染”、“重污染”五個(gè)等級(jí)，如圖是某市連續(xù)14天的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，下面說法錯(cuò)誤的是（）.A.這14天中有4天空氣質(zhì)量指數(shù)為“良”B.從2日到5日空氣質(zhì)量越來(lái)越差C.這14天中空氣質(zhì)量的中位數(shù)是103D.連續(xù)三天中空氣質(zhì)量指數(shù)方差最小是9日到11日7．如果，，那么直線不經(jīng)過的象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限8．已知空間四邊形中，，，，點(diǎn)在上，且，為中點(diǎn)，則等于（）A. B.C. D.9．已知直線、的方向向量分別為、，若，則等于（）A.1 B.2C.0 D.310．下列函數(shù)求導(dǎo)錯(cuò)誤的是（）A.B.C.D.11．沙糖桔網(wǎng)店2019年全年的月收支數(shù)據(jù)如圖所示，則針對(duì)2019年這一年的收支情況，下列說法中錯(cuò)誤的是（）A.月收入的最大值為90萬(wàn)元，最小值為30萬(wàn)元 B.這一年的總利潤(rùn)超過400萬(wàn)元C.這12個(gè)月利潤(rùn)的中位數(shù)與眾數(shù)均為30 D.7月份的利潤(rùn)最大12．在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AC與BD的交點(diǎn)為M，設(shè)＝，＝，＝，則＝（）A.++ B.+C.++ D.+二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則的大小_____.14．設(shè)公差的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且，，成等比數(shù)列，則的最小值為______15．若將拋擲一枚硬幣所出現(xiàn)的結(jié)果“正面（朝上）”與“反面（朝上）”，分別記為H、T，相應(yīng)的拋擲兩枚硬幣的樣本空間為，則與事件“一個(gè)正面（朝上）一個(gè)反面（朝上）”對(duì)應(yīng)的樣本空間的子集為______16．兩個(gè)人射擊，互相獨(dú)立．已知甲射擊一次中靶概率是0.6，乙射擊一次中靶概率是0.3，現(xiàn)在兩人各射擊一次，中靶至少一次就算完成目標(biāo)，則完成目標(biāo)的概率為_____________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的兩焦點(diǎn)為、，P為橢圓上一點(diǎn)，且（1）求此橢圓的方程；（2）若點(diǎn)P在第二象限，，求的面積18．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在拋物線上.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線交拋物錢C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，記直線OA，OB的斜率分別，，求證：為定值.19．（12分）已知點(diǎn)A(-2，0)，B(2，0)，動(dòng)點(diǎn)M滿足直線AM與BM的斜率之積為，記M的軌跡為曲線C.（1）求C的方程，并說明C是什么曲線；（2）若直線和曲線C相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求.20．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)也是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，如圖，過點(diǎn)任作兩條互相垂直的直線，，分別交拋物線于，，，四點(diǎn)，，分別為，的中點(diǎn).（1）求的值；（2）求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)直線交拋物線于，兩點(diǎn)，試求的最小值.21．（12分）在下列所給的三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并完成解答（若選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分）.①與直線平行；②與直線垂直；③直線l的一個(gè)方向向量為；已知直線l過點(diǎn)，且___________.（1）求直線l的一般方程；（2）若直線l與圓C：相交于M，N兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng).22．（10分）如圖所示，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，左、右頂點(diǎn)分別為、，為橢圓上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，已知橢圓的離心率為，△的周長(zhǎng)為8（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為①當(dāng)，，成等差數(shù)列時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②若直線、分別與直線交于點(diǎn)、，以為直徑的圓是否經(jīng)過某定點(diǎn)？若經(jīng)過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】設(shè)出未知數(shù)，列出方程組，求出答案.【詳解】設(shè)甲、乙、丙分得的米數(shù)為x+d，x，x-d，則，解得：d=18，，解得：x=60，所以x+d=60+18=78（石）故選：C2、C【解析】根據(jù)題設(shè)條件求出橢圓的長(zhǎng)半軸，再借助橢圓定義即可作答.【詳解】由橢圓＋y2＝1知，該橢圓的長(zhǎng)半軸，A是橢圓一個(gè)焦點(diǎn)，設(shè)另一焦點(diǎn)為，而點(diǎn)在BC邊上，點(diǎn)B，C又在橢圓上，由橢圓定義得，所以的周長(zhǎng)故選：C3、D【解析】根據(jù)題意，建立等差數(shù)列模型，結(jié)合等差數(shù)列公式求解即可.【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)每人所出錢數(shù)成等差數(shù)列，公差為，前項(xiàng)和為，則由題可得，解得，所以不更出的錢數(shù)為.故選：D.4、D【解析】記橢圓的左焦點(diǎn)為，在中，通過余弦定理得出，，根據(jù)橢圓的定義可得，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】記橢圓的左焦點(diǎn)為，在中，可得，在中，可得，故，故，故選：D.5、D【解析】由直線的傾斜角為，可得，結(jié)合，可推得是等邊三角形，可得，計(jì)算可得離心率【詳解】直線：過橢圓的左焦點(diǎn)，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，所以，又是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，又，所以，又，所以是等邊三角形，所以，又在橢圓上，所以，所以，所以離心率為，故選：6、C【解析】根據(jù)題圖分析數(shù)據(jù)，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷【詳解】對(duì)于A，14天中有1，3，12，13共4日空氣質(zhì)量指數(shù)為“良”，故A正確對(duì)于B，從2日到5日空氣質(zhì)量指數(shù)越來(lái)越高，故空氣質(zhì)量越來(lái)越差，故B正確對(duì)于C，14個(gè)數(shù)據(jù)中位數(shù)為：，故C錯(cuò)誤對(duì)于D，觀察折線圖可知D正確故選：C7、A【解析】將直線化為，結(jié)合已知條件即可判斷不經(jīng)過的象限.【詳解】由題設(shè)，直線可寫成，又，，∴，，故直線過二、三、四象限，不過第一象限.故選：A.8、B【解析】利用空間向量運(yùn)算求得正確答案.【詳解】.故選：B9、C【解析】由可得出，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，由此可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】若，則，所以，所以，解得.故選：C10、C【解析】每一個(gè)選項(xiàng)根據(jù)求導(dǎo)公式及法則來(lái)運(yùn)算即可判斷.【詳解】對(duì)于A，，正確；對(duì)于B，，正確；對(duì)于C，，不正確；對(duì)于D，，正確.故選：C11、B【解析】根據(jù)圖形和中位數(shù)、眾數(shù)的概念依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】A：由圖可知，月收入的最大值為90，最小值為30，故A正確；B：各個(gè)月的利潤(rùn)分別為20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，所以總利潤(rùn)為20+30+20+10+30+30+60+40+30+30+50+30=380(萬(wàn)元)，故B錯(cuò)誤；C：這12個(gè)月利潤(rùn)的中位數(shù)與眾數(shù)均為30，故C正確；D：7月份的利潤(rùn)最大，為60萬(wàn)元，故D正確.故選：B12、B【解析】利用向量三角形法則、平行四邊形法則、向量共線定理即可得出【詳解】如圖所示，∵＝+，又＝，＝－，＝，∴＝+，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】，，利用橢圓的定義、結(jié)合余弦定理、已知條件，可得，解得，從而可得結(jié)果【詳解】橢圓，可得，設(shè)，，可得，化簡(jiǎn)可得：，，故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義以及余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．對(duì)余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時(shí)還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.14、##0.4【解析】應(yīng)用等比中項(xiàng)的性質(zhì)及等差數(shù)列通項(xiàng)公式求公差d，進(jìn)而寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，再求目標(biāo)式的最小值.【詳解】由題設(shè)，，則，整理得，又，解得，故，，所以，故當(dāng)時(shí)目標(biāo)式有最小值為.故答案為：15、，，，【解析】先寫出與事件“一個(gè)正面（朝上）一個(gè)反面（朝上）”對(duì)應(yīng)的樣本空間，再寫出其全部子集即可.【詳解】與事件“一個(gè)正面（朝上）一個(gè)反面（朝上）”對(duì)應(yīng)的樣本空間為，此空間的子集為，，，故答案為：，，，16、72【解析】利用獨(dú)立事件的概率乘法公式和對(duì)立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】由題意可知，若甲、乙兩個(gè)各射擊1次，至少有一人命中目標(biāo)的概率為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）由題可得，根據(jù)橢圓的定義，求得，進(jìn)而求得的值，即可求解；（2）由題可得直線方程為，聯(lián)立橢圓方程可得點(diǎn)P，利用三角形的面積公式，即求.【小問1詳解】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦距為，由題可得，，所以，可得，即，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，，∵，∴所在的直線方程為，則解方程組，可得，∴.18、（1）（2）證明見解析【解析】（1）將點(diǎn)代入拋物線方程即可求解；（2）當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理即可求出的值;當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，由過點(diǎn)即可求出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo),即可求出的值.【小問1詳解】將點(diǎn)代入得，，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，，將聯(lián)立得，，由韋達(dá)定理得：，，，當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，由直線過點(diǎn),則，，，，綜上所述可知，為定值為.19、（1），曲線是一個(gè)雙曲線，除去左右頂點(diǎn)（2）【解析】（1）設(shè)，則的斜率分別為，，根據(jù)題意列出方程，化簡(jiǎn)后即得C的方程，根據(jù)方程可以判定曲線類型，注意特殊點(diǎn)的去除；（2）聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式計(jì)算可得.【小問1詳解】解：設(shè)，則的斜率分別為，，由已知得，化簡(jiǎn)得，即曲線C的方程為，曲線一個(gè)雙曲線，除去左右頂點(diǎn).【小問2詳解】解：聯(lián)立消去整理得，設(shè)，，則，.20、（1）（2）證明見解析，（3,0）（3）【解析】（1）求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而可知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得的值；（2）首先設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線的方程，得到，坐標(biāo)，令，可得直線過點(diǎn)，再證明當(dāng)，，，三點(diǎn)共線即可；（3）設(shè)出的直線方程，聯(lián)立直線與拋物線的方程，利用韋達(dá)定理找出根的關(guān)系，再利用兩點(diǎn)間的距離公式求出最小值即可.【小問1詳解】橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由于拋物線的焦點(diǎn)也是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，故，即，；小問2詳解】由（1）知，拋物線的方程為，設(shè)，，，，由題意，直線的斜率存在且設(shè)直線的方程為，代入可得，則，故，故的中點(diǎn)坐標(biāo)為，由，設(shè)直線的方程為，代入可得，則，故，可得的中點(diǎn)坐標(biāo)為，令得，此時(shí)，故直線過點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，所以，，，三點(diǎn)共線，所以直線過定點(diǎn).【小問3詳解】設(shè)，由題意直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，代入可得，則，，，故，當(dāng)即直線垂直軸時(shí)，取得最小值.21、（1）若選擇①②，則直線方程為：；若選擇③，則直線方程為；（2）若選擇①②，則；若選擇③，則.【解析】（1）根據(jù)所選擇的條件，結(jié)合直線過點(diǎn)，即可寫出直線的方程；（2）利用（1）中所求直線方程，以及弦長(zhǎng)公式，即可求得結(jié)果.【小問1詳解】若選①與直線平行，則直線的斜率；又其過點(diǎn)，故直線的方程為，則其一般式為；若選②與直線垂直，則直線的斜率滿足，解得；又其過點(diǎn)，故直線的方程為，則其一般式為；若選③直線l的一個(gè)方向向量為，則直線的斜率；又其過點(diǎn)，故直線的方程為，則其一般式為；綜上所述：若選擇①②，則直線方程為：；若選擇③，則直線方程為.【小問2詳解】對(duì)圓C：，其圓心為，半徑，根據(jù)（1）中所求，若選擇①②，則直線方程為，則圓心到直線的距離，則直線截圓所得弦長(zhǎng)；若選擇③，則直線方程為，則圓心到直線的距離，則直線截圓所得弦長(zhǎng).綜上所述，若選擇①②，則；若選擇③，則.22、（1）；（2）①或；②過定點(diǎn)、，理由見解析.【解析】（