2025屆安徽省合肥十一中數(shù)學(xué)高二上期末綜合測試模擬試題含解析

2025屆安徽省合肥十一中數(shù)學(xué)高二上期末綜合測試模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知等差數(shù)列，，，則數(shù)列的前項和為（）A. B.C. D.2．在三棱錐中，平面；記直線與直線所成的角為，直線與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（）A. B.C. D.3．是橢圓的焦點，點在橢圓上，點到的距離為1，則到的距離為（）A.3 B.4C.5 D.64．已知數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，若，則（）A. B.C. D.5．如圖，平行六面體中，與的交點為，設(shè)，則選項中與向量相等的是（）A. B.C. D.6．不等式表示的平面區(qū)域是一個（）A.三角形 B.直角三角形C.矩形 D.梯形7．如圖，在三棱柱中，E，F(xiàn)分別是BC，中點，，則（）A.B.C.D.8．圓與圓的位置關(guān)系是（）A.相離 B.內(nèi)含C.相切 D.相交9．已知函數(shù)，若對任意，都有成立，則a的取值范圍為（）A. B.C. D.10．離心率為，長軸長為6的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是A. B.或C. D.或11．若正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則直線A1C1到平面ACD1的距離為（）A.1 B.C. D.12．已知集合，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面上給定相異兩點A，B，點P滿足，則當(dāng)且時，P點的軌跡是一個圓，我們稱這個圓為阿波羅尼斯圓.已知橢圓的離心率，A，B為橢圓的長軸端點，C，D為橢圓的短軸端點，動點P滿足，若的面積的最大值為3，則面積的最小值為___________.14．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且，則___________15．圓(x＋2)2＋y2＝4與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置關(guān)系為________16．如圖，已知正方形邊長為，長方形中，，平面與平面互相垂直，是線段的中點，則異面直線與所成角的余弦值為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知在△中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且.（1）求角C的大??；（2）若，求△的面積S的最大值.18．（12分）已知拋物線上一點到拋物線焦點的距離為，點關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，過點作軸的垂線，為垂足，直線與拋物線交于兩點.（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)直線與軸交點分別為，求的值；（3）若，求.19．（12分）已如空間直角標(biāo)系中，點都在平面內(nèi)，求實數(shù)y的值20．（12分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前項和為，且，.（1）求；（2）記數(shù)列的前項和為，求當(dāng)取得最小值時的的值.21．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，證明：存在最大值，且恒成立.22．（10分）如圖，在正四棱錐中，為底面中心，，為中點，（1）求證：平面；（2）求：（?。┲本€到平面的距離；（ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】求出通項，利用裂項相消法求數(shù)列的前n項和.【詳解】因為等差數(shù)列，，，所以，所以，所以數(shù)列的前項和為故B，C，D錯誤.故選：A.2、A【解析】先得到三棱錐的每一個面都是直角三角形，然后可得與平面所成的角，二面角的平面角，在直角三角形中算出他們的余弦值，利用向量法計算直線與直線所成的角為的余弦值，然后比較大小.【詳解】令，由平面，且平面，又，，面三棱錐的每一個面都是直角三角形.與平面所成的角，二面角的平面角，由已知可得，，，又，則所以，又均為銳角，故選：A.3、C【解析】利用橢圓的定義直接求解【詳解】由題意得，得，因為，，所以，故選：C4、A【解析】結(jié)合等差中項和等比中項分別求出和，代值運算化簡即可.【詳解】由是等比數(shù)列可得，是等差數(shù)列可得，所以，故選：A5、B【解析】利用空間向量加減法、數(shù)乘的幾何意義，結(jié)合幾何體有，進而可知與向量相等的表達式.【詳解】連接，如下圖示：，.故選：B6、D【解析】作出不等式組所表示平面區(qū)域，可得出結(jié)論.【詳解】由可得或，作出不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖中的陰影部分區(qū)域所示：由圖可知，不等式表示的平面區(qū)域是一個梯形.故選：D.7、D【解析】根據(jù)空間向量線性運算的幾何意義進行求解即可.【詳解】，故選：D8、D【解析】先由圓的方程得出兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑，求出兩圓心間的距離與兩半徑之和與差比較可得答案.【詳解】圓的圓心為，半徑為圓的圓心為，半徑為兩圓心間的距離為由，所以兩圓相交.故選：D9、C【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再對給定不等式等價變形，分離參數(shù)借助均值不等式計算作答.【詳解】對函數(shù)求導(dǎo)得：，，，則，，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時“=”，于是得，解得，所以a的取值范圍為.故選：C【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)思想是解決問題的關(guān)鍵.10、B【解析】試題解析：當(dāng)焦點在x軸上：當(dāng)焦點在y軸上：考點：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程點評：解決本題的關(guān)鍵是焦點位置不同方程不同11、B【解析】先證明點A1到平面ACD1的距離即為直線A1C1到平面ACD1的距離，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解.【詳解】因為平面平面，所以A1C1//平面ACD1，則點A1到平面ACD1的距離即為直線A1C1到平面ACD1的距離.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易知＝(0,0,1)，由題得平面,所以平面,所以,同理,因為平面，所以平面，所以是平面一個法向量，所以平面ACD1的一個法向量為＝(1,1,1)，故所求的距離為.故選：B【點睛】方法點睛：求點到平面的距離常用的方法有：（1）幾何法（找作證指求）；（2）向量法；（3）等體積法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.12、C【解析】解一元二次不等式求集合A，再由集合的交運算求即可.【詳解】由題設(shè)，，∴.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先根據(jù)求出圓的方程，再由的面積的最大值結(jié)合離心率求出和的值，進而求出面積的最小值.【詳解】解：由題意，設(shè)，，因為即兩邊平方整理得：所以圓心為，半徑因為的面積的最大值為3所以，解得：因為橢圓離心率即，所以由得：所以面積的最小值為：故答案為：.【點睛】思路點睛：本題先根據(jù)已知的比例關(guān)系求出阿波羅尼斯圓的方程，再利用已知面積和離心率求出橢圓的方程，進而求得面積的最值.14、【解析】，而，所以，，故填：.考點：導(dǎo)數(shù)15、相交【解析】由題意知，兩圓的圓心分別為(－2,0)，(2,1)，故兩圓的圓心距離為，兩圓的半徑之差為1，半徑之和為5，而1<<5，所以兩圓的位置關(guān)系為相交16、【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出，后可求異面直線所成角的余弦值.【詳解】長方形可得，因為平面與平面互相垂直，平面平面，平面，故平面，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，，故.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理、和角正弦公式及三角形內(nèi)角的性質(zhì)可得，進而可得C的大?。唬?）由余弦定理可得，根據(jù)基本不等式可得，由三角形面積公式求面積的最大值，注意等號成立條件.【小問1詳解】由正弦定理知：，∴，又，∴，則，故.【小問2詳解】由，又，則，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，∴△的面積S的最大值為.18、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）運用拋物線的定義進行求解即可；（2）設(shè)出直線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，可求得點和的縱坐標(biāo)，結(jié)合直線點斜式方程、兩點間距離公式進行求解即可；（3）利用弦長公式求得，由兩點間距離公式求得和，再解方程即可.【小問1詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為：，因為點到拋物線焦點的距離為，所以有；小問2詳解】由題意知，，，設(shè)，則，，，，所以直線的方程為，聯(lián)立，消去得，，解得，設(shè)，，，，不妨取，，直線的斜率為，其方程為，令，則，同理可得，所以，而，所以；【小問3詳解】，其中，，，因為，所以，化簡得，解得（舍負(fù)），即，所以【點睛】關(guān)鍵點睛：運用拋物線的定義、弦長公式進行求解是解題的關(guān)鍵.19、【解析】方法一：根據(jù)平面向量基本定理即可解出；方法二：先求出平面的一個法向量，再根據(jù)即可求出【詳解】方法一：，由題意知A，B，C，P四點共面，則存在實數(shù)，滿足∵，∴∴，而，∴方法二：，設(shè)平面的一個法向量為，則，∴取，則，∵，∴，解得20、（1）（2）10或11【解析】（1）利用通項公式以及求和公式列出方程組得出；（2）先求出數(shù)列通項公式，再根據(jù)得出取得最小值時的的值.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由得解得所以.【小問2詳解】因為，所以，則.令，解得，由于，故或，故當(dāng)前項和取得最小值時的值為10或11.21、（1）的單增區(qū)間為，；單減區(qū)間為，，；（2）證明見解析.【解析】（1）先求出函數(shù)的定義域，求出，由，結(jié)合函數(shù)的定義域可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)當(dāng)時，定義域R,求出，從而得出單調(diào)區(qū)間，由當(dāng)時，，當(dāng)時，，以及極值點與2的大小關(guān)系可得出當(dāng)時，函數(shù)有最大值，然后再證明即可.【詳解】解：（1）定義域，可得且且，，可得且3無0無0減無減增無增減所以，的單增區(qū)間為，；單減區(qū)間為，，.（2）當(dāng)時，定義域R因為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以的最大值在時取得；由，即，得由，得，或由，得所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，，且，由所以當(dāng)時，函數(shù)有最大值.所以，因為，所以,設(shè)，則所以化為由，則，則，所以所以22、（1）證明見解析；（2）（i）；（ii）.【解析】（1）連接，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量