人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：正多邊形與圓

專題24.3正多邊形與圓

目錄

正多邊形求線段長(zhǎng)度..........................................................1

正多邊形求角度..............................................................2

正多邊形求面積..............................................................3

正多邊形與坐標(biāo)軸............................................................4

正多邊形與規(guī)律..............................................................6

綜合運(yùn)用....................................................................7

正多邊形求線段長(zhǎng)度

/正多邊形定義：各邊相等，各角也相等的多邊形叫正多邊形。

正多邊形的有關(guān)計(jì)算

（1）首先要明確與正多邊形計(jì)算的有關(guān)概念：即正多邊形的中心O,正多邊形的半徑

R——就是其外接圓的半徑，正多邊形的邊心距r,正多邊形的中心角a,正多邊形

的邊長(zhǎng)a?

（2）正n邊形的n條半徑把正n邊形分成n個(gè)全等的等腰三角形，等腰三角形的頂角

就是正n邊形的中心角都等于；如果再作出正n邊形各邊的邊心距，這些邊心距

i又把這n個(gè)等腰三角形分成了2n個(gè)全等的直角三角形。

【例1】如圖，正方形ABC。內(nèi)接于O。，點(diǎn)￡為我上一點(diǎn)，連接8E,若NCBE=15

BE=5,則正方形ABCD的邊長(zhǎng)為（）

C.V10D.2V5

【變式訓(xùn)練1】如圖，面積為18的正方形A8CZ）內(nèi)接于則的半徑為（）

A

3

A.-C.3D.3V2

2

【變式訓(xùn)練2】如圖，正六邊形A5CDE/內(nèi)接于。0,OO的半徑為1,則邊心距OM的長(zhǎng)

1

C.一D.2A/3

2

【變式訓(xùn)練3】如圖，在正六邊形A8C0E尸中，點(diǎn)G是AE的中點(diǎn)，若AB=4,則CG的長(zhǎng)

為（）

A.5B.6C.7D.8

正多邊形求角度

【例2】如圖，在同一平面內(nèi)，將邊長(zhǎng)相等的正六邊形、正方形的一邊重合，則/I的度數(shù)

為（）

A.18°B.25°C.30°D.45°

【變式訓(xùn)練1】如圖，正五邊形ABCOE和正三角形都是。。的內(nèi)接多邊形，則/8OM

的度數(shù)是（）

A

【變式訓(xùn)練2】如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于O。,點(diǎn)M在廂上，則NCME的度數(shù)為（）

【變式訓(xùn)練3】如圖，在正六邊形ABCDEF中，M,N分別為邊CD,BC的中點(diǎn)，AN與BM

相交于點(diǎn)P,則NAPM的度數(shù)是（）

正多邊形求面積

s空白

【例3】如圖，正六邊形ABC?？谥校c(diǎn)M,N分別為邊尸上的動(dòng)點(diǎn)，則/—=（）

S陰影

【變式訓(xùn)練1】如圖所示的“六芒星”圖標(biāo)是由圓的六等分點(diǎn)連接而成，若圓的半徑為4,

則圖中陰影部分的面積為（

A.8V3B.12V3C.16D.16V3

【變式訓(xùn)練2】如圖，邊長(zhǎng)相等的正八邊形和正方形部分重疊擺放在一起，已知正方形面積

是2,那么非陰影部分面積是（）

A.6B.6+V2C.2+4V2D.8

【變式訓(xùn)練3】如圖所示的正八邊形的邊長(zhǎng)為2,則對(duì)角線AB的長(zhǎng)為（）

正多邊形與坐標(biāo)軸

【例4】如圖，正六邊形ABCL跳'的半徑。4=2,則點(diǎn)8的坐標(biāo)為（）

A.(-V3,1)B.(-1,V3)C.(-2,-V3)D.(-V3,2)

【變式訓(xùn)練1】如圖,正五邊形ABCDE的頂點(diǎn)A在y軸正半軸上，邊CO〃x軸，若點(diǎn)E坐

標(biāo)為（3,2）,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（)

A.(3,-2)B.(-3,2)C.(-3,-2)D.(2,-3)

【變式訓(xùn)練2】如圖，是中心為原點(diǎn)。，頂點(diǎn)A,D在x軸上，半徑為4的正六邊

形，則頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為（）

C.(-2,2A/3)D.(-1,V3)

【變式訓(xùn)練3】如圖，邊長(zhǎng)為4的正六邊形A8CDEE的中心與坐標(biāo)原點(diǎn)。重合，AE〃x軸,

將正六邊形ABCDEP繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)”次，每次旋轉(zhuǎn)60°,當(dāng)”=100時(shí)，頂點(diǎn)A的

坐標(biāo)為（）

A.(-2,2V3)B.(-2,-2V3)C.(2,-2V3)D.(2,2V3)

正多邊形與規(guī)律

【例5】如圖是一長(zhǎng)條型鏈子，其外型由邊長(zhǎng)為1c機(jī)的正六邊形排列而成.其中每個(gè)黑色六

邊形與6個(gè)白色六邊形相鄰.若鏈子上有59個(gè)黑色六邊形，則此鏈子上的白色六邊形個(gè)數(shù)

為（）

A.348B.238C.354D.355

【變式訓(xùn)練1】如圖，一組有規(guī)律的正多邊形，各正多邊形中的陰影部分面積均為a,按此

規(guī)律，則第〃個(gè)正多邊形的面積為（）

【變式訓(xùn)練2】如圖，將幾個(gè)全等的正八邊形進(jìn)行拼接，相鄰的兩個(gè)正八邊形有一條公共邊,

圍成一圖后中間形成一個(gè)正方形.設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1,則該圖形外輪的周長(zhǎng)為；

若n個(gè)全等的正多邊形中間圍成的圖形是正三角形，且相鄰的兩個(gè)正多邊形有一條公共邊,

設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為1,則該圖形外輪廓的周長(zhǎng)是.

【變式訓(xùn)練3】如圖，邊長(zhǎng)為1的正六邊形A8CDEF放置于平面直角坐標(biāo)系中，邊A8在x

軸正半軸上，頂點(diǎn)廠在y軸正半軸上，將正六邊形A8COE/繞坐標(biāo)原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每

次旋轉(zhuǎn)60°,那么經(jīng)過(guò)第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為

y

綜合運(yùn)用

【例6】閱讀與思考

請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：

克羅狄斯?托勒密（約90年-168年），是希臘數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家，地理學(xué)家和占星家.在

數(shù)學(xué)方面，他還論證了四邊形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的內(nèi)容如下：

圓的內(nèi)接四邊形的兩條對(duì)角線的乘積等于兩組對(duì)邊乘積的和.即：如圖1,若四邊形A8CD

內(nèi)接于O。，則有.

任務(wù)：（1）材料中劃?rùn)M線部分應(yīng)填寫的內(nèi)容為.

（2）如圖2,正五邊形A8CDE內(nèi)接于OO,AB=2,求對(duì)角線的長(zhǎng).

【變式訓(xùn)練1】（1）如圖1,△ABC為等邊三角形，點(diǎn)M是上一點(diǎn)，點(diǎn)N是。1上一點(diǎn)，

BM=CN,BN、AM相交于點(diǎn)Q,求的度數(shù)；

（2）當(dāng)（1）中的“等邊△A2C”的邊數(shù)逐漸增加，分別變?yōu)檎叫蜛2CD（如圖2）、

正五邊形A2CDE（如圖3）、正六邊形ABCDEF（如圖4）…，"點(diǎn)N是CA上一點(diǎn)”變

為點(diǎn)N是8上一點(diǎn)，其余條件不變，分別確定的度數(shù)，并直接將結(jié)論填入下表：

正多邊形正方形正五邊形正六邊形…正w邊形

的度數(shù)…

選擇題（共8小題）

1.如圖，在擰開(kāi)一個(gè)邊長(zhǎng)為。的正六角形螺帽時(shí)，扳手張開(kāi)的開(kāi)口6=105"〃，則這個(gè)正

六邊形的面積為（）

A.2。,〃加B.300y/3mm2C.150鬲病D.TSyfimm2

2.有一個(gè)正”邊形的中心角是36。，則"為（)

A.7B.8C.9D.10

3.如圖，與正六邊形。4BCDE的邊。4,OE分別交于點(diǎn)歹，G,點(diǎn)M為劣弧FG的

中點(diǎn).若FM=4也.則點(diǎn)。到9的距離是（）

C.2#D.4A/2

4.如圖，點(diǎn)P、M、N分別是邊長(zhǎng)為2的正六邊形中不相鄰三條邊的中點(diǎn)，則A/MV的

周長(zhǎng)為（）

p

A.6B.6y/2C.6A/3D.9

5.一個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形中，一條邊所對(duì)的圓心角為72。，則該正多邊形的邊數(shù)是（）

A.4B.5C.6D.7

6.已知??個(gè)正多邊形的中心角為45。，則以該正多邊形的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰三角形的種類

數(shù)（全等的三角形為同一類）是（）

A.1B.2C.3D.4

7.如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于O,M為EF的中點(diǎn)，連接DM,若匚O的半徑為2,

則的長(zhǎng)度為（）

A.夕B.^5C.2D.1

8.如圖，正五邊形ABCDK內(nèi)接于O,則正五邊形中心角NCOD的度數(shù)是（）

二.填空題（共4小題）

9.如圖，如果AB、AC分別是圓O的內(nèi)接正三角形和內(nèi)接正方形的一條邊，3c一定是圓

。的內(nèi)接正〃邊形的一條邊，那么〃=.

A

10.已知邊長(zhǎng)為2的正三角形，能將其完全覆蓋的最小圓的面積為一.

11.如圖，萬(wàn)名塔，位于鳳凰古城沙灣的沱江之濱，于1988年建成，該塔是一個(gè)六角塔,

如果它的地基是半徑為2米的正六邊形，那么這