2025屆新高三開學(xué)數(shù)學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試卷2（新高考）考試版

2025屆新高三開學(xué)摸底考試卷02(新高考通用)

數(shù)學(xué)?全解全析

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分(選擇題共58分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.已知集合同=卜1爐-6彳-7<0},N={-2,-1,0,1,2,3},則()

A.{x|-2<x<7}B.{x|-2<x<7}

C.{x[T<x<7或1=—2}D.{-2,-1,0,1,2,3)

2.i為虛數(shù)單位，若2=驢-4i,則|z卜()

A.5B.7C.9D.25

3.已知向量〃=(l,2)*=(l,-l),c=(4,5).若〃與6+Xc平行，則實數(shù)『的值為()

11一

A.—B.------C.1D.—1

1414

4.已知sinasin(a+￡)=cosasin(：-a}貝[]tan]2a+：J=()

A.2-73B.-2-V3C.2+班D.一2+退

5.陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時代遺址.如圖所示的是一個陀螺立

體結(jié)構(gòu)圖.已知，底面圓的直徑AB=12cm,圓柱體部分的高8c=6cm,圓錐體部分的高C￡>=4cm,則這

個陀螺的表面積(單位：cn?)是()

——

A.(72+12屈)兀B.(84+24舊)兀C.(108+12萬)兀D.(108+24而卜

6.若函數(shù)/2(x)=ln?；加-2x在[1,4]上單調(diào)遞增，則實數(shù)。的取值范圍為()

A.(-℃,-!]B.(-<?,-1)C.10°廠WD.11co廣.)

函數(shù)〃x)=sinx+2卜inx|,xe[0,2可的圖象與直線丫=上有且僅有兩個不同的交點，則《的取值范圍是()

A.(0,1)B.(0,3)C.(1,3)D.(0,2)

8.函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且〃1+力=〃1一力，若工40』，/(%)=2\則以2023)=()

A.4B.2C.1D.0

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.李明每天7：00從家里出發(fā)去學(xué)校，有時坐公交車，有時騎自行車.他各記錄了50次坐公交車和騎自行

車所花的時間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到：坐公交車平均用時30分鐘，樣本方差為36；自行車平均用時34分鐘，

樣本方差為4.假設(shè)坐公交車用時X和騎自行車用時V都服從正態(tài)分布，則()

A.P(X>32)>P(F>32)

B.P(X<36)=P(K<36)

C.李明計劃7：34前到校，應(yīng)選擇坐公交車

D.李明計劃7：40前到校，應(yīng)選擇騎自行車

10.已知函數(shù)f(x)=(x+D(e，-x-l),則下列說法正確的有()

A./(x)無最大值B./(x)有唯一零點

C./(x)在(0,+oo)單調(diào)遞增D./(0)為于(x)的一個極小值

11.平面內(nèi)到兩定點距離之積為常數(shù)的點的軌跡稱為卡西尼卵形線，它是1675年卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星

的運行規(guī)律時發(fā)現(xiàn)的.已知在平面直角坐標(biāo)系xOv中，M(-2,0),N(2,0),動點尸滿足|P"HPN|=5,其軌

跡為一條連續(xù)的封閉曲線C.則下列結(jié)論正確的是()

A.曲線C與y軸的交點為(0,-1),(0,1)B.曲線C關(guān)于x軸對稱

C.一尸面積的最大值為2D.|OP|的取值范圍是[1,3]

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知與鳥是雙曲線E:j-與=1的左，右焦點，點M在E上，/耳與x軸垂直，sin/Mf再=不則E的

ab3

離心率為

13.已知直線>=區(qū)+》既是曲線y=lnx的切線，也是曲線y=-ln(-x)的切線，則％+6=.

14.一個袋子中有10個大小相同的球，其中紅球7個，黑球3個.每次從袋中隨機摸出1個球，摸出的球不

再放回.設(shè)第1,2,3次都摸到紅球的概率為《；在第1,2次都摸到紅球的條件下，第3次摸到紅球的概率

為巴.求4+6=.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步果。

15.（本小題滿分13分）已知。也。分別是ABC內(nèi)角42,。的對邊，（6-。）8$。=*0$4-8$3）,廿=2ac.

（1）求cosC；

（2）若ABC的面積為求c.

16.（本小題滿分15分）已知橢圓C：5+4句（a>8>0）的一個焦點為產(chǎn)（2,0）,且離心率為逅.

ab3

⑴求橢圓C的方程；

⑵直線/：y=x+〃z與橢圓c交于A,B兩點,若ABO面積為招，求直線/的方程.

17.（本小題滿分15分）如圖，三棱錐P—ABC中，PA_L底面4BC,AB1BC,AC=2,BC=\,點M

滿足PM=ZP3（O<2<1）,N是PC的中點.

⑴請寫出一個2的值使得BC〃平面AMN,并加以證明；

2

⑵若二面角P-BC-A大小為45。，且％=§，求點M到平面H1C的距離.

18.（本小題滿分17分）在一場乒乓球賽中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠軍.比賽采用“雙敗淘汰制”，具體

賽制為：首先，四人通過抽簽兩兩對陣，勝者進入“勝區(qū)”，敗者進入“敗區(qū)”；接下來，“勝區(qū)”的兩人對陣，

勝者進入最后決賽；“敗區(qū)”的兩人對陣，敗者直接淘汰出局獲第四名，緊接著，“敗區(qū)”的勝者和“勝區(qū)”的

敗者對陣，勝者晉級最后的決賽，敗者獲第三名；最后，剩下的兩人進行最后的冠軍決賽，勝者獲得冠軍，

敗者獲第二名.甲對陣乙、丙、丁獲勝的概率均為2(。＜。＜1),且不同對陣的結(jié)果相互獨立.

(1)若夕=0.6,經(jīng)抽簽，第一輪由甲對陣乙，丙對陣?。?/p>

①求甲獲得第四名的概率；

②求甲在“雙敗淘汰制”下參與對陣的比賽場數(shù)的數(shù)學(xué)期望；

⑵除“雙敗淘汰制”外，也經(jīng)常采用“單敗淘汰制”：抽簽決定兩兩對陣，勝者晉級，敗者淘汰，直至決出最

后的冠軍.哪種賽制對甲奪冠有利？請說明理由.

19.(本小題滿分17分)已知函數(shù)y=/(x),其中〃尤)=$3一小，左eR.若點A在函數(shù)y=/(x)的圖像

上，且經(jīng)過點A的切線與函數(shù)y=/(x)圖像的另一個交點為點則稱點8為點A的一個“上位點”，現(xiàn)有

函數(shù)y=/(x)圖像上的點列M，M2,Mn,使得對任意正整數(shù)〃，點此都是點M中的一個“上

位點

⑴若啟=0,請判斷原點。是否存在“上位點”，并說明理由；

⑵若點M的坐標(biāo)為(3左,0),請分別求出點加2、M3的坐標(biāo)；

(3)若叫的坐標(biāo)為(3,0),記點心到直線尸根的距離為問是否存在實數(shù)加和正整數(shù)T,使得無窮數(shù)列外、

dT+l.....小+,…嚴(yán)格減？若存在，求出實數(shù)小的所有可能值；若不存在，請說明理由.

2025屆新高三開學(xué)摸底考試卷02（新高考通用）

數(shù)學(xué).答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

91011

BCDACDABD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.13.—14.—

“e12

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.(本小題滿分13分)

【解】(1)由3-。)85。=(?(854-8$3)及正弦定理可得

(sinB—sinA)cosC=sinC(cosA—cosB),

sinBcosC-sinAcosC=sinCcosA-sinCcosB,

所以sinBcosC+sinCcosB=sinCcosA+sinAcosC,

即sin(B+C)=sin(A+C),sin(萬—A)=sin(?—B),

所以sinA=sinB,所以由正弦定理得〃=0,

因為Z?2=2QC,所以Z?=2C,

由余弦定理得cosC==+"—=a+…/=7,

2ab2?2c?2c8

(2)由(1)知sinC=Jl一=坐，

因為ABC的面積為止，

所以La6sinC='a2=解得。=4,

228

則c=ga=2

16.（本小題滿分15分）

【解】（1）由焦點為尸（2,0）得c=2,又離心率e=￡=逅，得至Ua=卡,

a3

22

所以=6—4=2,所以橢圓C的方程為工+匕=1.

62

（2）設(shè)4（占,%），3（孫羽），

￥+匚1

聯(lián)立,62,消丁得4Y+6mx+3蘇-6=0,

y=x+m

2222

A=36m-16（3m-6）=-12m+96>0,得至[jm<8,

由韋達(dá)定理得，%+%=—當(dāng)，XxX2=~-，

24

又因為AB=J1+左2昆一項|=^2x'I?：=,

H

又原點到直線的距離為2=g，

H"3

r2z26

所以sABO=；4|陰=；xX2X^m/8-

五4v\n

所以加4—8m2+]6=0,所以m2=4,即根=±2,滿足機之<8,

所以直線/的方程為y=x±2.

17.（本小題滿分15分）

【解】⑴當(dāng)時,滿足題意.

M是網(wǎng)的中點，又因為N是PC的中點,

所以肱V〃BC,

又初Vu平面ABC,且3C(Z平面ABC,

所以8c〃平面ABC.

(2)由勾股定理得48=后，

因為B1_L平面ABC,3Cu平面ABC,

所以上4L8C,

又ABLBC,ABPA=A,AB,PAu平面「84,

所以3cl平面「班，

而P3u平面尸班，故PBLBC,

故NPA4就是二面角「的平面角，所以NPA4=45。，

所以為等腰直角三角形，且PA=A2=若，

過B作9_LAC于則5"，平面PAC,易得BH=嶼,

2

所以點加到平面上4c的距離等于3BH,為旨.

33

18.(本小題滿分17分)

【解】⑴①記“甲獲得第四名”為事件A,則尸(A)=(1-0.6)2=0.16；

②記在甲在“雙敗淘汰制”下參與對陣的比賽場次為隨機變量X,

則X的所有可能取值為2,3,4,

連敗兩局：尸(X=2)=(1-OS7=0.16,

X=3可以分為：連勝兩局，第三局不管勝負(fù)；負(fù)勝負(fù)；勝負(fù)負(fù)；

p(X=3)=0.62+(l-0.6)x0.6x(l-0.6)+0.6x(l-0.6)x(l-0.6)=0.552,

p(X4)=(1-0.6)x0.6x0.6+0.6x(1-0.6)x0.6-0.288；

故X的分布列如下：

X234

P0.160.5520.288

故數(shù)學(xué)期望E(X)=2x0.16+3x0.552+4x0.288=3.128；

(2)“雙敗淘汰制”下，甲獲勝的概率P=p3+p(l-p)p2+(i_p)p3=(3_2p)p3,

在“單敗淘汰制”下，甲獲勝的概率為p2,

由(3—2p)p3_p2=p20p_2P2_])=p2(2p_1)(]_p),且0<p<l

所以時，(3—2p)p3>p2,“雙敗淘汰制，，對甲奪冠有利;

pe（0,：時，（3—2“）/<p2,“單敗淘汰制，，對甲奪冠有利;

P=：時，兩種賽制甲奪冠的概率一樣.

19.（本小題滿分17分）

【解】（1）已知〃同=；尤3,則=得/，⑼=o,

故函數(shù)經(jīng)過點o的切線方程為、=。，

其與函數(shù)=圖像無其他交點，所以原點。不存在“上位點”.

（2）設(shè)點河“的橫坐標(biāo)為乙，〃為正整數(shù)，

則函數(shù)尸“X）圖像在點M用處的切線方程為y-J=/'（褊）（x-。）,

代入其“上位點”