安徽省皖江名校聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1安徽省皖江名校聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以.故選：C.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗由，可得，所以，所以.所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，位于第三象限.故選：C.3.已知平面向量、滿足，，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，又，，因為，所以，所以在以為圓心，4為半徑的圓上，又，則，即.故選：A.4.樹人學(xué)校開展學(xué)雷鋒主題活動，某班級5名女生和2名男生，分配成兩個小組去兩地參加志愿者活動，每小組均要求既要有女生又要有男生，則不同的分配方案有（）A.20種 B.40種 C.60種 D.80種〖答案〗C〖解析〗由題意可知兩名男生必須分開在兩組，則有1女1男一組，余下一組；2女1男一組，余下一組；3女1男一組，余下一組；4女1男一組，余下一組；所以分配方法為.故選：C.5.有三臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為6%，第2，3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起，已知第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%，任取一個零件，則它是次品的概率（）A.0.054 B.0.0535 C.0.0515 D.0.0525〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意，設(shè)任取一個零件，由第1，2，3臺車床加工為事件、、，該零件為次品為事件，則，，，，，任取一個零件是次品的概率，故選：B.6.已知直線與圓交于不同的兩點，O是坐標(biāo)原點，且有，則實數(shù)k的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)中點為C，則，∵，∴，∴，∵，即，又∵直線與圓交于不同的兩點，∴，故，則，.故選：C．7.已知函數(shù)，，若方程有且僅有5個不相等的整數(shù)解，則其中最大整數(shù)解和最小整數(shù)解的和等于（）A. B.28 C. D.14〖答案〗A〖解析〗先作出的大致圖象，如下：令，則，根據(jù)的圖象可知：要滿足題意必須有兩個不等根，且有兩個整數(shù)根，有三個整數(shù)根，結(jié)合對勾函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)知，兩函數(shù)相切時符合題意，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，又，易知其定義域內(nèi)單調(diào)遞減，即，此時有兩個整數(shù)根或，而要滿足有三個整數(shù)根，結(jié)合圖象知必有一根小于2，顯然只有符合題意，當(dāng)時有，則，解方程得的另一個正根為，又，此時五個整數(shù)根依次是，顯然最大的根和最小的根和為.故選：A.8.“三角換元思想”是三角函數(shù)中的基本思想.運用三角換元法可以處理曲線中的最值問題.譬如：已知，求的最大值.我們令，，則.這樣我們就把原問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問題.已知是曲線上的點，則的最大值為（）A.12 B.14 C.16 D.18〖答案〗D〖解析〗設(shè)，由，可得，則，設(shè)，則，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時取最大值，最大值為，所以的最大值為.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.如圖，正方體的棱長為1，則下列四個命題中正確的是（）A.直線與平面所成的角等于B.四棱錐的體積為C.兩條異面直線和所成的角為D.二面角的平面角的余弦值為〖答案〗ABC〖解析〗如圖，取的中點，連接，則，而平面，平面，得，平面則平面，所以是直線與平面所成的角為，故A正確；點到平面的距離為的長度為，則，故B正確；易證，所以異面直線和所成角為或其補(bǔ)角，因為為等邊三角形，所以兩條異面直線和所成的角為，故C正確；連接，由，所以，又，所以為二面角的平面角，易求得，又，，由余弦定理可得，故D錯誤．故選：ABC．10.已知數(shù)列滿足，則（）A. B.的前n項和為C.的前100項和為100 D.的前30項和為357〖答案〗AD〖解析〗當(dāng)時，，當(dāng)時，，兩式相減可得：，所以，顯然當(dāng)時，滿足，故，故A正確；由等差數(shù)列求和公式知的前項和為，故B錯誤；令，的前100項和為：，故C錯誤；令，所以的前30項和為：，故D正確.故選：AD.11.中國結(jié)是一種手工編制工藝品，它有著復(fù)雜奇妙的曲線，卻可以還原（成單純的二維線條，其中的數(shù)字“8”對應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙紐線.在xOy平面上，把與定點，距離之積等于的動點的軌跡稱為雙紐線.曲線C是當(dāng)時的雙紐線，P是曲線C上的一個動點，則下列結(jié)論正確的是（）A.點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是 B.OP的最大值是C.面積的最大值為2 D.的取值范圍是〖答案〗BCD〖解析〗設(shè)是曲線上任意一點，根據(jù)雙紐線的定義可得：，當(dāng)時，曲線的方程為，對于A：整理可得：，則，可得，解得，故A錯誤；對于B，，因為，所以，所以，所以，即曲線上任意一點到坐標(biāo)原點的距離的最大值為，故B正確；對于C：，令，則，所以，所以當(dāng)時，，所以面積的最大值為，故C正確；對于D：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，，所以，所以的取值范圍是，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，，則______.〖答案〗〖解析〗由，可得①，由，可得②，所以①+②，可得,所以，所以.13.橢圓C：的左右焦點分別為、，點M為其上的動點.當(dāng)為鈍角時，點M的橫坐標(biāo)的取值范圍是________〖答案〗〖解析〗設(shè)，焦點，.因為為鈍角，所以，即.整理得：.因點Mx,y在橢圓上，，代入得解得，又因為，所以點縱坐標(biāo)的取值范圍.14.“算24”游戲是以除去大小王的52張撲克牌為載體，任意抽取4張，把撲克牌對應(yīng)的4個整數(shù)（，，，）通過加減乘除（沒有乘方開方）以及括號運算，使最后的運算結(jié)果是24的一個數(shù)學(xué)游戲.因為和撲克牌的花色無關(guān)，所以游戲可以看作在集合中每次任選1個數(shù)，選4次得到4個整數(shù)，記為數(shù)組，因為算24和選取4個數(shù)的順序無關(guān)，可以假設(shè).比如.顯然游戲不同的牌組就對應(yīng)不同的數(shù)組，那么所有不同的數(shù)組一共有______個.如果數(shù)組為，寫出一個結(jié)果為24的算式______.〖答案〗1820〖解析〗因為數(shù)組，且，若中四個數(shù)相等，所有不同的數(shù)組一共有個；若中三個數(shù)相等，所有不同的數(shù)組一共有個；若有且僅有2個數(shù)相等，所有不同的數(shù)組一共有個；若中有2組2個數(shù)相等，所有不同的數(shù)組一共有個；若中沒有數(shù)相等，所有不同的數(shù)組一共有個；所以所有不同的數(shù)組一共有個；如果數(shù)組為，則.四、解答題：共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，角的對邊分別為，面積為S，且.（1）求B；（2）若，，D為邊的中點，求的長.解：（1）由三角形面積公式及條件可知：，由余弦定理知，所以，因為，所以；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，根據(jù)余弦定理有，所以，易知，所以，即.16.如圖，四棱錐中，底面是矩形，，，，M是的中點，.（1）證明：平面；（2）若點P是棱上的動點，直線與平面所成角的正弦值為，求的值.（1）證明：取中點，連接，與交于Q點，在底面矩形中，易知，所以，因為平面，所以平面，因為平面，所以，易知，所以，由題意可知,所以，而相交，且平面，所以平面；（2）解：由上可知，，，以點A為坐標(biāo)原點，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0、、、、，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，則，，則，取，則，設(shè)，其中，則，因為直線與平面所成角的正弦值為，則，解得，即.17.高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷的多項選擇題每小題滿分6分，每小題有4個選項，其中只有2個或者3個選項是正確的.若正確選項有2個，則選對其中1個得3分；若正確選項有3個，則選對其中1個得2分，選對其中2個得4分，〖答案〗中有錯誤選項的得0分.設(shè)一套數(shù)學(xué)試卷的多項選擇題中有2個選項正確的概率為，有3個選項正確的概率為.在一次模擬考試中：（1）小明可以確認(rèn)一道多項選擇題的選項A是錯誤的，從其余的三個選項中隨機(jī)選擇2個作為〖答案〗，若小明該題得分X的數(shù)學(xué)期望為3，求p；（2）小明可以確認(rèn)另一道多項選擇題的選項A是正確的，其余的選項只能隨機(jī)選擇.小明有三種方案：①只選A不再選擇其他〖答案〗；②從另外三個選項中再隨機(jī)選擇1個.共選2個；③從另外三個選項中再隨機(jī)選擇2個，共選3個.若，以最后得分的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，小明應(yīng)該選擇哪個方案？解：（1）根據(jù)題意可知，，若該題有2個選項正確，則，若該題有3個選項正確，則，則分布列如下：X046P所以，解之得；（2）不妨記一道多選題“有2個選項正確”為事件，“有3個選項正確”為事件，若小明選擇方案①，記小明該題得分為，則的可能取值為2，3，對應(yīng)概率為：，故；若小明選擇方案②，記小明該題得分為，則的可能取值為，對應(yīng)概率為：，，故，若小明選擇方案③，記小明該題得分為Z，則Z的可能取值為，對應(yīng)概率為：，.故，，故以最后得分的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，小明應(yīng)該選擇方案②.18.已知雙曲線C：的離心率為2.且經(jīng)過點.（1）求C的方程；（2）若直線l與C交于A，B兩點，且（點O為坐標(biāo)原點），求的取值范圍.解：（1）由題意可得，解得，故雙曲線方程為.（2）當(dāng)直線斜率不存在時，可設(shè)，則，將其代入雙曲線方程，又，解得，此時，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)其方程為，設(shè)Ax1,聯(lián)立，故，則，化簡得，此時，所以，當(dāng)時，此時，當(dāng)時，此時，，故，因此，綜上可得.19.給出以下三個材料：①若函數(shù)可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做的二階導(dǎo)數(shù)，記作.類似的，函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)，記作，函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的四階導(dǎo)數(shù)……，一般地，函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的n階