福建省泉州市部分地區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省泉州市部分地區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗解不等式可得，易知，所以.故選：D.2.一組數(shù)據(jù)2，3，5，x，7，4，6，9的眾數(shù)是4，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A.4 B. C.5 D.〖答案〗B〖解析〗這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)4，，將數(shù)據(jù)從小到大排列為：2，3，4，4，5，6，7，9，則中位數(shù)為：4.5．故選：B．3.已知有理數(shù)a，b滿足，則的值為（）A. B. C.或0 D.或0〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，?dāng)，時(shí)，原式=；當(dāng)，時(shí)，原式；當(dāng)，時(shí)，原式；當(dāng)，時(shí)，原式．故選：C．4.如圖，是半圓O的直徑，點(diǎn)D是弧的中點(diǎn)，若，則等于（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗是半圓O的直徑，，，，四邊形是半的內(nèi)接四邊形，，點(diǎn)D是弧的中點(diǎn)，，，.故選：C．5.已知關(guān)于x，y方程組的解是．則關(guān)于x，y的方程組的解是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗可化為：，關(guān)于x，y的方程組的解是，的解為：，解得：．故選：D．6.一個(gè)不透明小立方塊的六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，其展開圖如圖1所示．在一張不透明的桌子上，按圖2方式將三個(gè)這樣的小立方塊搭成一個(gè)幾何體，則該幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最小是（）A.31 B.32 C.33 D.34〖答案〗B〖解析〗由正方體表面展開圖可知，“1”與“3”，“2”與“4”，“5”與“6”所在的面是對面，因此要使題圖2中幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最小，最右邊的那個(gè)正方體所能看到的4個(gè)面的數(shù)字為1，2，3，5，最上邊的那個(gè)正方體所能看到的5個(gè)面的數(shù)字為1，2，3，4，5，左下角的那個(gè)正方體所能看到的3個(gè)面的數(shù)字為1，2，3，所以該幾何體能看得到的面上數(shù)字之和最小為．故選：B.7.如圖，在中，，，，點(diǎn)D在邊上．連接．按以下步驟作圖：（1）以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，分別交，于M，N兩點(diǎn)；（2）再分別以M，N兩點(diǎn)為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P；（3）連接并延長，分別交，于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．若，連接，則的值為（）A. B. C. D.1〖答案〗B〖解析〗∵，，，∴，∴為直角三角形，，∴，由作圖可知：平分，∴，∵，∴，∴，，∴垂直平分，∴，過點(diǎn)F作，則：為等腰直角三角形，設(shè)，則：，∴，∴，解得：，∴，，∵，∴，∴.故選：B．8.如圖，拋物線交x軸于點(diǎn)Aa，0和，交y軸于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為D．下列結(jié)論正確的是（）①若，則；②當(dāng)時(shí)，且y的最小值為；③拋物線上有兩點(diǎn)Px1，y1和Qx2④當(dāng)時(shí)，對于拋物線上兩點(diǎn)、，若，則.A.②③ B.①② C.③④ D.②④〖答案〗D〖解析〗∵，∴對稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對于①，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A坐標(biāo)為，∴點(diǎn)B坐標(biāo)為，∴，故①錯(cuò)誤；對于②，∵，拋物線開口向上，拋物線與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)和，∴當(dāng)時(shí)，x的取值范圍為，且最小值為，故②正確；對于③，∵對稱軸為直線，，且，∴到x軸的距離小于到x軸的距離，∴，故③錯(cuò)誤；對于④，當(dāng)時(shí)，，令，則，解得，，∴，，若，則，∴，∴，故④正確；∴正確的有②④.故選：D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得補(bǔ)部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列命題中，是真命題的有（）A.集合的所有真子集為B.若（其中），則C.是等邊三角形是等腰三角形D.〖答案〗BC〖解析〗集合真子集是，共3個(gè)，所以A為假命題；由，知，，則，則B為真命題；等邊三角形是特殊的等腰三角形，所以C為真命題；，所以，所以D為假命題．故選：BC.10.已知命題：，，則命題成立的一個(gè)充分條件可以是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由命題：，．故命題成立一個(gè)充分條件是的子集，對照四個(gè)選項(xiàng)，ABD符合要求.故選：ABD．11.設(shè)，為正實(shí)數(shù)，則下列命題中是真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，，則〖答案〗AD〖解析〗對于A選項(xiàng)，由，為正實(shí)數(shù)，且，可得，所以，所以，若，則，可得，這與矛盾，故成立，所以A中命題為真命題；對于B選項(xiàng)，取，，則，但，所以B中命題為假命題；對于C選項(xiàng)，取，，則，但，所以C中命題為假命題；對于D選項(xiàng)，由，則，即，可得，所以D中命題為真命題.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若點(diǎn)，，則點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是____________．〖答案〗〖解析〗∵點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)為，∴B為的中點(diǎn)，設(shè)的坐標(biāo)為，∴，，∴，∴的坐標(biāo)是．13.使分式與的值相等的x的值為_____．〖答案〗9〖解析〗根據(jù)題意得：，去分母得：，解得，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，∴原方程解為，即使分式與的值相等的x的值為9．14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，連接，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，此時(shí)點(diǎn)B恰好落在反比例函數(shù)的圖象上，則k的值為______．〖答案〗〖解析〗過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作于點(diǎn)D，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為，連接，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，∴，，，，∴，在和中，∵，∴，∴，，∴，∴，∴.四、解答題：本題共5分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.配方法是數(shù)學(xué)中重要的思想方法之一，它是指將一個(gè)式子的某一部分通過恒等變形化為一個(gè)完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法，這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來解決一些問題．我們定義：一個(gè)整數(shù)能表示成(a、b是正整數(shù))的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”，例如，5是“完美數(shù)”，理由：因?yàn)?，所?是“完美數(shù)”．解決問題（1）已知29是“完美數(shù)”，請將它寫成(a、b是正整數(shù))形式__________；（2）若可配方成(m、n為正整數(shù))，則__________；探究問題（3）已知(x、y是整數(shù)，k是常數(shù))，要使S為“完美數(shù)”，試求出符合條件的一個(gè)k值，并說明理由．解：（1）.（2），∴，，∴.（3），∵S是“完美數(shù)”，，也是整數(shù)，∴k可以取13．16.設(shè)命題，使得不等式恒成立；命題，不等式成立．（1）若為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若命題、有且只有一個(gè)是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）若為真命題，即，使得不等式成立，則對于，即可.由于，，則.（2）若為真命題，即，不等式成立，則對于，即可.由于，，，解得p、q有且只有一個(gè)是真命題，則或，解得.17.“抖音直播帶貨”已經(jīng)成為時(shí)尚的銷售方式，某帶貨主播準(zhǔn)備銷售一種防護(hù)品，進(jìn)貨價(jià)格為每件50元，并且每件的售價(jià)不低于進(jìn)貨價(jià)．經(jīng)過初期試銷售調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每月的銷售量y(件)與每件的售價(jià)x(元)之間滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系．（1）求每月的銷售量y(件)與每件的售價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式；(不必寫出自變量的取值范圍)（2）物價(jià)部門規(guī)定，該防護(hù)品每件的利潤不許高于進(jìn)貨價(jià)的．該帶貨主播銷售這種防護(hù)品每月的總利潤要想達(dá)到10000元，那么每件的售價(jià)應(yīng)定為多少元？解：（1）由圖象可知每月銷售量y(件)與售價(jià)x(元)之間為一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)其函數(shù)關(guān)系式為y=kx+bk≠0將，代入，得，解得：，∴每月銷售y(件)與售價(jià)x(元)的函數(shù)關(guān)系式為且.（2）根據(jù)題意得：，整理得，，解得，，∵該防護(hù)品的每件利潤不允許高于進(jìn)貨價(jià)的，∴，即，∴．∴當(dāng)這種防護(hù)品每件的售價(jià)定為70元時(shí)，該主播每月的總利潤可達(dá)到10000元．18.如圖，是的直徑，與相交于點(diǎn)E．過點(diǎn)D的圓O的切線，交的延長線于點(diǎn)F，．（1）求的度數(shù)；（2）若，求的半徑．解：（1）如圖，連接．為的切線，．，．，．，．（2）如圖，連接，，，．，，且，，，即，，，即半徑為2．19.半掛車是掛車中的一種類型，是通過牽引銷與半掛車頭相連接的一種重型運(yùn)輸交通工具.如圖是一種輕體側(cè)翻自卸半掛車.圖1是半掛車?yán)洜顟B(tài)截面示意圖，圖2是其卸貨狀態(tài)截面示意圖，四邊形為矩形，已知該車的車廂長為13米，寬為2.5米．高