河北省邯鄲市部分示范性高中2024屆高三下學(xué)期三模數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省邯鄲市部分示范性高中2024屆高三下學(xué)期三模數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)，則（）A.5 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，故，故.故選：D.2.已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C的頂點(diǎn)，若的內(nèi)心和重心重合，則C的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖所示，為橢圓的頂點(diǎn)，且的內(nèi)心和重心重合，所以為等邊三角形，又因?yàn)椋?，?故選：C.3.若，則（）A.4 B.3 C.2 D.1〖答案〗A〖解析〗令，得，又，所以.故選：A.4.我國(guó)鐵路百年滄桑巨變，從尚無(wú)一寸高鐵，到僅用十幾年高鐵建設(shè)世界領(lǐng)先，見證了中華民族百年復(fù)興偉業(yè).某家庭兩名大人三個(gè)孩子乘坐高鐵出行，預(yù)定了一排五個(gè)位置的票（過道一邊有三個(gè)座位且相鄰，另一邊兩個(gè)座位相鄰）則三個(gè)孩子座位正好在過道同一側(cè)的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗五個(gè)人隨機(jī)坐共有種可能，其中三個(gè)孩子座位正好在過道同一側(cè)有種可能，故三個(gè)孩子座位正好在過道同一側(cè)概率為.故選：A.5.已知平面，和直線m，n，若，，則“，”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗當(dāng)，，，是兩個(gè)不同平面，，時(shí)，或，相交，反過來，時(shí)，，，則，.故“，”是“”的必要而不充分條件.故選：B.6.平行四邊形中，，，以C為圓心作與直線BD相切的圓，P為圓C上且落在四邊形內(nèi)部任意一點(diǎn)，，若，則角的范圍為（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，當(dāng)在直線上時(shí)，，當(dāng)圓與的切點(diǎn)在延長(zhǎng)線上時(shí)，圓落在四邊形內(nèi)部部分與直線沒有公共點(diǎn)，此時(shí)，當(dāng)恰好切于點(diǎn)時(shí)，則，又，，所以，則，所以，則，故.故選：B.7.已知偶函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)定義域均為，為奇函數(shù)，若2是的極值點(diǎn)，則在區(qū)間內(nèi)解的個(gè)數(shù)最少有（）個(gè).A.7 B.8 C.9 D.11〖答案〗D〖解析〗為偶函數(shù)，所以，求導(dǎo)得，所以為奇函數(shù).定義域均為，故，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，故，即關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，兩邊求導(dǎo)得，即，①所以，故，②將替換為得，故，的周期為3.故為周期為3的奇函數(shù).故.又2是的極值點(diǎn)，得，因?yàn)闉橹芷跒?，故，由得，因?yàn)闉橹芷跒?，故，.又為奇函數(shù)，，得，所以關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故，且，由①得，又，由②得，又，故在內(nèi)解最少有，最少有11個(gè).故選：D.8.已知數(shù)列滿足，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得，所以，，，，（，），累乘可得，又，得.設(shè)①，則②，①-②得，，，.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知隨機(jī)變量，則（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗由，則，，故A、C錯(cuò)誤；，故B正確；，故D正確.故選：BD.10.已知方程的正根構(gòu)成等差數(shù)列，則（）A. B. C.2 D.4〖答案〗ACD〖解析〗法一：由，得，即，由的圖象可知，的值為時(shí)，正根構(gòu)成等差數(shù)列，得，故A、C、D正確；法二：，其周期為，設(shè)，則，，其圖象如圖所示.的正根構(gòu)成等差數(shù)列，得、時(shí)成立，故C、D正確；且，，，，時(shí)，值也滿足題意，又，得，故A正確.故選：ACD.11.函數(shù)有三個(gè)不同極值點(diǎn)，且.則（）A. B.C.的最大值為3 D.的最大值為1〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A：有三個(gè)不同極值點(diǎn)，則有三個(gè)不等實(shí)根為，則定有三個(gè)解.設(shè)，當(dāng)，恒成立，得單調(diào)遞增，不會(huì)有三個(gè)解，所以，，得在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.定有三個(gè)解恒成立，因?yàn)?，所以恒成?即，得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于D：設(shè)，故，，，故，故D正確；對(duì)于B：又，故B正確；對(duì)于C：又，，，則，又，放，的最大值為3，故C正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.拋物線上的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)的距離等于它到C的準(zhǔn)線距離，則P到焦點(diǎn)距離為______.〖答案〗3〖解析〗根據(jù)拋物線的定義可得：拋物線上的點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離.由拋物線可知焦點(diǎn)坐標(biāo)為；設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為.因?yàn)閽佄锞€上的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)的距離等于它到C的準(zhǔn)線距離，所以點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)的距離，則，解得：.所以點(diǎn)P到焦點(diǎn)距離為.13.如圖裝滿水的圓臺(tái)形容器內(nèi)放進(jìn)半徑分別為1和3的兩個(gè)鐵球，小球與容器底和容器壁均相切，大球與小球、容器壁、水面均相切，此時(shí)容器中水的體積為______.〖答案〗〖解析〗大球體積，小球體積.圓臺(tái)的高為.根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得：，.由圖易知四邊形，四邊形，四邊形，四邊形兩兩之間相似，即.解得：，則，則圓臺(tái)體積為，則水的體積為：.14.已知點(diǎn)，則點(diǎn)P到動(dòng)直線的最大距離的最小值為______.〖答案〗〖解析〗由，得，又，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，令，的定義域?yàn)?，，解得：，令，可得，令，可得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，函數(shù)與圖象如下圖，由此可知：可知點(diǎn)位于圖中陰影部分區(qū)域，則點(diǎn)到直線最大距離的最小值為函數(shù)上切線斜率為1的點(diǎn)到直線的距離的一半.，設(shè)，得，點(diǎn)到的距離為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，且滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列的前n項(xiàng)和為，比較和的大小.解：（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，又因?yàn)闀r(shí)，也滿足上式，所以當(dāng)時(shí)，，，（2）由，得,,,當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，，.綜上所述：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.16.如圖所示，在等腰直角中，，點(diǎn)、分別為，的中點(diǎn)，將沿翻折到位置.（1）證明：；（2）若，求平面DEF與平面DEC夾角的余弦值.（1）證明：等腰直角中，，得，所以，點(diǎn)E、F分別為，的中點(diǎn)，，所以，將沿翻折到位置后，，，又平面，平面，，所以平面，又，得平面，又平面，所以平面平面；（2）解：由（1）知面，又平面，所以平面平面，由為中點(diǎn)，故，又因?yàn)?，所以為等邊三角形，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，過作交于，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：不妨設(shè)，得，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，所以，故平面與平面夾角的余弦值為.17.2021年教育部印發(fā)的《進(jìn)一步加強(qiáng)中小學(xué)生體質(zhì)健康管理工作的通知》中提出，中小學(xué)校要保障學(xué)生每天校內(nèi)、校外各1小時(shí)體育活動(dòng)時(shí)間，每天統(tǒng)一安排30分鐘的大課間體育活動(dòng).一學(xué)校某體育項(xiàng)目測(cè)試有的人滿分，而該校有的學(xué)生每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過兩個(gè)小時(shí)，這些人體育項(xiàng)目測(cè)試滿分率為.（1）從該校隨機(jī)抽取三人，三人中體育項(xiàng)目測(cè)試相互獨(dú)立，求三人中滿分人數(shù)的分布列和期望；（2）現(xiàn)從每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間不超過兩個(gè)小時(shí)的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，求他體育項(xiàng)目測(cè)試滿分的概率；（3）體育測(cè)試前甲、乙、丙三人傳球做熱身訓(xùn)練，每次傳球，傳球者等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，第1次由甲將球傳出，求第n次傳球后球在乙手中的概率.解：（1）該校隨機(jī)抽取三人，每個(gè)人滿分的概率為40%，設(shè)抽取的三人中滿分人數(shù)為，則，則，，，，則的分布列為：0123所以數(shù)學(xué)期望.（2）用A表示事件“抽到每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過兩個(gè)小時(shí)的學(xué)生”，則，，用B表示事件“抽到體育項(xiàng)目測(cè)試滿分的學(xué)生”，則，且，又因?yàn)樗?，故，所?（3）記表示事件“經(jīng)過次傳球后，球在乙的手中”，設(shè)次傳球后球在乙手中的概率為，，則有，所以，所以，即，，所以，且，所以數(shù)列表示以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，即第次傳球后球在乙手中的概率為.18.函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若只有一個(gè)解，則當(dāng)時(shí)，求使成立的最大整數(shù)k.解：（1）函數(shù)，定義域?yàn)?，則，因?yàn)?，設(shè)，，則令得，，，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，綜上所述：的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）若即只有一個(gè)解，因?yàn)槭狗匠坛闪?，所以只?是的解，當(dāng)時(shí)，無(wú)非零解，設(shè)，則，當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增，所以最小值為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故定有零點(diǎn)，又因?yàn)闊o(wú)非零解，有零點(diǎn)應(yīng)還是0，所以，所以，則，，得，，，所以，得，設(shè)，則，令，則，因?yàn)闀r(shí)，，所以，則在單調(diào)遞增，又，，所以使得，所以，且，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以最小值，且，得，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，故整?shù)的最大值為2.19.函數(shù)是我們最熟悉的函數(shù)之一，它是奇函數(shù)，且y軸和直線是它的漸近線，在第一象限和第三象限存在圖象，其圖象實(shí)質(zhì)是圓錐曲線中的雙曲線.（1）函數(shù)的圖象不僅是中心對(duì)稱圖形，而且還是軸對(duì)稱圖形，求其對(duì)稱軸l的方程；（2）若保持原點(diǎn)不動(dòng)，長(zhǎng)度單位不變，只改變坐標(biāo)軸的方向的坐標(biāo)系的變換，叫坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)，簡(jiǎn)稱轉(zhuǎn)軸.（i）請(qǐng)采用適當(dāng)?shù)淖儞Q方法，求函數(shù)變換后所對(duì)應(yīng)的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程；（ii）已知函數(shù)圖象上任一點(diǎn)到平面內(nèi)定點(diǎn)的距離差的絕對(duì)值為定值，以線段為直徑的圓與的圖象一個(gè)交點(diǎn)為，求的面積.解：（1）函數(shù)的圖象是圓錐曲線中的雙曲線，且軸和直線是它的漸近線可知，對(duì)稱軸為直線和.又，得，解得，又，所以，得，又，所以對(duì)稱軸的方程為和