河北省邯鄲市魏縣2025屆高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省邯鄲市魏縣2025屆高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由解得，因?yàn)?，，所?故選：B.2.已知復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)滿足，則（）A.B.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是C.D.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)為，則〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，又，A錯誤；對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，B錯誤；由知對應(yīng)的點(diǎn)在以對應(yīng)點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上，又，因此，C正確；對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，因此，D錯誤，故選：C．3.已知向量滿足，則（）A.5 B. C. D.20〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋?，所以，所以，所?故選：C.4.若，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗若，則，所以，所以，即，，若使得取得最大值，不妨設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.故選：D.5.用一個邊長為4的正方形紙片，做一個如圖所示的幾何體，圖中兩個圓錐等底、等高，則該幾何體體積的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)題意有兩種方式可以得到這樣的幾何體，方式一：如圖①，可以得到圓錐的側(cè)面展開圖最大為半徑為2的半圓，因此一個圓錐的底面半徑為1，母線長為2，高為，所以兩個圓錐體積的最大值為．方式二：如圖②，可以得到圓錐的側(cè)面展開圖最大為半徑為的四分之一圓，因此一個圓錐的底面半徑為，母線長為，高為，所以兩個圓錐體積的最大值為．，故選：A．6.若，則的大小關(guān)系為（）A B. C. D.〖答案〗D〖解析〗若，則，且，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，故選：D．7.已知為角終邊上一點(diǎn)，關(guān)于的函數(shù)有對稱軸，則（）A. B.2 C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)闉榻墙K邊上一點(diǎn)，所以而，且當(dāng)時，，所以，故選:D．8.如圖，從1開始出發(fā)，一次移動是指：從某一格開始只能移動到鄰近的一格，并且總是向右或向上或右下移動，而一條移動路線由若干次移動構(gòu)成，如從1移動到11：1→2→3→5→7→8→9→10→11就是一條移動路線．從1移動到數(shù)字的不同路線條數(shù)記為，從1移動到11的事件中，跳過數(shù)字的概率記為，則下列結(jié)論正確的是（）①，②，③，④．A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④〖答案〗A〖解析〗由題意可知，則，，則①正確；顯然，故②正確；因?yàn)?，?jīng)過數(shù)字5的路線共有條.理由:如上樹狀圖所示，分別計(jì)算1-5的路線共有5條，5-11的路線共有13條，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，過數(shù)字5的路線共有條.則，故③正確；同理可得即有，故④錯誤.故選:A．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的有（）A.若一組數(shù)據(jù)的方差為0.2，則的方差為1B.68，60，62，78，70，84，74，46，73，82這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是80C.樣本相關(guān)系數(shù)可以用來判斷成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)D.若變量，則〖答案〗BCD〖解析〗對于A，的方差為，故A錯誤；對于B，這組數(shù)據(jù)從小到大排列：46，60，62，68，70，73，74，78，82，84，又，第8位數(shù)字是78，第9位數(shù)字是82，故這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是，故B正確；對于C，樣本相關(guān)系數(shù)的符號反映了相關(guān)關(guān)系的正負(fù)性，當(dāng)時，成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)，當(dāng)時，成對樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)，故C正確；對于D，因?yàn)椋?，故D正確，故選:BCD．10.已知函數(shù)在處的切線方程為，則下列說法正確的有（）A.B.在區(qū)間上的最大值和最小值之和為C.為的極小值點(diǎn)D.方程有兩個不同的根（e為自然對數(shù)的底）〖答案〗BC〖解析〗對于選項(xiàng)A：由題意可知：函數(shù)的定義域?yàn)?,+∞，且，則，解得，所以，故A錯誤；對于選項(xiàng)C：因?yàn)?，，令f'x<0，解得；令f'可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則為的極小值點(diǎn)，故C正確；對于選項(xiàng)B：若，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，可知的最小值，且，即的最大值，所以在區(qū)間上的最大值和最小值之和為，故B正確；對于選項(xiàng)D：令，整理可得，令，因?yàn)楹瘮?shù)與在區(qū)間0,+∞內(nèi)單調(diào)遞增，則在區(qū)間0,+∞內(nèi)單調(diào)遞增，且，所以有且僅有一個零點(diǎn)，即方程有一個解，故D錯誤.故選：BC．11.雙紐線最早于1694年被瑞士數(shù)學(xué)家雅各布，伯努利用來描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線．在平面直角坐標(biāo)系中，把到定點(diǎn)距離之積等于的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線．已知點(diǎn)是雙紐線上任意一點(diǎn)，當(dāng)雙紐線過點(diǎn)時，下列說法中正確的有（）A. B.C.的最大值為 D.當(dāng)時，與曲線只有一個交點(diǎn)〖答案〗ACD〖解析〗根據(jù)雙紐線的定義可得，，則，將點(diǎn)代入方程可得，因此A正確；根據(jù)三角形的等面積法可知，，即，即，因此B錯誤；因?yàn)椋?，由余弦定理可得，，則，所以的最大值為，因此C正確；由化簡可得與曲線一定有公共點(diǎn)，則，當(dāng)實(shí)數(shù)時，，該方程無解，則與曲線只有一個公共點(diǎn)，D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知雙曲線的兩條漸近線分別為直線，，經(jīng)過右焦點(diǎn)且垂直于的直線分別交，于，兩點(diǎn)，且，則該雙曲線的離心率為_______．〖答案〗〖解析〗由題意得，，，由題得，∴，整理得，即，∴，，即．13.已知，則的最小值為______．〖答案〗〖解析〗，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即當(dāng)時等號成立.14.若直線與曲線和都相切，則直線的方程為______．〖答案〗或〖解析〗設(shè)直線與曲線相切于，當(dāng)時，，則由可知，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，該方程即為直線的方程，因?yàn)橹本€與圓相切，所以，解得或（舍去），所以直線的方程為，當(dāng)時，，同理可求得直線的方程為，故直線的方程為或．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且．（1）求；（2）如圖，射線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后交線段于點(diǎn)，且，求的面積的最小值．解：（1）由，及正弦定理得，因，代入可得，，因?yàn)?，所以，又，所以．?）由（1）得，因?yàn)椋裕?，可得．又，可得，即．由基本不等式可得，?dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，由，可得，所以，所以的面積的最小值為．16.已知是上的動點(diǎn)，點(diǎn)，線段的中垂線交直線于點(diǎn)．（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）已知直線的方程為，過點(diǎn)的直線（不與軸重合）與曲線相交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為．證明：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．解：（1）的圓心，半徑，如圖，由中垂線的性質(zhì)得，所以，所以動點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓，設(shè)該橢圓的方程為，則，所以，所以點(diǎn)的軌跡方程為．（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得①，如圖，設(shè)，顯然，所以，且．因?yàn)?，所以直線的方程為，令，得②，將代入②，得，故直線過定點(diǎn)，即定點(diǎn)．17.如圖，在平行四邊形中，，四邊形為矩形，平面平面，點(diǎn)在線段上運(yùn)動．（1）當(dāng)時，試確定點(diǎn)的位置并證明；（2）在（1）的條件下，求平面與平面的夾角的余弦值．解：（1）在中，，由余弦定理得，則，有，又平面平面，平面平面，平面，則平面，直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，由，得，解得，即，所以當(dāng)時，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．（2）由（1）可得，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，平面的法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為．18.已知函數(shù).（1）若，求的值；（2）證明：當(dāng)時，成立.（1）解：解法一：由，得，又，所以是的極小值點(diǎn)，故，而，故，若，則，當(dāng)；當(dāng)，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故是唯一的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，由，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，解法二：由，得，又，當(dāng)時，有恒成立，所以在上單調(diào)遞減，又，則不成立，當(dāng)時，令，得，則時，有時，有，即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以最小值為，，函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，故；（2）證明：當(dāng)時，，設(shè)，當(dāng)時，，又由（1）知，故，當(dāng)時，，設(shè)，則，則在單調(diào)遞增，，所以，則在單調(diào)遞增，，綜上，，即當(dāng)時，.19.在高中數(shù)學(xué)教材蘇教版選擇性必修2上闡述了這樣一個問題：假設(shè)某種細(xì)胞分裂（每次分裂都是一個細(xì)胞分裂成兩個）和死亡的概率相同，如果一個種群從這樣的一個細(xì)胞開始變化，那么這個種群最終滅絕的概率是多少？在解決這個問題時，我們可以設(shè)一個種群由一個細(xì)胞開始，最終滅絕的概率為，則從一個細(xì)胞開始，它有的概率分裂成兩個細(xì)胞，在這兩個細(xì)胞中，每個細(xì)胞滅絕的概率都是，兩個細(xì)胞最終都走向滅絕的概率就是，于是我們得到：，計(jì)算可得；我們也可以設(shè)一個種群由一個細(xì)胞開始，最終繁衍下去的概率為，那么從一個細(xì)胞開始，它有的概率分裂成兩個細(xì)胞，在這兩個細(xì)胞中，每個細(xì)胞繁衍下去的概率都是，兩個細(xì)胞最終都走向滅絕的概率就是，于是我們得到：，計(jì)算可得．根據(jù)以上材料，思考下述問題：一個人站在平面直角坐標(biāo)系的點(diǎn)處，他每步走動都會有的概率向左移動1個單位，有的概率向右移動一個單位，原點(diǎn)處有一個陷阱，若掉入陷阱就會停止走動，以代表當(dāng)這個人由開始，最終掉入陷阱的概率．（1）若這個人開始時位于點(diǎn)處，且．（?。┣笏?步內(nèi)（包括5步）掉入陷阱的概率；（ⅱ）求他最終掉入陷阱的概率；（ⅲ）已知，若，求；（2）已知是關(guān)于的連續(xù)函數(shù)．（?。┓謩e寫出當(dāng)和時，的值（直接寫出即可，不必說明理由）；（ⅱ）求關(guān)于的表達(dá)式．解：（1）（?。┰O(shè)事件：“這個人在第1步掉入陷阱”，事件：“這個人在第3步掉入陷阱”，事件：“這個人在第5步掉入陷阱”，則他在5步內(nèi)掉入陷阱的概率．（ⅱ）他從1,0開始，最終掉入陷阱的概率為，則這個人如果第一步向左走，就會掉入陷阱，若他第一步向右走，如果最終掉入陷阱，則需要由2,0先到達(dá)1,0處，而這個概率和他從1,0開始，最終掉入陷阱的概率相同，所以