湖南省2024屆高三仿真模擬考試數(shù)學(xué)試題（五）（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省2024屆高三仿真模擬考試數(shù)學(xué)試題（五）一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由得，又函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則，即，又由得，即，所以.故選：D.2.若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，故?fù)數(shù)的虛部為.故選：A.3.九九重陽(yáng)節(jié)期間，甲?乙兩名同學(xué)計(jì)劃去敬老院做志愿者，若甲同學(xué)在初八、初九、初十這三天中隨機(jī)選一天，乙同學(xué)在初八、初九這兩天中隨機(jī)選一天，且兩名同學(xué)的選擇互不影響，則他們?cè)谕惶烊サ母怕蕿椋ǎ〢. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗甲同學(xué)在三天中隨機(jī)選一天，共有3種情況，乙同學(xué)在兩天中隨機(jī)選一天，共有2種情況，所以一共有種情況，他們?cè)谕惶烊ス灿?種情況，所以他們?cè)谕惶烊サ母怕蕿?故選：B.4.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（）A.4 B.7 C.8 D.9〖答案〗B〖解析〗由，可得，解得，故故選：B.5.如圖，在直角梯形中，，若分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，滿足，其中，若，則的值為（）A.1 B.3 C. D.〖答案〗D〖解析〗建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題意可得.設(shè)，，由，即，據(jù)此可得，故，同理可得，，據(jù)此可得，則，整理可得，由于，故.故選：D.6.蟋蟀鳴叫可以說(shuō)是大自然優(yōu)美、和諧的音樂(lè)，殊不知蟋蟀鳴叫的頻率（每分鐘鳴叫的次數(shù)）與氣溫（單位：℃）存在著較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.某地觀測(cè)人員根據(jù)如表的觀測(cè)數(shù)據(jù)，建立了關(guān)于的線性回歸方程，則下列說(shuō)法不正確的是（）（次數(shù)/分鐘）2030405060（℃）2527.52932.536A.的值是20B.變量，呈正相關(guān)關(guān)系C.若的值增加1，則的值約增加0.25D.當(dāng)蟋蟀52次/分鳴叫時(shí)，該地當(dāng)時(shí)的氣溫預(yù)報(bào)值為33.5℃〖答案〗D〖解析〗由題意，得，，則，故A正確；由線性回歸方程可知，，變量，呈正相關(guān)關(guān)系，故B正確；若的值增加1，則的值約增加0.25，故C正確；當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：D.7.設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，故.故選：C.8.已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題設(shè)，對(duì)稱軸為且圖象開(kāi)口向下，則在上遞增，上遞減，由，即恒過(guò)且，所以上，上，而在上遞增，且上，上，所以的解集為.故選：C.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知雙曲線的離心率為，右頂點(diǎn)為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點(diǎn)，則有（）A.漸近線方程為 B.漸近線方程為C. D.〖答案〗BC〖解析〗雙曲線離心率為故漸近線方程為，取MN的中點(diǎn)P,連接AP,利用點(diǎn)到直線的距離公式可得,則，所以，則，故選BC.10.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，對(duì)于所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.在區(qū)間上單調(diào)遞減 B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.在區(qū)間上單調(diào)遞減 D.在區(qū)間上單調(diào)遞增〖答案〗BC〖解析〗將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得，∵，∴，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)?，所以，所以函?shù)在上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)C正確，故選：BC.11.已知均為正實(shí)數(shù)，且，則下列不等式正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，故正確；由得，同理，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故B正確；滿足題意，但，故C錯(cuò)誤；由得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以，故D正確故選：ABD.12.已知定義在上的函數(shù)滿足為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.函數(shù)為周期函數(shù)C.函數(shù)為上的偶函數(shù) D.〖答案〗AB〖解析〗因?yàn)闉榕己瘮?shù)，，故函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，f2x+1為奇函數(shù)，1），函數(shù)圖象關(guān)于1,0對(duì)稱，對(duì)于B，，故2是函數(shù)的周期，函數(shù)為周期函數(shù)，故B正確；對(duì)于A，，令，故f1=0，又，故A正確；對(duì)于C，，當(dāng)時(shí)，f'x>0，即函數(shù)在上遞增，函數(shù)圖象關(guān)于1,0對(duì)稱，故函數(shù)在上遞減，故函數(shù)在上遞增，所以，故函數(shù)不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤，故選：AB.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，，C為平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則點(diǎn)C的軌跡方程為_(kāi)_____________．〖答案〗〖解析〗依題意，設(shè)，由，得，即，整得得，所以點(diǎn)的軌跡方程為.14.在的展開(kāi)式中，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為64，則常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____.〖答案〗60〖解析〗由題可知：，所以，展開(kāi)式通項(xiàng)為，令，得4，常數(shù)項(xiàng)為.15.點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與到直線的距離之和的最小值是___________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)閽佄锞€方程為，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為準(zhǔn)線方程為：，如圖所示：由拋物線的定義得：點(diǎn)p到的焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離相等，所以當(dāng)A，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，P到點(diǎn)的距離與到直線的距離之和最小，最小值為.16.已知關(guān)于x的方程有4個(gè)不等實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是______．〖答案〗0<a<〖解析〗由得,由于，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為和共有4個(gè)不同的實(shí)根，記，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故，又因此，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的圖象如圖所示，要使和共有4個(gè)不同的實(shí)根，則需要且，解得0<a<1四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且（1）求；（2）若，的面積為，求的周長(zhǎng).解：（1）由正弦定理，可得，故，即，，化簡(jiǎn)得，又，故.（2）由得，又，即得，則，故周長(zhǎng)為.18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，正項(xiàng)等差數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）證明：.（1）證明：由得，兩式相減可得，即.當(dāng)時(shí)，，即，則，解得，且，可知是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，可得設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，則，即，解得或（舍去），所以.（2）解：由（1）得，則，可知是以首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，則，所以.19.為落實(shí)教育部的雙減政策，義務(wù)教育階段充分開(kāi)展課后特色服務(wù).某校初中部的籃球特色課深受學(xué)生喜愛(ài)，該校期末將進(jìn)行籃球定點(diǎn)投籃測(cè)試，規(guī)則為：每人至多投3次，先在M處投一次三分球，投進(jìn)得3分，未投進(jìn)不得分，以后均在N處投兩分球，每投進(jìn)一次得2分，未投進(jìn)不得分.測(cè)試者累計(jì)得分高于3分即通過(guò)測(cè)試，并終止投籃.甲?乙兩位同學(xué)為了通過(guò)測(cè)試，進(jìn)行了五輪投籃訓(xùn)練，每人每輪在M處和N處各投10次，根據(jù)他們每輪兩分球和三分球的命中次數(shù)情況分別得到如下圖表：若以每人五輪投籃訓(xùn)練命中頻率的平均值作為其測(cè)試時(shí)每次投籃命中的概率.（1）已知該校有300名學(xué)生的投籃水平與甲同學(xué)相當(dāng)，求這300名學(xué)生通過(guò)測(cè)試人數(shù)的數(shù)學(xué)期望；（2）在甲?乙兩位同學(xué)均通過(guò)測(cè)試的條件下，求甲得分比乙得分高的概率.解：（1）甲同學(xué)兩分球投籃命中的概率為，甲同學(xué)三分球投籃命中的概率為，設(shè)甲同學(xué)累計(jì)得分為，則，則，所以甲同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為.設(shè)這300名學(xué)生通過(guò)測(cè)試的人數(shù)為，由題設(shè)，所以.（2）乙同學(xué)兩分球投籃命中率為，乙同學(xué)三分球投籃命中率為.設(shè)乙同學(xué)累計(jì)得分為，則，.設(shè)“甲得分比乙得分高”為事件，“甲?乙兩位同學(xué)均通過(guò)了測(cè)試”為事件，則，，由條件概率公式可得.20.已知平行四邊形中，，點(diǎn)在上，且滿足，將沿折起至的位置，得到四棱錐.（1）求證：平面平面；（2）若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：在中，，，，由余弦定理得，所以，由勾股定理知.折疊后，則有，，因?yàn)镻E∩DE=E，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解：，，則即為二面角的平面角.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在的方向分別作為、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.于是、、，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，有，即，令，則，.所以即為平面的一個(gè)法向量..設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.21.已知橢圓C：的一個(gè)焦點(diǎn)為F（2，0），離心率為．過(guò)焦點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)為D，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)O，D的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)．（1）求橢圓C的方程；（2）求四邊形AMBN面積的最大值．（1）解：由題意可得解得,故橢圓的方程為.（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí),的坐標(biāo)分別為,四邊形面積為，當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)其方程為點(diǎn),點(diǎn)到直線的距離分別為則四邊形面積為,得,則，所以，因?yàn)樗灾悬c(diǎn),當(dāng)時(shí),直線方程為,解得所以.當(dāng)時(shí),四邊形面積的最大值綜上四邊形面積的最大值為.22.已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的最大值；（2）若恒成立，求的值；（3）令，過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條切線，若兩切點(diǎn)橫坐標(biāo)互為倒數(shù)，求證：點(diǎn)一定在第一象限內(nèi).（1）解：當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，令，得，令，得．因此，函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)