廣東省肇慶市2023-2024學年高二年級下冊期末考試數(shù)學試卷（解析版）

廣東省肇慶市2023-2024學年高二下學期期末考試數(shù)學試卷

注意事項：

1.本試卷共150分，考試時間120分鐘.

2.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上.回答選擇題時，選

出每小題(答案》后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的(答案』標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他K答案X標號.回答非選擇題時，將k答案》寫在答

題卡上，寫在本試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.若函數(shù)/(x)=e'—x—1(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則/'(0)=()

A.-1B.OC.1D.2

［答案XB

k解析》函數(shù)/(x)=e「x—1,求導得了'(x)=ex—1,所以尸(0)=0.

故選：B

n(ad-bc)2

2.已知某獨立性檢驗中，由力之,n=a+b+c+d計算出

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

/=4，若將2x2列聯(lián)表中數(shù)據(jù)a,4c,d分別變成2a,2瓦2c,2d,計算出的力2=%；,

則()

22

A.Z；=ZiB./=2/

c.4=2/D./=4%：

k答案》B

〃(ad-be)2

K解析工因為力；=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，

2n(2ax2d-2bx2c)22n(ad-bc)~

所以/==2%；.

(2a+2b)(2c+2d)(2a+2c)(2》+2d)(a+》)(c+d)(a+c)(b+d)

故選：B

3.求整數(shù)的正整數(shù)因數(shù)時可將其改寫成若干個質數(shù)的乘積，例如12=3x22,12的正整數(shù)

因數(shù)只需分別從｛3°,3號,｛2°,21,2z｝中各選一個元素相乘即可，則500的正整數(shù)因數(shù)的個

數(shù)為()

A.12B.15C.16D.18

(答案］A

n解析H因為500=22x53,

由題意可知：500的正整數(shù)因數(shù)只需分別從{2°2,22},{5°5,52,53}中各選一個元素相乘

即可，

所以500的正整數(shù)因數(shù)的個數(shù)為3x4=12.

故選：A.

4.已知函數(shù)/（x）=sinx+co&x—2x,若a==〃ln3）,c=,則

a,b,c的大小關系為（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>c>aD.c>b>a

K答案』B

K解析U（x）=cosx-sinx-2-V2cosIx+1-2<0,

所以/（九）在R上單調遞減.

因為lgg(0,ln3)Ine=1,(—1)°=1,

所以lgg<(—l)。<ln3,所以>/(ln3),即a>c>b.

故選：B.

3

5.已知隨機變量X8（4,2），若方差。（x）="則P（X=2）的值為（）

3927

A.---B.---C.---D.一

128256256

K答案』D

3

k解析】由X5（4,/?）,得￡>（X）=4p（l-p）="

13

解得尸=:或。=:，

44

所以P（X=2）=C；x（：）2xg）2=W?故選：D

6.直線y=2x+a與曲線/（x）=Zz?+x—21nx相切于點（2,/（2））,則成的值為

()

A.~2B.-21n2

C.-In2D.2-ln2

(答案』c

2

[解析X因為/(%)=灰2+x—21nx,所以7?'(x)=2"+l——,

依題意/'(2)=4b+l—1=2,解得6=；,

/(2)=4Z?+2—21n2=4+“，解得a=-2In2,

所以〃Z?=-ln2.

故選：C

7.若(1—2%)2024=4+6%+外/+F%024%2024,貝!J|Q0|+|1%。2」=

()

A.4048B.22024C.1D,32024

K答案1D

K解析】(1—2%嚴24的展開式的通項公式為(+]=c；020?(一2%)'(r=0,1,2,,2024),

22024

結合(1-2%嚴4=%+axx+a2x+…+a2Q24x,知％,%，%，…，4023均為負值，

??||I|dy|I|^^21I***|^^20241^1。CLyId?I.??|^^2022^^2023+^^2024，

令X=得。〃一生+

—1,B?24=%—]+^2+々2022一々2023+々2024，

故|%|+同+同+…|。2024|=32四,

故選：D.

8.已知函數(shù)/(力=2靖—秋2(。＞0,且awl,e為自然對數(shù)的底數(shù))恰有兩個極值點

X1,X2(X,<X2),則實數(shù)a的取值范圍是(

Ak)

C.(e,+co)

[答案XD

K解析》因為/(力=2優(yōu)--，所以/'(x)=2a”na-2ex,因為函數(shù)“力恰有兩個

極值點X］、尤2，

所以/'(x)=2aYln?-2ex有兩個變號零點，

即方程a*Ina=ex有兩個不相等的實數(shù)根，

令g(x)=a1na,則g(x)=a」na的圖象與直線y=ex有兩個不同的交點,

因為g'(x)=優(yōu)(In〃)2，設g(%)二優(yōu)Ina過原點的切線的切點為(七,%)，

則切線方程為y-a%Ina=(intz)2(%-%),

則0_〃與Ina=a與(lna/(=_/)，

所以/lni=l,

即%0=-=log”,

ma

所以切線斜率左(Ina)?="ogae(lna)2=e0na)2,

當a>l時左<e,貝U(lna)2<i,

解得1<a<e；

當Ova<i時左<e,貝！J(lna)2<i,

解得

e

綜上可得實數(shù)a的取值范圍是,11°(1,e).

故選：D

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項

符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.下列關于一元線性回歸的敘述正確的有()

A.若相關系數(shù)r=-0.98,則y與龍的相關程度很強

B.殘差圖中的殘差比較均勻地分布在以取值為。的橫軸為對稱軸的水平帶狀區(qū)域內，說明

選用模型比較合適

C.決定系數(shù)R2越大，模型的擬合效果越差

D.經(jīng)驗回歸直線與=院+6經(jīng)過所有樣本點(.J,.)

K答案UAB

K解析工對于A,1日越接近于1,相關性越強，A正確；

對于B,殘差圖中的殘差比較均勻地分布在以取值為0的橫軸為對稱軸的水平帶狀區(qū)域

內，

擬合效果較好，選用模型比較合適，B正確；

對于C,決定系數(shù)尺2越大，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，C錯誤；

對于D,樣本點(%,%)分布在經(jīng)驗回歸直線§=限+*附近，D錯誤.

故選：AB

io.己知西,馬，七是互不相等的正數(shù)，隨機變量x,y的分布列如下表所示,

XX]%

Pabc

西+芍X+毛X+%3

Y2x

222

Pabc

若"c既成等差數(shù)列也成等比數(shù)列，X,Y的期望和方差分別為￡（X）,E（F）和

D（x）,D（y）,則（）

A.￡（X）=E（F）B,E（X）＞￡（F）

C.D（X）＜D（y）D.D（X）＞D（y）

K答案UAD

（解析》因。，仇。既成等差數(shù)列也成等比數(shù)列，則有＜"=守'①

b1=ac,②

將①代入②中，化簡整理得，（a—c）2=0,則有a=c,

回代入①，可得b=a,由分布列可知a+Z?+c=l,故得，a=b=c=-.

3

依題意，E（X）=§（X］+々+W），

八1/X|+X＞x+X.羽+%3\1/\

石⑺=§（七^+吃3」+==§a+%+%）,

故E（y）=E（X）,故A正確，B錯誤；

=|{[x-E(X)]222

D(X)1+[X2-E(X)]+[X3-E(X)]}

1121212

=3{[七一](項+工2+尤3)]+[々一](%+工2+%3)]+以一§(項+%2+尤3)]}

———[(2再—%2—當了+(2%2-%—*3I+(2/一入2-F]，

而。（丫）二|｛［與2-E（r）］2+［三產(chǎn)-￡（r）］2+［受產(chǎn)—￡（7）］2｝

=g｛［X+々+%3）/+_；（石+/+鼻）］2+［石一:（%+/十,）『｝

=X—[(2%—%2—X])2+(2羽-X]一%)~+QX]—X,—)]

可得，D(X)=4D(Y)>0,則得￡>(X)>D(F),故D正確，C錯誤.

故選：AD.

11.微分方程(由導函數(shù)求原函數(shù))是微積分的重要分支，例如根據(jù)導函數(shù)了=也，逆

X

用復合函數(shù)的求導法則得y=(ln%)2+a(4為常數(shù)).已知函數(shù)/(%)的導函數(shù)/'(%)滿

足療(力+/(力=]竺，且〃e)=L則下列說法正確的有()

xe

A.r(e)=O

B.若g(x)=w(x),則g，(x)=]g|L+c](C為常數(shù))

c.%=e是函數(shù)/(尤)的極值點

D.函數(shù)/(%)在(0,+“)上單調遞減

(答案》ABD

Ini*11

K解析』對于A,由靖(x)+/(x)=上，當％=e時，夕(e)+/(e)=—,而〃e)=—,

xee

則/'(e)=0,A正確；

對于B,g'(x)=V'(x)+/(X)=-----,且(C為常數(shù))，B正確;

X

對于CD,由選項B知，j/(x)=Q11；)+c,又/(e)=,，則c=；,

y(x)=an；+l,求導得/(x)——"1；[1)2wo,當且僅當％=e時取等號,

因此函數(shù)/(X)在(0,+8)上單調遞減，無極值點，C錯誤，D正確.

故選：ABD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.設隨機變量X服從正態(tài)分布N(5,4),且尸(X<2)=0.1,則P(2WXW8)=

K答案》0.8

K解析工因為X服從正態(tài)分布N(5,cr2),且P(X<2)=0.1,

則4=5,且----=5,

2

所以尸（2VXV8）=1—2尸（X<2）=0.8.

故［［答案》為：0.8.

13.用模型、=。工h擬合一組數(shù)據(jù)，令z=lny,將模型轉化為經(jīng)驗回歸方程

z=0.1x+3,則。?左=.

k答案HO.le3

K解析U因為>=兩邊取自然對數(shù)可得Iny=ln（ad）=Ax+Ina,

令z=lny,可得z=b;+lna,又z=0.1x+3,

所以左=0.1,lna=3,所以a=e3,

所以。?左=0.1c3■

故［答案》為：O.le3

14.拋擲一校質地均勻的正四面體骰子（四個面上分別標有數(shù)字1,2,3,4）,底面的點數(shù)

為1記為事件A,拋擲〃次后事件A發(fā)生奇數(shù)次的概率記為匕，則《=,鳥024=

11（\V025

K答案』①一②上―上

42\1）

K解析》拋擲1次后事件A發(fā)生奇數(shù)次，只能是發(fā)生1次，6=%

拋擲〃次后事件A發(fā)生1,3,5,7,

拋擲n次后事件A發(fā)生奇數(shù)次的概率記為P.

當〃為偶數(shù)時，

當〃為奇數(shù)時'-叱上「+叱偌「+端信「++*「

構造二項式+

n-3n

33

+CnI++c

令X=1,1=

3+

+cn

兩式做差得1-2C；

可得*

因為〃=2024,

1（XV025

所以

故（答案X為：--[-?025.

42\1）

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.己知函數(shù)/（x）=l+alnx-x（aeR）.

（1）當a=2時，求/（%）的極值；

（2）討論“X）的單調性.

解：（1）當4=2時，則/（x）=l+21nA-—x,

92—x

可知八大）的定義域為（o,+“），且/（X）=——1=--，

令/々x）＞。，解得0＜光＜2；

令/'（x）＜0,解得%＞2；

可知了（力在（0,2）內單調遞增，在（2,+8）內單調遞減,

所以/（九）的極大值為/（2）=21n2—l,無極小值.

（2）由題意可知：“X）的定義域為（0,+"）,

且廣（力=金—1=/,

XX

若aWO,則/'（力=匕＜0,可知“力在（0,+“）內單調遞減;

若a>0,令解得0<x<a；

令/'(x)<0,解得x>。；

可知/(%)在(0,。)內單調遞增，在(a,+8)內單調遞減；

綜上所述：若aWO,/(力在(0,+。)內單調遞減；

若a>0,〃龍)在(O,a)內單調遞增，在(。,內)內單調遞減.

16.小華同學設置手機密碼的六位數(shù)字時，準備將兀(兀笈3.14159)的前6位數(shù)字(1,

1,3,4,5,9)按照一定的順序進行設置.

(1)記事件A：相同的數(shù)字相鄰，求事件A發(fā)生的概率P(A)；

(2)記事件B：相同的數(shù)字不相鄰，求事件8發(fā)生的概率P(3)；

(3)記事件C：相同數(shù)字不相鄰，且相同數(shù)字之間只有一個數(shù)字，求在事件8發(fā)生的條

件下，事件。發(fā)生的概率可。⑻.

解：(1)依題意，在事件A中，要求兩個1需相鄰，故只需要將其看成一個元素與另外四個

數(shù)字全排即可，

A51

有A：=120種方法，由古典概型概率公式可得：P(A)=--^=-;

C6A43

(2)在事件8中，要求兩個1不能相鄰，故只需先將這兩個1對另外4個數(shù)字產(chǎn)生5個

空中進行插空，

再對這四個數(shù)字進行全排即可，有C；A：種方法，由古典概型概率公式可得：

*二

C閨3

(3)在事件。中，要求相同數(shù)字不相鄰，且相同數(shù)字之間只有一個數(shù)字，

故只需先在3,4,5,9中選出1個數(shù)字放在兩個1之間，再看成1個元素，與另外3個元

素共4個元素全排即可，

4

有C：A：種方法，由古典概型概率公式可得:叱）=第

16A415

4

由條件概率公式可得，P(C|B)=^^=^-=|.

1(JD)45

3

17.如圖，在正方體ABC。-4耳￡。的頂點處各掛一盞燈籠，每秒有且只有一個頂點處

的燈籠被點亮，下一秒被點亮的燈籠必須與上一個頂點相鄰(在同一條棱上)，且每個相鄰

頂點的燈籠被點亮的概率相同，下一盞燈籠被點亮上一盞自動熄滅.若初始亮燈點（〃=0）

位于點A處，第1n秒亮燈點在底面ABCD上的概率為P?.

（1）求<和鳥的值;

（2）推測月，與匕+i的關系，并求出月,的表達式.

解：（1）依題意第一秒燈點等可能的在頂點8、。、&處，其中在底面ABCD上的頂點為

2

B>D,所以片二§,

2

第一秒燈點在頂點為3、。處（概率為《二1）,第二秒燈點在底面ABC。上的概率為

第一秒燈點在頂點為A處（概率為第二秒燈點在底面ABCD上的概率為

3、"9

415

所以第二秒燈點在底面ABC。上的概率《=§+§=§；

（2）第九秒亮燈點在底面A6CD上的概率為匕，

在底面A與G。上的概率為1-匕，

2111

所以展井

所以匕M—匕—所以］匕—1］是以公比為:的等比數(shù)列，

所以則匕=T+X￡T

18.己知函數(shù)/（1）=*—ae*（。22,e是自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）設直線/為曲線y=/（x）的切線，記直線/的斜率的最大值為g（a）,求g（a）的最大

值;

(2)已知In2ao.693,設時=]+=r(x),xe1n〉ln[],,N="y=r(x),xe(ln[,ln]

求證：NQM.

解：⑴由題意可知：〃尤)的定義域為R,且/'(x)=2x—ae，,

令=則/?(%)的定義域為R,B-h'(x)=2-aex,

因為a?2,令〃(x)>0,解得x<ln—；令〃(x)<0,解得x>ln—；

aa

可知/z(x)在內單調遞增，在(lnm,+co]內單調遞減，

則/z(x)的最大值為/z1ln2]=21n2—2=-21na+21n2—2,

可知g(。)=-21n〃十21n2—2,〃22,且g在[2,+oo)內單調遞減，

所以g(〃)的最大值為g(2)=-2.

124

(2)由已知a22,則In——<In—vln—,

aaa

由(1)可知：/'(x)在In^JnZ內單調遞增，

VaaJ

且r(ln-V]=_41na」,“l(fā)n3=_21na+21n2_2,

Va)ava)

可知M=1-41n〃-L-21nQ+21n2-2)；

又因為了’(%)在(ln2,ln3]內單調遞減，且廣伉與二-21n〃+41n2-4,

\aaJ\a)

可知N=(—21na+41n2—4,—21na+21n2—2)；

目|-4Ina—|f-2ln〃+41n2-4)=—2Inci-----4In2+4,

a)a

[<>-|io

令/(a)=-21na------41n2+4,a22,貝UF'(a\=-----F—=——=<。，

aaaa

7

可知尸(a)在[2,+(功內單調遞減，則F(a)<F(2)=--61n2?-0.658<0,

即一4Ina—v—2Ina+4In2—4,

a

所以NUM.

19.某省高考自2024年起數(shù)學考試多選題（題號9~11）的計分標準是：每道題滿分6分，

全部選對得6分，部分選對得部分分（若某道題正確選項為兩個，漏選一個正確選項得3

分；若某道題正確選項為三個，漏選一個正確選項得4分，漏選兩個正確選項得2分），錯

選或不選得0分.每道多選題共4個選項，正確R答案》是選兩項或選三項.統(tǒng)計規(guī)律顯

示：多選題正確k答案』是“選兩項”的概率是沒有同學選四項.甲、乙兩個同學參加

了考前模擬測試，己知兩同學第9題選的全對，第10~11題還不確定對錯.

（1）假設甲同學第10題隨機選了兩個選項，第