2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期初考試卷（附答案解析）

2025屆吉大附中實(shí)驗(yàn)高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期初考試卷

考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要

求的.

1若集合N4忑43},5={x1x=3〃T/eN},則"8=（）

A.0B.{3,6,9}C.{2,5,8}D.{-1,2,5,8）

2.上海百聯(lián)集團(tuán)對旗下若干門店的營業(yè)額與三個(gè)影響因素分別作了相關(guān)性分析，繪制了如下的散點(diǎn)圖,

則下述大小關(guān)系正確的為（）.

相關(guān)系數(shù)〃*°相關(guān)系數(shù)rzx°相關(guān)系數(shù)/3x

A.rx>r2>r3B.4〉與〉八C.八〉心〉馬D.4〉々〉勺

3.已知。>0,則“a>3”是“廢〉/”的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.a-2,）5展開式中％項(xiàng)的系數(shù)為（）

孫

A.80B.-80C.40D.-40

5.已知。>0,且awl,則函數(shù)y=log〃[x+L]的圖象一定經(jīng)過（）

A.一、二象限B.一、三象限C.二、四象限D(zhuǎn).三、四象限

6.下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)J=/（2x—1）的圖象關(guān)于直線x=l對稱的是（）

A.y=/（-2X-1）B.y=/（-2x+l）c.y=/（-2X+3）D.y=2-/（2X-1）

7.我校某班舉辦新年聯(lián)歡班會(huì)，抽獎(jiǎng)項(xiàng)目設(shè)置了特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)、鼓勵(lì)獎(jiǎng)共五種獎(jiǎng)項(xiàng).

甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一張獎(jiǎng)票，開獎(jiǎng)后發(fā)現(xiàn)這5人的獎(jiǎng)項(xiàng)都不相同.甲說：“我不是鼓勵(lì)獎(jiǎng)”；

乙說：“我不是特等獎(jiǎng)”；丙說：“我的獎(jiǎng)沒有戊好但是比丁的強(qiáng)”.根據(jù)以上信息，這5人的獎(jiǎng)項(xiàng)的所有可

能的種數(shù)是（）

A.12B.13C.24D.26

8.已知實(shí)數(shù)a,be（l,+s）,且2（a+b）=e2"+21nb+l,e為自然對數(shù)的底數(shù)，則（）

A.\<b<aB.a<b<2aC.2a<b<eaD.ea<b<e2a

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.某計(jì)算機(jī)程序每運(yùn)行一次都隨機(jī)出現(xiàn)一個(gè)十位二進(jìn)制數(shù)/=…即）（例如若

a1,tz3,a5,tz6,?10=0,a2,tz4,tz7,a8,o9=1,則/=0101001110）,已知心（左=1,2,…，10）出現(xiàn)“0”的概

13

率為“出現(xiàn)“1”的概率為W，記萬=4+%+4+%+。10,則當(dāng)程序運(yùn)行一次時(shí)（）

............3

A.X服從二項(xiàng)分布B.P{X=1）=-------

1024

D.0(X)=T

C.E(X)=z

10.暑假結(jié)束后，為了解假期中學(xué)生鍛煉身體情況，學(xué)生處對所有在校學(xué)生做問卷調(diào)查，并隨機(jī)抽取了

180人的調(diào)查問卷，其中男生比女生少20人，并將調(diào)查結(jié)果繪制得到等高堆積條形圖.已知

2n(ad-兒丫

,(Q+b)(c+d)(Q+0(b+d)其中n=a+b+c+d,附:

a0.10.050.010.0050001

2.7063.84166357.87910.828

Xa

在被調(diào)查者中，下列說法正確的是（）

1.0

口不經(jīng)常鍛煉

0.8

口經(jīng)常鍛煉

0.6

4

O.

2

O.O

生

男

A.男生中不經(jīng)常鍛煉的人數(shù)比女生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)多

B.男生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)比女生中經(jīng)常鍛煉的人多8人

C.經(jīng)常鍛煉者中男生的頻率小于不經(jīng)常鍛煉者中男生的頻率的2倍

D.根據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為假期是否經(jīng)常鍛煉與性別有關(guān)

2

11.已知三次函數(shù)/dd+bf+CX+d有三個(gè)不同的零點(diǎn)西,》2，工3（芭</<七），若函數(shù)

g（x）=/（x）-1也有三個(gè)不同的零點(diǎn)M2/3&</2<4），則下列等式或不等式一定成立的有（）

2

A,Z）<3cB.t3>x3c.xl+x2+x3=tl+t2+13D.X1//_/心與=]

三、填空題：本題共3小題，每小題.5分，共15分.

12.在本次考試的8道單選題中，你前桌的小張同學(xué)對其中5道題有思路，3道題完全沒有思路，假設(shè)有

3

思路的題能做對的概率為一，沒有思路的題僅能隨機(jī)猜，你恰好看到了他一道題的答案，這個(gè)答案是正

4

確的概率為.（誠信考試，誠實(shí)做人，拒絕抄襲，從我做起）

3x+l

13.已知正數(shù)x,）滿足x+v=l,則----的最小值為.

町

14.在一個(gè)3x3的“乘法幻方”中，每個(gè)空格中都填上一個(gè)正數(shù)，使得每一行、每一列以及每條對角線的

各數(shù)之積均相等.則x=.

5

4X

1

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.設(shè)數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和為邑，已知q=2,5?+1=4??+2.

（1）設(shè)〃=%+「2%,證明：數(shù)列也｝是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列｛學(xué)｝的前〃項(xiàng)和7；.

16.在剛剛結(jié)束的巴黎奧運(yùn)會(huì)中，國球再創(chuàng)輝煌，包攬全部5枚金牌，其中最驚險(xiǎn)激烈的就是男單1/4

決賽，中國選手樊振東對戰(zhàn)日本選手張本智和.比賽采取7局4勝制，每局為11分制，每贏一球得一分.

（1）樊振東首局失利，第二局比賽雙方打到8:8平，此時(shí)張本智和連續(xù)發(fā)球2次，然后樊振東連續(xù)發(fā)

球2次，根據(jù)以往比賽結(jié)果統(tǒng)計(jì)，樊振東發(fā)球時(shí)他自己得分的概率為06張本智和發(fā)球時(shí)樊振東得分的

概率為0.5,各球的結(jié)果相互獨(dú)立，遺憾的是該局比賽樊振東最終以9：11落敗，求其以該比分落敗的概

率；

（2）在本場比賽中，張本智和先以2:0領(lǐng)先，根據(jù)以往比賽結(jié)果統(tǒng)計(jì)，在后續(xù)的每局比賽中樊振東獲

勝的概率為|,張本智和獲勝的概率為一，且每局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，

33

3

(i)假設(shè)兩人又進(jìn)行了X局后比賽結(jié)束，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

(ii)最后樊振東以4:3拿下了本場比賽，成功晉級半決賽，有媒體報(bào)道樊振東從0:2到4:3實(shí)現(xiàn)了

“驚天逆轉(zhuǎn)”，同學(xué)們也認(rèn)同這個(gè)說法么？請結(jié)合本題中的數(shù)據(jù)簡要說明你的理由.

17.在如圖①所示的平面圖形中，四邊形為菱形，現(xiàn)沿ZC進(jìn)行翻折，使得48,平面/CDE,

過點(diǎn)、E作EF//4B,且所=工48,連接FD,FB,BD,所得圖形如圖②所示，其中G為線段8。的

2

中點(diǎn)，連接尸G.

①②

(1)求證：FGL平面48。；

(2)若ZC=/￡>=2,直線尸G與平面BCD所成角的正弦值為口，求平面48C與平面BED所成

7

角的余弦值.

18.已知函數(shù)/(x)=alnx+4，aeR.

X

⑴若a=2e?,求/(x)的極小值；⑵若過原點(diǎn)可以作兩條直線與曲線J=/(x)相切，求。的取值

范圍.

J1-.2

19.已知雙曲線c：三—2T=1(?！祇,6〉0)的兩條漸近線分別為4：y二=2%和/2：^=-2%，右焦點(diǎn)坐

a"b"

標(biāo)為(君,0),。為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線歹=4x-6與雙曲線的右支交于點(diǎn)4，民(同在片的上方)，過點(diǎn)4，片分別作乙，的平行

4

線，交于點(diǎn)片，過點(diǎn)片且斜率為4的直線與雙曲線交于點(diǎn)%（4在鳥的上方），再過點(diǎn)42,%分別

作修4的平行線，交于點(diǎn)E，…，這樣一直操作下去，可以得到一列點(diǎn)右,￡,…，弓,〃23,〃eN*.

（i）證明：與《，…，匕共線；

（ii）判斷用2一山與『0功N*）是否為定值，若是定值求出定值；若不是定值，說明理

由.

2025屆吉大附中實(shí)驗(yàn)高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期初考試卷

考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要

求的.

1.若集合“4|G3},B={x\x=3n-l,n^}t則.5=（）

A.0B.{3,6,9}C.{2,5,8}D.{-1,2,5,8）

【答案】C

【解析】

【分析】求得集合/=[0,9],可求得NcB.

【詳解】依題得2=卜|、&<3}=[0,9],則/cB={2,5,8}.

故選：C.

2.上海百聯(lián)集團(tuán)對旗下若干門店的營業(yè)額與三個(gè)影響因素分別作了相關(guān)性分析，繪制了如下的散點(diǎn)圖，

則下述大小關(guān)系正確的為（）.

.：??.…

??????????

----?----------------------A-------------------?-.--?------>__________?__?_???

相關(guān)系數(shù)〃"O相關(guān)系數(shù)女X口相關(guān)系數(shù)『3"

A.丫\>丫2>丫3B.r2>r3>rxC.rx>r3>r2D.r3>r2>rx

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖判斷兩變量的線性相關(guān)性，再根據(jù)線性相關(guān)性與相關(guān)系數(shù)的關(guān)系判斷即可.

5

【詳解】由散點(diǎn)圖可知，圖一兩個(gè)變量成正相關(guān)，且線性相關(guān)性較強(qiáng)，故〃〉0,

圖二、圖三兩個(gè)變量都成負(fù)相關(guān)，且圖二的線性相關(guān)性更強(qiáng)，

故々＜0,々＜0，,|＞同，故0＞與〉馬，所以V〉與〉弓.

故選：C.

3.已知。＞0,則“。＞3”是“/＞/”的()

A,充分不必要條件B.必要不充分條件C充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】結(jié)合不等式的性質(zhì)分充分性、必要性兩方面進(jìn)行說明即可求解.

【詳解】若。＞3,則函數(shù)y="單調(diào)遞增，所以廢〉/,充分性成立；

13

2

當(dāng)a時(shí)，Q^|=_L＞1=Q^|,滿足4〃〉/,但。=；＜3,不滿足必要性；

所以“a＞3”是“優(yōu)〉/”的充分不必要條件.

故選：A

4.住二婆展開式中x項(xiàng)的系數(shù)為()

町

A.80B.-80C.40D.-40

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理，寫出其通項(xiàng)即可求特定項(xiàng)的系數(shù)

【詳解】(x—2了丫的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為％=C/5-?(_2城=(-2)'cy-y,

令左=3,得q=—8C；X2y3=_8(h；2y3,

所以—的展開式中x的系數(shù)為一80.

孫

故選：B

5.已知a＞0,且awl,則函數(shù)y=logJx+[]的圖象一定經(jīng)過()

6

A.一、二象限B.一、三象限C.二、四象限D(zhuǎn).三、四象限

【答案】D

【解析】

【分析】由函數(shù)了=1。8〃卜+：］過（0,—1）點(diǎn)，分類可解.

【詳解】當(dāng)x=0時(shí)，y=log-=-l,

aa

則當(dāng)0＜。＜1時(shí)，函數(shù)圖象過二、三、四象限；

所以函數(shù)y=log.+的圖象一定經(jīng)過三、四象限.

故選：D

6.下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)y=/（2x—1）的圖象關(guān)于直線％=1對稱的是（）

A.y=/（-2x-l）B,y=/（-2x+l）

C.j=/（-2X+3）D.y=2-f（2x-l）

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)直線對稱的性質(zhì)，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】設(shè)函數(shù)歹=/（2x—1）的圖象為曲線G，該曲線關(guān)于x=l對稱的曲線為

7

設(shè)曲線G上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(%,%),則有為=/(2%—1)，

該點(diǎn)(5,%；)關(guān)于直線X=1對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(xj),

1=^+￡fx-2-X,、

因此有<2°，代入為=/(2x°—1)中，

得了=/[2(2-x)-l]ny=/(3-2x),

故選：C

7.我校某班舉辦新年聯(lián)歡班會(huì)，抽獎(jiǎng)項(xiàng)目設(shè)置了特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)、鼓勵(lì)獎(jiǎng)共五種獎(jiǎng)項(xiàng).

甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一張獎(jiǎng)票，開獎(jiǎng)后發(fā)現(xiàn)這5人的獎(jiǎng)項(xiàng)都不相同.甲說：“我不是鼓勵(lì)獎(jiǎng)”；

乙說：“我不是特等獎(jiǎng)”；丙說：“我的獎(jiǎng)沒有戊好但是比丁的強(qiáng)”.根據(jù)以上信息，這5人的獎(jiǎng)項(xiàng)的所有可

能的種數(shù)是()

A.12B.13C.24D.26

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，按甲是否是特等獎(jiǎng)分類，再結(jié)合丙的情況列式計(jì)算即可.

【詳解】甲是特等獎(jiǎng)，乙有4種情況，則丙、丁、戊有1種情況，

所以有4x1=4種；

甲不是特等獎(jiǎng)，則甲有3種情況，乙有3種情況，

而丙、丁、戊有1種情況，所以有3x3xl=9種；

所以5人的獎(jiǎng)項(xiàng)的所有可能的種數(shù)是4+9=13.

故選：B.

8.已知實(shí)數(shù)a,be(l,+s),且2(a+b)=e2〃+21nb+l,e為自然對數(shù)的底數(shù)，貝!]()

A.\<b<aB.a<b<2aC.2a<b<eaD.ea<b<e2a

【答案】D

【解析】

【分析】化簡條件后根據(jù)形式構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性判斷不等式

【詳解】因?yàn)?(a+b)=e2°+21nb+l,所以e2a—2a—1=2(b—Inb—1)=2小瓜'—Inb—1),

8

函數(shù)/(%)=d一4一1=>/'(%)=百一1>0,/(%)在(0,+00)上單調(diào)遞增,且/⑼=0,因?yàn)?/p>

3>lnlnb>0=/(lnZ))>0

所以/(2a)=2/(lnb)〉/(lnb),所以2a>lnb,即bve?。,

又e??！?a—l〉2(e"—a—1),所以/(2a)=2/(lnb)〉2/(a),所以a<lnb,即b<e"，綜上，

e"<b<e2a.

故選：D

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.某計(jì)算機(jī)程序每運(yùn)行一次都隨機(jī)出現(xiàn)一個(gè)十位二進(jìn)制數(shù)/=%出生…％o(例如若

av,a3,a5,a6,aw=0,a2,a4,a7,a8,a9=1,則/=0101001110),已知a“左=1,2,…,10)出現(xiàn)“0”的概

率為:，出現(xiàn)“1”的概率為^X=a2+a4+a6+a,+al0,則當(dāng)程序運(yùn)行一次時(shí)()

A.X服從二項(xiàng)分布B.P(X=1)=^—C.E(X)=—D.￡>(X)=—

102444

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的定義可判斷A的正誤，利用二項(xiàng)分布可判斷B的正誤，利用公式計(jì)算出X的

期望和方差后可判斷CD的正誤.

【詳解】由二進(jìn)制數(shù)/的特點(diǎn)知，每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字只能填0,1且每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字互不影響，

故X中1出現(xiàn)次數(shù)的可能取值有0』,2,3,4,5,則X可能取值情況與之相同，

由二項(xiàng)分布的定義可得：5,11,故A正確.

3

故尸(X=l)=C；x1x旦，故B錯(cuò)誤;

1024

3is3115

所以￡(X)=5xz=。(X)=5x[X]二話?，故C正確，D錯(cuò)誤.

故選：AC.

10.暑假結(jié)束后，為了解假期中學(xué)生鍛煉身體情況，學(xué)生處對所有在校學(xué)生做問卷調(diào)查，并隨機(jī)抽取了

9

180人的調(diào)查問卷，其中男生比女生少20人，并將調(diào)查結(jié)果繪制得到等高堆積條形圖.已知

男生女生

A.男生中不經(jīng)常鍛煉的人數(shù)比女生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)多

B.男生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)比女生中經(jīng)常鍛煉的人多8人

C.經(jīng)常鍛煉者中男生的頻率小于不經(jīng)常鍛煉者中男生的頻率的2倍

D.根據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為假期是否經(jīng)常鍛煉與性別有關(guān)

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)男生比女生少20人，建立等式求出男生、女生的人數(shù)，建立列聯(lián)表，利用列聯(lián)表中的信息

解決ABC,利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來解決D選項(xiàng).

【詳解】設(shè)男生人數(shù)為x,則女生人數(shù)為x+20,

由題得x+x+20=180,

解得x=80,即在被調(diào)查者中，男、女生人數(shù)為80,100,可得到如下2x2列聯(lián)表，

鍛煉情況

性別合計(jì)

經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉

男483280

女4060100

合計(jì)8892180

10

對于A：由表可知，A顯然錯(cuò)誤,

對于B：男生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)比女生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)多48-40=8,B正確;

對于C：在經(jīng)常鍛煉者中是男生的頻率為,。0.5455,在不經(jīng)常鍛煉者中是男生的頻率為

88

0.5455

0.3478,。1.6,C錯(cuò)誤;

920.3478

對于D：零假設(shè)玄°：假設(shè)假設(shè)是否經(jīng)常鍛煉與性別無關(guān),

2

則Z=180義(48義60—32義40廠-7H5>6635=x根據(jù)小概率值x=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們

80x100x88x92001

推斷H。不成立，

即認(rèn)為假期是否經(jīng)常鍛煉與性別有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤概率不大于0.01,D正確.

故選：BD.

11.已知三次函數(shù)/(工卜/+加^+次+4有三個(gè)不同的零點(diǎn)西,馬,%3(西＜/＜七)，若函數(shù)

g(x)=/(x)—1也有三個(gè)不同的零點(diǎn)4，/2，/3曰＜/2＜/3)，則下列等式或不等式一定成立的有()

2

A.b<3cB.t3>x3

C.再++%3=4+%2+，3D.七》2》3-t/2t3=1

【答案】BC

【解析】

【分析】對于A,由題意可得/'(x)=0有兩個(gè)不同的實(shí)根，則A〉。，從而可進(jìn)行判斷，對于B,根據(jù)

圖象分析判斷，對于CD,由零點(diǎn)的定義結(jié)合方程化簡變形進(jìn)行判斷.

【詳解】f^x)=3x2+2bx+c,因?yàn)樵瘮?shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則/'(x)=0有兩個(gè)不同的實(shí)根,

BP3x2+2bx+c=0>則3=4。一12c>0,即2>3c，所以A錯(cuò)誤；

因?yàn)槿魏瘮?shù)/(x)=x3+bx2+cx+d有三個(gè)不同的零點(diǎn)西廣2，七(七</<七)，

所以

3

x+bx~+ex+<7=(x-Xj)(x-x2)(x-x3)

2XXXXXXX

二X一(再+x2+x3)x+(再%2+23+l3卜一\23-0，

11

所以匹++工3=~b,XxX2X3=-d,

同理4+12+f3=-b,t&h=1—d,

所以再+%2+、3=4+/2+/3，匹％2%3一y2%3=一1，故C正確，D錯(cuò)誤;

由/(X)的圖象與直線y=1的交點(diǎn)可知G〉》3，B正確.

三、填空題：本題共3小題，每小題.5分，共15分.

12.在本次考試的8道單選題中，你前桌的小張同學(xué)對其中5道題有思路，3道題完全沒有思路，假設(shè)有

3

思路的題能做對的概率為一，沒有思路的題僅能隨機(jī)猜，你恰好看到了他一道題的答案，這個(gè)答案是正

4

確的概率為.(誠信考試，誠實(shí)做人，拒絕抄襲，從我做起)

9

【答案】—

16

【解析】

【分析】利用全概率公式求解即可.

【詳解】設(shè)事件A表示“恰好看到這道題小張的答案是正確的”，

設(shè)事件8表示“恰好看到的這道題小張有思路”，則恰好看到了小張一道題的答案，

-5331189

這個(gè)答案是正確的概率為尸(Z)=P(B)P(A|8)+P(B)P(A|5)=-x-+-x

9

故答案為：—

16

?3x+l

13.已知正數(shù)x,了滿足x+y=l,則--孫---的最小值為.

【答案】9

【解析】

【分析】利用“1”的靈活運(yùn)用，結(jié)合基本不等式即得.

【詳解】因?yàn)閤+y=l,貝!]

12

3x+l3x+l13x+x+y/、4x+y4x+y4x..y_4xy

-----二------xl=-----------x(x+-----乙+----工=——+1+4+—=5+—F—

xyxyxyyxyxyx

4xv

因?yàn)閤>0,V>0,所以一〉0,二〉0,

yx

,--------4x_y

則原式=5+如+上25+2,隹x^=9,當(dāng)|J-x即》=』/=2時(shí)，取等號(hào).

yxyyx33

-[x+y=l1

3x+l

所以-----的最小值為9.

町

故答案為:9.

14.在一個(gè)3x3的“乘法幻方”中，每個(gè)空格中都填上一個(gè)正數(shù)，使得每一行、每一列以及每條對角線的

各數(shù)之積均相等.則x=.

5

4X

I

【答案】10

【解析】

【分析】根據(jù)題中的條件設(shè)出每一行、每一列以及每條對角線的各數(shù)之積，列出等式求解x即可.

【詳解】1?在一個(gè)乘法幻方中，每一行數(shù)之積、每一列數(shù)之積、對角線上的數(shù)之積都相等，

設(shè)積為S,

則乘法幻方可表示為如圖所示:

SX

5

X~5

S

4X

4x

S

20I20

13

,,，“小sX

故對角線一XXX—=5,

205

解得：x=10,經(jīng)驗(yàn)證滿足題意.

故答案為：10.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”，已知q=2,Sn+l=4an+2.

(1)設(shè)4=a”+/2%,證明：數(shù)列也｝是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列｛學(xué)｝的前〃項(xiàng)和7；.

【答案】(1)證明見解析(2)T=…+1)

"2

【解析】

【分析】(1)利用%與S“間的關(guān)系，得到%+]=4%-4%_](〃22),再構(gòu)造成

%+—2%=2(%-即可證明結(jié)果.

(2)利用(1)中結(jié)果得到數(shù)列〈號(hào)，是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和

公式即可求出結(jié)果.

【小問1詳解】

由q=2及Sn+i=4%+2,

得a1-\-a2=S2=4/+2,a2=8,=a2—2al-4.

"以=4%+2,①

以=4-+2,n>2?

由①一②，得%+1=4%-4%_1(〃22),

，%+1-2%=2-2??_1)(?>2).

ba

n=n+i~2%，,bn=2bl(?>2),

故數(shù)列抄“｝是首項(xiàng)4=4,公比為2的等比數(shù)列.

【小問2詳解】

由⑴知+「2%=42T=2"M,

14

.??4-繪=1,又生=1,

22〃2

故數(shù)列F是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列，所以才=1+（〃-1）=〃.

+1)

T=1+2+3+......+n=

n-2~

16.在剛剛結(jié)束的巴黎奧運(yùn)會(huì)中，國球再創(chuàng)輝煌，包攬全部5枚金牌，其中最驚險(xiǎn)激烈的就是男單1/4

決賽，中國選手樊振東對戰(zhàn)日本選手張本智和.比賽采取7局4勝制，每局為11分制，每贏一球得一分.

（1）樊振東首局失利，第二局比賽雙方打到8:8平，此時(shí)張本智和連續(xù)發(fā)球2次，然后樊振東連續(xù)發(fā)

球2次，根據(jù)以往比賽結(jié)果統(tǒng)計(jì)，樊振東發(fā)球時(shí)他自己得分的概率為0.6.張本智和發(fā)球時(shí)樊振東得分的

概率為0.5,各球的結(jié)果相互獨(dú)立，遺憾的是該局比賽樊振東最終以9：11落敗，求其以該比分落敗的概

率；

（2）在本場比賽中，張本智和先以2:0領(lǐng)先，根據(jù)以往比賽結(jié)果統(tǒng)計(jì)，在后續(xù)的每局比賽中樊振東獲

勝的概率為|,張本智和獲勝的概率為一，且每局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，

（i）假設(shè)兩人又進(jìn)行了X局后比賽結(jié)束，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

（ii）最后樊振東以4:3拿下了本場比賽，成功晉級半決賽，有媒體報(bào)道樊振東從0:2到4:3實(shí)現(xiàn)了

“驚天逆轉(zhuǎn)”，同學(xué)們也認(rèn)同這個(gè)說法么？請結(jié)合本題中的數(shù)據(jù)簡要說明你的理由.

【答案】（1）0.14（2）（i）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為E（X）=又1.（ii）答案見解析.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用相互獨(dú)立事件、互斥事件的概率公式計(jì)算即可.

（2）（i）求出X的所有可能值及各個(gè)值對應(yīng)的概率，列出分布列并求出數(shù)學(xué)期望即可；（ii）求出張

本智和勝的概率、樊振東以4:3贏得比賽的概率即可得解.

【小問1詳解】

在比分為8:8后張本智和先發(fā)球的情況下，樊正東以9:11落敗的情況分三種：

第一種：后四球樊正東依次為勝敗敗敗,概率為＜=0.5x0.5x0.4x0.4=0.04,

第二種：后四球樊正東依次為敗勝敗敗,概率為月=0.5x0.5x0.4x0.4=0.04,

第三種：后四球樊正東依次為敗敗勝敗,概率為月=0.5x0.5x0.6x0.4=0.06,

所以所求事件的概率為：＜+5+月=0.14.

15

【小問2詳解】

(i)隨機(jī)變量X的可能取值為2,3,4,5,

…C、11127

P(X—2)——x-=-二---

339243

=3)=C*x-x-x,

233327243

P(X=4)=C；x-x(-)2x-+(-)4=—=—

3333381243，

P(X=5)=C\x-xfyx-+C^xfyx-x-=,

43334333243

所以X的分布列為

X2345

27368496

p

243243243243

數(shù)學(xué)期望為E(X)=2x二+3x組+4x里+5義空=型.

24324324324381

(ii)由⑴得，

張本智和勝的概率為Z〃+-^-+C；x—x(―)2x—+C；x—x(―)3x—=,

24324333334333243

樊正東勝的概率為(-)4+C：X(2)3X-X-=史士竺=—,

34333243243

且張本智和勝的概率大于樊正東4:3勝的概率，

又因?yàn)樽詈蠓龞|以4:3拿下本場比賽，且獲勝的概率為毀，

所以可以這么說樊正東從0:2到4:3實(shí)現(xiàn)“驚天逆轉(zhuǎn)”.

17.在如圖①所示的平面圖形中，四邊形為菱形，現(xiàn)沿ZC進(jìn)行翻折，使得48,平面/CDE,

過點(diǎn)、E作EF//4B,且所=l48,連接FD,FB,BD,所得圖形如圖②所示，其中G為線段8。的

2

(1)求證：FGL平面48。;

16

（2）若ZC=Z￡>=2,直線FG與平面8c。所成角的正弦值為2,求平面N8C與平面BED所成

7

角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）旦

4

【解析】

【分析】（1）連接EC,交4D于點(diǎn)、H,連接Gff,由題意得AB1EH,由線面垂直的

判定定理可得EH，平面由題意可得四邊形ENG//為平行四邊形，可得FG//EH,繼而即可

證明.

（2）取￡￡>的中點(diǎn)為K,連接NK,由題意，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以48,ZC,ZK分別為x,y,z軸建立

空間直角坐標(biāo)系，設(shè)Z8=2a（a〉0）,由直線RG與平面8。所成角的正弦值為也，計(jì)算可得。=1,

7

再利用法向量及兩平面夾角的余弦公式即可求解.

【小問1詳解】

連接EC,交4D于點(diǎn)H,連接G/f,

???四邊形為菱形，

EHLAD,

Q481.平面/CD￡,

又平面/CD￡,

AB1EH,

又QABIAD=A,

48,40u平面ZAO,

EH±平面ABD,

QG,笈分別為線段3D,EC的中點(diǎn)，

GH/1AB,且=,

2

又?：EFIIAB,且

2

:.EF//GH,且EF=GH,

故四邊形EEG//為平行四邊形,

17

:.FG//EH,

.?.尸G，平面4ao.

【小問2詳解】

在菱形中，?.?ZC=4D,

.?.△/CD和VZQE都是正三角形,

取￡￡)的中點(diǎn)為K,連接ZK,

AK1AC,

又Q48J_平面/CD￡,

ZC,ZKu平面ZCO￡,

ABLAC,ABLAK,

即AB,AC,AK兩兩互相垂直,

如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以48,ZC,ZK分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)A8=2a(a>0),已知/C=AD=2,

C(0,2,0),5(2a,0,0),D(0,l,8,F(a,f回G(a,]

.^3百、

..EG=(O,5,一--)>

BC=(-2a,2,0),CO=(0,-1,,

設(shè)平面BCD的法向量為m=(x9y9z)，

m-BC=-lax+2y=0

則《

mCD=-y+6z=0

取z=l,則而=(且,G,1)

a

18

設(shè)直線FG與平面BCD所成角為。，

因?yàn)橹本€FG與平面BCD所成角的正弦值為，

7

36V3

?一?\FG-m\22=1也

則sin6=cosFG,m\=~~L

1?NG同

.-.5(2,O,O),D(O,1,^),F(1,-1,，

設(shè)平面4BC的法向量為E，取瓦=(0,04)，

5F=(-1,-1,V3),FD=(-1,2,0)，

設(shè)平面BFD的法向量為%=(再，%,4),

n-BF=一再一%+=0

則〈2

—%]+2%=0

n2FD=

取為=1，則〃2=(24,G)，

設(shè)平面4BC與平面BED所成角為a，

一一n.V3V6

則cosa=cos〃i，%=?與，?

1x74+1+34

故平面ABC與平面BFD所成角的余弦值為—.

4

18.已知函數(shù)/(X)=alnx+」y,aeR.

19

（1）若a=2e\求/（x）的極小值；

（2）若過原點(diǎn)可以作兩條直線與曲線y=/（x）相切，求。的取值范圍.

【答案】⑴-e2（2）（-,+?））

e

【解析】

【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系，即可求得答案；

（2）設(shè)切點(diǎn)分別為（占,/（否））,（々,/（》2）），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，表示出切線方程，將原問題轉(zhuǎn)化為

3

方程二+a（lwc-1）=0兩個(gè)不同的根的問題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得其最小值的表達(dá)式，分類討論,

結(jié)合零點(diǎn)存在定理，即可求得答案.

【小問1詳解】

由/（x）=2e21nx+e，（x〉0），得/（x）=--4=~2>

XXXX

令/'（久）<0得0<x<1,則/（x）在上單調(diào)遞減，

令/’（久）>0得x〉（，則/（x）在上單調(diào)遞增，

則/（%）的極小值為/［：］=202111（+02=-e2；

【小問2詳解】

設(shè)切點(diǎn)分別為（花,/（石））,（%,/（%））,

?2_2

則/（X）在X=X1處的切線方程為y—/（xj=-4—（x—xj,

X1

又切點(diǎn)過原點(diǎn)，所以0—/（匹）=竺F（O—毛），

X1

33

即~^+"（111X1-1）=0,同理~+"（in%2—1）二。,

20

3

所以X],》2為方程=+a(lnx-1)=0兩個(gè)不同的根,

X

設(shè)g(x)=—+4z(lnx-l),則g，(x)=-+-=——--

若a<0,g'(x)<0,則g(x)在(0,+8)單調(diào)遞減，g(x)=0不可能有兩個(gè)不同的根，不符合題意;

0,g(x)在

若a〉0,令g'(x)<0得,單調(diào)遞減,

j單調(diào)遞增,

令g'(x)>0得X—,+<x>,g(x)在

aaJ

/

a1

所以gCOmin=g——FciIn

a)2

若g(x)min20，即l+aInJ—6-1>0,則0<a?9,

aJe

3

此時(shí)方程=+a(Injc-1)=0沒有兩個(gè)不同的根，不符合題意;

若g("0,即“〉：,g(e)="，"<e’

因?yàn)椤！?,所以二—9=上當(dāng)<0,所以工<16

一，ga(3a-Ina-1),

eaaaaa

6

令=3a-Ina-1a>一，則/(a)=3」〉0,

a

A

1,+力)上單調(diào)遞增,618

所以“(a)在h(a)>h-In——1>0,

eee

3

即g?(3a-lm-l)>0,又g(x)=F+a(lnx—1)的圖象是不間斷的曲線,

JC

所以存在西,》2滿足1<X]<9</<0使得8(再)=8(工2)=0,

aa

所以a的取值范圍是(9,+s).

e

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：難點(diǎn)在于根據(jù)切線的條數(shù)求解參數(shù)范圍。解答時(shí)將問題轉(zhuǎn)化為方程

——+a(inx—1)=0兩個(gè)不同的根的問題，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)，求得函數(shù)最小值，分類討論，結(jié)

JC