安徽省亳州市2024-2025學年高三上學期開學考試數(shù)學

2025屆安徽省高三摸底大聯(lián)考數(shù)學考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘。2．考生作答時，請將答案答在答題卡上，選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。3．本卷命題范圍：高考范圍。一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在復平面內(nèi)、復數(shù)對應(yīng)的點位于（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合．則圖中陰影部分表示的集合為（）

A． B． C． D．3．有一組數(shù)據(jù)，按從小到大排列為：，這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)等于他們的平均數(shù)，則為（）

A．9 B．10 C．11 D．12

4．已知圓柱的底面直徑為2，它的兩個底面的圓周都在同一個體積為的球面上，該圓柱的側(cè)面積為（）

A． B． C． D．

5．已知，則值為（）

A． B． C． D．1

6．已知雙曲線，點在上，過點作兩條漸近線的垂線，垂足分別為，若，則雙曲線的離心率為（）

A． B． C． D．

7．已知函數(shù)的定義域為是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，則的值為（）

A． B．3 C． D．

8．數(shù)列的前項和為，滿足，則可能的不同取值的個數(shù)為（）

A．45 B．46 C．90 D．91二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．

9．已知隨機變量滿足：，則（）

A． B．C． D．

10．設(shè)函數(shù)，定義域為，若關(guān)于的不等式的解集為或，下列說法正確的是（）

A．的極大值為0

B．點是曲線的對稱中心

C．直線與函數(shù)的圖象相切

D．若函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則的取值范圍為

11．已知曲線，點為曲線上任意一點，則（）

A．曲線的圖象由兩個圓構(gòu)成

B．的最大值為

C．的取值范圍為

D．直線與曲線有且僅有3個交點三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在題中的橫線上．12．已知向量，且，則向是在向量上的投影向量坐標是_______．13．已知函數(shù)與的圖象上任意3個相鄰的交點構(gòu)成直角三角形，則_______．14．用個不同的元素組成個非空集合（，每個元素只能使用一次），不同的組成方案數(shù)記作，且當時，．現(xiàn)有7名同學參加趣味答題活動，參加一次答題，即可隨機獲得四種不同卡片中一張，獲得每種卡片的概率相同，若每人僅可參加一次，這7名同學獲得卡片后，可集齊全4種卡片的概率為________．四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15．（13分）在中，內(nèi)角所對的邊分別為．

（1）求；

（2）若的面積為邊上的高為1，求的周長．

16．（15分）已知橢圓的左、右焦點為，離心率為，點為橢圓上任意一點，且的周長為．

（1）求橢圓的方程；

（2）直線與直線分別交橢圓于和兩點，求四邊形的面積．

17．（15分）如圖，在四棱錐中，，平面平面．

（1）證明：；

（2）若，點為棱的中點，求二面角的余弦值．

18．（17分）已知函數(shù)．

（1）若為函數(shù)的極值點，求的值；

（2）若不等式恒成立，求的取值范圍．19．（17分）已知數(shù)列，對于任意的，都有，則稱數(shù)列為“凹數(shù)列”．

（1）判斷數(shù)列是否為“凹數(shù)列”，請說明理由；

（2）已知等差數(shù)列，首項為4，公差為，且為“凹數(shù)列”，求的取值范圍；

（3）證明：數(shù)列為“凹數(shù)列”的充要條件是“對于任意的，當時，有”．2025屆安徽省高三摸底大聯(lián)考－數(shù)學

參考答案、解析及評分細則1．B，所以復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限．故選B．2．D，所以，所以圖中陰影部分表示的集合為．故選D．3．B因為該組數(shù)據(jù)共6個，且，所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為第三位數(shù)，即6，則，解得．故選B．4．A球的體積為，可得其半徑，圓柱的底面直徑為2，半徑為，在軸截面中，可知圓柱的高為，所以圓柱的側(cè)面積為。故選A．5．C因為，所以，可得，即，所以，解得。故選C．

6．B設(shè)點，則，即，又兩條漸近線方程為，即，故有，所以．故選B．

7．D因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，即①，又因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，即②，聯(lián)立①②可得，所以．故選D．

8．B由題設(shè)可得，其中，故，且奇偶交錯出現(xiàn)。（1）若為奇數(shù)，由可得對可取遍中的每一個奇數(shù)；（2）若為偶數(shù)，由可得對可取遍中的每一個偶數(shù)，又，當時，；考慮時，調(diào)整為3，則對應(yīng)的可增加，依次對諸至少一個）調(diào)整為3后，即，從上述的調(diào)整過程可得取遍了中的奇數(shù)或偶數(shù)（取奇數(shù)還是偶數(shù)取決于的奇偶性），當時，取遍了中的奇數(shù)，合計46個，故選B．

9．BCD因為，所以，解得，故A錯誤；，故B正確；，故C正確；，故D正確．故選BCD．

10．ABC對于A，由，解得或，所以，則，當時，；當或時，；可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的極大值，故A正確；對于B，因為，故B正確；對于C，設(shè)切點為，則解得所以直線與函數(shù)的圖象相切于，故C正確；對于D，由A選項知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，令，解得或3，函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，所以的取值范圍為，故D錯誤．故選ABC．

11．AC由，得，即，即，所以或，即或，所以曲線表示以為圓心，為半徑的兩個圓，故A正確；表示點到原點距離的平方，最大值為，故B錯誤；如圖所示，設(shè)過點且與圓相切的直線方程為，則點到該直線的距離，解得，即圖中直線的斜率為1，直線的方程為，點到直線的距離，則直線與圓相切，設(shè)過點且與圓相切的直線方程為，則點到該直線的距離，解得表示的是點到點的斜率，故的取值范圍為，故C正確；由C項可知直線與圓均相切，所以直線與曲線有且僅有2個交點，故D錯誤．故選AC．

12．由題意知，因為，可得，解得，所以在上的投影向量為．

13．如圖所示，設(shè)函數(shù)與的交點分別為，由得，所以，則，所以為等腰直角三角形，所以點到直線的距離為，即，解得．

14．根據(jù)題干可列出對應(yīng)取值表格如下：12341121131314176151152510613190657163301350即個人集齊全4種卡片等價于7個不同元素組成4個非空集合，再將4個非空集合對應(yīng)4種卡片，所以．

15．解：（1）由，得，①由，得，②

由①②聯(lián)立，得，

由，得，所以，

又由，得．

（2）因為的面積為，所以，得．由，即，所以．

由余弦定理，得，即，

所以，可得，

所以的周長為．

16．解：（1）由題意知，且，解得，

則橢圓的方程為．

（2）易知四邊形為平行四邊形，設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓消去并整理得，

由韋達定理得

，

因為與平行，所以這兩條直線的距離，

則平行四邊形的面積．

17．（1）證明：因為，所以，所以，所以，因為，所以，即．

又因為平面平面，平面平面，所以平面，

因為平面，所以。

（2）解：取的中點，連接，由（1）知，因為，易知，

因為為的中點，為的中點，所以，所以平面，所以兩兩垂直，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，

則，

平面的法向量為，

設(shè)平面的法向量為，

則

令，則，故，

故

設(shè)二面角的大小為，由圖形可知，為銳角，

故二面角的余弦值為．

18．解：（1），由題意知，解得，

經(jīng)驗證此時為函數(shù)的極值點，故．

（2）設(shè)，定義域為，

，

設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞減，又，所以存在使，

所以當時，，即，函數(shù)單調(diào)遞增，

當時，，即，函數(shù)單調(diào)遞減，

所以函數(shù)的最大值

，

因為恒成立，

即恒成立，設(shè)，則，所以單調(diào)遞增，所以，即恒成立，

因為在上單調(diào)遞減，且，

所以只需恒成立，即，

解得．

故的取值范圍是

19．（1）解：（1）因為，則，又，故，即，數(shù)列是