2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時作業(yè)五十四 橢圓的定義及標準方程

五十四橢圓的定義及標準方程

（時間：45分鐘分值:80分）

【基礎(chǔ)落實練】

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1.（5分）（2024?許昌模擬）已知為尸2為橢圓營+卷=1的兩個焦點，過B的直線交橢

圓于兩點，右尸2%|+|匹出=10,則|43|=（）

A.8B.6C.4D.2

2222

【解析】選B.由2金=1,即士吟三,可得。=4,根據(jù)橢圓的定義

FMI+尸2小+尸山I+IB引=4。=16,所以M引=7/|+-歸1=6.

22____

2.（5分）與橢圓費*=1有相同焦點,且過點（3,您）的橢圓方程為（）

22

Ay?%」

36z0

2222

yx一汽y<

C—+~=1

2018D,元十=

22

【解析】選B.由題意可設(shè)橢圓的方程為a*=10>-9）.又所求橢圓過點（3,

乙JIzLJI/L

聲）,所以將（3,/司代入橢圓方程得心上號1,解得4=11（-21舍去）.

4*JIzLT/IzL

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故所求的橢圓方程為2&L

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3.（5分X2024?北京模擬）已知橢圓親+3=1的一個焦點的坐標是（20）,則實數(shù)加

的值為（）

A.lB娘C,2D.4

【解析】選C.由條件可知,q2=3加力2=私c=2,所以/一按^㈡2加=4得m=2.

【加練備選】

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已知曲線。:乙+匕=-1,則“4女＜5”是“曲線。表示焦點在歹軸上的橢圓”的

K-uS-K

（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

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【解析】選A.將曲線C的方程化為為+"1，若曲線C表示焦點在y軸上的橢

圓廁h3＞5次＞0,即4＜左＜5,而“4女＜5”不能推出“4（左＜5";"4＜左＜5”可以推出“4女＜5”,

故“4女＜5”是“曲線C表示焦點在y軸上的橢圓”的必要不充分條件.

4.（5分）已知兩定點直線/:尸%丁區(qū)在I上;兩足I尸的點

P的個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.0或1或2

【解析】選B,由橢圓的定義可知，點P的軌跡是以M,N為焦點的橢圓,

故c=1以="乃=1,其方程是g+產(chǎn)1,

把尸c-F代入橢圓方程并整理得：3*4灰+4=0,由/=（一4依）2-4義3義4=0,所以在

I上滿足|尸根+|尸2=2”的點。有1個.

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5.（5分X多選題X2024?天水模擬）設(shè)橢圓。：￡+土1的左右焦點為是C上

的動點，則下列結(jié)論正確的是（）

A.FBI+FBHO

B/到為最小的距離是2

C.△4汜面積的最大值為6

D.P到B最大的距離是9

【解析】選AD.由橢圓方程可得:a=5,b=3,則C=7?7P=4,

對A:根據(jù)橢圓的定義可得|PE|+FB|=2a=10,A正確；

對B:根據(jù)橢圓性質(zhì)可知當(dāng)P是橢圓的左頂點時『到B的距離最小，最小值為a-

c=l,B錯誤；

對C:根據(jù)橢圓性質(zhì)可知當(dāng)P是橢圓的上頂點或下頂點時,的面積最大，最

1

大值為,x2cxb=12,C錯誤；

對D:根據(jù)橢圓性質(zhì)可知當(dāng)P是橢圓的右頂點時,P到F1的距離最大，最大值為

a+c=9,D正確.

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6.（5分）（多選題X2024?南通模擬）已知F為橢圓與+==1（。>6>0）的一個焦點45為

ab

該橢圓的兩個頂點，若|/月=3,|5F|=5,則滿足條件的橢圓方程為（）

2222

4%yy一%y

B-V+T

222：2

C—%+—V—1D+1

1615-lsIr

【解析】選BCD,由題意，對A,B兩個頂點的位置分類討論:

（1）若B為右頂點H為上或下頂點時，

少為左焦點,|/巧=3〃b|=5可得

{aW解得{屋，，又因為』守=5,

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故橢圓E的方程為。+卜1，故B選項正確;

（2）若B為右頂點H為左頂點時，

萬為左焦點,|9=3,W|=5得

解得tI*又因為62=人2=15,

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故橢圓E的方程為故C選項正確;

1O1D

（3）若B為左頂點H為上或下頂點時,

方為左焦點,MP=3〃b|=5可得

中又因為C>O,故方程無解，即不存在此情形；

(4)若B為左頂點H為右頂點時，

方為左焦點,0巧=3,因方|=5可得

"+機又因為AOQO,故方程無解，即不存在此情形；

I(X-C——KJ

(5)若B為上或下頂點H為左頂點時，

尸為左焦點,|4+3,|蘇1=5,

a222

[a3,解得仁=版因為b=a-c=21,

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故橢圓E的方程為看*1,故D選項正確；

(6)若B為上或下頂點4為右頂點時，

少為左焦點,|/巧=3〃b|=5可得

L2r-?，又因為。>0，。>0,故方程無解，即不存在此情形.

ILtIC——D

222222

綜上所述:橢圓方程為或或羨+71?

7.(5分X2024?濟南模擬)已知橢圓的焦點在歹軸上，其上任意一點到兩焦點的距離

之和為10,焦距為6,則此橢圓的標準方程為.

222a=10/a=5

【解析】依題意，設(shè)橢圓方程為彳*=1(?>0),則/弋6解得k=3,

ab[c2=02一后Q=4

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所以橢圓方程為才

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答案:

8.(5分)A43C的兩個頂點坐標分別是3(0,6)和。(0廣6),邊/民/。所在直線的斜

率的乘積是9則頂點/的軌跡方程是.

【解析】設(shè)頂點A的坐標為(%,y),

由題意得??一［化簡整理，

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得看+匯1,

又A,B,C是A45C的三個頂點，所以A,B,C三點不共線，因此方土6,

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所以頂點Z的軌跡方程為*

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答案盤+黑1仿"6)

9.(10分)動點M與定點丹(3,0)的距離和M到定直線/猶噌的距離的比是常數(shù)3

(1)求動點M的軌跡方程；

【解析】⑴設(shè)M(x,y\d是點〃到直線I的距離，則學(xué)=|,即也若二|,

化簡得169+25儼=400,

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所以動點M的軌跡方程為裝心1.

(2)設(shè)BG3,0),點P為〃軌跡上一點，且N吊尸歹2=60。,求的面積.

【解析】(2)由⑴知，動點M的軌跡是以F/2為焦點的橢圓，所以PBI+I尸尸2曰0,

在中,由余弦定理得

|尸尸1|2+|尸「2/-2|尸碎|尸尸21cos60。=/死|2,

所以(|尸尸1|+甲尸2尸-3|尸碎|尸尸^/產(chǎn)?/，

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整理得。碎叱2|一,

|PB|sin60

所以SL―i"F/=|乙|尸碎乙J。彳乙號?J|一￥

【能力提升練】

10.(5分)若點M(x,y)滿足方程，%2+(y-2/+J%2+(y+2)2=12,則動點M的軌跡

方程為()

x2y2x2y2

A.—K-=lB.—1

36323620

一V2%2V2%2

C—+—=1D^―+~=1

363214416

【解析】選C.因為動點M%,y)滿足關(guān)系式J%2+(y-2)2+J%2+(y+2)2=12,

所以該等式表示點M(x,y)到兩個定點為(0,-2),B(0,2)的距離的和為12,

而方丙|=4<12,即動點M的軌跡是以為尸2為焦點的橢圓，且2—12,即折6,又

。=2尸=。2_02=36-4=32,

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所以動點M的軌跡方程為總+ML

DODZ

11.(5分)(2024?桂林模擬)”(loga2)N+(logR)產(chǎn)1表示焦點在y軸上的橢圓”的一

個充分不必要條件是()

A.0<a<bB.l<a<b

C.2<a<bDA<b<a

【解析】選C.若（10ga2）x2+（10g62）y2=l表示焦點在〉軸上的橢圓，則需

'logj>0

fa>l

log/,2>0，即b>1,所以l<a<b,

嗨2>log理a<b

所以"（log“2）%2+（logb2）儼=1表示焦點在y軸上的橢圓”的一個充分不必要條件是

2<a<b.

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12.（5分）（多選題）已知為橢圓34=1的左、右焦點"為橢圓上的動點，則

下列說法正確的是（）

AJA/三的最大值大于3

?此碼的最大值為4

C.60°

ZFXMF2的最大值為

DAMKB的面積的最大值為3

【解析】選BC.由橢圓的方程得出=4/2=3,所以。2=1,所以尸（1,0）,尸2（1,0）.

對于AJM/21max=a+c=3,故A錯誤

\MFA+\MF?\

對于B,由橢圓定義可知也用|+少里|=4,所以吠11-幽出&——-——）2=4,當(dāng)且僅當(dāng)

|M\|=|〃F2|時取等號，故B正確.

對于C,當(dāng)點M為橢圓與y軸的交點時,ZF.MF2取得最大值，

由M。,我得tan"

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z_pMF

所以-^=30。,/月力加2=60。,故C正確.

對于D,當(dāng)點M為橢圓與歹軸的交點時,的面積最大，最大值為兒=出，故

D錯誤.

13.（5分）（2024?聊城模擬）以。為圓心的動圓與圓G：（%+2）2+儼=1和圓c^x_

2）2+儼=/&＞（））均相切，若點P的軌跡為橢圓，則r的取值范圍是.

【解析】由題知，若以P為圓心的動圓與兩圓均外切，如圖，令以P為圓心的動圓

半徑為R,

貝UPC^R+l,PC2^R+r,

因為FG-PGHr」，所以此時點P的軌跡不是橢圓,不符合題意;

若以。為圓心的動圓與圓G外切，與圓G內(nèi)切，如圖，令以。為圓心的動圓半徑

為R,

則干氏因為「。2+。。1|=升1,

若點P的軌跡為橢圓，則〃+1>2X2=4,即廠>3,且圓G與圓G不相交，即廠>5.

綜上，若點P的軌跡為橢圓，則r>5.

答案：（5,+8）

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14.（10分）（2024?濟南模擬）已知橢圓務(wù)1直線I與C在第二象限交于A,B

兩點（4在5的左下方），與x軸,V軸分別交于點MN,且|MZ|：四|：|物=1：2：

3,求直線I的方程.

【解析】如圖,

由條件得B點為線段MN中點，設(shè)B點坐標為（沏,州）得M2xo,O）,MO,2yo）,

5汽y22

由雇4|：引=1：2得/坐標為（一爭,將45坐標分別代入中,

.22

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