中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：三角形中常見六種幾何模型（知識梳理與考點分類講解）

專題1.4三角形中常見六種幾何模型（知識梳理與考點分類講解）

第一部分【模型歸納】

【模型一】燕尾模型

如圖：這樣的圖形稱之為“燕尾模型”

結(jié)論：ZBDC=ZA+ZB+ZC

【模型二】8字模型

如圖：這樣的圖形稱之為“8字模型”

結(jié)論：ZA+ZD=ZB+ZC

【模型三】三角形角平分線（內(nèi)分分模型）

如圖：這樣的圖形稱之為“三角形雙內(nèi)角平分線模型”

結(jié)論：ZB/C=90°+-ZA

2

【模型四】三角形角平分線（內(nèi)外分模型）

如圖：這樣的圖形稱之為“三角形內(nèi)外角平分線模型”

條件：BP、CP為角平分線

結(jié)論：ZP=-ZA

2

【模型五】三角形角平分線（外外分模型）

如圖：這樣的圖形稱之為“三角形雙外角平分線模型”

條件：BP、CP為角平分線

結(jié)論：ZP=90°--ZA

2

【模型六】角平分線+平行線模型

條件：CP平分NACB,DE平行于BC

結(jié)論：ED=EC

【特別提示】在書寫解題過程中不能直接運用幾何模型，但它是解題思維過程中一個重要思

維工具。

第二部分【題型展示與方法點撥】

【題型1】燕尾模型

【例1】（23-24八年級上?河南許昌?期中）（1）如圖1,有一塊直角三角板XK放置在VABC上，恰好

三角板X1Z的兩條直角邊XV,XZ分別經(jīng)過點2、C.若ZA=40。，ZABX+ZACX=度；

（2）如圖2,改變（1）中直角三角板XTZ的位置，使三角尺屹的兩條直角邊XV,XZ仍然分別經(jīng)過點

B.C.4=40。，那么NABX+/ACX的大小是否變化？若變化，請舉例說明；若不變化，請求出

ZABX+ZACX的大??；

（3）如果（1）中的其它條件不變，把“44=40。"改成"/4="。"，則/ABX+/ACX=_.

【答案】（1）50；（2）不變化，50°;（3）（90-?）°

【基本模型】燕尾模型

【分析】本題主要考查了三角形中的燕尾模型：

（1）由燕尾模型：ZBXC=NA+NABX+NACX從而可得NABX+NACY=NBXC-NA

（2）利用（1）的方法即可作答；（3）利用（1）的方法即可作答.

解：（l）EINA=40°,

0ZABC+ZACB=180°-ZA=140°,

回在直角三角板中，ZYXZ=90°,

ElZXBC+ZXCB=90°,

回ZABX+ZACX=(ZABC+ZACB)-(ZXBC+ZXCB)=140°-90°=50°,

BPZABX+ZACX=50°.

(2)不發(fā)生變化，理由如下：

0ZA=4O°,

0ZABC+ZACB=180°-ZA=140°,

團在直角三角板中，ZYXZ=90°,

0ZXBC+ZXCB=90°,

0ZABX+ZACX=(ZABC+ZACB)-(ZXBC+ZXCB)=140°-90°=50°,

BPZABX+ZACX=50°.

(3)0ZA=n°,

ZABC+ZACB=180°-ZA=180°-n°,

團在直角三角板中，ZYXZ=90°,

SZXBC+ZXCB=90°,

0ZABX+ZACX=(ZABC+ZACB)-(ZXBC+ZXCB)=180°-H°-90°=90°-n°,

BPZABX+ZACX=(90-n)°.

【變式1】(23-24八年級上?海南省直轄縣級單位?期中)如圖，在VABC中，D,E分別是AB、AC上

一點，BE、CD相交于點F，若NA=50。，ZACD=40°,ZABE=30°,則/CEE的度數(shù)為()

A.50°B.60°C.120°D.130°

【答案】B

(1)由燕尾模型：/皮9=/4+/旬*+44。*從而可得義4^+/40^=/皮支：一/4

【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的定義及性質(zhì)、對頂角相等，由三角形外角的定義及

性質(zhì)得出/BDC=/A+NACD=90。，由三角形內(nèi)角和定理計算出NMD=60。，最后再由對頂角相等即可

得出答案.

解：0ZA=5O°,ZACD=40°,

0NBDC=ZA+ZACD=90°,

0ZBDF+ZDBF+NBFD=180°,

0ZBFD=180°-ZBDF-ZDBF=60°,

SZCFE=ZBFD=60°,

故選：B.

【變式2】（23-24八年級上?江西吉安?期末）如圖，將一個直角三角板。跖放置在銳角三角形A3C上,

使得該三角板的兩條直角邊廠恰好分別經(jīng)過點8,C,若NA=50。，則NABD+NACD=—.

【答案】40。/40度

【基本模型】燕尾模型：/。。8=/4+445。+/4。￡＞從而可得/鉆。+/48=/（乃8-4

【分析】此題考查三角形的內(nèi)角和定理，直角三角形兩銳角互余的關(guān)系，

根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出/4SC+NACB的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余的關(guān)系得到

ZDBC+ZDCB=90°,由此即可得到答案.

解：如圖所示，連接BC,

0ZA+ZABC+ZACB=18O°,NA=50°,

回ZABC+ZACS=180°—ZA=130°,

0^BDC=9O°,

⑦ZDBC+ZDCB=90。,

0ZABD+ZACD=(ZABC+ZACB)-(NDBC+Z.DCB)=130°-90°=40°,

故答案為：40°.

【題型2】8字模型

【例2】.(23-24七年級下?四川宜賓?期末)如圖，點。在VABC的邊54延長線上，點￡在BC邊上,

連結(jié)DE交AC于點E/C=/D.

(1)求證：Z.DAC=ZCED；

⑵若？AED66靶DFC=3?B,求NBED的度數(shù).

【答案】⑴見解析(2)?BED1(M?

【基本模型】8字模型：ND+NDAF=NC+NCEF

【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和、三角形外角的性質(zhì)，掌握這兩個基本模型是關(guān)鍵.

(1)由三角形內(nèi)角和即可求證；

(2)由互補求得NDHC度數(shù)，由=可求得度數(shù);再由？DFC?B?D?C求得NC的度數(shù);

再由？?C?￡FC及對頂角相等即可求得結(jié)果.

解：(工)證明：?CW,AFD=?EFC,

\?DAC180??D?AFD180??C?EFC?CED；

(2)解：ZAFD=66°,

\?DFC180??AFD114?

1DFC3?B,

\-2DFC38?；

3

?DFC?DECICIB?D?C38?2?C,

\?CkDFC38?)［窗114-38?)38?,

22

\1BED?C1EFC?C?AFD104?.

【變式1】(22-23八年級上?河南三門峽?期中)如圖，/C=/A=90。，ZB=25°,則2D的度數(shù)是()

c

A

A.25°B.35°C.45°D.55°

【答案】A

【基本模型】8字模型：NC+NO=ZA+NB

【分析】此題綜合考查了三角形的內(nèi)角和定理和對頂角相等的性質(zhì).熟練掌握定理與性質(zhì)是解決問題的關(guān)

鍵

根據(jù)對頂角相等和三角形的內(nèi)角和定理知，ZD=ZB.

解：如圖，設(shè)4D與交于點。，

0ZC=ZA=9O°,ZAOB=ZCOD,

0ZD=ZB=25°.

故選：A.

c

【變式2】(24-25八年級上?全國?課后作業(yè))如圖，AF平分NA4C,DF平分/BDC,AF與BD交于

點M,AC與DF交于點N,試說明ZF,NC之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】ZF=1(ZB+ZC),理由見解析

【基本模型】8字模型：(1)N1+NB=N3+NF(2)Z1+ZB=Z3+ZF

【分析】本題主要考查了角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理等基本模型，理解8字模型成為解題的關(guān)鍵.

Z1+ZB+Z4+ZC=Z3+ZF+Z2+ZF,再結(jié)合/1=/2,N3=/4可得/3+NC=2ZF,進而得至U結(jié)論.

解：ZF=1(ZB+ZC),理由如下：

由AABM與為對頂角三角形可得：Z1+ZB=Z3+ZF,①

由A4VF與△DNC為對頂角三角形可得：Z4+ZC=Z2+ZF,②

①+②可得：Z1+ZB+Z4+ZC=Z3+ZF+Z2+ZF.

0Z1=Z2,Z3=Z4,

ZF=-(ZB+ZC)

0ZB+ZC=2ZF,即.

【題型3】三角形的角平分線(內(nèi)內(nèi)分模型)

【例3】(21-22九年級下?黑龍江哈爾濱?期中)在VABC中

⑴如圖①，ZA=60°,ZB.NC的平分線交于點尸，求/BPC的度數(shù)；

⑵如圖②，ZA=60。，NB、/C的三等分線交于點尸(Zl=gzABC,Z2=|zACB),求/BPC的度數(shù)；

⑶如圖③，/A=尤。，/B、NC的〃等分線("23)交于點尸，求—3PC的度數(shù).(用含x，九的式子表示)

120°

【答案】⑴N3PC=120。(2)ZBPC=100°(3)ZBPC=60°+——

n

【基本模型】(1)內(nèi)內(nèi)分模型：ZBPC=90°+-ZA；⑵在(1)的基礎(chǔ)上用燕尾模型/8PC=/A+/l+/2

2

即可；(3)與(2)相同思路解決問題

【分析】此題考查了三角形內(nèi)角和定理與角平分線的性質(zhì).解此題的關(guān)鍵是要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

(1)首先根據(jù)/C的平分線交于點尸與VABC的內(nèi)角和為180。，求得ZP8C+ZPCB的和，又由△P3C

的內(nèi)角和為180。，求得NBPC的度數(shù)；

(2)首先根據(jù)z8、NC的三等分線分線交于點P,可得：-APBC=AABC,-ZPCB=ZACB,又由VABC

的內(nèi)角和為180。，求得ZPBC+NPCB的和，又由△P3C的內(nèi)角和為180。，求得-8PC的度數(shù)；

(3)首先根據(jù)/B、ZC的三等分線分線交于點P,可得：上7/PBC=ZABC,-^-ZPCB=NACB,又由7ABe

n—ln—1

的內(nèi)角和為180。，求得ZPBC+NPCB的和，又由△P8C的內(nèi)角和為180。，求得/BPC的度數(shù).

(1)解：/B、NC的平分線交于點尸，

:.2NPBC=ZABC,2ZPCB=ZACB,

ZA+ZABC+ZACB=180°，

.?.ZA+2ZPBC+2ZPCB=180。,

ZA=60°,

:.ZPBC+ZPCB=60°,

/.ZBPC=180°-(ZPBC+ZPCB)=120°；

(2)解：Z1=-ZABC,Z2=-ZACB,

33

33

-ZPBC=ZABC,-ZPCB=ZACB,

22

ZA+ZABC+ZACB=180°,

33

.?.ZA+—NPBC+-ZPCB=180°,

22

ZA=60°,

..ZPBC+ZPCB=80。,

ZBPC=180°-(ZPBC+ZPCB)=100°；

(3)解：/B、NC的〃等分線(〃23)交于點尸，

YiYl

：.——ZPBC=ZABC,——ZPCB=ZACB,

n—1n—i

ZA+ZABC+ZACB=180°,

.-.ZA+—ZPBC+—ZPCB=180°,

n-\n-1

ZA=60°,

ZPBC+ZPCB=120°(-D=120°-—,

nn

120°

ZBPC=180°-(ZPBC+ZPCB)=60°+——.

n

【變式1】(2024八年級上?全國?專題練習(xí))如圖，在VABC中，ZA=84°,點。是/ABC、/ACS角

平分線的交點，點尸是—BOC、/OCB角平分線的交點，若々=100。，則一ACB的度數(shù)是()

【答案】C

【基本模型】內(nèi)內(nèi)分模型：40C=9(F+』ZA,再利用角平分線性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理即可.

2

【分析】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義等知識；設(shè)ZBCP=ZPCO=x,ZBOP=ZCOP=y,

由NP=100°,推出x+y=80°,推出2.x+2y=160。，推出/08。=180。-160。=20。，可得NABC=40°,由此

即可解決問題.

解：設(shè)ZBCP=ZPCO=x,NBOP=NCOP=y,

ZP=100°,

ZPCO+ZCOP=X+y=80。，

/.2%+2y=160°,

ZOBC=180°-(ZBOC+/BCO)=180°-(2x+2y)=l80°-160°=20°,

30平分/ABC,

.-.ZABC=40°,

ZA=84°,

ZACB=180°-40°-84°=56°.

故選：C.

【變式2】(22-23八年級上?湖南婁底?期中)如圖，在VABC中，BD、CD分別為—ABC、—ACB的角

平分線，兩線交于點D,ZA=40°.則"=.

【答案】no。/no度

【基本模型】內(nèi)內(nèi)分模型：ZBDC=90°+-ZA

2

【分析】本題考查角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得NABC+NACB=140。，

再根據(jù)角平分線的定義可得NABC=2NZ汨C,ZACB=2ZDCB,進而可得NOBC+NOCB=70。，再利用

三角形內(nèi)角和定理求解即可.

解：0ZA=4O°,

0ZABC+ZACB=180°-40°=140°,

0BD>CD分別為/ABC、—ACS的角平分線,

EZABC=2Z￡>BC,ZACB=2ZDCB,

E2ZDBC+2ZDCB=140°,即ZDBC+Z.DCB=70°,

0Z.BDC=180°-(NDBC+ZPCB)=180°-70°=110°,

故答案為：110°.

【題型4】三角形的角平分線(內(nèi)外分模型)

【例4】在VABC中，/ABC的平分線與外角/ACE的平分線相交于點D

⑴若ZABC=60。，ZACB=400,求NA和NO的度數(shù).

(2)求證：NA=2NO.

【答案】⑴ZA=80。；ZD=40。(2)見解析

【基本模型】內(nèi)外分模型：ZD=-ZA

2

【分析】此題主要考查三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)角平分線定義和外角

的性質(zhì)即可求得一￡＞度數(shù).

(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，己知NABC=60。，ZACB=4O°,易求—A,根據(jù)角平分線定義和外角的性

質(zhì)即可求得/O度數(shù)；

(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線性質(zhì)，先求出-D的等式，再與-A比較即可解答.

(1)解：在VA5c中，ZABC=60°,ZACB=40°,

回/A=180?！猌ABC-ZACB=80°,

回8。為—ABC,CD為/ACE的角平分線，

0ZDBC=-ZABC=-x60°=30°,

22

ZACD=j(180°-ZACB)=1x140°=70°,

0ZD=18O°-NDBC-ZACB-ZACD=180°-30°-40°-70°=40°,

0ZA=8O°,ZD=40°；

(2)解：SZACE=ZA+ZABC,

0ZACD+NECD=ZA+ZABD+NDBE,ZDCE=ZD+ZDBC,

又回為—ABC,CD為/ACE的角平分線,

^ZABD=ZDBE=-ZABC,ZACD=ZECD=-ZACE,

22

0ZA=ZACE-ZABC=2（ZDCE-NDBC）,

又團〃=NDCE-NDBC,

0ZA=2ZE>.

【變式1】（23-24八年級下?江西?單元測試）如圖，84和CA分別是VABC的內(nèi)角平分線和外角平分線,

睡是乙4出。的角平分線CA2是NACD的角平分線，B4是4422n的角平分線，C4是442c。的角平分

線，若/4=蟆，則幺必為（）

D?22021

【答案】B

【基本模型】內(nèi)外分模型：=1/A?……4-1

【分析】本題考查的是三角形的內(nèi)角定理，利用角平分線的定義、三角形外角的性質(zhì)，易證

試著用含-A的代數(shù)式表示出/4、N4；通過分析可得出Z4=1z4=^ZA,回以此類推

可知幺=*4,接下來結(jié)合”=2024,乙4=2/4=。即可求出乙媼4的度數(shù)

解：回昭平分,ABC,CA平分ZACD,

0Z4BC=|zABC,ZAlCD=^ZACD,

0ZA1CJD=ZA1+ZABC,

即（ZACD=4+；/A8C,

回幺=1（ZACD-ZABC）,

回NA+NABC=NACD,

^\ZA=ZACD-ZABCf

回NR=；NA

同理可得，N4=；Z4=*NA，N4=；N44NA，物，幺期二擊/兒

回乙“24=22024=。，

,“1a

回N4024=萍?xa=娶何

故選：B

【變式2】（23-24七年級下?安徽阜陽?期末）如圖，84和C4分別是VA3C的內(nèi)角平分線和外角平分線,

B4是N4BD的角平分線，C&是NAC。的角平分線，B4是N&BD的角平分線，5是N&C。的角平

分線，…，若NA=c,則/A=；a品22=.

【基本模型】內(nèi)外分模型：ZA=|ZA；ZA=1ZA….…AT=（/A-

【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義等，找出NA，/4,N&

11

與/A的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.根據(jù)角平分線的定義可得=ZA1CD=-ZACD,再根據(jù)三

角形外角的性質(zhì)可得g（NABC+NA）=gNABC+4,化簡可得NA=g/A,進一步找出其中的規(guī)律，即

可求出/4022的度數(shù).

解：BA1和C4分別是VABC的內(nèi)角平分線和外角平分線，

ZA[BD=^ZABC,ZAiCD=^ZACD,

又QNACD=/ABC+/A,ZA^CD=ZA.BD+ZA,,

：（LC+NA）=|ZABC+,

11

二.NA——NA——CL

22F

同理可得：——ZA,

……

則4()22

/A=a,

?/a1

??"4()22=22。22。，

故答案為：ga，我7.

【題型5】三角形的角平分線（外外分模型）

【例5】（24-25八年級上?全國?課后作業(yè)）已知NMON,點AB分別在射線ON,ON上移動（不與點0

重合），平分NBAN,BC平分NABM,AD（或其反向延長線）與BC交于點C.

⑴如圖①，若NMON=90。，試猜想—ACB的度數(shù)，并直接寫出結(jié)果;

（2）如圖②，若/MON=（z,問：當(dāng)點A3在射線ON,ON上運動的過程中，/ACB的度數(shù)是否改變?

若不改變，求出其值（用含a的式子表示）；若改變，請說明理由.

【答案】⑴45。（2）不變，90°-1a

【基本模型】外外分模型：ZACB=90°--ZO

2

【分析】本題考查了與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題，熟練掌握以上基本模型并靈活運用是解此題的

關(guān)鍵.

(1)由角平分線的定義得出NNAO=ZBAr>=；NBAN,ZABC=ZMBC=|ZABM,求出

ZBAO+ZABO=90°,再求出NC4B+NCBA=；(NBAN+NABM)=135。，即可得出答案；

(2)由角平分線的定義得出NNAO=ZBAr>=；ZBAN,ZABC=ZMBC=|ZABM,求出

ZBAO+ZABO=180°-a,再求出NC42+NCSA=g(/BAN+NABM)=90。+ga,即可得解.

(1)解：AD平分NR4N,BC平分ZABM,

^ZNAD=ZBAD=-ZBAN,ZABC=ZMBC=-ZABM,

22

0ABAO+ZABO=180°-ZAC?=90°,

ElZCAB+ZCBA=g(/BAN+ZABM)=1(360°-90°)=135°,

0ZACB=18O°-135°=45°.

(2)解：/ACS的度數(shù)不改變.

回A￡＞平分々BAN,BC平分NABM,

0ANAD=ABAD=-ABAN,ZABC=ZMBC=-ZABM.

22

SZBAO+ZABO=1800-ZAOB=18Q°-a,

0ZCAB+ZCBA=1(ZBAiV+ZABM)=1[360°-(180°-?)]=90°+1a,

EZACB=180°-(/CAB+ZCBA)=90°—；a.

【變式1】(23-24八年級上?河南信陽?開學(xué)考試)如圖所示，BD、CD分別是VA2C的兩個外角/C5E、

ZBCF的平分線，則NBDC與—A之間的數(shù)量關(guān)系為.

A

【答案】ZBDC=90°-1zA

【基本模型】外外分模型：ZACB=90°--Z(9

2

【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和、三角形外角的性質(zhì)及角平分線的定義；由角平分線的定義得

?DBCDCB=^BCF■由三角形外角的性質(zhì)得NCBE=NA+NACB,NBCF=ZA+ZABC,再

由三角形內(nèi)角和即可求解.

解：BD、CD分別是VABC的兩個外角/C3E、/8b的平分線,

\?DBC-WBE,DCB=-?BCF,

22

\2DBC?DCB；(?CBE?BCF)■

?CBE?A?ACB,ZBCF=ZA+ZABC,

\?CBE?BCFTA(?A7ABC?ACB)?A180?；

\1DBC2DCBLQCBE?BCF)-?A90?,

22

\2BDC180?QDBC2DCB)

=180?費?A90?

=90°--ZA.

2

故答案為：ZBDC=90°-1ZA.

【變式2］如圖，已知在44BC中，NB、NC的外角平分線相交于點G,若NABC=m°,ZACB=n°

求/3GC的度數(shù).

【答案】ZBGC=1(w+n)

【基本模型】外外分模型：ZBGC=90°--ZA

2

【分析】運用角平分線的知識列出等式求解即可.解答過程中要注意代入與之有關(guān)的等量關(guān)系.

解：回B、回C的外角平分線相交于點G,

在ABCG中，

11、

EBGC=180°-(-0EBC+-EBCF)

22

=180°--(0EBC+0BCF)

2

=180°--(18O°-0ABC+18O0-0ACB)

2

=180°--(180°-m°+180o-n°)；

2

【點撥】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的知識.此類題的關(guān)鍵是找出與之相關(guān)的等量關(guān)系

簡化計算得出.

【題型6】角平分線+平行線模型

【例6】（23-24七年級下?河南新鄉(xiāng)?期末）如圖，在VABC中，8。是443c的平分線，DE//BC,ZA=

50°,NBDC=,求和的度數(shù).

【答案】ZBDE=20°,NBED=140。

【基本模型】角平分線+平行線：DEBC+/ABD=NCBD-DE=BE

【分析】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)三角

形的外角的性質(zhì)可得NABD,根據(jù)角平分線的定義可得/?=NCBD=20。，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得

ZEDB=Z.CBD=20°,進而根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求解.

解：ZBDC=ZA+ZABD,

ZABD=NBDC-ZA=20。，

是/A5c的平分線，

:.ZABD=ZCBD=20°,

DE//BC,

:.NEDB=NCBD=24。,

ABED=180°-ZABD-ZEDB,

:"BED=180。-20°-20°=140°.

【變式1】（2022八年級上?浙江?專題練習(xí)）如圖，在VABC中，8D平分/ABC,DE〃BC交AB于點、

E.若/A=70P,ZBDC=100°,則即的度數(shù)為（）

A.120°B.130PC.140°D.150°

【答案】A

【基本模型】角平分線+平行線：DEBC+NABD=NCBD，DE=BE

【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)等知識.求出NEBD,ZEDB,再

利用三角形內(nèi)角和定理即可解決問題.

解：^\ZA+ZABD=ZBDC,NA=7QP,ZBDC=100°,

0ZABD=3O°,

回8。平分/ABC,

0ZABD=ZCBD=30°,

又EIDE1〃臺C,

0Z.BDE=NCBD=30°,

0NBED=180°-ZABD-NBDE=120°.

故選：A.

【變式2】（23-24七年級下?山東?期末）如圖，在11ABe中，DE//BC,D,E分別為邊4B,AC

上兩點，且CD是ZAC3的角平分線.若NEDC=29。,4=74。，則NA=°.

【基本模型】角平分線+平行線：DEBC+ZACD=ZBCDDE=BE

【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義以及平行線的性質(zhì)，在ABC中，利用三角形內(nèi)

角和定理，可求出/ACB的度數(shù)，結(jié)合角平分線的定義，可求出/BCD的度數(shù)，由小〃3C,再利用"兩

直線平行，內(nèi)錯角相等"，即可求出/即C的度數(shù).

解：DE//BC,/EDC=29。,ZB=74。，

.-.ZEDC=ZBCD=29°.ZADE=ZB=74°,

CD是/ACS的角平分線，

ZACB=2ZBCD=58°.

在aABC中，NACB=58°,ZB=74°,

ZA=1800-ZACB-ZB=180°-58°-74°=48°,

故答案為：48.

第三部分【中考鏈接與拓展延伸】

1、直通中考

【例1】（2024?四川達州?中考真題）如圖，在ABC中，A片,2耳分別是內(nèi)角/。山、外角NCBO的

三等分線，且/月=ZEtBD=^ZCBD,在AB瓦中，AE2,82分別是內(nèi)角NgAB,外角

%BD的三等分線.S.ZE2AD=^ZEtAB,ZE2BD=^ZEtBD,以此規(guī)律作下去.若/C="。.則=

【分析】本題考查了三角形的外角定理，等式性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵.

先分別對△ABC,△E；AB運用三角形的外角定理，設(shè)NgAO=c,則/。鉆=30,NE、BD=。，則

ZCBD=3/3,得到￡=々+/&，3/3=3a+ZC,同理可求：ZE2=1zE1=QjZC,所以可得

4T”?

解：如圖:

回設(shè)/E|AO=a,NE\BD=。，則NG4S=3a,ZCBD=3jB,

由三角形的外角的性質(zhì)得：B=a+組,3/3=3a+ZC,

回Ng=|zC,

如圖:

即/￡,=3*，

故答案為：—m.

【例2】（2019?遼寧鐵嶺?中考真題）如圖，在△CEF中，NE=80。，ZF=50°,ABCF,ADCE,

連接BC,CD,則—A的度數(shù)是（）

A.45°B.50°C.55°D.80°

【答案】B

【分析】連接4c并延長交EE于點M.由平行線的性質(zhì)得/3=Z1,—2=14,再由等量代換得

ZBAD=/3+/4=N1+N2=/FCE,先求出ZFCE即可求出—A.

解:連接AC并延長交EF于點M.

ABCF,

...N3=N1,

,ADCE,

.?.N2=N4,

.?.NBA。=N3+N4=N1+N2=々CE,

ZFCE=18O°-ZE-ZF=180°-80°-50°=50°,

:.ZBAD=ZFCE=50°,

故選B.

【點撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，屬于基礎(chǔ)題型.

【例3】（2020?北京?中考真題）如圖，AB和CD相交于點0,則下列結(jié)論正確的是（）

A.01=02B.02=03C.01>S4+05D.02<05

【答案】A

【分析】根據(jù)對頂角性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)分別進行判斷，即可得到答案.

解：由兩直線相交，對頂角相等可知A正確；

由三角形的一個外角等于它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可知

B選項為回2〉回3,

C選項為回1=回4+回5,

D選項為團2〉回5.

故選：A.

【點撥】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，對頂角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的外角性質(zhì)進行判斷.

2、拓展延伸

【例1】如圖1所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品一一圓規(guī).我們不妨把這樣圖形叫做"規(guī)形圖"，請發(fā)

揮你的聰明才智，解決以下問題：

A

AAA

（1）觀察"規(guī)形圖"，試探究NB3C與NA、NB、/C之間的關(guān)系，并說明理由;

（2）請你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個問題:

①如圖2,把一塊三角尺屹放置在ABC上，使三角尺的兩條直角邊AT、XZ恰好經(jīng)過點8、C,若

ZA=50°,直接寫出NABX+/ACX的結(jié)果；

②如圖3,DC平分/ADB,EC平分ZAEB,若/04￡=50。,/。8￡1=130。，求/DCE的度數(shù)；

③如圖4,ZABRNACO的10等分線相交于點Gl、G>.、G§,若NBDC=140。,/BG?=77°,求-A的

度數(shù).

【答案】（1）NBDC=ZA+N3+NC,見解析

⑵①40°；（2）90°；（3）70°

【分析】（1）首先連接AD并延長，然后根據(jù)外角的性質(zhì)，即可判斷出NBDC=NA+N3+NC；

（2）①由（1）可得/ABX+NACX+NA=NBXC,然后根據(jù)NA=40。，ZBXC=90°,即可求出

ZABX+ZACX的值；②由（1）可得ZDBEuZZME+ZADB+ZAJSS,再根據(jù)//"￡=50。,/。8￡1=130。，

求出/4DB+NAEB的值；然后根據(jù)NDCE=g（/A￡>B+NAE8）+ND4E,即可求出—OCE的度數(shù)；③設(shè)

NABG=x°,NACG=V,結(jié)合已知可得ZABD=10x。，ZACD=10y。，再根據(jù)（1）可得NA+無。+y。=77。，

NA+1Ox。+10y。=140。，即可判斷出—A的度數(shù).

解：（工）解：ZBDC=ZA+ZB+ZC,理由如下：

如圖，連接AD并延長.

根據(jù)外角的性質(zhì)，可得/BDF=ZBAD+ZB,ZCDF=ZC+ZCAD,

又國NBDC=NBDF+NCDF,ZBAC=ZBAD+Z.CAD,

ZBDC=ZA+AB+Z.C,

故答案為：N3r>C=ZA+N3+NC；

(2)①由(1)可得/ABX+NACX+NA=N8XC,

0ZA=5O°,ZBXC=90°,

0ZABX+ZACX=90°-50°=40°；

②由(1)可得NDBE=NDAE+/ADB+NAEB,

0ZADB+ZAEB=ZDBE-ZDAE=130°-50°=80°,

01(ZADB+ZAEB)=80°+2=40°,

0ZDCE=1(ZADB+/AEB)+ZDAE=500+40°=90°；

③設(shè)/A8G=x°，/ACG]=y°,

則/ABD=10無。，ZACD=lQy°,

貝IjZA+無。+y°=77°,ZA+10x°+10y°=140°,

解得x+y=7°,

所以ZA=77°-7°=70°,

即NA的度數(shù)為70。.

【點撥】此題還考查了三角形的外角的性質(zhì)，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：三角形的外角等于

和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

【例2】如圖①，在0A8C中，0ABe與0ACB的平分線相交于點P.

(1)如果0A=70。,求助PC的度數(shù);

(2)如圖②，作0ABe外角團"BC,回NCB的角平分線交于點。，試探索團。，0A之間的數(shù)量關(guān)系.

(3)如圖③，延長線段BP,QC交于點E