2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)情境試題創(chuàng)新練二三角函數(shù)及解三角形理含解析新人教A版

PAGE情境試題創(chuàng)新練(二)三角函數(shù)及解三角形1．廣場上有一盞路燈掛在高9米的電線桿頂上，記電線桿的底部為A，把路燈看作一個點光源，身高1.5米的女孩站在離A點5米的點B處，女孩以5米為半徑圍著電線桿走一個圓圈，人影掃過的面積約是(π取3.14)()A．30.166m2 B．C．34.54m2 D．【解析】選C.如圖所示，設(shè)BP＝x，依據(jù)題意知，eq\f(x,x＋5)＝eq\f(1.5,9)＝eq\f(1,6)，解得x＝1，所以人影掃過的面積約是S＝π(62－52)≈3.14×11＝34.54(m2).2．南山中學(xué)紅豆園內(nèi)的紅豆樹已有百年歷史．百年紅豆樹，十年樹一花．時間流轉(zhuǎn)，紅豆花開，讀書愛國的氣息隨著花開風(fēng)起．如圖，小明為了測量紅豆樹高度，他在正西方向選取與紅豆樹根部C在同一水平面的A，B兩點，在A點測得紅豆樹根部C在西偏北30°的方向上，步行40米到B處，測得樹根部C在西偏北75°的方向上，樹梢D的仰角為30°，則紅豆樹的高度為()A．10eq\r(6)米 B．20eq\r(3)米C．eq\f(20\r(3),3)米 D．eq\f(20\r(6),3)米【解析】選D.依據(jù)題圖知，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，AB＝40，由正弦定理得，eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(40,sin45°)，解得BC＝eq\f(40×\f(1,2),\f(\r(2),2))＝20eq\r(2)，在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，所以CD＝BCtan30°＝20eq\r(2)×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(20\r(6),3)，所以紅豆樹的高度為eq\f(20\r(6),3)米．3．德國聞名天文學(xué)家開普勒說過：“幾何學(xué)里有兩件寶，一個是勾股定理，另一個是黃金分割．假如把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦．”現(xiàn)將底與腰之比或腰與底之比為eq\f(\r(5)－1,2)的等腰三角形稱為黃金三角形，它是一個頂角為36°或108°的等腰三角形．如圖，△ABC，△BCD，△ADE都是黃金三角形，若AB＝2，則DE的大小為()A．eq\r(5)－1B．eq\f(\r(5)＋1,2)C．2D．eq\r(5)＋1【解析】選C.由題意eq\f(BC,AB)＝eq\f(\r(5)－1,2)，即BC＝eq\r(5)－1，因為eq\f(BC,DC)＝eq\f(\r(5)－1,2)，所以DC＝2，由題意黃金三角形是一個頂角為36°或108°的等腰三角形，可知∠A＝36°，△ABC是等腰三角形，所以∠CBD＝108°，△BCD是等腰三角形，則∠BCD＝36°，那么∠ECD＝72°，因為△ADE是黃金三角形，所以∠CED＝72°，則DC＝DE，所以DE＝2.4.珠穆朗瑪峰是印度洋板塊和歐亞板塊碰撞擠壓形成的．這種擠壓始終在進(jìn)行，珠穆朗瑪峰的高度也始終在改變．由于地勢險峻，氣候惡劣，通常采納人工攀登的方式為珠峰“量身高”．攀登者們肩負(fù)高精度測量儀器，采納了分段測量的方法，從山腳起先，直到到達(dá)山頂，再把全部的高度差累加，就會得到珠峰的高度.2024年5月，中國珠峰高程測量登山隊8名隊員起先新一輪的珠峰測量工作．在測量過程中，已知直立在B點處的測量覘標(biāo)高10米，攀登者們在A處測得到覘標(biāo)底點B和頂點C的仰角分別為70°，80°，則A，B的高度差約為(sin70°≈0.94)()A．10米B．C．9.40米D．【解析】選C.依據(jù)題意畫出如圖的模型，則CB＝10，∠OAB＝70°，∠OAC＝80°，所以∠CAB＝10°，∠ACB＝10°，所以AB＝10，所以在Rt△AOB中，BO＝10sin70°≈9.4(米).5．劉徽是中國魏晉時期杰出的數(shù)學(xué)家，他提出“割圓求周”方法：當(dāng)n很大時，用圓內(nèi)接正n邊形的周長近似等于圓周長，并計算出精確度很高的圓周率π≈3.1416.在《九章算術(shù)注》中總結(jié)出“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不行割，則與圓周合體而無所失矣”的極限思想．運用此思想，當(dāng)π取3.1416時可得sin1°的近似值為()A．0.00873B．0.01745C．0.02618D．0.03491【解析】選B.將一個單位圓分成180個扇形，則每個扇形的圓心角度數(shù)均為2°，由垂徑定理，可得每個圓心角所對的弦長AB＝2AC＝2×1×sin1°＝2sin1°，因為這180個扇形對應(yīng)的弦長之和近似于單位圓的周長所以180×2×1×sin1＝360sin1°≈2π，所以sin1°≈eq\f(2π,360°)≈eq\f(2×3.1416,360)≈0.01745.6．將一條勻稱松軟的鏈條兩端固定，在重力的作用下它所呈現(xiàn)的形態(tài)叫懸鏈線，例如懸索橋等．建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，可以寫出懸鏈線的函數(shù)解析式為f(x)＝acosheq\f(x,a)，其中a為懸鏈線系數(shù)，coshx稱為雙曲余弦函數(shù)，其函數(shù)表達(dá)式為coshx＝eq\f(ex＋e－x,2)，相應(yīng)地雙曲正弦函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式為sinhx＝eq\f(ex－e－x,2).若直線x＝m與雙曲余弦函數(shù)C1和雙曲正弦函數(shù)C2分別相交于點A，B，曲線C1在點A處的切線與曲線C2在點B處的切線相交于點P，則()A．y＝sinhxcoshx是偶函數(shù)B．cosh(x＋y)＝coshxcoshy－sinhxsinhyC．|BP|隨m的增大而減小D．△PAB的面積隨m的增大而減小【解析】選D.對于選項A：y＝sinhxcoshx＝eq\f(e2x－e－2x,4)是奇函數(shù)，所以A錯誤；對于選項B：coshxcoshy－sinhxsinhy＝eq\f(ex＋e－x,2)·eq\f(ey＋e－y,2)－eq\f(ex－e－x,2)·eq\f(ey－e－y,2)＝eq\f(ex＋y＋e－x－y＋ex－y＋ey－x,4)－eq\f(ex＋y＋e－x－y－ex－y－ey－x,4)＝eq\f(ex－y＋ey－x,2)＝cosh(x－y)，所以B錯誤；對于選項C，D：設(shè)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，\f(em＋e－m,2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，\f(em－e－m,2)))，由曲線C1在點A處的切線方程為：y－eq\f(em＋e－m,2)＝eq\f(em－e－m,2)(x－m)，曲線C2在點B處的切線方程為：y－eq\f(em－e－m,2)＝eq\f(em＋e－m,2)(x－m)，聯(lián)立求得點P的坐標(biāo)為(m＋1，em)，則|BP|2＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(em－\f(em－e－m,2)))eq\s\up12(2)＝1＋eq\f(（em＋e－m）,4)，S△PAB＝eq\f(1,2)|AB|＝eq\f(1,2)e－m，所以|BP|隨m的增大而先減小后增大，△PAB的面積隨m的增大而減小，所以C錯誤，D正確．7．秦九韶是我國南宋時期的數(shù)學(xué)家，他的成就代表了中世紀(jì)世界數(shù)學(xué)發(fā)展的主流與最高水平．他在著作《數(shù)書九章》中敘述了已知三角形的三條邊長a，b，c，求三角形面積的方法．其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實．一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即為S＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a2c2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋c2－b2,2)))\s\up12(2)))).已知△ABC的三條邊長為a，b，c，其面積為12，且a2＋c2－b2＝14，則△ABC周長的最小值為()A．12B．14C．16D．18【解析】選C.由已知：S＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a2c2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋c2－b2,2)))\s\up12(2))))①，且a2＋c2－b2＝14②，S＝12.由將②式代入①式得：12＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a2c2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(14,2)))\s\up12(2))))?ac＝25，所以△ABC周長＝a＋c＋b＝a＋c＋eq\r(a2＋c2－14)≥2eq\r(ac)＋eq\r(2ac－14)＝16.取等條件a＝c＝5，b＝6，故周長的最小值為16.8．在高辨別率遙感影像上，陰影表現(xiàn)為低亮度值，其分布范圍反映了地物成像時遮光狀況的二維信息，可以通過線段AB長度(如圖：粗線條部分)與建筑物高度的幾何關(guān)系來確定地表建筑物的高度數(shù)據(jù)．在不考慮太陽方位角對建筑物陰影影響的狀況下，太陽高度角、衛(wèi)星高度角與建筑物高度、線段AB的關(guān)系如圖所示，在某時刻測得太陽高度角為β，衛(wèi)星高度角為α，陰影部分長度為L，由此可計算建筑物的高度為()A．eq\f(L（tanα－tanβ）,tanα·tanβ) B．eq\f(Ltanαtanβ,tanα－tanβ)C．eq\f(Ltanαtanβ,tan（α－β）) D．eq\f(Ltan（α－β）,tanαtanβ)【解析】選B.如圖所示：由于CD⊥BD，所以在Rt△ACD中，tanα＝eq\f(y,x).在Rt△BCD中，tanβ＝eq\f(y,x＋L)，所以eq\f(tanα,tanβ)＝eq\f(x＋L,x)，解得x＝eq\f(Ltanβ,tanα－tanβ)，所以y＝eq\f(Ltanαtanβ,tanα－tanβ).9．已知南北回來線的緯度為23°26′，設(shè)地球表面某地正午太陽高度角為θ，δ為此時太陽直射緯度，φ為該地的緯度值，那么這三個量之間的關(guān)系是θ＝90°－|φ－δ|.當(dāng)?shù)叵陌肽軎娜≌担肽軎娜∝?fù)值，假如在北半球某地(緯度為φ0)的一幢高為h0的樓房北面蓋一新樓，要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋，兩樓的距離應(yīng)不小于________(結(jié)果用含有h0和φ0的式子表示).【解析】θ＝90°－|φ－ξ|＝90°－|φ0－(－23°26′)|，所以eq\f(h0,影長)＝tanθ，所以影長＝eq\f(h0,tanθ)＝tan(φ0＋23°26′)·h0.所以兩樓的距離應(yīng)不小于tan(φ0＋23°26′)·h0.答案：tan(φ0＋23°26′)·h010．下面是一半徑為2米的水輪，水輪的圓心O距離水面1米，已知水輪自點M起先以1分鐘旋轉(zhuǎn)4圈的速度順時針旋轉(zhuǎn)，點M距水面的高度d(米)(在水平面下d為負(fù)數(shù))與時間t(秒)滿意函數(shù)關(guān)系式d＝Asin(ωt＋φ)＋1(A＞0，ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2))，則函數(shù)關(guān)系式為________．【解析】由題意知水輪的半徑為2，水輪圓心O距離水面1，所以A＝2；又水輪每分鐘旋轉(zhuǎn)4圈，所以轉(zhuǎn)一圈須要15秒，所以T＝15＝eq\f(2π,