專題09 二次函數(shù)的圖像與性質（二）（云南專用）（解析版）

專題09二次函數(shù)的圖像與性質（二）目錄熱點題型歸納 1題型01二次函數(shù)與不等式 1題型02根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求解 9題型03二次函數(shù)中的平移、翻折、旋轉問題 15題型04二次函數(shù)圖象判斷綜合 23題型05二次函數(shù)與實際問題 27中考練場 35 題型01二次函數(shù)與不等式【解題策略】二次函數(shù)與不等式的關系：b2-4acb2-4ac>0b2-4ac=0b2-4ac<0圖象與x軸交點2個交點1個交點0個交點ax2＋bx＋c>0的解集情況x<x1或x>x2x≠?取任意實數(shù)ax2＋bx＋c<0的解集情況x1<x<x2無解無解【其它情況】1）關于x的不等式ax2＋bx＋c＞mx＋n（ma≠0）的解集?拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直線y＝mx＋n（m≠0）上方的所有點的橫坐標的值；2）關于x的不等式ax2＋bx＋c＜mx＋n（ma≠0）的解集?拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直線y＝mx＋n（m≠0）下方的所有點的橫坐標的值．【典例分析】例1．（2023·浙江）已知二次函數(shù)y=ax2?4ax（a是常數(shù)，a<0）的圖象上有Am,y1和B2m,y2兩點．若點A，B都在直線y=?3a的上方，且A．1<m<32 B．43<m<2 C．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件列出不等式，利用二次函數(shù)與x軸的交點和二次函數(shù)的性質，即可解答．【詳解】解：∵a<0，∴y=?3a>0，∵點A，B都在直線y=?3a的上方，且y1可列不等式：4am∵a<0，可得4m設拋物線y1=4m∴4m2?8m+3<0可看作拋物線y當y1=0時，可得解得m1∵4>0，∴y∴4m2?8m+3<0根據(jù)題意還可列不等式：am∵a<0，∴可得m2整理得?3m設拋物線y2=?3m∴?3m2+4m<0可看作拋物線y當y2=0時，可得解得m1∵?3<0，∴拋物線y2∴?3m2+4m<0的解為m<0綜上所述，可得43故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上的點的坐標特征，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，正確列出不等式是解題的關鍵．例2．（2023·安徽模擬）如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象，由圖象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是A.?1<x<5 B.x>5

C.x<?【答案】C

【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出與x軸的另一個交點坐標，然后根據(jù)函數(shù)圖象寫出x軸下方部分的x的取值范圍即可．【詳解】解：由圖可知，對稱軸為直線x=2，∵拋物線與x軸的一個交點坐標為(5,0)，∴拋物線與x軸的另一個交點坐標為(?1,0)，又∵拋物線開口向下，∴不等式ax2+bx+c<0故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與不等式組，二次函數(shù)的性質，此類題目，利用數(shù)形結合的思想求解是解題的關鍵．【變式演練】1.（2023·福建模擬）如圖，拋物線y=ax2+c與直線y=mx+n交于A(?1,p)，B(3,q)兩點，則不等式axA.x>?1 B.x<3

C.x<?1或x>3 D.?1<x<3【答案】C

【解析】解：∵拋物線y=ax2+c與直線y=mx+n交于A(?1,p)，B(3,q)兩點，

∴拋物線y=ax2+c與直線y=?mx+n交于(1,p)，(?3,q)兩點，

觀察函數(shù)圖象可知：當x<?3或x>1時，拋物線y=ax2+c在直線y=?mx+n的上方，

∴不等式ax2+c>mx+n的解集為x<?1或x>3，

即不等式ax22．（2023·江蘇）如圖，二次函數(shù)y=12x2+bx?4的圖像與x

(1)b=_______；(2)D是第三象限拋物線上的一點，連接OD，tan∠AOD=52；將原拋物線向左平移，使得平移后的拋物線經(jīng)過點D，過點(k,0)作x軸的垂線l．已知在l(3)將原拋物線平移，平移后的拋物線與原拋物線的對稱軸相交于點Q，且其頂點P落在原拋物線上，連接PC、QC、PQ．已知△PCQ是直角三角形，求點P的坐標．【答案】(1)?1；(2)k≤?3；(3)3,?52或【分析】（1）把A(?2,0)代入y=1（2）過點D作DM⊥OA于點M，設Dm,12m2平移后得拋物線為y=1（3）先設出平移后頂點為Pp,12p2?p?4，根據(jù)原拋物線y=1【詳解】（1）解：把A(?2,0)代入y=10=1解得b=?1，故答案為?1；（2）解：過點D作DM⊥OA于點M，

∵b=?1，∴二次函數(shù)的解析式為y=設Dm,∵D是第三象限拋物線上的一點，連接OD，tan∠AOD=∴tan∠AOD=解得m=?1或m=8（舍去），當m=?1時，12∴D?1,?∵y=1∴設將原拋物線向左平移后的拋物線為y=1把D?1,?52代入y=解得a=3或a=?1（舍去），∴平移后得拋物線為y=∵過點(k,0)作x軸的垂線l．已知在l的左側，平移前后的兩條拋物線都下降，在y=12x+32?92的對稱軸x=?3的左側，y∴k≤?3；（3）解：由y=12x?12?∵頂點為Pp,q在y=∴q=1∴平移后的拋物線為y=12x?p∵原拋物線y=1∴原拋物線的頂點C1,?92∵平移后的拋物線與原拋物線的對稱軸相交于點Q，∴Q1,∵點Q、C在直線x=1上，平移后的拋物線頂點P在原拋物線頂點C的上方，兩拋物線的交點Q在頂點P的上方，∴∠PCQ與∠CQP都是銳角，∵△PCQ是直角三角形，∴∠CPQ=90°，∴QC∴p2?2p?7∴p=1（舍去），或p=3或p=?1，當p=3時，12當p=?1時，12∴點P坐標為3,?52或【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像及性質，勾股定理，解直角三角形以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質是解題的關鍵．3．（2023·浙江）如圖，已知二次函數(shù)y=x2+bx+c圖象經(jīng)過點A(1,?2)

(1)求該二次函數(shù)的表達式及圖象的頂點坐標．(2)當y≤?2時，請根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍．【答案】(1)y=x2+2x?5(2)?3≤x≤1【分析】（1）把A(1,?2)和B(0,?5)代入y=x（2）把y=?2代入函數(shù)解析式求解x的值，再利用函數(shù)圖象可得y≤?2時x的取值范圍．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)y=x2+bx+c圖象經(jīng)過點A(1,?2)∴c=?51+b+c=?2，解得：b=2∴拋物線為y=x∴頂點坐標為：?1,?6；（2）當y=?2時，x+12∴x+1解得：x1=1，

如圖，當y≤?2時，∴?3≤x≤1．【點睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的頂點坐標，利用圖象法解不等式，熟練的運用數(shù)形結合的方法解題是關鍵．題型02根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求解【解題策略】拋物線的對稱性的應用，主要體現(xiàn)在：1）求一個點關于對稱軸對稱的點的坐標；2）已知拋物線上兩個點關于對稱軸對稱，求其對稱軸.解此類題的主要根據(jù)：若拋物線上兩個關于對稱軸對稱的點的坐標分別為(x1，y)，(x2，y)，則拋物線的對稱軸可表示為直線x=x1解題技巧：1.拋物線上兩點若關于直線，則這兩點的縱坐標相同，橫坐標與x=?b2若二次函數(shù)與x軸有兩個交點，則這兩個交點關于直線x=?b3二次函數(shù)y=ax2+bx+c與y=ax2-bx+c的圖象關于y軸對稱；二次函數(shù)y=ax2+bx+c與y=-ax2-bx-c的圖象于x軸對稱.【典例分析】例1．（2023·遼寧）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的一個交點為3，0A．abc<0 B．2a+b=0 C．4ac>b2【答案】B【分析】利用二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系可得出，a、b、c的正負，進而得出abc的正負；利用對稱軸為直線x=1，可得出2a+b與0的關系；由拋物線與x軸的交點情況，可得出b2與4ac的大小關系；由拋物線與x軸的一個交點坐標為3，0【詳解】解：A、由二次函數(shù)的圖形可知：a>0，b<0，B、因為二次函數(shù)的對稱軸是直線x=1，則?b2a=1C、因為拋物線與x軸有兩個交點，所以b2?4ac>0，即D、因為拋物線與x軸的一個交點坐標為3，0，且對稱軸為直線x=1，所以它與x軸的另一個交點的坐標為故選：B．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與各項系數(shù)的關系，正確求得a，b，c的正負以及巧妙利用拋物線的對稱軸是解決問題的關鍵．例2．（2023·湖南）如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于點A1,0、點B3,0，與y軸相交于點C，點D在拋物線上，當

【答案】4【分析】與拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于點A1,0、點B3,0，可得拋物線的對稱軸為直線x=1+32=2，由CD∥x軸，可得【詳解】解：∵拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于點A∴拋物線的對稱軸為直線x=1+3∵當x=0時，y=c，即C0,c∵CD∥x軸，∴C，D關于直線x=2對稱，∴D4,c∴CD=4?0=4；故答案為：4【點睛】本題考查的是利用拋物線上兩點的坐標求解對稱軸方程，熟練的利用拋物線的對稱性解題是關鍵．【變式演練】1.（2023·浙江）設二次函數(shù)y=ax?mx?m?k(a>0,m,k是實數(shù))A．當k=2時，函數(shù)y的最小值為?a B．當k=2時，函數(shù)y的最小值為?2aC．當k=4時，函數(shù)y的最小值為?a D．當k=4時，函數(shù)y的最小值為?2a【答案】A【分析】令y=0，則0=ax?mx?m?k，解得：x1=m，x2=m+k，從而求得拋物線對稱軸為直線【詳解】解：令y=0，則0=ax?m解得：x1=m，∴拋物線對稱軸為直線x=當k=2時，拋物線對稱軸為直線x=m+1，把x=m+1代入y=ax?mx?m?2，得∵a>0∴當x=m+1，k=2時，y有最小值，最小值為?a．故A正確，B錯誤；當k=4時，拋物線對稱軸為直線x=m+2，把x=m+2代入y=ax?mx?m?4，得∵a>0∴當x=m+2，k=4時，y有最小值，最小值為?4a，故C、D錯誤，故選：A．【點睛】本題考查拋物線的最值，拋物線對稱軸．利用拋物線的對稱性求出拋物線對稱軸是解題的關鍵．2.（2023·湖南）如圖所示，直線l為二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的對稱軸，則下列說法正確的是

(

)

A.b恒大于0 B.a，b同號

C.a，b異號 D.以上說法都不對【答案】C

【解析】解：∵直線l為二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的對稱軸，

∴對稱軸為直線x=?b2a>0，

當a<0時，則b>0，

當a>0時，則b<0，

∴a，b異號，

故選：C．

先寫出拋物線的對稱軸方程，列出不等式，再分3.（2023·湖北）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過三點A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(?3,0)，且對稱軸為直線x=?1.有以下結論：①a+b+c=0；②2c+3b=0；③當?2<x1<?1A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C

【解析】解：因為二次函數(shù)的圖象過點C(?3,0)，且對稱軸為直線x=?1，

所以由拋物線的對稱性可知，點(1,0)也在拋物線上．

將(1,0)代入二次函數(shù)解析式得，

a+b+c=0．

故①正確．

因為拋物線的對稱軸是直線x=?1，

所以?b2a=?1，即b?2a=0．

又a+b+c=0，

則將a=?b?c代入b?2a=0得，

2c+3b=0．

故②正確．

因為?2<x1<?1，0<x2<1，

所以點A離對稱軸更近．

則當a>0時，y1<y2；

當a<0時，y1>y2．

故③錯誤．

由ax2+bx+c=k(x+1)得，

ax2+(b?k)x+c?k=0．

又a+b+c=0，2c+3b=0，

得b=?23c,a=?13c．

則(b?k)2?4a(c?k)

=(?23c?k4．（2023·北京）在平面直角坐標系xOy中，Mx1,y1，N(1)若對于x1=1，x2=2有(2)若對于0<x1<1，1<x2【答案】(1)t=(2)t≤【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質求得對稱軸即可求解；（2）根據(jù)題意可得x1,y1離對稱軸更近，x1<x2，則【詳解】（1）解：∵對于x1=1，x2∴拋物線的對稱軸為直線x=x∵拋物線的對稱軸為x=t．∴t=3（2）解：∵當0<x1<1∴12<x∵y1<y∴x1,y1離對稱軸更近，x1∴x1即t≤1【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質，熟練掌握二次函數(shù)的對稱性是解題的關鍵．題型03二次函數(shù)中的平移、翻折、旋轉問題【解題策略】二次函數(shù)的平移變換平移方式（n＞0)一般式y(tǒng)=ax2+bx+c頂點式y(tǒng)＝a(x–h)2＋k平移口訣向左平移n個單位y=a(x+n)2+b(x+n)+cy=a(x-h+n)2+k左加向右平移n個單位y=a(x-n)2+b(x-n)+cy=a(x-h-n)2+k右減向上平移n個單位y=ax2+bx+c+ny=a(x-h)2+k+n上加向下平移n個單位y=ax2+bx+c-ny=a(x-h)2+k-n下減2）平移與增加性變化如果平移后對稱軸不發(fā)生變化，則不影響增減性，但會改變函數(shù)最大(小)值.只對二次函數(shù)上下平移，不改變增減性，改變最值.只對二次函數(shù)左右平移，改變增減性，不改變最值.3）二次函數(shù)圖象的翻折與旋轉變換前變換方式變換后口訣y=a(x-h)2+k繞頂點旋轉180°y=-a(x-h)2+ka變號，h、k均不變繞原點旋轉180°y=-a(x+h)2-ka、h、k均變號沿x軸翻折y=-a(x-h)2-ka、k變號，h不變沿y軸翻折y=a(x+h)2+ka、h不變，h變號【典例分析】例1．（2024·湖南模擬）如圖，已知拋物線y=x2?x?2交x軸于A、B兩點，將該拋物線位于x軸下方的部分沿x軸翻折，其余部分不變，得到的新圖象記為“圖象W”，圖象W交y(1)寫出圖象W位于線段AB上方部分對應的函數(shù)關系式；(2)若直線y=?x+b與圖象W有三個交點，請結合圖象，直接寫出b的值；(3)P為x軸正半軸上一動點，過點P作PM∥y軸交直線BC于點M，交圖象W于點N，是否存在這樣的點P，使△CMN與△OBC相似？若存在，求出所有符合條件的點【答案】(1)y=?(2)b=2或b=3(3)存在，1,0或1+172【分析】（1）先求出點A、B、C坐標，再利用待定系數(shù)法求解函數(shù)關系式即可；（2）聯(lián)立方程組，由判別式△=0求得b值，結合圖象即可求解；（3）根據(jù)相似三角形的性質分∠CNM=90°和∠NCM=90°討論求解即可．【詳解】（1）解：由翻折可知：C0,2令x2?x?2=0，解得：x1∴A?1,0，B設圖象W的解析式為y=ax+1x?2，代入C0,2∴對應函數(shù)關系式為y=?x+1x?2=?x（2）解：聯(lián)立方程組y=?x+by=?整理，得：x2由△=4-4（b-2）=0得：b=3，此時方程有兩個相等的實數(shù)根，由圖象可知，當b=2或b=3時，直線y=?x+b與圖象W有三個交點；（3）解：存在．如圖1，當CN∥OB時，△OBC∽△NMC，此時，N與C關于直線x=∴點N的橫坐標為1，∴P1,0如圖2，當CN∥OB時，△OBC∽△NMC，此時，由x2?x?2=2，解得x1∴N的橫坐標為1+17所以P1+如圖3，當∠NCM=90°時，△OBC∽△CMN，此時，直線CN的解析式為y=x+2，聯(lián)立方程組：y=x+2y=x2?x?2，解得∴N的橫坐標為1+5所以P1+因此，綜上所述：P點坐標為1,0或1+172,0【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合，涉及翻折性質、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交點問題、相似三角形的性質、解一元二次方程等知識，綜合體現(xiàn)數(shù)形結合思想和分類討論思想的運用，屬于綜合題型，有點難度．【變式演練】1．（2023·江蘇模擬）如圖，將拋物線y=2(x+1)2+1繞原點O順時針旋轉45°得到新曲線，新曲線與直線y=x交于點M，則點M【答案】3【分析】本題考查的是二次函數(shù)圖象與幾何變換，旋轉的選擇、勾股定理的應用，利用逆向思維，確定對應點M、M'的關系，是本題的突破點．直線y=x繞原點O逆時針旋轉45°得到x=0，求得拋物線與y軸的交點M'，M'繞原點O順時針旋轉45°得到M【詳解】解：直線y=x繞原點O逆時針旋轉45°得到x=0，設拋物線y=2(x+1)2+1與y∵拋物線y=2(x+1)∴x=0時，y=3，∴M設點Mm,m由題意得：OM=OM∴m∴m=3∴點M的坐標為32故答案為：32.（2024·四川模擬）已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為A(1,4)，且與x軸交于點B(?1,0)．(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)如圖，將二次函數(shù)圖象繞x軸的正半軸上一點P(m,0)旋轉180°，此時點A、B的對應點分別為點C、D．①連結AB、BC、CD、DA，當四邊形ABCD為矩形時，求m的值；②在①的條件下，若點M是直線x=m上一點，原二次函數(shù)圖象上是否存在一點Q，使得以點B、C、M、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y=?(x?1)2+4(2)①m=4，②存在符合條件的點Q，其坐標為(?4,?21)或(2,3)或(12,?117)【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象的頂點坐標，設二次函數(shù)的表達式為y=a(x?1)2+4（2）①過點A(1,4)作AE⊥x軸于點E，根據(jù)∠BAD=∠BEA=90°，又因為∠ABE=∠DBA，證明出△BAE∽△BDA，從而得出AB2=BE?BD，將BD=2(m+1)，BE=2，AE=4②根據(jù)上問可以得到C7,?4，點M的橫坐標為4，B?1,0，要讓以點B、C、M、Q為頂點的平行四邊形，所以分為三種情況討論：1）當以BC為邊時，存在平行四邊形為BCMQ；2）當以BC為邊時，存在平行四邊形為BCQM；3）當以BC為對角線時，存在平行四邊形為【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖象的頂點坐標為A(1,4)，∴設二次函數(shù)的表達式為y=a(x?1)又∵B(?1,0)，∴0=a(?1?1)解得：a=?1，∴y=?(x?1)2+4（2）①∵點P在x軸正半軸上，∴m>0，∴BP=m+1，由旋轉可得：BD=2BP，∴BD=2(m+1)，過點A(1,4)作AE⊥x軸于點E，∴BE=2，AE=4，在Rt△ABE中，A當四邊形ABCD為矩形時，AD⊥AB，∴∠BAD=∠BEA=90°，又∠ABE=∠DBA，∴△BAE∽△BDA，∴AB∴4(m+1)=20，解得m=4；②由題可得點A1,4與點C關于點P∴C7,?4∵點M在直線x=4上，∴點M的橫坐標為4，存在以點B、C、M、Q為頂點的平行四邊形，1）、當以BC為邊時，平行四邊形為BCMQ，點C向左平移8個單位，與點B的橫坐標相同，∴將點M向左平移8個單位后，與點Q的橫坐標相同，∴Q?4,y1解得：y1∴Q(?4,?21)，2）、當以BC為邊時，平行四邊形為BCQM，點B向右平移8個單位，與點C的橫坐標相同，∴將M向右平移8個單位后，與點Q的橫坐標相同，∴Q12,y2解得：y2∴Q(12,?117)，3）、當以BC為對角線時，點M向左平移5個單位，與點B的橫坐標相同，∴點C向左平移5個單位后，與點Q的橫坐標相同，∴Q2,y3得：y3∴Q(2,3)，綜上所述，存在符合條件的點Q，其坐標為(?4,?21)或(2,3)或(12,?117)．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質，中心對稱，平行四邊形的存在性問題，矩形的性質，熟練掌握以上性質并作出輔助線是本題的關鍵．題型04二次函數(shù)圖象判斷綜合【解題策略】二次函數(shù)的圖象與性質圖象特征二次函數(shù)的圖象是一條關于某條直線對稱的曲線，這條曲線叫拋物線，該直線叫做拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點叫做拋物線的頂點.基本形式y(tǒng)=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c圖象a>0a<0對稱軸y軸y軸x=hx=hx=?頂點坐標(0，0)(0，k)(h，0)(h，k)(?b2a，最值a>0開口向上，頂點是最低點，此時y有最小值；a<0開口向下，頂點是最高點，此時y有最大值.【小結】二次函數(shù)最小值(或最大值)為0（k或4ac?增減性a>0在對稱軸的左邊y隨x的增大而減小，在對稱軸的右邊y隨x的增大而增大.a<0在對稱軸的左邊y隨x的增大而增大，在對稱軸的右邊y隨x的增大而減小.【典例分析】例1．（2024·貴州模擬）若二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像如圖所示，則一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y=?A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖像確定a，b，c的正負，即可確定一次函數(shù)y=ax+b所經(jīng)過的象限和反比例函數(shù)y=?c【詳解】解：∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像開口向上，對稱軸在y軸左邊，與y∴a>0，?b2a<0∴b>0，-c>0，∴一次函數(shù)y=ax+b的圖像經(jīng)過第一、二、三象限，反比例函數(shù)y=?c故選：C【點睛】本題考查二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關系，一次函數(shù)圖像與系數(shù)的關系，反比例函數(shù)圖像與系數(shù)的關系，熟練并靈活運用這些知識是解題關鍵．【變式演練】1.（2022·湖南）已知二次函數(shù)y=ax2+bx?c(a≠0)，其中b>0，c>0，則該函數(shù)的圖象可能為A. B.

C. D.【答案】C

【解析】∵c>0，∴?c<0，∴函數(shù)圖像與y軸的交點在負半軸上，故排除A，D選項.當a>0時，∵b>0，∴對稱軸x=?b2a<0，故排除B選項.當a<0時，∵b>0，∴對稱軸x=?b2a>0，故2.（2022·廣西）已知反比例函數(shù)y=bx(b≠0)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=cx?a(c≠0)和二次函數(shù)y=ax2A.

B.

C.

D.【答案】D

【解析】解：∵反比例函數(shù)y=bx(b≠0)的圖象位于一、三象限，

∴b>0；

∵A、B的拋物線都是開口向下，

∴a<0，根據(jù)同左異右，對稱軸應該在y軸的右側，

故A、B都是錯誤的．

∵C、D的拋物線都是開口向上，

∴a>0，根據(jù)同左異右，對稱軸應該在y軸的左側，

∵拋物線與y軸交于負半軸，

∴c<0

由a>0，c<0，排除C．

故選：D．

本題形數(shù)結合，根據(jù)二次函數(shù)y=bx(b≠0)的圖象位置，可判斷b>0；再由二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象性質，排除A3.（2023·浙江）拋物線y=ax2?aa≠0與直線y=kx交于Ax1,y1A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限【答案】D【分析】根據(jù)已知條件可得出ax【詳解】解：∵拋物線y=ax2?aa≠0與直線y=kx交于∴kx=ax∴ax∴x∵x1∴k當a>0，k<當a<0，k>綜上所述，y=ax+k一定經(jīng)過一、四象限．故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系，解題的關鍵在于熟練掌握根與系數(shù)關系公式．題型05二次函數(shù)與實際問題【解題策略】用二次函數(shù)解決實際問題的一般步驟：1.審：仔細審題，理清題意；2.設：找出題中的變量和常量，分析它們之間的關系，與圖形相關的問題要結合圖形具體分析，設出適當?shù)奈粗獢?shù)；3.列：用二次函數(shù)表示出變量和常量之間的關系，建立二次函數(shù)模型，寫出二次函數(shù)的解析式；4.解：依據(jù)已知條件，借助二次函數(shù)的解析式、圖象和性質等求解實際問題；5.檢：檢驗結果，進行合理取舍，得出符合實際意義的結論.【注意】二次函數(shù)在實際問題中的應用通常是在一定的取值范圍內，一定要注意是否包含頂點坐標，如果頂點坐標不在取值范圍內，應按照對稱軸一側的增減性探討問題結論．利用二次函數(shù)解決利潤最值的方法：巧設未知數(shù)，根據(jù)利潤公式列出函數(shù)關系式，再利用二次函數(shù)的最值解決利潤最大問題是否存在最大利潤問題。利用二次函數(shù)解決拱橋/隧道/拱門類問題的方法：先建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，再根?jù)題意找出已知點的坐標，并求出拋物線解析式，最后根據(jù)圖象信息解決實際問題。利用二次函數(shù)解決面積最值的方法：先找好自變量，再利用相關的圖形面積公式，列出函數(shù)關系式，最后利用函數(shù)的最值解決面積最值問題?！咀⒁狻孔宰兞康娜Q范圍。利用二次函數(shù)解決動點問題的方法：首先要明確動點在哪條直線或拋物線上運動，運動速度是多少，結合直線或拋物線的表達式設出動點的坐標或表示出與動點有關的線段長度，最后結合題干中與動點有關的條件進行計算．利用二次函數(shù)解決存在性問題的方法：一般先假設該點存在，根據(jù)該點所在的直線或拋物線的表達式，設出該點的坐標；然后用該點的坐標表示出與該點有關的線段長或其他點的坐標等；最后結合題干中其他條件列出等式，求出該點的坐標，然后判別該點坐標是否符合題意，若符合題意，則該點存在，否則該點不存在．【典例分析】例1．（2023·上海）單板滑雪大跳臺是北京冬奧會比賽項目之一，運動員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標系，從起跳到著陸的過程中，運動員的豎直高度y(單位：m)與水平距離x(單位：m)近似滿足函數(shù)關系y=a(x+m)2+k(a<0).某運動員進行了兩次訓練．第一次訓練時，該運動員的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如圖．根據(jù)上述數(shù)據(jù)，該運動員豎直高度的最大值為(

)水平距離x/m02581114豎直高度y/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40A.23.20cm B.22.75cm C.21.40cm D.23cm【答案】A

【解析】解：根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知，拋物線的頂點坐標為：(8,23.20)，

∴k=23.20，

即該運動員豎直高度的最大值為23.20m，

故選：A．

根據(jù)表格中數(shù)據(jù)求出頂點坐標即可．

本題考查二次函數(shù)的應用，關鍵是根據(jù)表格中數(shù)據(jù)求出頂點坐標．例2．（2023·黑龍江）某建筑物的窗戶如圖所示，上半部分△ABC是等腰三角形，AB=AC，AF：BF=3：4，點G、H、F分別是邊AB、AC、BC的中點；下半部分四邊形BCDE是矩形，BE//IJ//MN//CD，制造窗戶框的材料總長為16米(圖中所有黑線的長度和)，設BF=x米，BE=y米．

(1)求y與x之間的函數(shù)關系式，并求出自變量x的取值范圍；

(2)當x為多少時，窗戶透過的光線最多(窗戶的面積最大)，并計算窗戶的最大面積．【答案】解：(1)∵△ABC是等腰三角形，F(xiàn)是BC的中點，

∴BF=CF，AF⊥BC，AB=AC，

∵BF=x米，

∴CF=x米，BC=2BF=2x米，

∵AF：BF=3：4，

∴AF=34x米，

在Rt△AFB中，由勾股定理得AB=AF2+BF2=(34x)2+x2=54x米，

∴AC=AB=54x米，

∵點G、H分別是邊AB、AC的中點，∠AFB=∠AFC=90°，

∴FG=12AB=58x米，F(xiàn)H=12AC=58x米，

∵四邊形BCDE是矩形，

∴ED=BC=2x米，BE=CD=y米，

∵BE//IJ//MN//CD，

∴BE=IJ=MN=CD=y米，

∵制造窗戶框的材料總長為16米，

∴AB+AC+FG+FH+AF+BC+ED+BE+IJ+MN+CD=16米，

∴54x+54x+58x+5【解析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質求出CF的長，即可求出BC的長，根據(jù)AF：BF=3：4即可求出AF的長，再根據(jù)勾股定理求出AB的長，AC的長，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出FG、FH的長，根據(jù)矩形的性質求出ED=BC=2x米，BE=IJ=MN=CD=y米，最后根據(jù)制造窗戶框的材料總長為16米列出方程即可得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關系式；

(2)根據(jù)窗戶的面積等于△ABC的面積加上矩形BCDE的面積計算，再根據(jù)配方法求二次函數(shù)的頂點坐標即可．

本題考查了等腰三角形的性質，矩形的性質，二次函數(shù)的應用，根據(jù)材料總長用含x的式子表示y，從而運用函數(shù)性質求最大值是解題的關鍵．【變式演練】1.（2023·廣東）甲秀樓是貴陽市一張靚麗的名片．如圖①，甲秀樓的橋拱截面OBA可視為拋物線的一部分，在某一時刻，橋拱內的水面寬OA=8m，橋拱頂點B到水面的距離是4m（1）按如圖②所示建立平面直角坐標系，求橋拱部分拋物線的函數(shù)表達式；（2）一只寬為1.2m的打撈船徑直向橋駛來，當船駛到橋拱下方且距O點0.4m時，橋下水位剛好在OA處．有一名身高1.68m（3）如圖③，橋拱所在的函數(shù)圖象是拋物線y=ax2+bx+ca≠0，該拋物線在x軸下方部分與橋拱OBA在平靜水面中的倒影組成一個新函數(shù)圖象．將新函數(shù)圖象向右平移mm>0個單位長度，平移后的函數(shù)圖象在8≤x≤9時，y【答案】（1）y=?14x2+2x（0≤x≤8）；（2）他的頭頂不會觸碰到橋拱，理由見詳解；（3）5≤【分析】（1）設二次函數(shù)的解析式為：y=a(x-8)x，根據(jù)待定系數(shù)法，即可求解；（2）把：x=1，代入y=?14x2+2x，得到對應的（3）根據(jù)題意得到新函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)圖像，進而即可得到m的范圍．【詳解】（1）根據(jù)題意得：A(8，0)，B(4，4)，設二次函數(shù)的解析式為：y=a(x-8)x，把(4，4)代入上式，得：4=a×(4-8)×4，解得：a=?1∴二次函數(shù)的解析式為：y=?14(x-8)x=?14x2+2（2）由題意得：x=0.4+1.2÷2=1，代入y=?14x2+2x，得y=?14×1答：他的頭頂不會觸碰到橋拱；（3）由題意得：當0≤x≤8時，新函數(shù)表達式為：y=14x2-2x當x＜0或x＞8時，新函數(shù)表達式為：y=-14x2+2x∴新函數(shù)表達式為：y=1∵將新函數(shù)圖象向右平移mm>0∴O'（m，0），A'（m+8，0），B'根據(jù)圖像可知：當m+4≥9且m≤8時，即：5≤m≤8時，平移后的函數(shù)圖象在8≤x≤9時，y的值隨x值的增大而減?。军c睛】本題主要考查二次函數(shù)的實際應用，掌握二次函數(shù)的待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖像和性質，二次函數(shù)圖像平移和軸對稱變換規(guī)律，是解題的關鍵．2．（2023·浙江）一次足球訓練中，小明從球門正前方8m的A處射門，球射向球門的路線呈拋物線．當球飛行的水平距離為6m時，球達到最高點，此時球離地面3m．已知球門高OB

(1)求拋物線的函數(shù)表達式，并通過計算判斷球能否射進球門（忽略其他因素）．(2)對本次訓練進行分析，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，則當時他應該帶球向正后方移動多少米射門，才能讓足球經(jīng)過點O正上方2.25m處？【答案】(1)y=?1(2)當時他應該帶球向正后方移動1米射門【分析】（1）根據(jù)建立的平面直角三角坐標系設拋物線解析式為頂點式，代入A點坐標求出a的值即可得到函數(shù)表達式，再把x=0代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)值，與球門高度比較即可得到結論；（2）根據(jù)二次函數(shù)平移的規(guī)律，設出平移后的解析式，然后將點0,2.25代入即可求解．【詳解】（1）解：由題意得：拋物線的頂點坐標為2,3，設拋物線解析式為y=ax?2把點A8,0代入，得36a+3=0解得a=?1∴拋物線的函數(shù)表達式為y=?1當x=0時，y=8∴球不能射進球門；（2）設小明帶球向正后方移動m米，則移動后的拋物線為y=?1把點0,2.25代入得2.25=?1解得m1=?5（舍去），∴當時他應該帶球向正后方移動1米射門．【點睛】此題考查了二次函數(shù)的應用，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象的平移等知識，讀懂題意，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關鍵．3．（2022·遼寧）丹東是我國的邊境城市，擁有豐富的旅游資源．某景區(qū)研發(fā)一款紀念品，每件成本為30元，投放景區(qū)內進行銷售，規(guī)定銷售單價不低于成本且不高于54元，銷售一段時間調研發(fā)現(xiàn)，每天的銷售數(shù)量y（件）與銷售單價x（元/件）滿足一次函數(shù)關系，部分數(shù)據(jù)如下表所示：銷售單價x（元/件）…354045…每天銷售數(shù)量y（件）…908070…(1)直接寫出y與x的函數(shù)關系式；(2)若每天銷售所得利潤為1200元，那么銷售單價應定為多少元？(3)當銷售單價為多少元時，每天獲利最大？最大利潤是多少元？【答案】(1)y＝﹣2x+160(2)銷售單價應定為50元(3)當銷售單價為54元時，每天獲利最大，最大利潤1248元【分析】（1）設每天的銷售數(shù)量y（件）與銷售單價x（元/件）之間的關系式為y＝kx+b，用待定系數(shù)法可得y＝﹣2x+160；（2）根據(jù)題意得（x﹣30）?（﹣2x+160）＝1200，解方程并由銷售單價不低于成本且不高于54元，可得銷售單價應定為50元；（3）設每天獲利w元，w＝（x﹣30）?（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，由二次函數(shù)性質可得當銷售單價為54元時，每天獲利最大，最大利潤，1248元．【詳解】（1）解：設每天的銷售數(shù)量y（件）與銷售單價x（元/件）之間的關系式為y＝kx+b，把（35，90），（40，80）代入得：35k+b=9040k+b=80解得k=?2b=160∴y＝﹣2x+160；（2）根據(jù)題意得：（x﹣30）?（﹣2x+160）＝1200，解得x1＝50，x2＝60，∵規(guī)定銷售單價不低于成本且不高于54元，∴x＝50，答：銷售單價應定為50元；（3）設每天獲利w元，w＝（x﹣30）?（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，∵﹣2＜0，對稱軸是直線x＝55，而x≤54，∴x＝54時，w取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）2+1250＝1248（元），答：當銷售單價為54元時，每天獲利最大，最大利潤，1248元．【點睛】本題考查一次函數(shù)，一元二次方程和二次函數(shù)的應用，解題的關鍵是讀懂題意，列出函數(shù)關系式和一元二次方程．1．（2021·廣西）如圖，已知拋物線y=ax2+c與直線y=kx+m交于A(?3,y1)，A．x≤?3或x≥1 B．x≤?1或x≥3 C．?3≤x≤1 D．?1≤x≤3【答案】D【分析】將要求的不等式抽象成兩個函數(shù)的函數(shù)關系問題，根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性，以及兩一次函數(shù)圖象的關系，求出新的一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點，從而寫出拋物線在直線上方部分的x的取值范圍即可．【詳解】∵y=kx+m與y=?kx+m關于y軸對稱拋物線y=ax2+c因此拋物線y=ax2+c與直線y=kx+m的交點和與直線y=?kx+m設y=?kx+m與y=ax2+c交點為A'、B'，則∵a即在點A'∴ax2故選D．【點睛】本題考查了軸對稱，二次函數(shù)與不等式，數(shù)形結合是數(shù)學中的重要思想之一，解決函數(shù)問題更是如此．理解y=kx+m與y=?kx+m關于y軸對稱是解題的關鍵．2.（2022·四川）如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于兩點(x1,0)、(2,0)，其中0<x1<1.下列四個結論：①abc<0；②a+b+c>0；③2a?c>0；A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C

【解析】解：∵拋物線開口向上，對稱軸在y軸右邊，與y軸交于正半軸，

∴a>0，b<0，c>0，

∴abc<0，

∴①正確．

∵當x=1時，y<0，

∴a+b+c<0，

∴②錯誤．

∵拋物線過點(2,0)，

∴4a+2b+c=0，

∴b=?2a?c2，

∵a+b+c<0，

∴a?2a?c2+c<0，

∴2a?c>0，

∴③正確．

如圖：

設y1=ax2+bx+c，y2=?cx1x+c，

由圖知，y1>3．（2023·黑龍江）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點，且自變量xx??101234?y?0?3?4?305?

備用圖(1)求二次函數(shù)y=ax(2)若將線段AB向下平移，得到的線段與二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交于P，Q兩點（P在Q左邊），R為二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象上的一點，當點Q的橫坐標為m，點(3)若將線段AB先向上平移3個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到的線段與二次函數(shù)y=1t(ax2【答案】(1)y(2)2(3)?1<t≤53且t≠0【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)y=ax（2）連接PR，QR，過點R作RM⊥PQ交PQ的延長線于點M，分別表示出RM、PM的長，根據(jù)正切的定義即可得到tan∠RPQ（3）分t>0和t<0兩種情況討論求解即可．【詳解】（1）解：由表格可知，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點?1,0，0,?3，1,?4a?b+c=0c=?3解得a=1b=?2∴二次函數(shù)y=ax2+bx+c（2）如圖，連接PR，QR，過點R作RM⊥PQ交PQ的延長線于點M，

∵點Q的橫坐標為m，∴Qm,∵y=x∴拋物線的對稱軸為直線x=1，∵點P與點Q關于直線x=1對稱，設點Pn,則m?1=1?n，解得n=2?m，∴點P的坐標為2?m,m當x=m+2時，y=即Rm+則Mm+∴RM=mPM=m+2∴tan∠RPQ=即tan∠RPQ的值為2（3）由表格可知點A?1,0、B將線段AB先向上平移3個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到A'0,3、由題意可得，二次函數(shù)y=1t(當t>0時，拋物線y=1t(x2當x=4時，1t即?3t解得t≤5∴t≤5當x=0時，1t(x解得t>?1，∴0<t≤5此時滿足題意，當t<0時，拋物線y=1t(x2?2x?3)=1解得t=?4此時滿足題意，將點A'0,3代入y=1t(將點B'4,3代入y=1t(∴?1<t<0，此時滿足題意，

綜上可知，?1<t≤53且t≠0或【點睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、銳角三角函數(shù)、不等式的應用等知識，數(shù)形結合和分類討論是解題的關鍵．4.（2023·山東）如圖，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，對稱軸為直線x=?1.若點A的坐標為(?4,0)，則下列結論正確的是A.2a+b=0

B.?4a?2b+c>0

C.x=2是關于x的一元一次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一個根

D.點(x1,【答案】C

【解析】解：∵對稱軸為直線x=?1，

∴x=?b2a=?1，

∴b=2a，

∴2a?b=0，故①錯誤，

∵拋物線開口向上，

∴a>0，

∵對稱軸在y軸左側，

∴b>0，

∵拋物線與y軸交于負半軸，

∴c<0，

∴?4a?(2b?c)<0，

即?4a?2b+c<0，故②錯誤，

∵拋物線與x軸交于(?4,0)，對稱軸為直線x=?1，

∴拋物線與x軸的另一個交點為(2,0)，

∴x=2是關于x的一元一次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一個根，故③正確，

∵拋物線開口向上，對稱軸為直線x=?1，

∴當x>?1時，y隨x的增大而增大，

∴當x1>x2>?1時，y1>y2，故④錯誤，

故選：C．

5.（2023·四川）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A(?2,0)，B兩點，對稱軸是直線x=2，下列結論中，所有正確結論的序號為(

)

①a>0；

②點B的坐標為(6,0)；

③c=3b；

④對于任意實數(shù)m，都有4a+2b≥amA.①② B.②③ C.②③④ D.③④【答案】C

【解析】解：∵拋物線開口向下，

∴a<0，①錯誤，

∵A、B關于對稱軸x=2對稱，

∴B點的橫坐標為6，②正確，

∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸為直線x=2，

∴?b2a=2，

∴a=?b4，

把(?2,0)代入y=ax2+bx+c，得：

4a?2b+c=0，

∴4?(?b4)?2b+c=0，整理得：

c=3b，③正確，

∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸為直線x=2，

∴當x=2時，拋物線取得最大值為y=4a+2b+c，

當x=m時，y=am2+bm+c，

∴4a+2b+c≥am2+bm+c，

即4a+2b≥am2+bm，④6.（2023·上海）在平面直角坐標系中，如果把拋物線y=2x2向下平移3個單位得到一條新拋物線，那么下列關于這兩條拋物線的描述中不正確的是(

)A.開口方向相同; B.對稱軸相同;

C.頂點的橫坐標相同; D.頂點的縱坐標相同．【答案】D

【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)圖象與幾何變換，解題關鍵是掌握二次函數(shù)的性質，掌握二次函數(shù)圖象平移的規(guī)律．

由拋物線向下移動可得拋物線對稱軸，頂點，開口方向，進而求解．【解答】

解：把拋物線y=2x2向下平移3個單位得到一條新拋物線，拋物線對稱軸不變，開口方向不變，

拋物線y=2x2的頂點坐標為(0,0)，

∵向下平移3個單位、新拋物線為y=2x2?3，

7．（2023·四川）已知：在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點A(?4,0)，B(2,0)，與y軸交于點C(0,?4)．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，如果把拋物線x軸下方的部分沿x軸翻折180°，拋物線的其余部分保持不變，得到一個新圖象．當平面內的直線y=kx+6與新圖象有三個公共點時，求k的值；(3)如圖2，如果把直線AB沿y軸向上平移至經(jīng)過點D，與拋物線的交點分別是E，F(xiàn)，直線BC交EF于點H，過點F作FG⊥CH于點G，若DFHG=25【答案】(1)y=(2)1或3(3)4,8【詳解】（1）設拋物線的解析式為y=ax∵C(0,?4)，∴c=?4，y=ax把A(?4,0)，B(2,0)代入y=ax2+bx+c解得：a=1∴拋物線的解析式為y=（2）∵直線表達式y(tǒng)=kx+6，∴直線經(jīng)過定點0,6，∴將過點0,6的直線旋轉觀察和新圖象的公共點情況∵把拋物線x軸下方的部分沿x軸翻折180°，拋物線的解析式為y=1∴新圖象表達式為：?4<x<2時，y=?12x2?x+4；x≤?4如下圖當直線y=kx+6與翻折上去的部分拋物線相切時，和新圖象有三個公共點，

聯(lián)立y=?12x整理得：xΔ=041+k41+k1+k=±2，k=±2?1，k1k2=?2?1=?3時，如下圖所示，經(jīng)過點

不符合題意，故舍去，如下圖，當直線y=kx+6經(jīng)過點A時，和新圖象有三個公共點，

把A(?4,0)代入y=kx+6，得：?4k+6=0，解得：k=3綜上所述，當平面內的直線y=kx+6與新圖象有三個公共點時，k的值為1或3（3）∵F在拋物線上，∴設F坐標為a,1∵OB=2，OC=4，F(xiàn)G⊥CH，∴tantan∠FHG=2HG:FG=1:2，1∴HG:FG:FH=1:2:5∴DF=a，DO=1DC=DO+OC=1DH=1FH=DH?DF=1HG=5∵DF∴a21a2aa?4a1a2=4，代入∴點F的坐標為4,8【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合、翻折、交點個數(shù)問題，結合一元二次方程、三角函數(shù)解直角三角形知識點，熟練掌握、綜合運用知識點，數(shù)形結合是解題的關鍵．8.（2022·貴州）二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=ax+b和反比例函數(shù)y=cxA.

B.

C.

D.【答案】B

【解析】解：∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象開口向上，

∴a>0，

∵該拋物線對稱軸位于y軸的右側，

∴a、b異號，即b<0．

∵拋物線交y軸的負半軸，

∴c<0，

∴一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，反比例函數(shù)y=cx(c≠0)在二、四象限．

故選：B．

直接利用二次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限得出a，9.（2023·江蘇）函數(shù)y=1x2的大致圖象是A. B.

C. D.【答案】A

【解析】解：由函數(shù)y=1x2可知，函數(shù)是雙曲線，它的兩個分支分別位于第一、二象限，當x>0時，y隨x的增大而減??；當x<0時，y隨x的增大而增大．

故選：A．

函數(shù)y=1x2的圖象是雙曲線，它的兩個分支分別位于第一、二象限．

考查了函數(shù)的圖象，函數(shù)y=1x2的圖象是雙曲線，當x>0時，y10.（2023·湖北）如圖，一名學生推鉛球，鉛球行進高度y(單位：m)與水平距離x(單位：m)之間的關系是y=?112(x?10)(x+4)，則鉛球推出的距離OA=______m.【答案】10

【解析】解：令y=0，則?112(x?10)(x+4)=0，

解得：x=10或x=?4(不合題意，舍去)，

∴A(10,0)，

∴OA=10．

故答案為：10．

令y=0，得到關于x11.（2023·湖北）某課外科技活動小組研制了一種航模飛機．通過實驗，收集了飛機相對于出發(fā)點的飛行水平距離x(單位：m)以、飛行高度y(單位：m)隨飛行時間t(單位：s)變化的數(shù)據(jù)如下表．飛行時間t/s02468…飛行水平距離x/m010203040…飛行高度y/m022405464…探究發(fā)現(xiàn)：x與t，y與t之間的數(shù)量關系可以用我們已學過的函數(shù)來描述．直接寫出x關于t的函數(shù)解析式和y關于t的函數(shù)解析式(不要求寫出自變量的取值范圍)．問題解決：如圖，活動小組在水平安全線上A處設置一個高度可以變化的發(fā)射平臺試飛該航模飛機．根據(jù)上面的探究發(fā)現(xiàn)解決下列問題．(1)若發(fā)射平臺相對于安全線的高度為0?m，求飛機落到安全線時飛行的水平距離；(2)在安全線上設置回收區(qū)域MN，AM=125?m，MN=5?m.若飛機落到MN內(不包括端點M，N)求發(fā)射平臺相對于安全線的高度的變化范圍．【答案】解：探究發(fā)現(xiàn)：x與t是一次函數(shù)關系，y與t是二次函數(shù)關系，

設