2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系【導(dǎo)學(xué)案】

第4課時(shí)-直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

【課標(biāo)解讀】

【課程標(biāo)準(zhǔn)】

1.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.

2.能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際問(wèn)題.

【核心素養(yǎng)】

數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理.

【命題說(shuō)明】

直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系是局1考的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，其中直線與

考向

圓相切及直線與圓相交是重點(diǎn)考查的內(nèi)容，多以選擇題或填空題

考法

的形式出現(xiàn).

預(yù)計(jì)2025年高考直線與圓、圓的位置關(guān)系仍會(huì)出題，一般在選擇

預(yù)測(cè)

題或填空題中出現(xiàn).

【必備知識(shí)?逐點(diǎn)夯實(shí)】

知識(shí)梳理?歸納

1.直線與圓的位置關(guān)系（圓心到直線的距離為4圓的半徑為r）

包直大系相離相切相交

圖形

方程觀點(diǎn)J<0J=0J>0

量化

幾何觀點(diǎn)d>rt7=rd<r

微點(diǎn)撥判斷直線與圓的位置關(guān)系,常用幾何法而不用代數(shù)法.

微思考當(dāng)某直線所過(guò)定點(diǎn)4在圓上時(shí),該直線與圓有何位置關(guān)系?

提示:直線與圓相交或相切.

2.圓與圓的位置關(guān)系

設(shè)圓01:(x-a1)2+(y-Z?i)2=r^(n>0),

圓Oi:(x-a2)2+(y-^2)2=r|(n>0).

方法

包直大系幾何法:圓心距d與代數(shù)法:聯(lián)立兩圓方程組公切線條數(shù)

n/2的關(guān)系成方程組的解的情況

外離冷門+及無(wú)解4

外切d=打+-2一組實(shí)數(shù)解3

相交\ri-r2\<d<r\+r2兩組硒的實(shí)數(shù)解2

內(nèi)切t/=n-r2(n#2)一組實(shí)數(shù)解1

內(nèi)含0<t/<ri-r2(n#2)無(wú)解0

3直線被圓截得的弦長(zhǎng)

⑴幾何法:弦心距d、半徑r和弦長(zhǎng)郵勺一半構(gòu)成直角三角形，弦長(zhǎng)|力引=2乒灌

(2)代數(shù)法:設(shè)直線嚴(yán)丘+加與圓％2+/+m+班+b=0相交于點(diǎn)代入消去乂得關(guān)

于X的一元二次方程，則+k2y(XM+%N)2-4%M%N.

常用結(jié)論

1.圓的切線方程常用結(jié)論

⑴過(guò)圓x2+y2=r2(r>0)Jz一點(diǎn)P(%o,yo)的圓的切線方程為xax+yoy=r2.

⑵過(guò)圓/+產(chǎn)=產(chǎn)外一點(diǎn)Mxojo)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為

xox+yoy^r2.

2.當(dāng)兩圓外切時(shí)，兩圓有一條內(nèi)公切線,該公切線垂直于兩圓圓心的連線;當(dāng)兩圓

內(nèi)切時(shí)，兩圓有一條外公切線,該公切線垂直于兩圓圓心的連線.

3.兩圓相交時(shí)公共弦的性質(zhì)

22

圓。1：/+72+/)次+百1尹/1=0(*+比-4回>0)與圓C2：x+y+Dvc+E2y+F2

=0(用+號(hào)-46>0)相交時(shí)：

(1)將兩圓方程直接作差，消去x2y得到兩圓公共弦所在直線方程；

(2)兩圓圓心的連線垂直平分公共弦；

(3)%2+>^+^ix+Eiy+Fi+l(x2+y2+D2x+E2y+F2)^0Q.0RJW-1)表示過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓系

方程(不包括。2).

基礎(chǔ)診斷?自測(cè)

1=1A+4-

類型辨析改編勿用局考

題號(hào)12,354

1.(思考辨析)(正確的打“化’,錯(cuò)誤的打“X”)

(1)若直線與圓有公共點(diǎn)，則直線與圓相交或相切.(、)

提示：(D直線與圓有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線與圓相切,有兩個(gè)公共點(diǎn)，則直線與圓相交,

故⑴正確；

(2)若兩圓沒(méi)有公共點(diǎn)，則兩圓一定外離.(x)

提示：(2)兩圓沒(méi)有公共點(diǎn)，則兩圓外離或內(nèi)含，故(2)錯(cuò)誤；

(3)若兩圓外切，則兩圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn),反之也成立.(x)

提示：(3)若兩圓外切，則兩圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn);若兩圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則

兩圓外切或內(nèi)切，故(3)錯(cuò)誤；

(4)若兩圓有公共點(diǎn)廁|門寸2%寸1+r2.(4)

提示：(4)若兩圓有公共點(diǎn)，則兩圓外切或相交或內(nèi)切，所以n-r21sd勺1+r2,故(4)正確.

2.(選擇性必修第一冊(cè)人AP96例5變條件)圓。1：/+產(chǎn)4y+3=0和圓。2：爐+產(chǎn)16y=0

的位置關(guān)系是()

A.外離B.相交C.相切D.內(nèi)含

【解析】選D.Oi：%2+(y-2)2=l02：N+(y-8)2=64,所以O(shè)i(0,2),n=l,

。2(0,8)/2=8,|。1。21。/(。-。)2+(2-8)2=6,則|3。21=6<2%=7,所以兩圓內(nèi)含

3.(選擇性必修第一冊(cè)人AP93練習(xí)T3變條件)直線x-y+3=0被圓Q+2)2+(>2)2=2

截得的弦長(zhǎng)等于()

A.yB,V3C.2V3D,V6

【解析】選D.圓心(-2,2)到直線％少+3=0的距離呼，圓的半徑片企,解直角三角

形得，半弦長(zhǎng)為白，所以弦長(zhǎng)等于語(yǔ)

4.(2022?天津高考)若直線x-y+加=0(冽>0)與圓(%-l)2+(y-1>=3相交所得的弦長(zhǎng)為m,

貝Um=.

【解析】因?yàn)閳A心到直線x-y+加=0(加>0)的距離d*,

V乙

又直線與圓相交所得的弦長(zhǎng)為"所以加=25四所以"=4(3苧,解得m=2.

答案：2

5.(忽視直線斜率不存在的情形致誤)過(guò)點(diǎn)。(泥,2)的圓C:x2+(y-l)2=2的切線方程

為.

【解析】由圓。方程知:圓心C(0,l),半徑片近；

當(dāng)過(guò)P的直線斜率不存在,即直線方程為

x=V^寸，直線與圓。相切；

設(shè)過(guò)P點(diǎn)且斜率存在的圓C的切線方程為產(chǎn)2=網(wǎng)%-夜)，即日-廣或左+2=0,

則圓心。到直線的距離d金粵=魚,即仁當(dāng)所以該切線方程為冬-y*0,

V/c2+l442

即x+2V2y-5V2=0;

綜上所述:所求切線方程為產(chǎn)企或x+2自-5&=0.

答案:產(chǎn)魚或x+2V2y-5V2=0

【核心考點(diǎn)?分類突破】

考點(diǎn)一直線與圓的位置關(guān)系

考情提示

直線與圓相切求切線方程以及直線與圓相交求弦長(zhǎng)是高考的重點(diǎn),正確利用圓心

到直線的距離與半徑之間的關(guān)系是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵.

角度1直線與圓的位置關(guān)系的判斷

[例1](1)(一題多法)已知圓C:x2+y2-6x-Sy+2.1=0和直線l:kx-y+3-4k^0的位置關(guān)系

是()

A.相交、相切或相離B.相交或相切

C.相交D.相切

【解析】選C.圓。:爐+/_6%&+21=0,即03)2+64)2=22,圓心為。(3,4),半徑為r=2.

方法一直線/:丘-y+3-4Q0,即依r-4)-y+3=0,所以直線I過(guò)定點(diǎn)5(4,3).

(4一3)2+(3-4)2=2<4,所以點(diǎn)5(4,3)在圓C內(nèi)，所以直線I與圓C相交

方法二圓心。(3,4)到直線l-.kx-y+3-^Q的距離為

|3fc-4+3-4k|\k+l\H+2k+l

小泛<4,所以直線與圓相交.

Jl+Ny/l+k21+k2

⑵侈選題)(2021?新高考〃卷)已知直線hax+by-r2^與圓。:爐+72=戶,點(diǎn)出貼),則

下列說(shuō)法正確的是()

A.若點(diǎn)4在圓。上廁直線I與圓C相切

B.若點(diǎn)4在圓。內(nèi),則直線I與圓C相離

C.若點(diǎn)4在圓。外廁直線I與圓C相離

D.若點(diǎn)A在直線I上,則直線I與圓C相切

【解析】選ABD.圓心C(0,0)到直線I的距離上一,若點(diǎn)4a⑼在圓C上，

儼2

則層+岳=產(chǎn)，所以df〒,廁直線I與圓C相切，故A正確；

Va2+b2

r2

若點(diǎn)力伍乃)在圓C內(nèi)廁a2+b2<r2,^Xd=——->r,

7CL乙+b乙

則直線/與圓。相離，故B正確；

r2

若點(diǎn)4(好)在圓C外廁4+孑〉戶，所以d=<口

7a乙+b乙

則直線I與圓C相交，故C錯(cuò)誤；

若點(diǎn)4(9)在直線I上廁蘇+爐一4。,即層+小戶，所以d=_=『,

7a乙+b乙

則直線I與圓C相切，故D正確.

解題技法

判斷直線與圓的位置關(guān)系的一般方法

(1)幾何法:圓心到直線的距離與圓半徑比較大小,特點(diǎn)是計(jì)算量較??；

(2)代數(shù)法:將直線方程與圓方程聯(lián)立方程組，通過(guò)解的情況判斷，適合于判斷直線

與圓的位置關(guān)系.

角度2弦長(zhǎng)問(wèn)題

[例2](2024?昆明模擬)已知直線產(chǎn)2%與圓(x-2)2+(y-2)2=l交于A,B兩點(diǎn)很U

BB|=()

.V52V5?3V5「4芯

A-nB—C—D—

【解析】選B.因?yàn)閳A的方程為(+2)2+62)2=1,

所以圓心坐標(biāo)為(2,2),半徑-1,

則圓心(2,2)到直線產(chǎn)2%的距離d尚篝等，

所以弦長(zhǎng)IZBI=2“2-*=2J1-：-2：.

解題技法

直線和圓相交弦長(zhǎng)的兩種求法

(1)代數(shù)法:將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng).

(2)幾何法:若弦心距為久圓的半徑長(zhǎng)為廠,則弦長(zhǎng)/=2乒次

根據(jù)弦長(zhǎng)求直線方程時(shí)要注意驗(yàn)證斜率不存在的情況.

角度3切線問(wèn)題

［例3］已知點(diǎn)。(加+1,2-魚)，點(diǎn)M(3,l),圓C:(x-l)2+(y-2)M.

(1)求過(guò)點(diǎn)P的圓C的切線方程；

【解析】由題意得圓心。(1,2),半徑-2.

(1)因?yàn)?V2+1-l)2+(2-V2-2)M,

所以點(diǎn)。在圓。上.

所以切線的斜率仁

所以過(guò)點(diǎn)P的圓C的切線方程是產(chǎn)(2-夜)=%-(奩+1),即x-y+l-2V2=0.

(2)求過(guò)點(diǎn)M的圓。的切線方程，并求出切線長(zhǎng).

【解析】(2)因?yàn)?3-1)2+(1-2)2=5>4,所以點(diǎn)M在圓。外部.

當(dāng)過(guò)點(diǎn)M的直線斜率不存在時(shí)，直線方程為尸3,即/3=0.

又點(diǎn)。(1,2)到直線1-3=0的距禺d-3-l=2=r,

即此時(shí)滿足題意，所以直線％=3是圓的切線.

當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y-l-k(x-3),

即丘-y+1-3仁0,

則圓心C到切線的距離d筆冷尸2,解得仁|

所以切線方程為丁-1=|(%-3),即3x-4y-5=0.

綜上可得，過(guò)點(diǎn)M的圓C的切線方程為％-3=0或3%-4,5=0.

因?yàn)樗腃|=J(3-1)2+(1-2)2=低

所以過(guò)點(diǎn)M的圓C的切線長(zhǎng)為0M。|2N2=后=1.

解題技法

1.過(guò)一點(diǎn)求圓的切線方程的兩種求法

⑴代數(shù)法:設(shè)切線方程為y-yo=?x-M,與圓的方程組成方程組，消元后得到一個(gè)一

元二次方程,然后令判別式/=0進(jìn)而求得左注意斜率不存在的情況.

⑵幾何法:設(shè)切線方程為廣川=碓-枇),利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到切

線的距離4然后令d〒，進(jìn)而求出左注意斜率不存在的情況.

特別地，當(dāng)點(diǎn)在圓上時(shí),可直接利用圓心與切點(diǎn)的連線的斜率及切線的性質(zhì)求切

線方程.

2.過(guò)圓外一點(diǎn)。引圓的切線，求切線長(zhǎng)時(shí)，常利用點(diǎn)E圓心、切點(diǎn)構(gòu)成的直角三

角形求解.

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練

1.(2024?南京模擬)直線3x+4v+12=0與圓(x-1尸+8+1)2=9的位置關(guān)系是()

A.過(guò)圓心B相切

C.相離D.相交但不過(guò)圓心

【解析】選D.由題意知，圓01)2+8+1)2=9的圓心為(1,-1)泮徑r=3,

則圓心到直線3x+4y+12=0的距離6/-|3xl^gg+12|-y,

因?yàn)?<d<r,所以直線與圓相交但不過(guò)圓心.

2.過(guò)點(diǎn)(年,0)且傾斜角為單勺直線I交圓/+尸6尸0于4與兩點(diǎn)，則弦43的長(zhǎng)

為()

A.4V2B,2V2C.2V10D,V10

【解析】選A.過(guò)點(diǎn)片,0)且傾斜角為爭(zhēng)勺直線I的方程為產(chǎn)g(x+f),即岳-歹+1=0,

又圓/+72_6y=0即爐+&_3)2=9,所以圓心(0,3)泮徑—3,

則圓心(0,3)到直線I的距離T步1,

所以直線被圓截得的弦43=2原m=4證.

3.(2024?東城模擬)已知點(diǎn)在圓C.x2+y2^m上，過(guò)M作圓C的切線/,則I的

傾斜角為()

A.30°B,60°C.1200D.15O0

【解析】選D.由題意得加=1+3=4,

當(dāng)I的斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線方程為尸1,與圓C:x2+y2-4相交,不符合題意;

當(dāng)/的斜率存在時(shí)，設(shè)切線/的方程為y-V3-k(x-l),

則牛2=2,解得仁手,因?yàn)镮的傾斜角為0。學(xué)＜180。,故I的傾斜角為150°.

V1+/C23

【加練備選】

(2024?宜春模擬)已知圓。經(jīng)過(guò)三點(diǎn)0(0,0)M(l,l),5(4,2).

⑴求圓。的方程；

【角華析】(1)設(shè)圓。的方程為/+.+m+協(xié)+b=0(￡)2+工-4Q0),

由圓。經(jīng)過(guò)三點(diǎn)0(0,0)3(1,1),5(4,2),

F=0m=-8

得2+D+E+F=0，解得E=6,

、20+4。+2E+F=0(F=0

所以圓C的方程為x2+y2-8x+6y=0.

(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(l,國(guó))的直線I被圓C所截得的弦長(zhǎng)為4萌,求直線I的方程.

【解析】(2)由(1)知圓C:(>4)2+(y+3)2=25,即圓心。(4廣3),半徑為5,

由直線/被圓。所截得的弦長(zhǎng)為4號(hào)得圓心。到直線I的距離六口蒜屋⑸

而直線I經(jīng)過(guò)點(diǎn)M1T),顯然直線I的斜率存在,設(shè)直線I的方程為》+4=依口)，

即日-產(chǎn)4-仁0,于是d=巴等堂占/^得仁2或仁

所以直線I的方程為2x-y-6=0或x+2y+7=0.

考點(diǎn)二圓與圓的位置關(guān)系

[例4](1)已知圓E的圓心在y軸上,且與圓爐+產(chǎn)2產(chǎn)0的公共弦所在直線的方程為

「后尸0,則圓E的方程為()

A.x2+(y-V3)2=2B.x2+(y+V3)2=2

C.x2+(y-V3)2=3D.x2+(y+V3)2=3

【解析】選C.兩圓圓心連線與公共弦垂直，不妨設(shè)所求圓心的坐標(biāo)為(0,0,

半徑為r.

又圓/+72_2尸0的圓心為(1,0)泮徑為1,故$*=-1,解得a=W.

故所求圓心為(0,遍).點(diǎn)(1,0)到直線％-何=0的距離為田

所以9+產(chǎn)2產(chǎn)0截直線x-V3y=0所得弦長(zhǎng)為2口|=8,圓心(0,8)到直線

x-V3y=0的距離為去

所以圓截直線％-何=0所得弦長(zhǎng)為2/嗎)2=必解得r=V3.

故圓心坐標(biāo)為(0,遍)泮徑為

得圓E的方程為x2+(y-V3)2=3.

(2)已知兩圓Ci'.x1+y2-1x+10y-24=0和Ci:x2+y2+2x+2y-8=0.

①判斷兩圓公切線的條數(shù)；

【解析】①兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為Ci：(x-l)2+(y+5)M0,

22

C2:(x+l)+(y+l)=10,

則圓G的圓心為(1,-5)泮徑n=5V2;

圓。2的圓心為(-1,-1)泮徑廠2=VK

又|。1。21=2遍/1+r2=5或+0^/1-r2=5/-的。

所以n-"2<|。1。2|<廠1+r2,所以兩圓相交，

所以兩圓有兩條公切線.

②求公共弦所在的直線方程以及公共弦的長(zhǎng)度.

【解析】②將兩圓方程相減得公共弦所在直線方程為X-2尹4=0.圓心C1到直線

x-2y+4=0的距離d一上空當(dāng)圖一3相,

V1+(-2/

設(shè)公共弦長(zhǎng)為2/,由勾股定理得戶=摩+/2,

得50=45+匕解得/=逐,所以公共弦長(zhǎng)2Z=2V5.

一題多變

［變式1］本例(2)中,若兩圓相交于4與兩點(diǎn)，不求交點(diǎn)，則線段分別為兩

個(gè)圓的圓心)的垂直平分線所在的直線方程為.

【解析】由圓G的圓心坐標(biāo)為(1,-5),圓&的圓心坐標(biāo)為(-1廣1),可知憶02=^=2,

則上片|,。。2的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-3),

因此線段CiC2的垂直平分線所在的直線方程為y+3*,即x-2y-6=0.

答案:x-2y-6=0

［變式2］本例(2)中的兩圓若相交于兩點(diǎn)4優(yōu)則經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)4B且圓心在直線x+y^0

上的圓的方程為.

【解析】設(shè)所求的圓的方程為x2+y2-2x+10y-24+A(x2+y2+2x+2y-8)=0(#-1),

整理可得(1+⑷/+(1+2)y2+(2A-2)x+(2A+10)y-8A-24=0,

因此圓的圓心坐標(biāo)為(3-*),由于圓心在X+產(chǎn)0上廁=，(-*)=0,

J■十八1-rA1-rAIT-A

解得%=2

因此所求的圓的方程為x2+y2+6x-6y+^Q.

答案：/+72+6%-6尹8=0

解題技法

圓與圓的位置關(guān)系問(wèn)題的解題策略

(1)判斷兩圓位置關(guān)系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和及差的絕對(duì)值的

大小關(guān)系判斷.

(2)兩圓相交時(shí)，兩圓的公共弦所在直線的方程，可由兩圓的方程作差消去％2,產(chǎn)項(xiàng)

得到

⑶求兩圓公共弦長(zhǎng),常選其中一圓，由弦心距從半弦長(zhǎng);、半徑7,構(gòu)成直角三角形,

利用勾股定理求解.

考點(diǎn)三與圓有關(guān)的最值、范圍問(wèn)題

[例5](2024?沈陽(yáng)模擬)已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程/+產(chǎn)4%+1=0.求：

(1斤的取值范圍；

【解析】(1)由圓的一般方程可得:圓心為(2,0),半徑r=V3;

因?yàn)?2+02-4x0+l=l>0,

所以原點(diǎn)在圓x2+y2-4x+l=0的外部，

設(shè)汐測(cè)區(qū)-y=0(#0)與圓%2+^-4%+1=0有公共點(diǎn)，

所以圓心(2,0)到侯尸0(#0)的距離占粵3百，

V/c2+l

解得-bs左令后，

即郅取值范圍為卜逐網(wǎng).

(2)y-x的取值范圍；

【解析】(2)設(shè)歹-%=私則直線x-y+m^O與圓x2+y2-4x+l=0有公共點(diǎn)，所以圓心(2,0)

至I」x-y+m^Q的距離d"詈ZVX

解得-乃-2s加sV^-2,

即下的取值范圍為卜瓜2,悔2]

(3)/+產(chǎn)的取值范圍.

【解析】⑶由⑴知:原點(diǎn)在圓％2+/-4%+1=0的外部，

則可設(shè)<+刀2=產(chǎn)任>0),則圓好+丁2=戶任>0)與圓X2+J?2-4X+1=0有公共點(diǎn)，

因?yàn)閮蓤A圓心距d=J(0-2)2+(0-0)2=2,

所以r-V3<2<r+V3,

解得2-V3</<2+V3,

所以7-4V3<r2<7+4V3,

即爐+產(chǎn)的取值范圍為[7-4國(guó),7+4V3].

解題技法

關(guān)于圓上點(diǎn)(%,仍有關(guān)代數(shù)式的最值問(wèn)題的解法

代數(shù)式特征求解方法

轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn)(凡與和點(diǎn)(x,y)的直線的斜率的

x-a

最值

t^ax+by轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線的截距的最值

轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)(%,歷到定點(diǎn)(見(jiàn)b)的距離平方的

(x-a)2+(y-b)2

最值

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練

侈選題)(2024?鹽城模擬)已知實(shí)數(shù)對(duì)滿足曲線C的方程爐+產(chǎn)2%一2=0,則下列選