2025屆吉林省長(zhǎng)春興華高中數(shù)學(xué)高二上期末預(yù)測(cè)試題含解析

2025屆吉林省長(zhǎng)春興華高中數(shù)學(xué)高二上期末預(yù)測(cè)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知數(shù)列滿(mǎn)足，則（）A.2 B.C.1 D.2．在某市第一次全民核酸檢測(cè)中，某中學(xué)派出了8名青年教師參與志愿者活動(dòng)，分別派往2個(gè)核酸檢測(cè)點(diǎn)，每個(gè)檢測(cè)點(diǎn)需4名志愿者，其中志愿者甲與乙要求在同一組，志愿者丙與丁也要求在同一組，則這8名志愿者派遣方法種數(shù)為（）A.20 B.14C.12 D.63．若存在過(guò)點(diǎn)（0，－2）的直線(xiàn)與曲線(xiàn)和曲線(xiàn)都相切，則實(shí)數(shù)a的值是（）A.2 B.1C.0 D.－24．太極圖被稱(chēng)為“中華第一圖”，閃爍著中華文明進(jìn)程的光輝，它是由黑白兩個(gè)魚(yú)形紋組成的圖案，俗稱(chēng)陰陽(yáng)魚(yú)，太極圖展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對(duì)統(tǒng)一的和諧美．定義：能夠?qū)AO的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分成兩個(gè)部分的函數(shù)稱(chēng)為圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”，設(shè)圓O：，則下列說(shuō)法中正確的是（）①函數(shù)是圓O的一個(gè)太極函數(shù)②圓O的所有非常數(shù)函數(shù)的太極函數(shù)都不能為偶函數(shù)③函數(shù)是圓O的一個(gè)太極函數(shù)④函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是為圓O的太極函數(shù)的充要條件A.①② B.①③C.②③ D.③④5．已知函數(shù)，若在處取得極值，且恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A. B.C. D.6．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若c＝1，B＝45°，cosA＝，則b等于（）A. B.C. D.7．的展開(kāi)式中的系數(shù)是（）A. B.C. D.8．中國(guó)農(nóng)歷的二十四節(jié)氣是中華民族的智慧與傳統(tǒng)文化的結(jié)晶，二十四節(jié)氣歌是以春、夏、秋、冬開(kāi)始的四句詩(shī).在國(guó)際氣象界，二十四節(jié)氣被譽(yù)為“中國(guó)的第五大發(fā)明”.2016年11月30日，二十四節(jié)氣被正式列入聯(lián)合國(guó)教科文組織人類(lèi)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄.某小學(xué)三年級(jí)共有學(xué)生600名，隨機(jī)抽查100名學(xué)生并提問(wèn)二十四節(jié)氣歌，只能說(shuō)出一句的有45人，能說(shuō)出兩句及以上的有38人，據(jù)此估計(jì)該校三年級(jí)的600名學(xué)生中，對(duì)二十四節(jié)氣歌一句也說(shuō)不出的有（）A.17人 B.83人C.102人 D.115人9．某社區(qū)醫(yī)院為了了解社區(qū)老人與兒童每月患感冒的人數(shù)y（人）與月平均氣溫x（℃）之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4個(gè)月的患?。ǜ忻埃┤藬?shù)與當(dāng)月平均氣溫，其數(shù)據(jù)如下表：月平均氣溫x（℃）171382月患病y（人）24334055由表中數(shù)據(jù)算出線(xiàn)性回歸方程中的，氣象部門(mén)預(yù)測(cè)下個(gè)月的平均氣溫約為9℃，據(jù)此估計(jì)該社區(qū)下個(gè)月老年人與兒童患病人數(shù)約為（）A.38 B.40C.46 D.5810．設(shè)為拋物線(xiàn)焦點(diǎn)，直線(xiàn)，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于，則（）A.3 B.4C.2 D.不能確定11．若，則下列等式一定成立的是（）A. B.C. D.12．函數(shù)f（x）＝的圖象大致形狀是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過(guò)圓上一點(diǎn)的圓的切線(xiàn)的一般式方程為_(kāi)_______14．函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為_(kāi)_____15．設(shè)，若不等式在上恒成立，則的取值范圍是______.16．已知，，且，則的最小值為_(kāi)__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）求單調(diào)增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知拋物線(xiàn)，過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)C于M、N兩點(diǎn)，且線(xiàn)段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2（1）求直線(xiàn)l的方程；（2）設(shè)x軸上關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)P、Q，（其中P在Q的右側(cè)），過(guò)P的任意一條直線(xiàn)交拋物線(xiàn)C于A(yíng)、B兩點(diǎn)，求證：始終被x軸平分19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，M是PA的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，平面ABCD，且，（1）求證：∥平面PCD；（2）求平面MBC與平面ABCD夾角的余弦值20．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線(xiàn)C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為l，過(guò)點(diǎn)F且斜率大于0的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)C于A(yíng)，B兩點(diǎn)（其中A在B的上方），過(guò)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M且與x軸平行的直線(xiàn)依次交直線(xiàn)OA、OB，l于點(diǎn)P、Q、N（1）試探索PM與NQ長(zhǎng)度的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)P、Q是線(xiàn)段MN的三等分點(diǎn)時(shí)，求直線(xiàn)AB的斜率；（3）當(dāng)P、Q不是線(xiàn)段MN的三等分點(diǎn)時(shí)，證明：以點(diǎn)Q為圓心、線(xiàn)段QO長(zhǎng)為半徑的圓Q不可能包圍線(xiàn)段NP21．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足，數(shù)列滿(mǎn)足（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿(mǎn)足，求的前項(xiàng)和22．（10分）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c已知c?cosB+（b-2a）cosC=0（1）求角C的大?。?）若c=2，a+b=ab，求△ABC的面積

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】首先得到數(shù)列的周期，再計(jì)算的值.【詳解】由條件，可知，兩式相加可得，即，所以數(shù)列是以周期為的周期數(shù)列，.故選：D2、B【解析】分（甲乙）、（丙丁）再同一組和不在同一組兩種情況討論，按照分類(lèi)、分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得；【詳解】解：依題意甲乙丙丁四人再同一組，有種；（甲乙），（丙丁）不在同一組，先從其余4人選2人與甲乙作為一組，另外2人與丙丁作為一組，再安排到兩個(gè)核酸檢測(cè)點(diǎn)，則有種，綜上可得一共有種安排方法，故選：B3、A【解析】在兩曲線(xiàn)上設(shè)切點(diǎn)，得到切線(xiàn)，又因?yàn)椋?，－2）在兩條切線(xiàn)上,列方程即可.【詳解】的導(dǎo)函數(shù)為，的導(dǎo)函數(shù)為，若直線(xiàn)與和的切點(diǎn)分別為（，），，∴過(guò)（0，－2）的直線(xiàn)為、，則有，可得故選：A.4、B【解析】①③可以通過(guò)分析奇偶性和結(jié)合圖象證明出符合要求，②④可以舉出反例.【詳解】是奇函數(shù)，且與圓O的兩交點(diǎn)坐標(biāo)為，能夠?qū)AO的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分為兩個(gè)部分，故符合題意，①正確；同理函數(shù)是圓O的一個(gè)太極函數(shù)，③正確；例如，是偶函數(shù)，也能將將圓O的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分為兩個(gè)部分，故②錯(cuò)誤；函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)不是為圓O的太極函數(shù)的充要條件，例如為奇函數(shù)，但不滿(mǎn)足將圓O的周長(zhǎng)和面積同時(shí)等分為兩個(gè)部分，所以④錯(cuò)誤；故選：B5、D【解析】根據(jù)已知在處取得極值，可得，將在恒成立，轉(zhuǎn)化為，只需求，求出最小值即可得答案【詳解】解：，，由在處取得極值，得，解得，所以，，其中，.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，故函數(shù)在處取得極小值，，恒成立，轉(zhuǎn)化為，令，，則，，令得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即得，故選：D6、C【解析】先由cosA的值求出，進(jìn)而求出，用正弦定理求出b的值.【詳解】因?yàn)閏osA＝，所以，所以由正弦定理：，得：.故選：C7、B【解析】根據(jù)二項(xiàng)式定理求出答案即可.【詳解】的展開(kāi)式中的系數(shù)是故選：B8、C【解析】根據(jù)頻率計(jì)算出正確答案.【詳解】一句也說(shuō)不出的學(xué)生頻率為，所以估計(jì)名學(xué)生中，一句也說(shuō)不出的有人.故選：C9、B【解析】由表格數(shù)據(jù)求樣本中心，根據(jù)線(xiàn)性回歸方程過(guò)樣本中心點(diǎn)，將點(diǎn)代入方程求參數(shù)，寫(xiě)出回歸方程，進(jìn)而估計(jì)下個(gè)月老年人與兒童患病人數(shù).【詳解】由表格得為，由回歸方程中的，∴，解得，即，當(dāng)時(shí)，.故選：B.10、A【解析】由拋物線(xiàn)方程求出準(zhǔn)線(xiàn)方程，由題意可得，由拋物線(xiàn)的定義可得，即可求解.【詳解】由可得，準(zhǔn)線(xiàn)為，設(shè)，由拋物線(xiàn)的定義可得，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)作于，可得，所以，故選：A.11、D【解析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)相等可用表示出，進(jìn)而得到之間關(guān)系.【詳解】，，，則.故選：D.12、B【解析】利用函數(shù)的奇偶性排除選項(xiàng)A,C，然后利用特殊值判斷即可【詳解】解：由題得函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).所以函數(shù)是奇函數(shù)，排除選項(xiàng)A,C.當(dāng)時(shí)，，排除選項(xiàng)D，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求出過(guò)切線(xiàn)的半徑所在直線(xiàn)斜率，由垂直關(guān)系得切線(xiàn)斜率，然后得直線(xiàn)方程，現(xiàn)化為一般式【詳解】圓心為，，所以切線(xiàn)的斜率為，切線(xiàn)方程為，即故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查求過(guò)圓上一點(diǎn)的圓的切線(xiàn)方程，利用切線(xiàn)性質(zhì)求得斜率后易得直線(xiàn)方程14、【解析】求出、的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線(xiàn)的方程.【詳解】因?yàn)?，則，所以，，，故所求切線(xiàn)方程為，即.故答案為：.15、【解析】構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值，結(jié)合已知不等式恒成立，即可確定的范圍.【詳解】令，則且，若得：；若得：；所以在上遞增，在上遞減，故，要使在上恒成立，即.故答案為：.16、25【解析】根據(jù)，，且，由，利用基本不等式求解.【詳解】因?yàn)?，，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為25，故答案為：25三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）單調(diào)增區(qū)間為；（2）.【解析】（1）求導(dǎo)由求解.（2）將時(shí)，恒成立，轉(zhuǎn)化為時(shí)，恒成立，令用導(dǎo)數(shù)法由求解即可.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)所以令，解得，所以單調(diào)增區(qū)間為.（2）因?yàn)闀r(shí)，恒成立，所以時(shí)，恒成立，令則令因?yàn)闀r(shí)，恒成立，所以在單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，故符合要求；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故存在使得則當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，不符合要求；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故存在使得則當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，不符合要求.綜上.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：恒（能）成立問(wèn)題的解法：若在區(qū)間D上有最值，則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分離常數(shù)，即將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：（或），則（1）恒成立：；；（2）能成立：；；18、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）設(shè)直線(xiàn)l的方程為：，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理可得結(jié)果；（2）設(shè)，借助韋達(dá)定理表示，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由已知可設(shè)直線(xiàn)l的方程為：，聯(lián)立方程組可得，設(shè)，則又因?yàn)?，得，故直線(xiàn)l的方程為：即為；（2）由題意可設(shè)，可設(shè)過(guò)P的直線(xiàn)為聯(lián)立方程組可得，顯然設(shè)，則所以所以始終被x軸平分19、（1）詳見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）取PD的中點(diǎn)E，連接ME，CE，易證四邊形是平行四邊形，得到，再利用線(xiàn)面平行的判定定理證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面MBC的一個(gè)法向量，易知平面ABCD的一個(gè)法向量為：，由求解.【小問(wèn)1詳解】證明：如圖所示：取PD的中點(diǎn)E，連接ME，CE，因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，M是PA的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面PCD，平面PCD，所以∥平面PCD；【小問(wèn)2詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，所以，設(shè)平面MBC的一個(gè)法向量為，則，即，令，得，易知平面ABCD的一個(gè)法向量為：，所以，所以平面MBC與平面ABCD的夾角的余弦值為.20、（1），證明見(jiàn)解析（2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)已知條件設(shè)出直線(xiàn)方程及，與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，三點(diǎn)共線(xiàn)的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)已知條件得出，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，可得出直線(xiàn)的斜率；（3）根據(jù)（1）的結(jié)論及求根公式，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合的表達(dá)式，結(jié)合圖形可知,由的范圍和的取值即可證明.【小問(wèn)1詳解】由題意可知，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為,設(shè)直線(xiàn)的方程為，則，消去，得，，，所以直線(xiàn)的方程為，由因?yàn)槿c(diǎn)共線(xiàn)，所以，，同理，，,所以，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)镻、Q是線(xiàn)段MN的三等分點(diǎn)，所以，，，又，，所以，所以，解得或（舍）所以直線(xiàn)AB的斜率為.【小問(wèn)3詳解】由（1）知，，得，所以，，又,,,,當(dāng)時(shí)，,由圖可知，,而只要，就有,所以當(dāng)P、Q不是線(xiàn)段MN的三等分點(diǎn)時(shí)，以點(diǎn)Q為圓心、線(xiàn)段QO長(zhǎng)為半徑的圓Q不可能包圍線(xiàn)段NP21、（1），；（2）.【解析】（1）由求得的遞推關(guān)系，結(jié)合可得其為等比數(shù)列，從而得通項(xiàng)公式，代入計(jì)算得；（2）求出，由錯(cuò)位相減法求和【詳解】（1）由可得，，即，易知，故..（2）由（1）可知，①，②，①－②得，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及錯(cuò)位相減法求和．?dāng)?shù)列求和的常用方法：公式法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組（并項(xiàng)）求和法，倒序相加法22、(1)；(2).【解析】(1)由題意首先利用正弦定理邊化角，據(jù)此