2025屆安徽省舒城桃溪高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

2025屆安徽省舒城桃溪高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知橢圓的左焦點(diǎn)是，右焦點(diǎn)是，點(diǎn)P在橢圓上，如果線段的中點(diǎn)在y軸上，那么（）A.3：5 B.3：4C.5：3 D.4：32．已知橢圓的上下頂點(diǎn)分別為，一束光線從橢圓左焦點(diǎn)射出，經(jīng)過反射后與橢圓交于點(diǎn)，則直線的斜率為（）A. B.C. D.3．定義在區(qū)間上的函數(shù)滿足：對恒成立，其中為的導(dǎo)函數(shù)，則A.B.C.D.4．在直三棱柱中，，且，點(diǎn)是棱上的動點(diǎn)，則點(diǎn)到平面距離的最大值是（）A. B.C.2 D.5．若，則（）A B.C. D.6．已知拋物線的方程為，則此拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B.C. D.7．若拋物線x＝﹣my2的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，則m＝（）A.﹣4 B.C. D.±8．將數(shù)列中的各項(xiàng)依次按第一個括號1個數(shù)，第二個括號2個數(shù)，第三個括號4個數(shù)，第四個括號8個數(shù)，第五個括號16個數(shù)，…，進(jìn)行排列，，，…，則以下結(jié)論中正確的是（）A.第10個括號內(nèi)的第一個數(shù)為1025 B.2021在第11個括號內(nèi)C.前10個括號內(nèi)一共有1025個數(shù) D.第10個括號內(nèi)的數(shù)字之和9．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)為，，上頂點(diǎn)為P，則（）A.為銳角三角形 B.為鈍角三角形C.為直角三角形 D.，，三點(diǎn)構(gòu)不成三角形10．若定義在R上的函數(shù)的圖象如圖所示，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B.C. D.11．內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，則一定是（）A.等腰三角形 B.等邊三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形12．過坐標(biāo)原點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，則的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列都是等差數(shù)列，公差分別為，數(shù)列滿足，則數(shù)列的公差為__________14．若圓心坐標(biāo)為圓被直線截得的弦長為，則圓的半徑為______.15．假設(shè)要考查某公司生產(chǎn)的袋裝牛奶的質(zhì)量是否達(dá)標(biāo)，現(xiàn)從800袋牛奶中抽取60袋進(jìn)行檢驗(yàn)，利用隨機(jī)數(shù)法抽取樣本時，先將800袋牛奶按000，001，，799進(jìn)行編號，若從隨機(jī)數(shù)表第7行第8列的數(shù)開始向右讀，則得到的第4個的樣本個體的編號是______（下面摘取了隨機(jī)數(shù)表第7行到第9行）84421753315724550688770474476721763350258392120676630163785916955667199810507175128673580744395238793321123429786456078252420744381551001342996602795416．在數(shù)列中，，，，若數(shù)列是遞減數(shù)列，數(shù)列是遞增數(shù)列，則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線C：上，點(diǎn)F為拋物線C的焦點(diǎn)，記P到直線的距離為d，且.（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點(diǎn)的直線l與拋物線C相切，求直線l的方程.18．（12分）已知橢圓C：的離心率為，短軸的一個端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為2.（1）橢圓C的方程；（2）設(shè)直線l：交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且，求m的值.19．（12分）共享電動車（sharedev）是一種新的交通工具，通過掃碼開鎖，實(shí)現(xiàn)循環(huán)共享.某記者來到中國傳媒大學(xué)探訪，在校園噴泉旁停放了10輛共享電動車，這些電動車分為熒光綠和橙色兩種顏色，已知從這些共享電動車中任取1輛，取到的是橙色的概率為，若從這些共享電動車中任意抽取3輛.（1）求取出的3輛共享電動車中恰好有一輛是橙色的概率；（2）求取出的3輛共享電動車中橙色的電動車的輛數(shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望.20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，是邊長為的等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.21．（12分）城南公園種植了4棵棕櫚樹，各棵棕櫚樹成活與否是相互獨(dú)立的，成活率為p，設(shè)為成活棕櫚樹的株數(shù)，數(shù)學(xué)期望.（1）求p的值并寫出的分布列；（2）若有2棵或2棵以上的棕櫚樹未成活，則需要補(bǔ)種，求需要補(bǔ)種棕櫚樹的概率.22．（10分）已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)），（），.（1）若直線與函數(shù)，的圖象都相切，求a的值；（2）若方程有兩個不同的實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，線段的中點(diǎn)在軸上,求得點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而計(jì)算，從而求解.【詳解】由橢圓方程可得：,設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，線段的中點(diǎn)為，因?yàn)榫€段中點(diǎn)在軸上，所以，即，代入橢圓方程得或，不妨取,則，所以，故選：A.2、B【解析】根據(jù)給定條件借助橢圓的光學(xué)性質(zhì)求出直線AD的方程，進(jìn)而求出點(diǎn)D的坐標(biāo)計(jì)算作答.【詳解】依題意，橢圓的上頂點(diǎn)，下頂點(diǎn)，左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)，由橢圓的光學(xué)性質(zhì)知，反射光線AD必過右焦點(diǎn)，于是得直線AD的方程為：，由得點(diǎn)，則有，所以直線的斜率為.故選：B3、D【解析】分別構(gòu)造函數(shù)，，，，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出【詳解】令，，，，恒成立，，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，令，，，，恒成立，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，．綜上可得：，故選：D【點(diǎn)睛】函數(shù)的性質(zhì)是高考的重點(diǎn)內(nèi)容,本題考查的是利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小的問題,通過題目中給定的不等式,分別構(gòu)造兩個不同的函數(shù)求導(dǎo)判出單調(diào)性從而比較函數(shù)值得大小關(guān)系．在討論函數(shù)的性質(zhì)時，必須堅(jiān)持定義域優(yōu)先的原則．對于函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問題，注意挖掘隱含在實(shí)際中的條件，避免忽略實(shí)際意義對定義域的影響4、D【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用點(diǎn)到平面的距離公式，求出點(diǎn)到平面距離的最大值.【詳解】解：以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)第,則,,,設(shè)點(diǎn),故，，.設(shè)設(shè)平面的法向量為，則即，取，則.所以點(diǎn)到平面距離.當(dāng)，即時，距離有最大值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查空間內(nèi)點(diǎn)到面的距離最值問題，屬于中檔題.5、D【解析】直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可【詳解】因?yàn)椋?，故選：D6、A【解析】由拋物線的方程直接寫出其準(zhǔn)線方程即可.【詳解】由拋物線的方程為，則其準(zhǔn)線方程為：故選：A7、D【解析】把拋物線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，即可得到結(jié)果，得到答案.【詳解】由題意，拋物線，可得，又由拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，即，解得.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】由第10個括號內(nèi)的第一個數(shù)為數(shù)列的第512項(xiàng)，最后一個數(shù)為數(shù)列的第1023項(xiàng)，進(jìn)行分析求解即可【詳解】由題意可得，第個括號內(nèi)有個數(shù)，對于A，由題意得前9個括號內(nèi)共有個數(shù)，所以第10個括號內(nèi)的第一個數(shù)為數(shù)列的第512項(xiàng)，所以第10個括號內(nèi)的第一個數(shù)為，所以A錯誤，對于C，前10個括號內(nèi)共有個數(shù)，所以C錯誤，對于B，令，得，所以2021為數(shù)列的第1011項(xiàng)，由AC選項(xiàng)的分析可得2021在第10個括號內(nèi)，所以B錯誤，對于D，因?yàn)榈?0個括號內(nèi)的第一個數(shù)為，最后一個數(shù)為，所以第10個括號內(nèi)的數(shù)字之和為，所以D正確，故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由題意確定出第10個括號內(nèi)第一個數(shù)和最后一個數(shù)分別對應(yīng)數(shù)列的哪一項(xiàng)，考查分析問題的能力，屬于較難題9、A【解析】根據(jù)題意求得，要判斷的形狀，只需要看是什么角即可，利用余弦定理判斷，從而可得結(jié)論.【詳解】解：由橢圓：，得，則，則，所以且為銳角，因?yàn)?，所以銳角，所以為銳角三角形.故選：A.10、A【解析】由函數(shù)單調(diào)性得出和的解，然后分類討論解不等式可得【詳解】由圖象可知：在為正，在為負(fù)，，可化為：或，解得或故選：A11、C【解析】利用余弦定理角化邊整理可得.【詳解】由余弦定理有，整理得，故一定是直角三角形.故選：C12、D【解析】求出直線直線過的定點(diǎn)A，由題意可知垂足是落在以O(shè)A為直徑的圓上，由此可利用的幾何意義求得答案,【詳解】直線，即，令，解得，即直線過定點(diǎn),由過坐標(biāo)原點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，可知：落在以O(shè)A為直徑的圓上，而以O(shè)A為直徑的圓為，如圖示：故可看作是圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，而圓過原點(diǎn)，圓上點(diǎn)到原點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為，但將原點(diǎn)坐標(biāo)代入直線中，不成立，即直線l不過原點(diǎn)，所以不可能和原點(diǎn)重合，故，故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】利用等差數(shù)列的定義即得.【詳解】∵數(shù)列都是等差數(shù)列，公差分別為，數(shù)列滿足，∴.故答案為：.14、【解析】利用垂徑定理計(jì)算即可.【詳解】設(shè)圓的半徑為，則，得.故答案為：.15、【解析】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表法依次列舉出來即可.【詳解】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表法最先檢測的3袋牛奶編號為：331、572、455、068.故答案為：068.16、【解析】根據(jù)所給條件可歸納出當(dāng)時，，利用迭代法即可求解.【詳解】因?yàn)?，，，所以，即，，且是遞減數(shù)列，數(shù)列是遞增數(shù)列或（舍去），，，故可得當(dāng)時，，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或.【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)直線l是否存在斜率分類討論，結(jié)合一元二次方程根的判別式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?，所以P到直線的距離等于，所以拋物線C的準(zhǔn)線為，所以，，所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】當(dāng)直線l的斜率不存在時，方程為，此時直線l恰與拋物線C相切當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)其方程為，聯(lián)立方程，得若，顯然不合題意；若，則，解得此時直線l的方程為綜上，直線l與拋物線C相切時，l的方程為或.18、（1）；（2）.【解析】（1）通過短軸的一個端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離可知，進(jìn)而利用離心率的值計(jì)算即得結(jié)論；（2）設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用弦長公式即可得出.【詳解】解：（1）由題意可得，解得：，，橢圓C的方程為；（2）設(shè)，聯(lián)立，得，，，，解得.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、韋達(dá)定理、弦長公式，屬于中檔題.19、（1）；（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為.【解析】（1）先求出兩種顏色的電動車各有多少輛，然后根據(jù)超幾何分布求概率的方法即可求得答案；（2）先確定X的所有可能取值，進(jìn)而求出概率并列出分布列，然后根據(jù)期望公式求出答案.【小問1詳解】因?yàn)閺?0輛共享電動車中任取一輛，取到橙色的概率為0.4，所以橙色的電動車有4輛，熒光綠的電動車有6輛.記A為“從中任取3輛共享單車中恰好有一輛是橙色”，則.【小問2詳解】隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.所以，，，.所以分布列為0123數(shù)學(xué)期望.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，證明兩兩垂直，如圖建系，求出的坐標(biāo)以及平面的一個法向量，證明結(jié)合面，即可求證；（2）求出的坐標(biāo)以及平面的法向量，根據(jù)空間向量夾角公式計(jì)算即可求解.【小問1詳解】如圖：取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)槭沁呴L為等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，可得，，因?yàn)槊婷妫婷?，，面，所以平面，因?yàn)槊?，所以，可得兩兩垂直，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，設(shè)平面的一個法向量，由，可得，令，則，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)槊妫云矫?【小問2詳解】，，，設(shè)平面的一個法向量，由，令，，，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.21、（1），分布列見解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)二項(xiàng)分布知識即可求解；（2）將補(bǔ)種棕櫚樹的概率轉(zhuǎn)化為成活的概率，結(jié)合概率加法公式即可求解.【小問1詳解】由題意知，，又，所以，故未成活率為，由于所有可能的取值為0,1,2,3,4，所以，，，，，則的分布列為01234【小問2詳解】記“需要補(bǔ)種棕櫚樹”為事件A，由（1）得，，所以需要補(bǔ)種棕櫚樹的概率為.22、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可；（2）利用常變量分離法，通過構(gòu)造新函數(shù)，由方程有兩個不同的實(shí)數(shù)解問題，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象有兩個交點(diǎn)