2025屆廣東執(zhí)信中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典試題含解析

2025屆廣東執(zhí)信中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量，，且，則實(shí)數(shù)等于（）A1 B.2C. D.2．已知向量，且與互相垂直，則k=（）A. B.C. D.3．已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限4．已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.5．關(guān)于實(shí)數(shù)a，b，c，下列說(shuō)法正確的是（）A.如果，則，，成等差數(shù)列B.如果，則，，成等比數(shù)列C.如果，則，，成等差數(shù)列D.如果，則，，成等差數(shù)列6．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，（）A.11 B.20C.33 D.357．直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)是A. B.C. D.8．已知直線與直線垂直，則（）A. B.C. D.9．已知橢圓的右焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)分別為F，A，離心率為，且，則n的值為（）A.4 B.3C.2 D.10．已知橢圓：與雙曲線：有相同的焦點(diǎn)、，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點(diǎn)P為橢圓與雙曲線的交點(diǎn)，且，則的最大值為（）A. B.C. D.11．函數(shù)單調(diào)減區(qū)間是（）A. B.C.和 D.12．若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡圍成圖形的面積等于（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則_________；若三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則__________14．已知在四面體ABCD中，，，則______15．已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程，則的最大值為_(kāi)________16．已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知圓，直線（1）求證：直線與圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）設(shè)直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)為、，求的取值范圍18．（12分）設(shè)橢圓方程為，短軸長(zhǎng)，____________.請(qǐng)?jiān)冖倥c雙曲線有相同的焦點(diǎn)，②離心率，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面的橫線上，完成以下問(wèn)題.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程.19．（12分）已知橢圓的焦點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)相同，且D的離心率為.（1）求C與D的方程；（2）若，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，且直線PA，PB的斜率都存在.①求m的取值范圍.②試問(wèn)這直線PA，PB的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.20．（12分）如圖，直角梯形與等腰直角三角形所在的平面互相垂直，，，.（1）求點(diǎn)C到平面的距離；（2）線段上是否存在點(diǎn)F，使與平面所成角正弦值為，若存在，求出，若不存在，說(shuō)明理由.21．（12分）如圖，在四棱錐中P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，BC⊥平面PAB，PA⊥AB，PA＝2（1）求證：PA⊥平面ABCD；（2）求平面PAD與平面PBC所成角的余弦值22．（10分）如圖所示在多面體中，平面，四邊形是正方形，，，，.（1）求證：直線平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示計(jì)算即可得解【詳解】因向量，，且，則，解得，所以實(shí)數(shù)等于.故選：C2、C【解析】利用垂直的坐標(biāo)表示列方程求解即可.【詳解】由與互相垂直得，解得故選：C.3、D【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可確定復(fù)數(shù)所在象限【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限故選：D4、C【解析】作出輔助線，找到異面直線與所成角，進(jìn)而利用余弦定理及勾股定理求出各邊長(zhǎng)，最后利用余弦定理求出余弦值.【詳解】如圖所示，把三棱柱補(bǔ)成四棱柱，異面直線與所成角為，由勾股定理得：，，∴故選：C5、B【解析】根據(jù)給定條件結(jié)合取特值、推理計(jì)算等方法逐一分析各個(gè)選項(xiàng)并判斷即可作答.【詳解】對(duì)于A，若，取，而，即，，不成等差數(shù)列，A不正確；對(duì)于B，若，則，即，，成等比數(shù)列，B正確；對(duì)于C，若，取，而，，，不成等差數(shù)列，C不正確；對(duì)于D，a，b，c是實(shí)數(shù)，若，顯然都可以為負(fù)數(shù)或者0，此時(shí)a，b，c無(wú)對(duì)數(shù)，D不正確.故選：B6、B【解析】由數(shù)列的性質(zhì)可得，計(jì)算可得到答案.【詳解】由題意，.故答案為B.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】直線y＝x+1代入，得出關(guān)于x的二次方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出弦長(zhǎng)【詳解】將直線y＝x+1代入，可得，即5x2+8x﹣4＝0，∴x1＝﹣2，x2，∴y1＝﹣1，y2，∴直線y＝x+1被橢圓x2+4y2＝8截得的弦長(zhǎng)為故選A【點(diǎn)睛】本題查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查弦長(zhǎng)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題8、D【解析】根據(jù)互相垂直兩直線的斜率關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】由，所以直線的斜率為，由，所以直線的斜率為，因?yàn)橹本€與直線垂直，所以，故選：D9、B【解析】根據(jù)橢圓方程及其性質(zhì)有，求解即可.【詳解】由題設(shè)，，整理得，可得.故選：B10、B【解析】不妨設(shè)點(diǎn)為第一象限的交點(diǎn)，結(jié)合橢圓與雙曲線的定義得到，進(jìn)而結(jié)合余弦定理得到，即，令然后結(jié)合三角函數(shù)即可求出結(jié)果.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)為第一象限的交點(diǎn)，則由橢圓的定義可得，由雙曲線的定義可得，所以，因此，即，所以，即，令因此，其中，所以當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，故選：B.【點(diǎn)睛】一、橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)二、雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝c2－a2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)11、B【解析】根據(jù)函數(shù)求導(dǎo)，然后由求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，由，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，故選：B12、D【解析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義，即可判斷軌跡圖形，再求面積.【詳解】復(fù)數(shù)滿足，表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為3的圓，所以圍成圖形的面積等于.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.4②.【解析】由等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)計(jì)算即可.【詳解】若a，b，c三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.所以.若a，b，c三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列.所以故答案為：4，.14、24【解析】由線段的空間關(guān)系有，應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及已知條件即可求.【詳解】由題設(shè)，可得如下四面體示意圖，則，又，，所以.故答案為：2415、##【解析】設(shè)，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系即可求出【詳解】由于，設(shè)，所以點(diǎn)既在直線上，又在圓上，即直線與圓有交點(diǎn)，所以，，即故答案為：16、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)，且，，成等比數(shù)列，利用等比中項(xiàng)由，求得公差即可.（2）由（1）得到，再利用裂項(xiàng)相消法求解.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，因?yàn)椋?，，成等比?shù)列，所以，即，解得或（舍去），所以數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）知：，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求數(shù)列的前n項(xiàng)和的方法(1)公式法：①等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，②等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；(2)分組轉(zhuǎn)化法：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解(3)裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)(4)倒序相加法：把數(shù)列分別正著寫(xiě)和倒著寫(xiě)再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的推廣(5)錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，則這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和用錯(cuò)位相減法求解.(6)并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1)nf(n)類(lèi)型，可采用兩項(xiàng)合并求解三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）根據(jù)直線的方程可得直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，而點(diǎn)到圓心的距離小于半徑，故點(diǎn)在圓的內(nèi)部，由此即可證明結(jié)果（2）由圓的性質(zhì)可知，當(dāng)過(guò)圓心時(shí)，取最大值，當(dāng)和過(guò)的直徑垂直時(shí)，取最小值，由此即可求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】證明：由于直線，即令，解得，所以恒過(guò)點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)；【小問(wèn)2詳解】解：當(dāng)過(guò)圓心時(shí)，取最大值，即圓的直徑，由圓的半徑，所以的最大值為；當(dāng)和過(guò)的直徑垂直時(shí)，取最小值，此時(shí)圓心到的距離，所以，故的最小值為綜上，的取值范圍.18、（1）答案見(jiàn)解析，.（2）.【解析】（1）若選①：求得雙曲線得雙曲線的焦點(diǎn)得出橢圓的，再由，可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；若選②：根據(jù)已知條件和橢圓的離心率可求得，從而得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；若選③：由已知建立方程，求解可求得，從而得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)直線的斜率為k，所求的直線方程為，代入橢圓的方程并整理得，設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為，由根與系數(shù)的關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得答案.【小問(wèn)1詳解】解：若選①：由雙曲線得雙曲線的焦點(diǎn)和，因?yàn)闄E圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，所以橢圓的，又，所以，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；若選②：因?yàn)椋?，又離心率，所以，即，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；若選③：因?yàn)?，所以，即，又，解得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問(wèn)2詳解】解：由題意得直線的斜率必存在，設(shè)直線的斜率為k，所求的直線方程為，代入橢圓的方程并整理得，設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為，則，因?yàn)辄c(diǎn)為AB中點(diǎn)，所以，解得，所以所求的直線方程為，即.19、（1）C：；D：；（2）①且；②見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)D的離心率為，求出從而求出雙曲線的焦點(diǎn)，再由橢圓的焦點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)相同，即可求出，即可求出C與D的方程；（2）①根據(jù)題意容易得出，然后聯(lián)立方程，消元，利用即可求出m的取值范圍；②設(shè)，由①得：，計(jì)算出，判斷其是否為定值即可.【詳解】解：（1）因?yàn)镈的離心率為，即，解得：，所以D的方程為：；焦點(diǎn)坐標(biāo)為，又因橢圓的焦點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)相同，所以，所以，所以C的方程為：；（2）①如圖：因?yàn)橹本€與C交于A，B兩點(diǎn)，且直線PA，PB的斜率都存在，所以，聯(lián)立，消化簡(jiǎn)得：，所以，解得，所以且；②設(shè)，由①得：，，所以，故直線PA，PB的斜率之積不是是定值.【點(diǎn)睛】本題考查了求橢圓與雙曲線的方程、直線與橢圓的位置關(guān)系及橢圓中跟定直有關(guān)的問(wèn)題，難度較大.20、（1）（2）存在，1【解析】（1）由題意建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面向量的法向量和相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)面距離公式即可求得點(diǎn)面距離（2）假設(shè)滿足題意的點(diǎn)存在且滿足，由題意得到關(guān)于的方程，解方程即可確定滿足題意的點(diǎn)是否存在【小問(wèn)1詳解】解：如圖所示，取中點(diǎn)，連結(jié)，，因?yàn)槿切问堑妊苯侨切?，所以，因?yàn)槊婷?，面面面，所以平面，又因?yàn)椋运倪呅问蔷匦?，可得，則，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則：據(jù)此可得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令可得，從而，又，故求點(diǎn)到平面的距離【小問(wèn)2詳解】解：假設(shè)存在點(diǎn)，，滿足題意，點(diǎn)在線段上，則，即：，，，，，據(jù)此可得：，，從而，，，，設(shè)與平面所成角所成的角為，則，整理可得：，解得：或（舍去）據(jù)此可知，存在滿足題意的點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，即21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理來(lái)證得平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法來(lái)求得平面與平面所成角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】由于平面，所以，由于,所以平面.【小問(wèn)2詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，平面