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文檔簡介
上海市第二工業(yè)大學附屬龔路中學2025屆高一上數(shù)學期末質(zhì)量檢測試題注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號。回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項中,恰有一項是符合題目要求的1.定義在的函數(shù),已知是奇函數(shù),當時,單調(diào)遞增,若且,且值()A.恒大于0 B.恒小于0C.可正可負 D.可能為02.《易經(jīng)》是我國古代預測未來的著作,其中同時拋擲三枚古錢幣觀察正反面進行預測未知,則拋擲一次時出現(xiàn)兩枚正面一枚反面的概率為A. B.C. D.3.空間直角坐標系中,點關于平面的對稱點為點,關于原點的對稱點為點,則間的距離為A. B.C. D.4.某地一年之內(nèi)12個月的降水量從小到大分別為:46,48,51,53,53,56,56,56,58,64,66,71,則該地區(qū)的月降水量20%分位數(shù)和75%分位數(shù)為()A.51,58 B.51,61C.52,58 D.52,615.下圖記錄了某景區(qū)某年月至月客流量情況:根據(jù)該折線圖,下列說法正確的是()A.景區(qū)客流量逐月增加B.客流量的中位數(shù)為月份對應的游客人數(shù)C.月至月的客流量情況相對于月至月波動性更小,變化比較平穩(wěn)D.月至月的客流量增長量與月至月的客流量回落量基本一致6.函數(shù)的大致圖象是()A. B.C. D.7.已知函數(shù).若關于x的方程在上有解,則實數(shù)m的取值范圍是()A. B.C. D.8.函數(shù)f(x)=x-的圖象關于()Ay軸對稱 B.原點對稱C.直線對稱 D.直線對稱9.從1,2,3,4這4個數(shù)中,不放回地任意取兩個數(shù),兩個數(shù)都是奇數(shù)概率是A. B.C. D.10.已知向量,且,則的值為()A.1 B.2C. D.3二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.已知函數(shù),給出下列四個命題:①函數(shù)是周期函數(shù);②函數(shù)的圖象關于點成中心對稱;③函數(shù)的圖象關于直線成軸對稱;④函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.其中,所有正確命題的序號是___________.12.角的終邊經(jīng)過點,則的值為______13.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為________________.14.已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減,則______15.直線2x+(1-a)y+2=0與直線ax-3y-2=0平行,則a=__________16.設奇函數(shù)對任意的,,有,且,則的解集___________.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.已知函數(shù).(1)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性,并用定義證明;(2)判斷奇偶性,并求在區(qū)間上的值域.18.已知函數(shù)的定義域為A,的值域為B(1)求A,B;(2)設全集,求19.已知函數(shù)(1)若,求a的值;(2)判斷函數(shù)的奇偶性,并證明你的結論;(3)若對于恒成立,求實數(shù)m的范圍20.近年來,我國大部分地區(qū)遭遇霧霾天氣,給人們的健康、交通安全等帶來了嚴重影響.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)工業(yè)廢氣等污染物排放是霧霾形成和持續(xù)的重要因素,污染治理刻不容緩.為此,某工廠新購置并安裝了先進的廢氣處理設備,使產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放,以降低對空氣的污染.已知過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量(單位:mg/L)與過濾時間(單位:h)間的關系為(,均為非零常數(shù),e為自然對數(shù)的底數(shù)),其中為時的污染物數(shù)量.若經(jīng)過5h過濾后還剩余90%的污染物.(1)求常數(shù)的值;(2)試計算污染物減少到40%至少需要多長時間.(精確到1h,參考數(shù)據(jù):,,,,)21.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)(1)求實數(shù)的值;(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性,并利用定義證明
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項中,恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】由是奇函數(shù),所以圖像關于點對稱,當時,單調(diào)遞增,所以當時單調(diào)遞增,由,可得,,由可知,結合函數(shù)對稱性可知選A2、C【解析】用列舉法得出:拋擲三枚古錢幣出現(xiàn)的基本事件的總數(shù),進而可得出所求概率.【詳解】拋擲三枚古錢幣出現(xiàn)的基本事件共有:正正正,正正反,正反正,反正正,正反反,反正反,反反正,反反反8中,其中出現(xiàn)兩正一反的共有3種,故概率為.故選C【點睛】本題主要考查古典概型,熟記概率的計算公式即可,屬于??碱}型.3、C【解析】分析:求出點關于平面的對稱點,關于原點的對稱點,直接利用空間中兩點間的距離公式,即可求解結果.詳解:在空間直角坐標系中,點關于平面的對稱點,關于原點的對稱點,則間的距離為,故選C.點睛:本題主要考查了空間直角坐標系中點的表示,以及空間中兩點間的距離的計算,著重考查了推理與計算能力,屬于基礎題.4、B【解析】先把每月的降水量從小到大排列,再根據(jù)分位數(shù)的定義求解.【詳解】把每月的降水量從小到大排列為:46,48,51,53,53,56,56,56,58,64,66,71,,所以該地區(qū)月降水量的分位數(shù)為;所以該地區(qū)的月降水量的分位數(shù)為.故選:B5、C【解析】根據(jù)折線圖,由中位數(shù)求法、極差的意義,結合各選項的描述判斷正誤即可.【詳解】A:景區(qū)客流量有增有減,故錯誤;B:由圖知:按各月份客流量排序為且是10個月份的客流量,因此數(shù)據(jù)的中位數(shù)為月份和月份對應客流量的平均數(shù),故錯誤;C:由月至月的客流量相對于月至月的客流量:極差較小且各月份數(shù)據(jù)相對比較集中,故波動性更小,正確;D:由折線圖知:月至月的客流量增長量與月至月的客流量回落量相比明顯不同,故錯誤.故選:C6、C【解析】由奇偶性定義判斷的奇偶性,結合對數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷趨向于0時的變化趨勢,應用排除法即可得正確答案.【詳解】由且定義域,所以為偶函數(shù),排除B、D.又在趨向于0時趨向負無窮,在趨向于0時趨向1,所以在趨向于0時函數(shù)值趨向負無窮,排除A.故選:C7、C【解析】先對函數(shù)化簡變形,然后由在上有解,可知,所以只要求出在上即可【詳解】,由,得,所以,所以,即,由在上有解,可知,所以,得,氫實數(shù)m的取值范圍是,故選:C8、B【解析】函數(shù)f(x)=x-則f(-x)=-x+=-f(x),由奇函數(shù)的定義即可得出結論.【詳解】函數(shù)f(x)=x-則f(-x)=-x+=-f(x),所以函數(shù)f(x)奇函數(shù),所以圖象關于原點對稱,故選B.【點睛】本題考查了函數(shù)的對稱性,根據(jù)函數(shù)解析式特點得出f(-x)=-f(x)即可得出函數(shù)為奇函數(shù),屬于基礎題.9、A【解析】從1,2,3,4這4個數(shù)中,不放回地任意取兩個數(shù),共有(12),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)共12種其中滿足條件兩個數(shù)都是奇數(shù)的有(1,3),(3,1)兩種情況故從1,2,3,4這4個數(shù)中,不放回地任意取兩個數(shù),兩個數(shù)都是奇數(shù)的概率.故選A.10、A【解析】由,轉(zhuǎn)化為,結合數(shù)量積的坐標運算得出,然后將所求代數(shù)式化為,并在分子分母上同時除以,利用弦化切的思想求解【詳解】由題意可得,即∴,故選A【點睛】本題考查垂直向量的坐標表示以及同角三角函數(shù)的基本關系,考查弦化切思想的應用,一般而言,弦化切思想應用于以下兩方面:(1)弦的分式齊次式:當分式是關于角弦的次分式齊次式,分子分母同時除以,可以將分式由弦化為切;(2)弦的二次整式或二倍角的一次整式:先化為角的二次整式,然后除以化為弦的二次分式齊次式,并在分子分母中同時除以可以實現(xiàn)弦化切二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、①②③【解析】利用誘導公式化簡函數(shù),借助周期函數(shù)的定義判斷①;利用函數(shù)圖象對稱的意義判斷②③;取特值判斷④作答.【詳解】依題意,,因,是周期函數(shù),是它的一個周期,①正確;因,,即,因此的圖象關于點成對稱中心,②正確;因,,即,因此的圖象關于直線成軸對稱,③正確;因,,,顯然有,而,因此函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)遞增,④不正確,所以,所有正確命題的序號是①②③.故答案為:①②③【點睛】結論點睛:函數(shù)的定義域為D,,(1)存在常數(shù)a,b使得,則函數(shù)圖象關于點對稱.(2)存在常數(shù)a使得,則函數(shù)圖象關于直線對稱.12、【解析】以三角函數(shù)定義分別求得的值即可解決.【詳解】由角的終邊經(jīng)過點,可知則,,所以故答案為:13、【解析】函數(shù)由,復合而成,求出函數(shù)的定義域,根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性即可得結果.【詳解】函數(shù)由,復合而成,單調(diào)遞減令,解得或,即函數(shù)的定義域為,由二次函數(shù)的性質(zhì)知在是減函數(shù),在上是增函數(shù),由復合函數(shù)的單調(diào)性判斷知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,故答案為.【點睛】本題考查用復合函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間,此題外層是一對數(shù)函數(shù),故要先解出函數(shù)的定義域,在定義域上研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,這是本題易失分點,切記!14、##【解析】依題意得且,即可求出,從而得到函數(shù)解析式,再代入求值即可;【詳解】解:由題意得且,則,,故故答案為:15、3【解析】a=0時不滿足條件,∵直線2x+(1-a)y+2=0與直線ax-3y-2=0平行a≠0,∴解得a=316、【解析】可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性,結合和,分析出的正負情況,求解.【詳解】對任意,,有故在上為減函數(shù),由奇函數(shù)的對稱性可知在上為減函數(shù),則則,,,;,;,;,.故解集為:故答案為:【點睛】正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義,必須把握好兩個問題:(1)定義域關于原點對稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要非充分條件;(2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定義域上的恒等式.奇函數(shù)的圖象關于原點對稱,偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱,反之也成立.利用這一性質(zhì)可簡化一些函數(shù)圖象的畫法,也可以利用它去判斷函數(shù)的奇偶性三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,證明見解析(2)函數(shù)為奇函數(shù),在區(qū)間上的值域為【解析】(1)利用定義法證明函數(shù)單調(diào)性;(2)先得到定義域關于原點對稱,結合得到函數(shù)為奇函數(shù),利用第一問的單調(diào)性求出在區(qū)間上的值域.【小問1詳解】在區(qū)間上單調(diào)遞增,證明如下:,,且,有.因為,,且,所以,.于是,即.故在區(qū)間上單調(diào)遞增.【小問2詳解】的定義域為.因,所以為奇函數(shù).由(1)得在區(qū)間上單調(diào)遞增,結合奇偶性可得在區(qū)間上單調(diào)遞增.又因為,,所以在區(qū)間上的值域為.18、(1),;(2).【解析】(1)由,可得定義域,由二次函數(shù)性質(zhì)得得值域,即得;(2)根據(jù)集合運算法則計算【詳解】(1)由得:,解得..∴,(2)由(1)得,∴.【點睛】本題考查求函數(shù)的定義域與值域,考查集合的綜合運算,屬于基礎題19、(1)(2)奇函數(shù),證明見解析(3)【解析】(1)代入,得到,利用對數(shù)的運算即可求解;(2)先判斷奇偶性,然后分析定義域并計算的數(shù)量關系,由此完成證明;(3)將已知轉(zhuǎn)化為,求出在的最小值,即可得解.【小問1詳解】,,即,解得,所以a的值為【小問2詳解】為奇函數(shù),證明如下:由,解得:或,所以定義域為關于原點對稱,又,所以為奇函數(shù);【小問3詳解】因為,又外部函數(shù)為增函數(shù),內(nèi)部函數(shù)在上為增函數(shù),由復合函數(shù)的單調(diào)性知函數(shù)在上為增函數(shù),所以,又對于恒成立,所以,所以,所以實數(shù)的范圍是20、(1)(2)42h【解析】(1)根據(jù)題意,得到,求解,即可得出結果;(2)根據(jù)(1)的結果,得到,由題意得到,求解,即可得出結果.【詳解】(1)由已知得,當時,;當時,.于是有,解得(或).(2)由(1
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