2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第七章三角函數(shù)模塊素養(yǎng)檢測(cè)含解析新人教B版必修第三冊(cè)

PAGE模塊素養(yǎng)檢測(cè)(一)(120分鐘150分)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求)1.sin600°+tan(-300°)的值是 ()A.-QUOTE B.QUOTEC.-QUOTE+QUOTE D.QUOTE+QUOTE【解析】選B.由題意sin600°+tan(-300°)=-sin(600°-540°)+tan(-300°+360°)=-sin60°+tan60°=-QUOTE+QUOTE=QUOTE.2.如圖,a-b等于 ()A.2e1-4e2 B.-4e1-2e2C.e1-3e2 D.3e1-e2【解析】選C.a-b=e1-3e2.3.已知向量a,b的夾角為60°,QUOTE=2,QUOTE=1,則QUOTE= ()A.QUOTE B.QUOTE C.2QUOTE D.QUOTE【解析】選B.向量a,b的夾角為60°,QUOTE=2,QUOTE=1,則QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.【點(diǎn)睛】本題考查利用平面對(duì)量的數(shù)量積來(lái)計(jì)算平面對(duì)量的模,在計(jì)算時(shí),一般將模進(jìn)行平方,利用平面對(duì)量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算,考查計(jì)算實(shí)力,屬于中等題.4.cos70°sin50°-cos200°sin40°的值為 ()A.-QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.QUOTE【解題指南】依據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)到角是銳角,再用正弦和差角公式求解.【解析】選B.cos70°sin50°-cos200°sin40°=cosQUOTEsinQUOTE-cosQUOTEsin40°=sin20°cos40°+cos20°sin40°=sin60°=QUOTE.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和正弦和差角公式.5.已知a,b是不共線的向量,=λa+b,=a+μb,λ,μ∈R,則A,B,C三點(diǎn)共線的條件為 ()A.λ+μ=2 B.λ-μ=1C.λμ=-1 D.λμ=1【解析】選D.由A,B,C三點(diǎn)共線,得∥,設(shè)=m(m≠0),即λa+b=ma+mμb,所以QUOTE所以λμ=1.6.(2024·全國(guó)卷Ⅱ)已知向量a=(2,3),b=(3,2),則|a-b|= ()A.QUOTE B.2 C.5QUOTE D.50【解析】選A.由向量a=(2,3),b=(3,2),可得a-b=(-1,1),所以|a-b|=QUOTE=QUOTE.【拓展延長(zhǎng)】1.求向量的模的方法:(1)公式法,利用|a|=QUOTE及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2,把向量的模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算;(2)幾何法,利用向量的幾何意義.2.求向量模的最值(范圍)的方法:(1)代數(shù)法,把所求的模表示成某個(gè)變量的函數(shù),再用求最值的方法求解;(2)幾何法(數(shù)形結(jié)合法),弄清所求的模表示的幾何意義,結(jié)合動(dòng)點(diǎn)表示的圖形求解.7.(2024·天津高考)在如圖的平面圖形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,=2,=2,則·的值為 ()A.-15 B.-9 C.-6 D.0【解析】選C.因?yàn)?2,所以=3,同理=3,=-=3-3=3,·=3·=3(-)·=3·-3()2=3×2×1×cos120°-3×12=-6.8.已知點(diǎn)G是△ABC內(nèi)一點(diǎn),滿意++=0,若∠BAC=QUOTE,·=1,則||的最小值是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解題指南】依據(jù)向量關(guān)系,利用,表示,再依據(jù)向量的模以及基本不等式求最值.【解析】選A.因?yàn)?+=0,所以G是△ABC的重心,因此=,從而==QUOTE≥QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE(當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)取等號(hào)).二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)9.函數(shù)y=sinQUOTE是R上的偶函數(shù),則φ的值可以是 ()A.QUOTE B.π C.QUOTE D.2π【解析】選A、C.由題意得sin(-φ)=±1,即sinφ=±1.所以φ可以是QUOTE或QUOTE.10.已知向量a與b不共線,則下列各對(duì)向量能作為平面對(duì)量的一組基底的是()A.2a,b C.a,a-b D.a+b,-a-b【解析】選ABC.因?yàn)橄蛄縜與b不共線,則2a與b,a+b與b,a與a-b都不共線,能分別作為平面對(duì)量的一組基底,由于a+b與-a-b共線,所以a+b,-a-b不能作為平面對(duì)量的一組基底.11.關(guān)于函數(shù)f(x)=sin4QUOTE-cos4QUOTE的下列敘述正確的是 ()A.最小正周期為QUOTE,奇函數(shù)B.最小正周期為QUOTE,偶函數(shù)C.最小值為-1,最大值為1D.最小值為0,最大值為1【解析】選AC.因?yàn)閒(x)=sin4QUOTE-cos4QUOTE=sin2QUOTE-cos2QUOTE=-cosQUOTE=sin4x.所以f(x)為奇函數(shù),T=QUOTE=QUOTE,最小值為-1,最大值為1.12.如圖,直角△ABC的斜邊BC長(zhǎng)為2,∠C=30°,且點(diǎn)B,C分別在x軸,y軸正半軸上滑動(dòng),點(diǎn)A在線段BC的右上方.設(shè)=x+y,(x,y∈R),記M=·,N=x+y,分別考察M,N的全部運(yùn)算結(jié)果,則 ()A.M的最小值為QUOTE B.M的最大值為QUOTEC.N的最小值為1+QUOTE D.N的最大值為1+QUOTE【解題指南】設(shè)∠OCB=α,用α表示出M,N,依據(jù)α的取值范圍,利用三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)M,N,進(jìn)而求得M,N最值的解.【解析】選BC.依題意∠BCA=30°,BC=2,∠A=90°,所以AB=1,AC=QUOTE.設(shè)∠OCB=α,則∠ABx=120°-(90°-α)=α+30°,0°<α<90°,所以BQUOTE,AQUOTE,CQUOTE,所以M=·=2cosαsinQUOTE=sinQUOTE+QUOTE,當(dāng)2α+30°=90°,α=30°時(shí),M取得最大值為1+QUOTE=QUOTE.因?yàn)?x+y,所以x=QUOTE,y=QUOTE,所以N=x+y=QUOTE+QUOTE=1+QUOTE,當(dāng)2α=90°,α=45°時(shí),N有最小值為1+QUOTE.三、填空題(本大題共4個(gè)小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中的橫線上)13.(2024·全國(guó)卷Ⅲ)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),則

=QUOTE=QUOTE=-QUOTE.答案:-QUOTE14.(2024·武威高一檢測(cè))已知α為銳角,且cosQUOTE=QUOTE,則tanα=.

【解析】由cosQUOTE=QUOTE,得sinα=QUOTE,因?yàn)棣潦卿J角,所以α=60°,則tanα=QUOTE.答案:QUOTE15.已知向量a,b的夾角為QUOTE,且|a|=1,|2a-b|=QUOTE,則|b|=.

得4a2-4a·b+b2=10,即4-4×1×|b|·QUOTE+|b|2=10.解得|b|=3QUOTE或|b|=-QUOTE(舍去).答案:3QUOTE16.若QUOTE<x<QUOTE,則函數(shù)y=tan2xtan3x的最大值為.

【解析】令tanx=t,因?yàn)镼UOTE<x<QUOTE,所以t>1,所以y=tan2xtan3x=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE≤QUOTE=-8.當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=QUOTE,即t=QUOTE時(shí),等號(hào)成立.答案:-8【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖,函數(shù)y=4sinQUOTEcosQUOTE與函數(shù)y=2的圖像圍成一個(gè)封閉圖形,這個(gè)封閉圖形的面積是.

【解析】函數(shù)y=4sinQUOTEcosQUOTE=2sin3xQUOTE,圖像的對(duì)稱軸為直線x=QUOTE,由函數(shù)圖像的對(duì)稱性,利用面積“割補(bǔ)法”,得函數(shù)y=2sin3xQUOTE圖像與函數(shù)y=2的圖像圍成封閉圖形的面積是S=2×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE四、解答題(本大題共6個(gè)小題,共70分,解答時(shí)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17.(10分)已知向量a,b,c,d在同一平面內(nèi),且a=QUOTE,QUOTE.(1)若QUOTE=2QUOTE,且c∥a,求c.(2)若QUOTE=QUOTE,且QUOTE⊥QUOTE,求a與b的夾角θ.【解析】(1)因?yàn)閏∥a,所以c=λa,則c=QUOTE,QUOTE,又因?yàn)镼UOTE=2QUOTE,所以λ=±2,所以c=QUOTE,QUOTE或QUOTE,QUOTE.(2)因?yàn)镼UOTE⊥QUOTE,所以QUOTE·QUOTE=0,又因?yàn)镼UOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE,所以a·b=-QUOTE,cosθ=QUOTE=-1,且0°≤θ≤180°,所以θ=180°.18.(12分)已知QUOTE<θ<QUOTE,sin2θ=QUOTE,求sinθ-cosθ,sinθ+cosθ的值.【解析】因?yàn)閟in2θ=2sinθcosθ=QUOTE,所以(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=1-QUOTE=QUOTE.因?yàn)棣取蔘UOTE,所以sinθ>cosθ,則sinθ-cosθ=QUOTE.因?yàn)?sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=1+QUOTE=QUOTE且sinθ+cosθ>0,所以sinθ+cosθ=QUOTE.19.(12分)已知函數(shù)f(x)=QUOTE,坐標(biāo)原點(diǎn)為O,點(diǎn)An(n,f(n))(n∈N*),向量i=(0,1),θn是向量與i的夾角,計(jì)算QUOTE+QUOTE+…+QUOTE的值.【解析】因?yàn)橄蛄縤=(0,1),=QUOTE,θn是向量與i的夾角,所以直線OAn的傾斜角為90°-θn,直線OAn經(jīng)過(guò)點(diǎn)AnQUOTE,所以直線OAn的斜率為kn=tan(90°-θn)=QUOTE=QUOTE-QUOTE.所以QUOTE=QUOTE=tan(90°-θn)=QUOTE=QUOTE-QUOTE所以QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=QUOTE-QUOTE+QUOTE-QUOTE+…+QUOTE-QUOTE=1-QUOTE=QUOTE.20.(12分)已知函數(shù)f(x)=QUOTEsin2x-2sin2x.(1)求函數(shù)f(x)的最大值.(2)求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的集合.【解析】(1)因?yàn)閒(x)=QUOTEsin2x-2sin2x=QUOTEsin2x-(1-cos2x)=2QUOTE-1=2sinQUOTE-1,所以當(dāng)2x+QUOTE=2kπ+QUOTE,即x=kπ+QUOTE(k∈Z)時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值1.(2)由(1)及f(x)=0,得sinQUOTE=QUOTE,所以2x+QUOTE=2kπ+QUOTE,或2x+QUOTE=2kπ+QUOTE,即x=kπ,或x=kπ+QUOTE(k∈Z).故函數(shù)f(x)的零點(diǎn)集合為{x|x=kπ,或x=kπ+QUOTE,k∈Z}.【一題多法】由f(x)=0,得2QUOTEsinxcosx=2sin2x,于是sinx=0,或tanx=QUOTE.由sinx=0,得x=kπ(k∈Z);由tanx=QUOTE,得x=kπ+QUOTE(k∈Z).故函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的集合為{x|x=kπ,或x=kπ+QUOTE,k∈Z}.21.(12分)已知函數(shù)f(x)=sinQUOTEsinx-QUOTEcos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值.(2)探討f(x)在QUOTE上的單調(diào)性.【解析】(1)f(x)=sinQUOTEsinx-QUOTEcos2x=cosxsinx-QUOTE(1+cos2x)=QUOTEsin2x-QUOTEcos2x-QUOTE=sinQUOTE-QUOTE,因此f(x)的最小正周期為π,最大值為QUOTE.(2)當(dāng)x∈QUOTE