江西省上饒市“山江湖”協作體2024-2025學年高二數學上學期期中試題自招班含解析

PAGE18-江西省上饒市“山江湖”協作體2024-2025學年高二數學上學期期中試題（自招班，含解析）一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）1.已知集合，集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】對集合內的不等式進行計算，然后依據交集運算得到答案.【詳解】集合中，解不等式，得，所以集合而集合所以，故選C項.【點睛】本題考查對數不等式的計算，集合交集的運算，屬于簡潔題.2.如圖，在邊長為2的正方形ABCD的內部隨機取一點E，則△ABE的面積大于的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據題意得正方形邊長為2,E到AB的距離大于時滿意題意,由幾何概型公式計算可得答案.【詳解】解:由題意得，正方形邊長為2,E到AB的距離大于時，△ABE的面積大于,易得E在長寬分別為2，的矩形內,又正方形面積為4,由幾何概型的公式得到△ABE的面積大于的概率,故選C.【點睛】本題主要考查幾何概型的概念和計算,得出點E在長寬分別為2，的矩形內，再利用幾何概型計算概率是解題的關鍵.3.綻開式中的常數項為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將二項式表示為，得出其通項，令的指數為零，求出參數的值，再將參數的值代入通項可得出綻開式中的常數項.【詳解】，綻開式通項為，令，得，因此，二項式綻開式中的常數項為，故選：A.【點睛】本題考查二項式綻開式中指定項系數的計算，解題的關鍵就是寫出二項綻開式的通項，依據指數求出參數的值，進而求解，考查計算實力，屬于中等題.4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，假如輸入的，則輸出的A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【詳解】閱讀流程圖，初始化數值.循環(huán)結果執(zhí)行如下：第一次：；其次次：；第三次：；第四次：；第五次：；第六次：，結束循環(huán)，輸出.故選B.點睛:算法與流程圖的考查，側重于對流程圖循環(huán)結構的考查.求解時，先明晰算法及流程圖的相關概念，包括選擇結構、循環(huán)結構、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點條件、循環(huán)次數、循環(huán)終止條件，更要通過循環(huán)規(guī)律，明確流程圖探討的數學問題，如：是求和還是求項.5.設，若是與的等比中項，則的最小值為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D【解析】∵是與的等比中項，∴，∴，∴，當且僅當且，即時等號成立．選D．6.在中，，，，則的面積為A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角形中的正弦定理求出角B，利用三角形內角和求出角C，再利用三角形的面積公式求出三角形的面積，求得結果.【詳解】因為中，，，，由正弦定理得：，所以，所以，所以，所以，故選C.【點睛】該題所考查的是有關三角形面積的求解問題，在解題的過程中，須要留意依據題中所給的條件，應用正弦定理求得，從而求得，之后應用三角形面積公式求得結果.7.設實數滿意約束條件，則的最大值為（）A.1 B.4 C.8 D.16【答案】D【解析】【分析】把化簡為，然后令，然后作圖，找出可行域，即可依據圖象找出答案.【詳解】作圖可得，可行域為陰影部分，對于，可化簡為，令，明顯地，當直線過時，即當時，取最大值4，則的最大值為16.答案選D【點睛】本題考查線性規(guī)劃的求最值問題，屬于基礎題8.利用數學歸納法證明“且”的過程中，由假設“”成立，推導“”也成立時，該不等式左邊的改變是（）A.增加B增加C.增加并削減D.增加并削減【答案】D【解析】【分析】由題寫出時的表達式和的遞推式，通過對比，選出答案【詳解】時，不等式為時，不等式為，增加并削減.故選D.【點睛】用數學歸納法寫遞推式時，要留意從到時系數k對表達式的影響，防止出錯的方法是依次寫出和的表達式，對比增項是什么，減項是什么即可9.已知三棱錐的底面是邊長為2的等邊三角形，平面，且，則該三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由于球中球心與球的小圓圓心的連線垂直于這個小圓，利用也垂直于這個小圓，即可利用球心與小圓圓心建立起直角三角形，，依據題意可求出是底面三角形的外接圓的半徑，利用計算即可，最終即可求出球的表面積?！驹斀狻坑梢阎?，作下圖，連結，延長至圓上交于H，過作交于，則為，所以，為斜邊的中點，所以，為的中位線，為小圓圓心，則為的中點，則，則，，則球的半徑球的表面積為答案選D.【點睛】本題考查計算球的表面積，關鍵在于利用進行計算，難點在于構造三要素相關的直角三角形進行求解，難度屬于中等。10.已知圓截直線所得線段的長度是，則圓與圓的位置關系是（）A.內切 B.相交 C.外切 D.相離【答案】B【解析】化簡圓到直線的距離，又兩圓相交.選B11.將4個不同的球放入3個不同的盒中，每個盒內至少有1個球，則不同的放法種數為（）A.24 B.36 C.48 D.96【答案】B【解析】解：因為將個不同的球放入個不同的盒中，每個盒內至少有個球，則4=1+1+2,分為三組，然后安排，則不同的放法種數為種，選B12.設函數的定義域為，滿意，且當時，．若對隨意，都有，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用對勾函數求得在的最小值，再得圖象向右移動個單位，其函數值擴大倍，從而求解.【詳解】當時，的最小值是由知當時，的最小值是當時，的最小值是要使，則，解得：或故選D.【點睛】本題考查對勾函數和的圖象平移和函數值的倍數關系，屬于難度題.二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.設隨機變量，，若，則______.【答案】【解析】【分析】依據二項分布數學期望的計算公式可求出；由，利用二項分布概率公式可求得結果.【詳解】本題正確結果：【點睛】本題考查二項分布概率公式、數學期望公式的應用問題，屬于基礎題.14.已知隨機變量聽從正態(tài)分布，且,則_______．【答案】0.01【解析】【分析】依據正態(tài)分布的對稱性，求得的值.【詳解】依據正態(tài)分布的對稱性有.【點睛】本小題主要考查正態(tài)分布的對稱性，屬于基礎題.15.在中，若，則的外接圓半徑，將此結論拓展到空間，可得出的正確結論是：在四面體中，若兩兩垂直，，則四面體的外接球半徑______________．【答案】【解析】【分析】通過條件三條棱兩兩垂直，可將其補為長方體，從而求得半徑.【詳解】若兩兩垂直,可將四面體補成一長方體，從而長方體的外接球即為四面體的外接球，于是半徑，故答案為.【點睛】本題主要考查外接球的半徑，將四面體轉化為長方體求解是解決本題的關鍵.16.已知正項數列滿意，，則數列的前項和為___________．【答案】【解析】【分析】由已知表達式因式分解得到數列遞推式，再運用累乘的方法求得通項公式，再將通項公式裂項，利用裂項相消求和得解.【詳解】由已知得所以又因為所以所以所以；累乘得所以所以=所以累加求和得故答案為【點睛】本題關鍵將已知表達式因式分解得遞推式，再運用累乘和裂項相消求和的方法求解，屬于難題.三、解答題（本大題共6小題，共70.0分）17.已知不等式的解集為．(1)求，的值；(2)求函數的最小值．【答案】（1），；（2）.【解析】分析：第一問應用一元二次不等式解的邊界值就是對應的一元二次方程的根，從而將代入，求得的值，代入原不等式，解不等式即可求得的值；其次問先將的值代入，之后對式子進行整理，應用基本不等式求得結果.詳解：(1)∵不等式的解集為∴1和是方程的兩根,∴解得，.(2)由(1)得,當且僅當，即時，函數有最小值8．點睛：（1）利用一元二次不等式的解集與相應的一元二次方程的實數根的關系即可求出結果；（2）將的值代入，利用對勾函數的單調性也可以求得結果，也可以利用基本不等式求解.18.已知，，分別為三個內角，，的對邊，且.（Ⅰ）求的大??；（Ⅱ）若，的面積為，求的值．【答案】(1);(2).【解析】試題分析：（1）正弦定理得，，所以；（2）依據面積公式和余弦定理，得，所以.試題解析：（Ⅰ）由已知及正弦定理得，因為，所以，即又，，所以.（Ⅱ）由已知，由余弦定理得，即，即，又所以.19.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且a2=2，公差d≠0，a2，a4，a8成等比數列．（1）求數列{an}的通項公式；（2）設，求數列{bn}的前n項和Tn．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）運用等比中項的性質和等差數列的通項公式，可得公差、首項，進而得到所求通項公式；（2）由等差數列的求和公式，可得，再由數列的裂項相消求和，化簡可得所求和．【詳解】解：（1）設等差數列的首項為公差為；，，成等比數列，，，即，，又，，，故．（2）由（1）得，，．【點睛】本題考查等比中項性質和等差數列的通項公式和求和公式，以及數列的裂項相消求和，考查化簡運算實力，屬于基礎題．20.如圖，四棱錐P一ABCD中，AB=AD=2BC=2，BC∥AD，AB⊥AD，△PBD為正三角形．且PA=2．（1）證明：平面PAB⊥平面PBC；（2）若點P究竟面ABCD的距離為2，E是線段PD上一點，且PB∥平面ACE，求四面體A-CDE的體積．【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）證明AB⊥PB，AB⊥BC，推出AB⊥平面PBC，然后即可證明平面PAB⊥平面PBC．（2）設BD，AC交于點O，連接OE，點P到平面ABCD的距離為2，點E到平面ABCD的距離為h==，通過VA-CDE=VE-CDA，轉化求解四面體A-CDE的體積．【詳解】（1），且，，又為正三角形，，又，，，，又，，，，平面，又平面，平面平面．（2）如圖，設，交于點，，且，，連接，平面，，則，又點到平面的距離為2，點到平面的距離為，，即四面體的體積為．【點睛】本題考查平面與平面垂直的判定定理的應用，幾何體的體積的求法，考查空間想象實力以及計算實力．21.司機在開機動車時運用手機是違法行為，會存在嚴峻的平安隱患，危及自己和他人的生命．為了探討司機開車時運用手機的狀況，交警部門調查了100名機動車司機，得到以下統(tǒng)計：在55名男性司機中，開車時運用手機的有40人，開車時不運用手機的有15人；在45名女性司機中，開車時運用手機的有20人，開車時不運用手機的有25人．（1）完成下面的2×2列聯表，并推斷是否有99.5%的把握認為開車時運用手機與司機的性別有關；（2）以上述的樣本數據來估計總體，現交警部門從道路上行駛的大量機動車中隨機抽檢3輛，記這3輛車中司機為男性且開車時運用手機的車輛數為X，若每次抽檢的結果都相互獨立，求X的分布列和數學期望E（X）．參考公式與數據：，其中n=a+b+c+d．【答案】（1）有的把握認為開車時運用手機與司機的性別有關；（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）依據題意填寫2×2列聯表，計算觀測值，比照臨界值得出結論；（2）求出隨意抽取1輛車中司機為男性且開車時運用手機的概率，知X的可能取值，且X聽從二項分布，計算對應的概率，寫出X的分布列，計算數學期望值．【詳解】（1）填寫2×2列聯表，如下；開車時運用手機開車時不運用手機合計男性司機人數401555女性司機人數202545合計6040100依據數表，計算=≈8.25＞7.879，所以有99.5%的把握認為開車時運用手機與司機的性別有關；（Ⅱ）由題意，隨意抽取1輛車中司機為男性且開車時運用手機的概率是，則的可能取值為：0，1，2，3，且，可得，所以，，，；所以分布列為：0123數學期望為．【點睛】本題考查了二項分布列的性質及其數學期望和獨立性檢驗思想方法，屬于中檔題．22.已知動點P與兩個定點O（0，0），A（3，0）的距離的比值為2，點P的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的軌跡方程（2）過點（﹣1，0）作直線與曲線C交于A，B兩點，設點M坐標為（4，0），求△ABM面積最大值．【答案】（1）；（2）2【解析】【分析】（1）設點，運用兩點的距離公式，化簡整理可得所求軌跡