函數(shù)與線段問題-2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（解析版）

專題25M數(shù)與線段問題

考向1距離最值問題

福題呈現(xiàn)

【母題來源】2021年中考四川省綿陽卷

【母題題文】如圖，二次函數(shù)丫=---2*+4-@2的圖象與一次函數(shù)丫=-2*的圖象交于點

A、B（點B在右側(cè)），與y軸交于點C,點A的橫坐標(biāo)恰好為a.動點P、Q同時從原點。出

發(fā)，沿射線0B分別以每秒6和2近個單位長度運(yùn)動，經(jīng)過t秒后，以PQ為對角線作矩形

PMQN,且矩形四邊與坐標(biāo)軸平行.

（1）求a的值及t=l秒時點P的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)矩形PMQN與拋物線有公共點時，求時間t的取值范圍；

（3）在位于x軸上方的拋物線圖象上任取一點R,作關(guān)于原點（0,0）的對稱點為R,,當(dāng)

點M恰在拋物線上時，求R'M長度的最小值，并求此時點R的坐標(biāo).

【答案】（1）由題意知，交點A坐標(biāo)為（a,-2a）,代人y=-x-2x+4-a,

解得：a=—V2,

拋物線解析式為：y=-x2-2x+2,

當(dāng)t=l秒時，0P=V5,設(shè)P的坐標(biāo)為（x,y）,

則f2+y2=(佝2,

(y=-2x

；.P的坐標(biāo)為（1,-2）；

（2）經(jīng)過t秒后，0P=V5t,0Q=2V5t,

由（1）方法知，P的坐標(biāo)為（t,-2t）,Q的坐標(biāo)為（2t,-4t）,

由矩形PMQN的鄰邊與坐標(biāo)軸平行可知，M的坐標(biāo)為（2t,-2t）,N的坐標(biāo)為（t,-4t）,

矩形PMQN在沿著射線OB移動的過程中，點M與拋物線最先相交，如圖1,

然后公共點變?yōu)?個，點N與拋物線最后相離，然后漸行漸遠(yuǎn)，如圖2,

將M（2t,-2t）代入y=-X?-2x+2,得2tIt-1=0,

解得：t=^,或t=-l（舍），

將N（1,-4t）代入y=-x~-2x+2,得（t-1）2=3,

解得：t=l+W或t=l一百（舍）.

所以，當(dāng)矩形PMQN與拋物線有公共點時，

1

時間t的取值范圍是：-<t^l+V3；

(3)設(shè)R(m,n),則R關(guān)于原點的對稱點為R'(-m,-n),

當(dāng)點M恰好在拋物線上時，M坐標(biāo)為(1,-1),

過R'和M作坐標(biāo)軸平行線相交于點S,如圖3,

則R，M=VMS2+RZS2=J(-m-1)2+(一口+1)2,

又-m2-2m+2得(m+1)2=3-n,

消去m得：R'M=yj(m+l)2+(n—l)2

=J(3-n)+(n_1)2=Vn2—3n+4=J(n—|)2

QV7

當(dāng)n=3時，R'M長度的最小值為行，

此時，n=-in?-2m+2=■1，解得：m=-1±—,

22

、63

???點R的坐標(biāo)是(-1±—，一).

22

【試題解析】(1)將A(a,-2a)代人y=-x2-2x+4-a2,解方程求出a,即可求得拋物

線解析式，當(dāng)t=l秒時，0P=V5,設(shè)P的坐標(biāo)為(x,y),建立方程求解即可；

(2)經(jīng)過t秒后，OP-V5t,0Q=2?t,得出P的坐標(biāo)為(1,-2t),Q的坐標(biāo)為(2t,

-4t),進(jìn)而得出M的坐標(biāo)為(2t,-2t),N的坐標(biāo)為(t,-4t),將M(2t,-2t)代入

y--x-2x+2,得2t~+t-1=0,解方程即可，將N(1,-4t)代入y=-x--2x+2,得(t

-1)2=3,解方程即可得出答案；

(3)設(shè)R(m,n),則R關(guān)于原點的對稱點為R'(-m,-n),當(dāng)點M恰好在拋物線上時，M

坐標(biāo)為(1,-1),過R'和M作坐標(biāo)軸平行線相交于點S,如圖3,利用勾股定理可得R'M=

V(m+l)2+(n-l)2=J(n—|)2+3,當(dāng)n=飄，R'M長度的最小值為進(jìn)而可得出答

案.

【命題意圖】代數(shù)幾何綜合題；壓軸題；動點型；運(yùn)算能力；推理能力；應(yīng)用意識.

【命題方向】二次函數(shù)綜合題，一般為壓軸題.

【得分要點】距離問題

(1)點到直線的距離：如圖，點P到直線1的距離，可線求出^PAB的面積，則該三角形

AB邊上的高線就是點P到直線1的距離.

p

AB

(2)點到點的距離(線段長度)：

①若點則A3=,(尤0-西J+-；

②若點A在直線丁=辰+人上，點B在拋物線y=皿2+加+。上，設(shè)點A(/，5+。)，

2

,mxf+3+c),貝！JAB=^(x0-)+{kxQ+b-mxf-nxx-,

當(dāng)點A,B橫坐標(biāo)相同時，AB=|Ax0+b-mxl-nx^-《，當(dāng)點A,B縱坐標(biāo)相同時，AB=\x0-xj.

考向2距離相等問題

福題呈現(xiàn)

【母題來源】2021年中考廣西桂林卷

【母題題文】如圖，已知拋物線y=a(x-3)(x+6)過點A(-1,5)和點B(-5,m),

與x軸的正半軸交于點C.

(1)求a,m的值和點C的坐標(biāo)；

PB2

(2)若點P是x軸上的點，連接PB,PA,當(dāng)一時，求點P的坐標(biāo)；

P45

(3)在拋物線上是否存在點M,使A,B兩點到直線MC的距離相等？若存在，求出滿足條

【答案】(1):拋物線y=a(x-3)(x+6)過點A(-1,5),

?*.5=-20a,/.a=—j,

拋物線的解析式為y=(x-3)(x+6),

1

令y=0,則一4(x-3)(x+6)=0,解得x=3或-6,

AC(3,0),

當(dāng)x=-5時，y=-1x(-8)Xl=2,

.*.B(-5,2),.*.m=2.

5222

(2)設(shè)sPI'O''則,有J;(”t+1)2+52=g2，

整理得，21t2+242t+621=0,解得t=-g或一爭

經(jīng)檢驗t=-半或-學(xué)是方程的解，

.?.滿足條件的點P坐標(biāo)為(—竿，0)或(—等，0).

(3)存在.連接AB,設(shè)AB的中點為T.

①當(dāng)直線CM經(jīng)過AB的中點T時，滿足條件.

VA(-1,5),B(-5,2),TA=TB,

7

AT(-3,VC(3,0),

2

直線CT的解析式為y=

(___J_.7(=11

由「一4，解得匕二〉即點oX--Q-

或，

=-4(%—3)。+6)7一35

1135

M(-),

39

②CM'〃AB時，滿足條件，

23

,直線AB的解析式為y=jx+

T'

39

直線CM'的解析式為

y=廠不

r=3_9

由『一4：一4，解得憑二"即點C)或｛口，

。=-抖-3)Q+6)U-U

.\M,(-9,-9),

【試題解析】((1)利用待定系數(shù)法求解即可.

/1+5)2+222

(2)設(shè)p<t,0),則有丫:號=解方程，可得結(jié)論.

7(t+l)2+525

(3)存在.連接AB,設(shè)AB的中點為T.分兩種情形：①當(dāng)直線CM經(jīng)過AB的中點T時，滿

足條件.②CM'〃AB時，滿足條件.根據(jù)方程組求出點M的坐標(biāo)即可.

【命題意圖】代數(shù)幾何綜合題；推理能力.

【命題方向】二次函數(shù)綜合題，一般為壓軸題.

【得分要點】考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)

構(gòu)建方程解決問題，學(xué)會構(gòu)造一次函數(shù)，利用方程組確定交點坐標(biāo)，是解答的關(guān)鍵.

L(2021?山東棗莊模擬)己知拋物線y=ax?+bx+c與x軸交于點A(-1,0),點B(3,0),

與y軸交于點C(0,3),點D是頂點，過點C的直線交線段AB于點E,且SAACE：SACEB=3：

(1)求拋物線的解析式及直線CE的解析式；

(2)若點P在拋物線上，點Q在x軸上，當(dāng)以點D,C,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形

時，求點P的坐標(biāo)；

45

(3)已知點H(0,—G(2,0),在拋物線對稱軸上找一點F,使AF+FH的值最小此時，

在拋物線上是否存在一點K,使KF+KG的值最??？若存在，求出點K的坐標(biāo)；若不存在，請

說明理由.

解：(1)由拋物線y=ax?+bx+c與x軸交于點A(-1,0),點B(3,0),設(shè)拋物線的解析

式為y=a(x+1)(x-3),

把C(0,3)代入y=a(x+1)(x-3)得-3a=3,

??a-1,

二?拋物線的解析式為y=-(x+1)(x-3)=-x?+2x+3,

VA(-1,0),B(3,0),

???AB=4,Z.AE=§3AB=3

oZ

A0E=AE-0A=1,AE(-,0),

22

設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b,

...伊+b=0,解得《二”

.?.直^CE的解析式為y=-6x+3,

答：拋物線的解析式為y=-x、2x+3,直線CE的解析式為y=-6x+3；

(2)"."y=-X2+2X+3=-(x-1)2+4,

拋物線頂點D為(1,4),

設(shè)P(m,-m2+2m+3),Q(n,0),而C(0,3),

①當(dāng)DP、QC是平行四邊形對角線時，

???平行四邊形對角線互相平分，

；.DP、QC的中點重合,

+

11,IAon,解得m=l+遙或m=l-遮，

14—+2m+3=0+3

/.P(1+V5,-1)或(1一岔，-1),

②當(dāng)DQ、PC是平行四邊形對角線時，同理DQ、PC的中點重合，

,1-flln=m42°u?,0,0-解得m=l+V5或m=l—8，

14+0=—mz+2m+3+3

AP(1+V3,1)或(1-V3,1),

③當(dāng)DC、QP是平行四邊形對角線時，DC、QP的中點重合，

;fl+0-m+n方程組無實數(shù)解，

(4+3=—mz+2m+3+0

綜上所述，P的坐標(biāo)為(1+遙，-1)或(1一遮，-1)或(1+V3,1)或(1-V3,1)；

(3)在拋物線上存在一點K,使KF+KG的值最小，

連接BH交對稱軸于F,連接AF,如圖：

；.AF=BF,；.AF+HF=BF+HF,

VB>F、H共線,

此時AF+HF最小，

由H(0,B(3,0)得直線即為丫=-擇+竽,

令x=l得y=苧，

,15、

.,.F(1,——),

4

設(shè)K(x,y),貝!Jy=-x?+2x++3=-(x-1)2+4,

(x-1)-y,

；.KF=J(X_l)2+(y―4)2

C'~\~~15~~,225

-J4-y+y2__y+_

=[("野=ly-%

作直線y=?，過B作直線y=￥的垂線，垂足為M,

i7

KM=|y-m|,Z.KF+KG=KM+KG,

-，一17

根據(jù)垂線段最短可知，M、K、G共線時，KM+KG最小，最小值為一，

4

在y=-X2+2X+3中，令x=2得y=-2?+2X2+3=3,

???此時K（2,3）,

答：在拋物線上存在一點K,使KF+KG的值最小，K的坐標(biāo)為（2,3）.

2.（2021?四川江油市二模）如圖1,拋物線y=—+等x+2的圖象與x軸交于點A、

B,與y軸交于點C,連接BC,過點A作AD〃BC交拋物線的對稱軸于點D.

（1）求點D的坐標(biāo)；

（2）如圖2,點P是拋物線在第一象限內(nèi)的一點，作PQJ_BC于Q,當(dāng)PQ的長度最大時，在

線段BC上找一點M（不與點B、點C重合），使PM+軸的值最小，求點M的坐標(biāo)及PM+|BM

的最小值."'

圖1圖2

解：⑴令y=0時，一卷/+^^久+2=0,

解方程得：x1—V5,x2——字，

AA（-字，0）,B（V5,0）,C（0,2）,

設(shè)直線BC的函數(shù)關(guān)系式為：y=kx+b,

根據(jù)題意得：］注金。=°，

（,2痣

解得：卜=一丁，

、b=2

直線8（；為丫=-竽x+2,

根據(jù)AD〃BC,設(shè)直線AD的函數(shù)關(guān)系式為：y=-竽x+m,

把點A（-空,0）代入上式得，_2管x（—亭）+m=0,

解得：m=—

二直線AD的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=—等x

:拋物線對稱軸為直線x=-金=奈

.".當(dāng)x=卓時，y=—

_V54

???點D坐標(biāo)為（=，--）;

33

（2）過點P作PF〃y軸交BC于點F,貝！J

△PQF^ABOC,

.PQPF

??—,

BOBC

PQBOy,即PQ=*PF,

PF-BC

設(shè)點P坐標(biāo)為（t,-40t+2）,-誓+2）,

則點F坐標(biāo)為(t,

PF=-1t2+等t+2-（-誓t+2）

Tt2+誓t

=-f（t-卓）2+|,

...當(dāng)土=空時，PF取最大值，PQ取最大值，此時點P坐標(biāo)為喙

過點M作MN_Lx軸于點N,則△BMNS2\B℃,

.MNOC2

"BM~BC~3

則PM+1BM=PM+MN,

25

???當(dāng)P、M、N三點共線時，PM+卿取最小值為5,

此時點M的橫坐標(biāo)=點P的橫坐標(biāo)=字，

3.(2021?山東淄博一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax?-2x+c與x軸交

于點A和點B(1,0),與y軸相交于點C(0,3).

(1)求拋物線的解析式和頂點D的坐標(biāo)；

(2)找出圖中與/DAB相等的一個角，并證明；

(3)若點P是第二象限內(nèi)拋物線上的一點，當(dāng)點P到直線AC的距離最大時,求點P的坐標(biāo).

3）代入y=ax2-2x+c,

得：(二＞’=°,解得：ta=—1

c=3'

...拋物線的解析式為：y