高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：全稱量詞與存在量詞、充要條件

專題1.2全稱量詞與存在量詞、充要條件

【核心素養(yǎng)】

1.與函數(shù)、不等式、平面向量、立體幾何、解析幾何等知識(shí)結(jié)合，考查充分條件與必要條件的判斷及應(yīng)用，

凸顯邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

2.以函數(shù)、方程、不等式為載體，考查全稱命題、特稱命題的否定及真假判斷的應(yīng)用，凸顯邏輯推理、數(shù)

學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

知以概栗/

知識(shí)點(diǎn)一充分條件與必要條件

(1)若p=>q,則。是4的充分條件，4是〃的必要條件;

(2)若p=>q,且qAp,則p是4的充分不必要條件；

(3)若pAq且“奇2,則〃是q的必要不充分條件；

(4)若pOq,則p是4的充要條件；

(5)若pAq且qRp,則p是q的既不充分也不必要條件.

知識(shí)點(diǎn)二全稱量詞和存在量詞

(1)全稱量詞：短語(yǔ)“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞.

(2)存在量詞：短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞.

(3)常見(jiàn)量詞：

量詞名稱常見(jiàn)量詞符號(hào)表示

全稱量詞所有、一切、任意、全部、每一個(gè)、任給等V

存在量詞存在一個(gè)、至少有一個(gè)、有一個(gè)、某個(gè)、有些、某些等3

知識(shí)點(diǎn)三全稱命題與特稱命題

1.全稱命題

(1)含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題.

(2)全稱命題“對(duì)M中任意一個(gè)x,有p(無(wú))成立"可用符號(hào)簡(jiǎn)記為Vxe”,夕(x),讀作“對(duì)任意x屬于

有p(x)成立”.

2.特稱命題

(1)含有存在量詞的命題，叫做特稱命題.

(2)特稱命題“存在M中的一個(gè)刈，使，xo)成立"可用符號(hào)簡(jiǎn)記為e舷,2(飛),讀作“存在M中的元

素項(xiàng)，使p(無(wú)0)成立

知識(shí)點(diǎn)四全稱命題與特稱命題的否定

(1)全稱命題的否定是特稱命題；特稱命題的否定是全稱命題.

(2)“2或的否定為：“非P且非q"；“2且的否定為：“非p或非q”.

(3)含有一個(gè)量詞的命題的否定

命題命題的否定

3x0e

3x0EM，P(X0)X/xeM,—ip(x)

常滲題型勃析

題型一：充要條件的判定

【典例分析】

例1-1.(2022?天津?統(tǒng)考高考真題)“x為整數(shù)”是“2x+l為整數(shù)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

例1-2.(2022?浙江?統(tǒng)考高考真題)設(shè)xeR,貝『'sinx=l”是“cosx=0"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

例1-3.(2020?天津.統(tǒng)考高考真題)設(shè)aeR,則“a>1”是2>a”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【規(guī)律方法】

充要關(guān)系的幾種判斷方法

⑴定義法：若p=q,q*>p,則夕是鄉(xiāng)的充分而不必要條件；若p?q,q=p,則夕是鄉(xiāng)的必要

而不充分條件；若p=q,q=p,則P是9的充要條件；若p*>q,q/>p,則夕是9的既不充分也

不必要條件.

（2）等價(jià)法：即利用夕=>4與1“nr°；q=P與q；夕=4與0的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條

件或結(jié)論是否定形式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法.

（3）集合關(guān)系法：從集合的觀點(diǎn)理解，即若滿足命題p的集合為M,滿足命題q的集合為N,則加是N的

真子集等價(jià)于p是q的充分不必要條件，N是M的真子集等價(jià)于p是q的必要不充分條件，M=N等價(jià)于p

和q互為充要條件，M,N不存在相互包含關(guān)系等價(jià)于p既不是q的充分條件也不是q的必要條件

【變式訓(xùn)練】

變式1-1.（2020?山東?統(tǒng)考高考真題）已知aeR,若集合N={-l,0,l},則“。=0”是=N

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

變式1-2.（2023?四川綿陽(yáng)?統(tǒng)考三模）已知直線/：y=區(qū)與圓C:（x-2）2+（y-l『=l,貝=是“直線/與

圓C相切”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

變式1-3.（2023?天津河北?統(tǒng)考一模）設(shè)xeR,貝『4=2”是“爐=4”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

題型二：充分條件與必要條件的應(yīng)用

例27（2023春?河北衡水?高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）條件3],好一依+3>0,則。的一

個(gè)必要不充分條件是（）

A.a<5B.a>5C.a<4-D.a>4

例2-2.（2023秋?河南許昌?高三?？计谀┮阎?={劃尤2+2；（：-840},B={x\m-A<x<^m+3].

⑴求A;

（2）若“xGA”是“xGB”的充分不必要條件，求m的取值范圍.

【規(guī)律方法】

1.充分條件、必要條件的應(yīng)用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問(wèn)題的求解上.解題時(shí)需注意：

（1）把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不

等式（或不等式組）求解.

（2）要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn).

2.把握探求某結(jié)論成立的充分、必要條件的3個(gè)方面

（1）準(zhǔn)確化簡(jiǎn)條件，也就是求出每個(gè)條件對(duì)應(yīng)的充要條件；

（2）注意問(wèn)題的形式，看清“p是q的……”還是"p的……是q”，如果是第二種形式，要先轉(zhuǎn)化為第一種形

式，再判斷；

（3）靈活利用各種方法判斷兩個(gè)條件之間的關(guān)系，充分、必要條件的判斷常通過(guò)“n”來(lái)進(jìn)行，即轉(zhuǎn)化為兩個(gè)

命題關(guān)系的判斷，當(dāng)較難判斷時(shí)，可借助兩個(gè)集合之間的關(guān)系來(lái)判斷.

【易錯(cuò)警示】根據(jù)充要條件求解參數(shù)范圍的方法及注意點(diǎn)

（1）把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不

等式（組）求解.

（2）注意點(diǎn)：區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)，尤其是利用兩個(gè)集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，不等式是否能夠

取等號(hào)決定端點(diǎn)值的取舍，處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的錯(cuò)誤.

【變式訓(xùn)練】

變式2-1.（2023?遼寧沈陽(yáng)?高三校聯(lián)考學(xué)業(yè)考試）己知圓G:V+V=1和圓C2:（尤-4+V=16,其中a>0,

則使得兩圓相交的一個(gè)充分不必要條件可以是（）

A.3<a<5B.3<a<6C.4<a<5D.2<a<5

變式22（2023?遼寧沈陽(yáng)?東北育才學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）已知集合人={幻/一》一12<0},

B=[x\x2-3mx+2m2+m-l<0},若“xeA”是“xw8”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）

A.b3,2]B.[—1,3]C.—1,—D.2,—

題型三：全（特）稱命題的否定

【典例分析】

例3-1.（2023?河南鄭州?統(tǒng)考二模）命題：VxeR,尤+lnx>0的否定是（）

A.V無(wú)eR,x+lnx>0B.Vx^R,x+lnx<0

C.3xeR,x+lnx>0D.3XGR,x+lnx<0

例3-2.（2023?天津河?xùn)|?一模）命題“有一個(gè)偶數(shù)是素?cái)?shù)”的否定是（）

A.任意一個(gè)奇數(shù)是素?cái)?shù)B.存在一個(gè)偶數(shù)不是素?cái)?shù)

C.存在一個(gè)奇數(shù)不是素?cái)?shù)D.任意一個(gè)偶數(shù)都不是素?cái)?shù)

1.全（特）稱命題進(jìn)行否定的方法

（1）改寫(xiě)量詞：全稱量詞改寫(xiě)為存在量詞，存在量詞改寫(xiě)為全稱量詞；

（2）否定結(jié)論：對(duì)于一般命題的否定只需直接否定結(jié)論即可.

［提醒］對(duì)于省略量詞的命題，應(yīng)先挖掘命題中的隱含的量詞，改寫(xiě)成含量詞的完整形式，再寫(xiě)出命題的否

定.

2.常見(jiàn)詞語(yǔ)的否定形式有：

原語(yǔ)句是都是>至少有一個(gè)至多有一個(gè)對(duì)任意使p（x）真

否定形式不是不都是<一個(gè)也沒(méi)有至少有兩個(gè)存在xo￡A使p(xo)假

【變式訓(xùn)練】

變式3-1.（2023?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）命題*wR,x+|,<0的否定是（）

A.3xeR,x+|%|>0B.VxeR,%+|.x|<0

C.VxeR,x+|x|>0D.VxeR,尤+國(guó)>0

變式3-2.（2023?四川達(dá)州?統(tǒng)考二模）命題p：VreR,2x+x2-x+l>0,則力為（）

A.VxeR,2r+%2-^+1<0B.VxeR,2V+x2-x+1<0

C.eR,2"+XQ—Xg+1<0D.3^0eR,2"+無(wú);—尤0+1V0

題型四：全（特）稱命題的真假判斷

【典例分析】

例4-1.（2020?山東?統(tǒng)考高考真題）下列命題為真命題的是（）

A.1>0且3>4B.1>2或4>5

C.BxeR,cos尤>1D.VxeR,x2>0

【規(guī)律方法】

1.全稱命題真假的判斷方法

（1）要判斷一個(gè)全稱命題是真命題，必須對(duì)限定的集合M中的每一個(gè)元素x,證明p（x）成立；

（2）要判斷一個(gè)全稱命題是假命題，只要能舉出集合M中的一個(gè)特殊值x=xo,使忒刈）不成立即可.

2.特稱命題真假的判斷方法

要判斷一個(gè)特稱命題是真命題，只要在限定的集合M中，找到一個(gè)x=xo,使pQo）成立即可，否則這一特

稱命題就是假命題.

3.全稱命題與特稱命題真假的判斷方法匯總

命題名稱真假判斷方法一判斷方一法二

真所有對(duì)象使命題真否定為假

全稱叩寂

假存在一個(gè)對(duì)象使命題假否定為真

真存在一個(gè)對(duì)象使命題真否定為假

特稱命題

假所有對(duì)象使命題假否定為真

【變式訓(xùn)練】

變式4-1.下列命題中的假命題是（）

A.3xo1g無(wú)o=OB.mxoGR,tan尤o=O

C.Vx￡R,3v>0D.VxGR,^>0

題型五：根據(jù)全（特）稱命題的真假求參數(shù)

【典例分析】

例5-1.（2023?江西南昌?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知命題P'XWRMVS/3+I,若。為真命題，則實(shí)數(shù)。的取值

范圍是.

例52（2023?江西南昌?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若命題“七°eR,。=兇+1”為真命題，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為

.（用區(qū)間表示）

【規(guī)律方法】

根據(jù)全（特）稱命題的真假求參數(shù)的思路

與全稱命題或特稱命題真假有關(guān)的參數(shù)取值范圍問(wèn)題,其本質(zhì)是恒成立問(wèn)題或有解問(wèn)題.解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，

一般先利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想將條件合理轉(zhuǎn)化，得到關(guān)于參數(shù)的方程或不等式（組），再通過(guò)解方程或不等式（組）

求出參數(shù)的值或范圍.

【變式訓(xùn)練】

變式5-1.（2023春?天津和平?高三耀華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知命題P：*eR,爐+2尤+2-“<0,若p為

假命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.B.C.D.（-00,1]

變式52（2023?上海徐匯?統(tǒng)考二模）命題“若尤>a,則匚>0"是真命題，實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

一、多選題

1.（2023廣東深圳?高三深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知P：VxeR,尤2一6+i>（）恒成立；q：Vx>0,

x+@>2恒成立.則（）

X

A."a<2”是?的充分不必要條件B."a<2”是P的必要不充分條件

C.“a>2”是4的充分不必要條件D.“。>2”是4的必要不充分條件

二、單選題

2.（2023春?河北衡水?高三衡水市第二中學(xué)期末）命題“上e[-l,2],/<1，，的否定是（）

A.3xe[-l,2],尤2'IB.Hrg[-1,2],無(wú)

22

C.VXG[-1,2],x<1D.VXG[-1,2],%>1

3.（2023?黑龍江哈爾濱?哈九中?？级＃┟}"Vxe[L2],一一°40，，是真命題的充要條件是（）

A.a>4B.a>4C.a<1D.a>l

4.（2023?青海西寧?統(tǒng)考二模）使"a<6”成立的一個(gè)充分不必要條件是（）

A.VXG（0,1],aWb+xB.V%e（0,l],a+x<b

C.Hre[0,1],a<b+xD.Hre[0,1],a+xWb

5.（2023?貴州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）命題〃:“VxeR,尤2-mx+l>0”，命題4：“m<2”,則p是q的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件

6.（2023?北京?高三專題練習(xí)）設(shè)機(jī)，〃是兩條不同的直線，a,4是兩個(gè)不同的平面，且相ua,a///3,

則“，〃”是的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.（2021?北京?統(tǒng)考高考真題）已知“X）是定義在上[0,1]的函數(shù)，那么“函數(shù)在[0,1]上單調(diào)遞增”是“函

數(shù)/⑺在[。,1]上的最大值為了⑴”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

8.（2020?浙江?統(tǒng)考高考真題）已知空間中不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線小小I,貝/在同一平面”是“形，

n,/兩兩相交”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

9.（2021.浙江?統(tǒng)考高考真題）已知非零向量以反黑貝!是"=石''的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

10.（2021?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）等比數(shù)列｛%｝的公比為q,前w項(xiàng)和為S“，設(shè)甲：q>0,乙：設(shè),｝是遞增

數(shù)列，則（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

三、填空題

11.（2023?上海長(zhǎng)寧?統(tǒng)考二模）若"x=l”是“無(wú)>。”的充分條件，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

四、解答題

12.（2023?重慶酉陽(yáng)?重慶市酉陽(yáng)第一中學(xué)校校考一模）命題P：任意xeR,一一2〃認(rèn)一3機(jī)>0成立；命題心

存在xeR,%2+47歡+1<0成立.

（1）若命題q為假命題，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

（2）若命題〃和4有且只有一個(gè)為真命題，求實(shí)數(shù)優(yōu)的取值范圍.

專題1.2全稱量詞與存在量詞、充要條件

【核心素養(yǎng)】

1.與函數(shù)、不等式、平面向量、立體幾何、解析幾何等知識(shí)結(jié)合，考查充分條件與必要條件

的判斷及應(yīng)用，凸顯邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

2.以函數(shù)、方程、不等式為載體，考查全稱命題、特稱命題的否定及真假判斷的應(yīng)用，凸

顯邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

<---------；

知?dú)g概要，

知識(shí)點(diǎn)一充分條件與必要條件

(1)若p0q,則p是q的充分條件，q是p的必要條件;

(2)若p0q,且q+p,則p是9的充分不必要條件；

(3)若p=^q且則p是夕的必要不充分條件；

(4)若p0q,則p是9的充要條件；

(5)若p*q且q中p,則p是夕的既不充分也不必要條件.

知識(shí)點(diǎn)二］全稱量詞和存在量詞

(1)全稱量詞：短語(yǔ)“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞.

(2)存在量詞：短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞.

(3)常見(jiàn)量詞：

量詞名稱常見(jiàn)量詞符號(hào)表示

全稱量詞所有、一切、任意、全部、每一個(gè)、任給等V

存在量詞存在一個(gè)、至少有一個(gè)、有一個(gè)、某個(gè)、有些、某些等2

知識(shí)點(diǎn)二全稱命題與特稱命題

1.全稱命題

(1)含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題.

(2)全稱命題“對(duì)M中任意一個(gè)無(wú)，有p(x)成立"可用符號(hào)簡(jiǎn)記為Vxe”,2(x),讀作“對(duì)

任意x屬于有p(x)成立

2.特稱命題

(1)含有存在量詞的命題，叫做特稱命題.

(2)特稱命題“存在M中的一個(gè)初使p(尤o)成立"可用符號(hào)簡(jiǎn)記為e舷,M/)，讀作

“存在M中的元素尤°,使p(xo)成立”.

知識(shí)點(diǎn)匹全稱命題與特稱命題的否定

(1)全稱命題的否定是特稱命題；特稱命題的否定是全稱命題.

(2)"2或q”的否定為：“非2且非q"；且?！钡姆穸椋骸胺莗或非q”.

(3)含有一個(gè)量詞的命題的否定

命題命題的否定

3x0e

3x0EM，P(X0)

?？碱}更例析/

題型一：充要條件的判定

【典例分析】

例1-1.(2022?天津?統(tǒng)考高考真題)“x為整數(shù)”是“2x+l為整數(shù)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】由當(dāng)x為整數(shù)時(shí)，2x+l必為整數(shù)；當(dāng)2x+l為整數(shù)時(shí)，x比一定為整數(shù)；即可選出

答案.

【詳解】當(dāng)x為整數(shù)時(shí)，2x+l必為整數(shù)；

當(dāng)2x+l為整數(shù)時(shí)，x比一定為整數(shù)，

例如當(dāng)2x+l=2時(shí)，x=g.

所以“X為整數(shù)”是“2X+1為整數(shù)”的充分不必要條件.

故選：A.

例1-2.(2022.浙江.統(tǒng)考高考真題)設(shè)xwR,貝廠sin尤=1”是“85犬=0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要

條件

【答案】A

【分析】由三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合充分條件、必要條件的定義即可得解.

【詳解】因?yàn)閟in^x+cos^xul可得：

當(dāng)sinx=l時(shí)，cos%=0,充分性成立；

當(dāng)cosx=0時(shí)，sinx=±l,必要性不成立；

所以當(dāng)xeR,sinx=l是cosx=0的充分不必要條件.

故選：A.

例1-3.(2020.天津.統(tǒng)考高考真題)設(shè)aeR,則“a>1”是“儲(chǔ)>a”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】首先求解二次不等式，然后結(jié)合不等式的解集即可確定充分性和必要性是否成立即

可.

【詳解】求解二次不等式/可得：或a<0,

據(jù)此可知：a>1是a?>a的充分不必要條件.

故選：A.

【規(guī)律方法】

充要關(guān)系的幾種判斷方法

(1)定義法：若p=q,qr>p,則p是9的充分而不必要條件；若pr〉q,qnp,則

,是9的必要而不充分條件;若則P是9的充要條件；若p#>q,q^>p,

則夕是q的既不充分也不必要條件.

(2)等價(jià)法：即利用，nq與rq=>r°；qnp與rphq；P=q與的等

價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是否定形式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法.

(3)集合關(guān)系法：從集合的觀點(diǎn)理解，即若滿足命題p的集合為M,滿足命題q的集合為N,

則M是N的真子集等價(jià)于p是q的充分不必要條件，N是M的真子集等價(jià)于p是q的必要

不充分條件，M=N等價(jià)于p和q互為充要條件，M,N不存在相互包含關(guān)系等價(jià)于p既不

是q的充分條件也不是q的必要條件

【變式訓(xùn)練】

變式1-1.（2020.山東.統(tǒng)考高考真題）已知aeR,若集合M={l,a},N={-l,0,l},貝『2=0”

是“Af=N”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可求解.

【詳解】當(dāng)a=0時(shí)，集合”={1,0},N={T0,l},可得M=滿足充分性，

若M=N,則。=0或a=-l,不滿足必要性，

所以““=0”是“MUN”的充分不必要條件，

故選：A.

變式1-2.（2023?四川綿陽(yáng)?統(tǒng)考三模）已知直線/：＞=履與圓C:（x-2）0（'-1）'］，則

4

“左=§”是“直線/與圓C相切”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】求直線/與圓C相切時(shí)上的值，根據(jù)充分必要條件的定義判斷.

【詳解】圓C：（x-2y+（y-l）2=l,圓心C（2,l）,半徑為1,

直線/與圓C相切，圓心到直線距離等于半徑，即d=5*=l,解得％=:或左=0,

1k2+13

當(dāng)左=：4時(shí)，直線/與圓C相切；當(dāng)直線/與圓C相切時(shí)，上的值不一定是4

則“k='”是“直線/與圓C相切”的充分不必要條件.

故選：A

變式1-3.（2023?天津河北?統(tǒng)考一模）設(shè)xeR,則“x=2”是“無(wú)2=4”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.

【詳解】當(dāng)x=2時(shí)尤2=4,故充分性成立，

由尤2=4可得工=2或x=—2,故必要性不成立，

所以“x=2”是“尤②=4”的充分不必要條件.

故選：A

題型二：充分條件與必要條件的應(yīng)用

例2-1.（2023春?河北衡水?高三河北衡水中學(xué)校考階段練習(xí)）條件P：*e[1,3],/一6+3>0,

則P的一個(gè)必要不充分條件是（）

A.a<5B.a>5C.a<4D.a>4

【答案】A

【分析】對(duì)于命題P,由參變量分離法可得，求出函數(shù)/（x）=x+』在[1,3]上

的最大值，可得出實(shí)數(shù)。的取值范圍，再利用必要不充分條件的定義可得出合適的選項(xiàng).

【詳解】若上中,3],使得一一辦+3>0,貝I]6<爐+3,可得"x+上，貝心<（無(wú)+』,

因?yàn)楹瘮?shù)=x+：在[1,石]上單調(diào)遞減，在[63]上單調(diào)遞增，

且"1）=/⑶=4,

故當(dāng)xe[l,3]時(shí),〃尤）1mx=4,即p:a<4,

所以，P的一個(gè)必要不充分條件是。<5.

故選：A.

例2-2.（2023秋?河南許昌?高三?？计谀┮阎先?{%|/+2工-840},

B=[x\m—4<x<3m+3].

⑴求A;

（2諾“xGA”是“xdB”的充分不必要條件，求m的取值范圍.

【答案】⑴[T2]

⑵-和

【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解法解出丁+2工-840即可；

（2）由題意知若“xeA”是“xeB”的充分不必要條件則集合A是集合8的真子集，求出機(jī)

的取值范圍，再討論即可.

【詳解】（1）由Y+2x-8V0,可得（x+4）（x-2）40,

所以所以集合A=[T,2].

（2）若“xeA”是的充分不必要條件，

則集合A是集合B的真子集，

由集合A不是空集，故集合B也不是空集，

7

m>——

m-4<3m+3

所以,加一4<一4=><m<0n——<m<0,

13

3m+3>2

m>——

I3

113

當(dāng)機(jī)=-§時(shí)，B={x\-~滿足題意,

當(dāng)機(jī)=0時(shí)，5={x|-4Kx?3}滿足題意，

故-卜"40,即用的取值范圍為1,0.

【規(guī)律方法】

1.充分條件、必要條件的應(yīng)用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問(wèn)題的求解上.解題時(shí)需注意：

(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列

出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解.

(2)要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn).

2.把握探求某結(jié)論成立的充分、必要條件的3個(gè)方面

(1)準(zhǔn)確化簡(jiǎn)條件，也就是求出每個(gè)條件對(duì)應(yīng)的充要條件；

(2)注意問(wèn)題的形式，看清“p是q的……”還是"p的……是q”，如果是第二種形式，要先

轉(zhuǎn)化為第一種形式，再判斷；

(3)靈活利用各種方法判斷兩個(gè)條件之間的關(guān)系，充分、必要條件的判斷常通過(guò)“今”來(lái)進(jìn)行，

即轉(zhuǎn)化為兩個(gè)命題關(guān)系的判斷，當(dāng)較難判斷時(shí)，可借助兩個(gè)集合之間的關(guān)系來(lái)判斷.

【易錯(cuò)警示】根據(jù)充要條件求解參數(shù)范圍的方法及注意點(diǎn)

(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列

出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解.

(2)注意點(diǎn)：區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)，尤其是利用兩個(gè)集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，

不等式是否能夠取等號(hào)決定端點(diǎn)值的取舍，處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的錯(cuò)誤.

【變式訓(xùn)練】

變式2-1.(2023?遼寧沈陽(yáng)?高三校聯(lián)考學(xué)業(yè)考試)已知圓+

2

c2：(x-o)+r=16,其中。>o,則使得兩圓相交的一個(gè)充分不必要條件可以是()

A.3<a<5B.3<a<6C.4<a<5D.2<a<5

【答案】c

【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù)范圍，結(jié)合充分、必要性定義確定答案即可.

【詳解】由q(0,0)且半徑4=1,C2(a,o)且半徑4=4,結(jié)合。大于0,

所以々-4<“<2+4時(shí)，兩圓相交，則3<。<5,

由選項(xiàng)可得A選項(xiàng)為3<a<5的充要條件；

B、D選項(xiàng)為3<a<5的必要不充分條件；

C選項(xiàng)為3<a<5的充分不必要條件；

故選：C

變式2-2.（2023?遼寧沈陽(yáng)?東北育才學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）已知集合4=卜|f-X-12V0},

B=[x\x2-3mx+2m2+m-l<0},若“xeA”是“xeB”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)加的取

值范圍為（）

A.[-3,2]B.[—1,3]C.-D-2,—

【答案】C

【分析】解不等式，確定集合A,討論他的范圍，確定8,根據(jù)題意推出BA,由此列出

不等式組，即可求得答案.

【詳解】由題意集合A={尤|/一尤―12WO}=[-3,4],

Bx2—3rwc+2m2+m—l<0}=[x\（x—m—l）（x—2m+l）<0},

若m>2,則2帆一1>機(jī)+1,止匕時(shí)3=（加+1,2機(jī)-1）,

因?yàn)椤皒eA”是“xe"’的必要不充分條件，故5A,

2m-1<4

故<m+1>-3,2<m<—；

m>2

若相<2,貝1」2加一1<機(jī)+1,止匕時(shí)6=（2加一1,m+1）,

因?yàn)椋?eA”是“xe3”的必要不充分條件，故5A,

m+1<4

故<2m-1>-3,..-1<m<2；

m<2

若機(jī)=2,貝l]2m—1=機(jī)+1,此時(shí)5=0,滿足3A,

綜合以上可得me-1,|,

故選：C

題型三：全（特）稱命題的否定

【典例分析】

例3-1.（2023?河南鄭州?統(tǒng)考二模）命題：VxeR,x+lnx>0的否定是（）

A.Vx^R,無(wú)+ln%>0B.V無(wú)eR,x+lnx<0

C.HxwR,x+lnx>0D.GR,x+lnx<0

【答案】D

【分析】全稱命題的否定：將任意改存在并否定原結(jié)論，即可得答案.

【詳解】由全稱命題的否定為特稱命題，則原命題的否定為AeR,x+lnx<0.

故選：D

例3-2.（2023?天津河?xùn)|?一模）命題“有一個(gè)偶數(shù)是素?cái)?shù)”的否定是（）

A.任意一個(gè)奇數(shù)是素?cái)?shù)B.存在一個(gè)偶數(shù)不是素?cái)?shù)

C.存在一個(gè)奇數(shù)不是素?cái)?shù)D.任意一個(gè)偶數(shù)都不是素?cái)?shù)

【答案】D

【分析】根據(jù)存在量詞命題。:去eM,p（x）,否定為即可解得正確結(jié)果.

【詳解】由于存在量詞命題?與尤€加,0（幻，否定為“：、笈€用,「以工）.所以命題“有一個(gè)偶

數(shù)是素?cái)?shù)”的否定是“任意一個(gè)偶數(shù)都不是素?cái)?shù)”.

故選：D

【規(guī)律方法】

1.全（特）稱命題進(jìn)行否定的方法

（1）改寫(xiě)量詞：全稱量詞改寫(xiě)為存在量詞，存在量詞改寫(xiě)為全稱量詞；

（2）否定結(jié)論：對(duì)于一般命題的否定只需直接否定結(jié)論即可.

［提醒］對(duì)于省略量詞的命題，應(yīng)先挖掘命題中的隱含的量詞，改寫(xiě)成含量詞的完整形式，

再寫(xiě)出命題的否定.

2.常見(jiàn)詞語(yǔ)的否定形式有：

原語(yǔ)句是都是>至少有一個(gè)至多有一個(gè)對(duì)任意入￡A使p（x）真

否定形式不是不都是<一個(gè)也沒(méi)有至少有兩個(gè)存在MEA使p（%o）假

【變式訓(xùn)練】

變式3-1.（2023?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）命題，eR,x+|x|<0的否定是（）

A.3xeR,x+|%|>0B.VxeR,x+|x|<0

C.VxeR,x+|x|>0D.VxeR,x+|^|>0

【答案】C

【分析】根據(jù)特稱命題的否定：存在改任意并否定原結(jié)論，即可得答案.

【詳解】由特稱命題的否定為全稱命題，故原命題的否定為VxeR,x+|x|>0.

故選：C

變式3-2.（2023?四川達(dá)州?統(tǒng)考二模）命題p：VxeR,2x+x2-x+l>0,貝汁力為（）

A.VXGR,2X+x2-x+l<0B.VXGR,2X+x2-x+l<0

C.GR,2"。+XQ—XQ+1<0D.3x0GR,2"+—x。+1K0

【答案】D

【分析】對(duì)全稱量詞的否定用特稱量詞，直接寫(xiě)出

【詳解】因?yàn)閷?duì)全稱量詞的否定用特稱量詞，

所以命題0:V.xeR,2'+/-尤+1>。的否定為：3x0eR,2%+君一尤0+1V0.

故選：D

題型四：全（特）稱命題的真假判斷

【典例分析】

例4-1.（2020.山東?統(tǒng)考高考真題）下列命題為真命題的是（）

A.1>0且3>4B.1>2或4>5

C.3xeR,cosx>1D.X/xeR,x2>0

【答案】D

【分析】本題可通過(guò)4>3、1<2、4<5>cosx<K元?之。得出結(jié)果.

【詳解】A項(xiàng)：因?yàn)?>3,所以1>0且3>4是假命題，A錯(cuò)誤；

B項(xiàng)：根據(jù)1<2、4<5易知B錯(cuò)誤；

C項(xiàng)：由余弦函數(shù)性質(zhì)易知cosxWl,C錯(cuò)誤；

D項(xiàng)：/恒大于等于0,D正確，

故選：D.

【規(guī)律方法】

1.全稱命題真假的判斷方法

（1）要判斷一個(gè)全稱命題是真命題，必須對(duì)限定的集合M中的每一個(gè)元素》,證明p（x）成

立；

（2）要判斷一個(gè)全稱命題是假命題，只要能舉出集合M中的一個(gè)特殊值尤=xo,使p（xo）不

成立即可.

2.特稱命題真假的判斷方法

要判斷一個(gè)特稱命題是真命題，只要在限定的集合M中，找到一個(gè)x=xo,使p（xo）成立即

可，否則這一特稱命題就是假命題.

3.全稱命題與特稱命題真假的判斷方法匯總

命題名稱真假判斷方法一判斷方.法二

真所有對(duì)象使命題真否定為假

全稱命題

假存在一個(gè)對(duì)象使命題假否定為真

真存在一個(gè)對(duì)象使命題真否定為假

特稱命題

假所有對(duì)象使命題假否定為真

【變式訓(xùn)練】

變式4-1.下列命題中的假命題是（）

A.3xo^R,Igxo—0B.mx（）eR,tanxo—0

C.VxeR,3l>0D.VxeR,*>0

【答案】D

【解析】3X0=1>lgxo=O；3xo=O,tanxo=O；VxGR3>0；VxGR,所以D為假命

題.故選D.

題型五：根據(jù)全（特）稱命題的真假求參數(shù)

【典例分析】

例5-1.（2023?江西南昌?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）己知命題p:\/xeRM<3—"+l,若P為真命題，

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】（f,l）

【分析】根據(jù)題意知a<3X2024+I恒成立，求出xeR時(shí)，3-儂+1的最小值，即可求出實(shí)數(shù)

。的取值范圍.

【詳解】若VxeR,a<3x2024+1為真命題，等價(jià)于。<（3x2024+1%，

Vx2024>0,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立，

3/3+121,即（3y4+1%=1,

可得a<l,故實(shí)數(shù)。的取值范圍是

故答案為：（-8,1）.

例5-2.（2023?江西南昌?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若命題a=|x|+l"為真命題，則實(shí)數(shù)。

的取值范圍為.（用區(qū)間表示）

【答案】［1,+8）

【分析】求出函數(shù)丫=兇+1的值域，結(jié)合存在量詞命題為是真命題作答.

【詳解】因?yàn)閃+121,即函數(shù)y=|X+l的值域?yàn)椋?,+8）,

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為

故答案為：［1,+8）

【規(guī)律方法】

根據(jù)全（特）稱命題的真假求參數(shù)的思路

與全稱命題或特稱命題真假有關(guān)的參數(shù)取值范圍問(wèn)題,其本質(zhì)是恒成立問(wèn)題或有解問(wèn)題.解

決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，一般先利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想將條件合理轉(zhuǎn)化，得到關(guān)于參數(shù)的方程或不等式

（組），再通過(guò)解方程或不等式（組）求出參數(shù)的值或范圍.

【變式訓(xùn)練】

變式5-1.（2023春?天津和平?高三耀華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知命題P：HreR,

^+2x+2-a<0,若p為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

A.(1,-Ko)B.[1,+co)C.(-oo,l)D.(-co,l]

【答案】D

【分析】首先由。為假命題，得出力為真命題，即,?14,尤2+2苫+2-420恒成立，由公40,

即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【詳解】因?yàn)槊}P：*eR,x1+2x+2-a<0,

所以M：VxeR,x2+2x+2-a>0,

又因?yàn)镻為假命題，所以力為真命題，

即WxeR,尤2+2x+2-a20恒成立，

所以AW0,即22-4(2-a)V0,

解得aMl,

故選：D.

變式52(2023?上海徐匯?統(tǒng)考二模)命題“若x>a,則=1>0”是真命題，實(shí)數(shù)。的取值

X

范圍是.

【答案】[1,+8)

【分析】由U>0解得x>l或x<0,貝l」x>“能推出x>l或x<0成立，即可得出實(shí)數(shù)a的

x

取值范圍.

【詳解】由?>。可得：解得：％>1或x<0，

Y—1

“若X>a,貝I]——>0”是真命題，則能推出x>l或x<0成立，

X

則.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1,+oo).

故答案為：[1,+8)

一、多選題

1.(2023?廣東深圳?高三深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí))已知P：VxeR,尤?一依+i>()恒成

立；q：Vx>0,x+@>2恒成立.則()

X

A."a<2”是0的充分不必要條件B."a<2”是。的必要不充分條件

C.“a>2”是4的充分不必要條件D.“a>2”是9的必要不充分條件

【答案】BC

【分析】根據(jù)含參不等式不等式恒成立分別求得實(shí)數(shù)。的取值范圍，結(jié)合充分必要條件即可

得答案.

【詳解】己知P：V.reR,/一依+1>。恒成立，則方程三-依十1=。無(wú)實(shí)根，

所以A=a2-4<0恒成立，即-2<。<2,故".<2”是P的必要不充分條件，故A錯(cuò)誤，B

正確；

又q：Vx>0,x+0>2恒成立，所以4>—爐+2尤在尤>0時(shí)恒成立，

X

又函數(shù)y=-x2+2x=-（x-Ip+1的最大值為y=1,

所以。>1,故“a>2”是q的充分不必要條件，故C正確，D錯(cuò)誤.

故選：BC.

二、單選題

2.（2023春?河北衡水?高三衡水市第二中學(xué)期末）命題“上4-1,2],/<1"的否定是（）

A.Hr6[-1,2],尤221B.3xg[-l,2],x2<1

22

C.VXG[-1,2],X<1D.V^e[-1,2],X>1

【答案】D

【分析】由特稱命題的否定形式可直接確定結(jié)果.

【詳解】由特稱命題的否定知：原命題的否定為Vxw[T,2],x2>l.

故選：D.

3.（2023?黑龍江哈爾濱?哈九中?？级＃┟}"Vxe[l,2],Y一°40，，是真命題的充要條件

是（）

A.a>4B.a>4C.a<\D.a>l

【答案】B

【分析】直接利用恒成立問(wèn)題的建立不等式，進(jìn)一步求出實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】命題“Vxe[l,2],f一.wo”為真命題，則說(shuō)/在U,2]上恒成立，

*.*xG[1,2],%?￡[1,4],則a24.

故選：B.

4.（2023?青海西寧?統(tǒng)考二模）使成立的一個(gè)充分不必要條件是（）

A.Vxe（0,1],a^b+xB.VxG（0,1],a+x<b

C.e[0,1],a<b+xD.3xe[0,1],a+x^b

【答案】B

【分析】根據(jù)不等式的關(guān)系結(jié)合充分不必要條件分別進(jìn)行判斷即可.

【詳角車(chē)】對(duì)于A,若V%￡（O,1],a^b+x,當(dāng)a=Z?時(shí)，a=b<b+x成立,

所以aWb+x”*“a〈b”,A不滿足條件；

對(duì)于B,Vxw（0,l],a+x<b,則ava+xvb,即

所以“V%￡（o,l],a+x〈b''n'a<b'',

若a<b,則Vx￡（O,l],不妨取。=1,b=1.2,x=0.5,貝lja+%>b,

所以“Vx￡（O,l],a+x<b"Va<b",

所以“VX￡（O』，a+x<L是的充分不必要條件，B滿足條件；

對(duì)于C,若a<b,貝!J3X￡[0,1],使得〃</?</?+%,即〃</?+],

即"玄￡[0,1],a<6+%’‘，

所以“土?0』，°<b+x”是“a<b”的充分條件，C不滿足條件；

對(duì)于D,若Hre[0,l],a+x^b,貝！JaWa+xWb,即當(dāng)且僅當(dāng)尤=0時(shí)，等號(hào)成立，

所以“'目0』,a+xWb"N“a<6"，D不滿足條件.

故選：B.

5.（2023?貴州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）命題P：“VxeR,x2-e+l>0”,命題4："m<2”,則p是q

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要

條件

【答案】A

【分析】先根據(jù)命題P求出m的范圍，再根據(jù)充分性和必要性的定義得答案.

【詳解】對(duì)于命題P：:VxeR,f-"7X+1>0,A=m2-4<0,得一2<根<2,

?：—2<:〃<2可以推出m<2,但是m<2不能推出—2<〃z<2,

二p是4的充分不必要條件.

故選：A.

6.（2023?北京?高三專題練習(xí)）設(shè)相，”是兩條不同的直線，a邛是兩個(gè)不同的平面，且根ua,

a//（3,貝『'加_L"”是"〃，6''的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要

條件

【答案】B

【分析】根據(jù)線面垂直的判定及性質(zhì)，結(jié)合充分條件、必要條件判斷即可.

【詳解】當(dāng)相"ua時(shí)，可推出〃//月，但是推不出〃，。，

當(dāng)"_!_￡時(shí)，由a〃6可知〃_La,又“ua,所以加J_〃，

綜上可知，“加工〃”是“nV（3”的必要不充分條件.

故選：B

7.（2021.北京?統(tǒng)考高考真題）已知了⑺是定義在上[0,1]的函數(shù)，那么“函數(shù)了⑺在[0,1]上

單調(diào)遞增”是“函數(shù)Ax）在[0,1]上的最大值為了⑴”的