2024-2025學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江某中學(xué)九年級（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷

2024-2025學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江外國語學(xué)校九年級（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷

一.選擇題（共9小題）

1.（3分）已知中，NC=90°,/C=3,以。為圓心，r為半徑的圓與邊有兩個交點(diǎn)（）

A.尸衛(wèi)B.C.3<r<4D.—

5550

2.（3分）關(guān)于x的一元二次方程（a-1）x?+x+同-1=0的一個根是0,則實(shí)數(shù)a的值為（）

A.-1B.0C.1D.-1或1

3.（3分）一個等腰三角形的兩條邊長分別是方程-13x+15=0的兩根，則該等腰三角形的周長是（）

A.8B.11.5C.10D.8或11.5

4.(3分)已知a是方程，+x-1=0的一個根，則的值為()

212

a-1a-a

A.二］-B.二1土店.C.-1D.1

22

5.(3分)關(guān)于x的方程a(x+m)2+b=0的解是處=-2,X2=1(a，m,b均為常數(shù)，aWO),則方程a

(x+m+2)2+b=0的確軍是()

A.xi--2,X2=1B.xi=1,%2=3

C.xi=-4,X2=-1D.無法求解

21“通實(shí)數(shù)根，設(shè)此方程的一個實(shí)數(shù)根為

6.（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程x?-4/-5m+4,

則（）

A.y>-2B.代-2C./-2D.y<-2

7.（3分）已知關(guān)于x的方程a/+6x+c=5的一個根是2,且二次函數(shù)y=a/+bx+c的對稱軸是直線x=2,

則這條拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.（2,-3）B.（2,1）C.（2,5）D.（5,2）

8.（3分）如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=ax+2（aWO）2-2x（aWO）的圖象可能是（）

第1頁（共20頁）

9.（3分）若拋物線＞=，+姓+%與x軸兩個交點(diǎn)間的距離為2,稱此拋物線為定弦拋物線，已知某定弦拋

物線的對稱軸為直線x=l,再向下平移3個單位，得到的拋物線過點(diǎn)（）

A.（-3,-6）B.（-3,0）C.（-3,-5）D.（-3,-1）

二.填空題（共11小題）

10.（3分）已知關(guān)于x的方程（m+2）—+4始:+1=0是一元二次方程，則機(jī)的取值范圍是.

11.（3分）方程，-2021x=0中較小的根是.

12.（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/、8的坐標(biāo)分別為（0,1）和（J5,0）.

13.（3分）若一個三角形兩條邊長為和2和4,第三邊長滿足方程，-7x+10=0,則此三角形的周長

為.

14.（3分）關(guān)于x的一元二次方程依2+2關(guān)-1=。有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則后的取值范圍

是.

15.（3分）如圖，在等腰直角△NBC中，斜邊A3的長度為8,點(diǎn)尸為半圓上的動點(diǎn)，連接AP,則CM

16.（3分）若一元二次方程x2-x+a=0有實(shí)數(shù)根，則。的取值范圍是.

17.（3分）已知a-b=8,"+16W0,貝Ua+26的值為.

18.（3分）如圖，在△/。2中，/AOB=9G°,03=4,以。為圓心，分別交04、48于點(diǎn)C、D,則陰

影部分面積為（結(jié)果保留TT）.

第2頁（共20頁）

B

O--------------A

19.（3分）已知拋物線y=ax2+6x+c的對稱軸為直線x=2,與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為（4,0）,其部分圖

象如圖所示；②4。+6=0；③a-6+cV（）2>4ac；⑤當(dāng)》<2時，y隨x的增大而增大.（填

20.（3分）當(dāng)xWl時，二次函數(shù)夕=-（x-w）2+m2+l有最大值4,則實(shí)數(shù)m的值為.

三.解答題（共7小題）

21.如圖，4D為△4BC外接圓的直徑，ADLBC,的平分線交4D于點(diǎn)E,連接2。

（1）求證：BD=CD；

（2）請判斷2,E,C三點(diǎn)是否在以。為圓心，以D2為半徑的圓上？并說明理由.

22.已知一元二次方程ax2+6x+c=0的一個根為1,且a、b滿足b=7a-2+Y2-a+3

23.已知關(guān)于x的一元二次方程x?-4x-m2=0.

（1）求證：該方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）若該方程的兩個實(shí)數(shù)根XI,X2滿足XlX2+xi+X2=3,求7%的值.

24.矩形/BCD中，4B=17,5C=A/21）且滿足4P=3尸C,求心之長.

第3頁（共20頁）

25.已知CD為△/2C的中線，//及NADC的度數(shù)分別是方程』-75工+1350=0的兩根.

(1)求//及乙8。。的度數(shù)；

(2)求N3的度數(shù).

26.王老師提出問題：求代數(shù)式，+4x+5的最小值.要求同學(xué)們運(yùn)用所學(xué)知識進(jìn)行解答.

同學(xué)們經(jīng)過探索、交流和討論，最后總結(jié)出如下解答方法；

解：X2+4X+5=X2+4X+22-22+5=(x+2)2+1,

1.,(x+2)220,(x+2)2+l2l.

當(dāng)(x+2)2=0時，(x+2)2+1的值最小，最小值是1.

.'.X2+4X+5的最小值是1.

請你根據(jù)上述方法，解答下列各題：

(1)直接寫出(x-1)2+3的最小值為.

(2)求代數(shù)式/+10X+32的最小值.

(3)你認(rèn)為代數(shù)式」x2+2x+5有最大值還是有最小值？求出該最大值或最小值.

3

(4)若7x-f+y-11=0,求x+y的最小值.

27.如圖一，48是OO的直徑，/C是弦，ADLEF,垂足為D.

(1)求證：NCAD=NBAC；

(2)如圖二，若把直線跖向上移動，使得所與O。相交于G(點(diǎn)C在點(diǎn)G的右側(cè))，連接/C,AG,

這時圖中是否存在與相等的角？若存在，找出一個這樣的角；若不存在，說明理由.

第4頁(共20頁)

5JB.

EDFEG

圖一圖二

第5頁（共20頁）

2024-2025學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江外國語學(xué)校九年級（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

選擇題（共9小題）

1.（3分）已知RtZXNBC中，ZC=90°,AC=3,以C為圓心，：?為半徑的圓與邊有兩個交點(diǎn)（）

A.r=l^B.C.3<r<4D.絲

5550

【解答】解：如圖，

*：BC>AC,

???以。為圓心，R為半徑所作的圓與斜邊45有兩個交點(diǎn)，小于或等于4。

由勾股定理知，^=VAC2+BC2-

SAABC=1AC?BC=-IAX3X4=A,

2522

；.CD=^-,

5

即R的取值范圍是」Z<rW2.

5

故選：D.

2.（3分）關(guān)于x的一元二次方程（a-1）x2+x+|a|-1=0的一個根是0,則實(shí)數(shù)a的值為（）

A.-1B.0C.1D.-1或1

【解答】解：把x=0代入方程得：

⑷-1=2,

.*.6Z=±L

???〃-1W8,

??ci—1.

故選：A.

3.（3分）一個等腰三角形的兩條邊長分別是方程2x2-i3x+15=0的兩根，則該等腰三角形的周長是（）

A.8B.11.5C.10D.8或11.5

【解答】解：解方程2，-13x+15=2得：x=5或1.6,

第6頁（共20頁）

①當(dāng)?shù)妊切蔚娜厼?,5,3.5時，三角形的周長是5+5+1.5=11.5,

②當(dāng)?shù)妊切蔚娜厼?.5,5.5,,1.6+L5V7,不能組成三角形，

...該等腰三角形的周長是115

故選：B.

4.（3分）已知.是方程/+x-1=0的一個根，則_2_-_工_的值為（）

212

a-1a-a

A.-15底B.-I±述C.-1D.1

22

【解答】解：；知a是方程f+x-1=7的一個根，

??Q2+Q-1=6,

a2+a=l,BPa（a+6）=1,

.?.2_1_2a-（a+1）=1_]

42

a-la-aa（a+8）（a-1）a（a+7）

故選：D.

5.（3分）關(guān)于％的方程q（x+冽）2+6=0的解是xi=-2,xi=\（q,m,b均為常數(shù)，qWO）,則方程a

（x+m+2）2+6=0的解是（）

A.xi=-2,%2=1B.xi=l,%2=3

C.xi=-4,X2=~1D.無法求解

【解答】解：可把方程。(x+m+2)2+6=4看作關(guān)于x+2的一元二次方程,

，關(guān)于x的方程a(x+m)2+6=8的解是xi=-2,切=1，

二?關(guān)于x+2的方程a(x+m+7)2+b=0的解是％2+2=-2,X2+2=1,

??X6=14,X2=14.

故選：c.

6.(3分)已知關(guān)于x的一元二次方程x21m=Q＜實(shí)數(shù)根，設(shè)此方程的一個實(shí)數(shù)根為?-4z-5m+4,

7

則()

A.y>-2B.y2-2C.yW-2D.y<-2

【解答】解：???方程x2.xdm=（0i^數(shù)根，

/.A=（-1）8-4XL20,

7

解得mW1,

二?方程A3-%+Xm=3的根為t,

4

第7頁(共20頁)

:?F-Z+Am=O,

8

4/5-4/+m=0,

即32-4/=-m,

.\y=4t2-4t-5m+4=-m-5加+3=-6m+4,

,加W8,

.,.y，-2.

故選：B.

7.(3分)已知關(guān)于x的方程辦2+bx+c=5的一個根是2,且二次函數(shù)y=q/+bx+c的對稱軸是直線、=2,

則這條拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.(2,-3)B.(2,1)C.(2,5)D.(5,2)

【解答】解：?.,二次函數(shù)歹naf+bx+c的對稱軸是直線x=2,方程辦7+6%+C=5的一個根是2,

當(dāng)x=8時，y=ax2+bx+c=5,

???拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(3,5).

故選：C.

8.(3分)如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)>=QX+2(Q￥0)2-2X(aWO)的圖象可能是()

*

\M-

FV

A,B./

XX/

C.1D.

【解答】解：-.y=ax+2,

:.b=2,

.??一次函數(shù)圖象與y軸的正半軸相交，

①當(dāng)4>6時，

則二次函數(shù)>=-"2_2%(QW8)的圖象開口向下,經(jīng)過原點(diǎn)且對稱軸為直線x=-_z2_6<0,

-2aa

②當(dāng)a<0時，

第8頁(共20頁)

則二次函數(shù)y=-ax7-2x（aWO）的圖象開口向上，經(jīng)過原點(diǎn)且對稱軸為直線x=-一^1>7,

-2aa

故D正確；

故選：D.

9.（3分）若拋物線y=，+ax+b與x軸兩個交點(diǎn)間的距離為2,稱此拋物線為定弦拋物線，已知某定弦拋

物線的對稱軸為直線x=l,再向下平移3個單位，得到的拋物線過點(diǎn)（）

A.（-3,-6）B.（-3,0）C.（-3,-5）D.（-3,-1）

【解答】解：..?某定弦拋物線的對稱軸為直線x=l,

，該定弦拋物線過點(diǎn)（0,8）,0）,

該拋物線解析式為y=x（x-2）=x2-2x=（x-1）2-1.

將此拋物線向左平移2個單位，再向下平移6個單位2-1-3=（x+1）2-2.

當(dāng)x=-3時，y=（x+1）2-4=0,

???得到的新拋物線過點(diǎn)（-6,0）.

故選：B.

二.填空題（共11小題）

10.（3分）已知關(guān)于x的方程（根+2）x2+4%x+l=0是一元二次方程，則一的取值范圍是加力-2.

【解答】解：由題意得：〃?+2W0,

解得：-4,

故答案為：mW-2.

11.（3分）方程，-2021x=0中較小的根是Q.

【解答】解：；/-202卜=0,

Ax（X-2021）=2,

貝!]x=0或x-2021=0,

解得X2=O,X2=2O21,

方程3-202lx=0中較小的根是0,

故答案為：8.

12.（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/、3的坐標(biāo)分別為（0,1）和（?,0）―（近,工）.

—2-2―

第9頁（共20頁）

【解答】解：是直角三角形，

.?.△048外接圓的圓心是斜邊48的中點(diǎn)，

:點(diǎn)/、3的坐標(biāo)分別為（0如,2）,

...△CU8外接圓的圓心坐標(biāo)是（1工），

22

故答案為：（1，1）.

62

13.（3分）若一個三角形兩條邊長為和2和4,第三邊長滿足方程，-7x+10=0,則此三角形的周長為

11.

【解答】解：：/-7》+10=6,

（%-2）（x-5）=2,

則x-2=0或x-5=0,

解得：x=2或x=8,

當(dāng)x=2時，三邊2+7=4；

當(dāng)x=5時，此三角形的周長為4+4+5=11,

故答案為：11

14.（3分）關(guān)于x的一元二次方程fcc2+2x-1=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則〉的取值范圍是左>7且

【解答】解：由已知得：_,

tA=b-6ac>0

即產(chǎn)、,

[3+4k>0

解得：k>-3且后WO.

故答案為：k>-1且左W8.

15.（3分）如圖，在等腰直角△NBC中，斜邊48的長度為8,點(diǎn)尸為半圓上的動點(diǎn)，連接3尸，則CM

的最小值為_、/記-V2—.

第10頁（共20頁）

【解答】解：如圖，連接力，取N8、F,連接￡尸、FM,連接。M,CM.

是直徑，

AZAPC=90°,

；BE=EA,BM=MP,

J.EM//PA,

同理W〃PC,

:./BME=/BPA,NBMF=/BPC,

:./BME+/BMF=NBPA+/BPC=9Q°,

:.NEMF=90°,

...點(diǎn)M的軌跡是M（昉為直徑的半圓，

?；BC=AC,ZACB^90°,

：.AC=BC=4版,

'：AE=EB,BF=CF=7、叵,

:.EF=Lc=2近,

4

:./EFB=/EFC=NACB=9Q°,OE=OF=OM=^,

oc=VOF2-H：F2=V（V7）2+（2V2）2=疝，

CM^OC-OM,

.,.CA/^VTO-

則CM的最小值為-V6.

第11頁（共20頁）

故答案為：V10-V2,

16.(3分)若一元二次方程x2-x+a=0有實(shí)數(shù)根，則。的取值范圍是

【解答】解：一元二次方程x2-x+a=0有實(shí)數(shù)根，

，A=(-8)2-4a\7,解得a<1，

故答案為：a4魯

17.(3分)已知a-6=8,ab+16^0,則a+26的值為-4.

【解答】解：?:a-b=8,

?\。=8+6,

,?5+16《5,

/.(8+6)6+16=廬+4)+16=(6+4)M2,

(6+4)2=2,

:?b=-4,a=4,

???a+4b=4+2X(-3)=-4,

故答案為：-4.

18.(3分)如圖，在△ZOB中，ZAOB=90°,OB=4,以。為圓心，分別交04、AB于點(diǎn)、C、D,則陰

AZ5=60°,AB=2OB=8,

:-OA=VAB2-OB2=7S8-42=8加,

'：OB=OD,

...△03。是等邊三角形，

:.NBOD=60°,

；./D0A=/AOB-/BOD=30°,

：.ZDOA=ZA,

：.DO=DA,過。作。C_LCM于C,

第12頁(共20頁)

，0C=/C=AcM=2愿，

2

在RtAODC中，

VZDOA^3Q°,

.?.CD=_1(9D=AXX4=2,

252

：.S^=SMOD-S扇形=_1X4a30：；」2=4a_42￡

83603

19.（3分）已知拋物線y=ax2+6x+c的對稱軸為直線x=2,與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為（4,0）,其部分圖

象如圖所示；②4。+6=0；③a-6+cV（）2>4ac；⑤當(dāng)x<2時，.隨x的增大而增大①②⑷.（填

【解答】解：①：拋物線y=ax2+6x+c（aWO）的對稱軸為直線x=6,與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為（4,

，拋物線與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,4）；

②：拋物線y=ax2+6x+c（a/0）的對稱軸為直線x=3,且拋物線過原點(diǎn)，

_a=2,

2a

??b~~~2Q,C=0,

4a+b=6,結(jié)論②正確；

③：當(dāng)x=-1時，y值為正，

.,.a-b+c>0,結(jié)論③錯誤；

④由圖象得二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)有兩個知，b4-4ac>0,即a>4℃,結(jié)論④正確；

⑤觀察函數(shù)圖象可知：當(dāng)x<2時，>隨x增大而減小.

綜上所述，正確的結(jié)論有：①②④.

第13頁（共20頁）

故答案為：①②④.

20.（3分）當(dāng)xWl時，二次函數(shù)＞=-（x-加）2+/+1有最大值%則實(shí)數(shù)加的值為2或-日

【解答】解：二次函數(shù)對稱軸為直線X=7〃，

①加W1時，x=%取得最大值，根2+4=4,

解得m=+-./3，

?；加=加都不滿足-的范圍，

m=-

②加＞1時，X=1取得最大值7+加2+1=3,

解得m—2.

綜上所述，m=-、R,二次函數(shù)有最大值2.

故答案為：2或

三.解答題（共7小題）

21.如圖，4D為△48C外接圓的直徑，ADLBC,//8C的平分線交/。于點(diǎn)E,連接

（1）求證：BD=CD；

（2）請判斷8,E,C三點(diǎn)是否在以。為圓心，以。8為半徑的圓上？并說明理由.

【解答】（1）證明：為直徑，ADLBC,

.?.由垂徑定理得：BD=CD

根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系得：BD=CD.

（2）解：B,E,。三點(diǎn)在以。為圓心.

第14頁（共20頁）

理由：由（1）知：BD=CD，

AZ1=Z2,

又???N8=N3,

???N1=N2,

：?/DBE=N3+/4,NDEB=N4+N5,

?「BE是N48C的平分線，

.\Z4=Z8,

/DBE=/DEB,

：.DB=DE.

由（1）知：BD=CD

：?DB=DE=DC.

:.B,E,。三點(diǎn)在以。為圓心.（7分）

22.已知一元二次方程辦2+bx+c=o的一個根為1,且或b滿足b=工+正工+3

【解答】解：??Z-220,"6W0,

***6Z=2,

:?b=1,

.?,一元二次方程tzx2+Z）x+c=0的一個根是5,

/?Q+6+C=0,

2+2+c=0,

??。=-5.

23.已知關(guān)于x的一元二次方程?-加2=o.

（1）求證：該方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）若該方程的兩個實(shí)數(shù)根XI，X2滿足X1X2+X1+X2=3,求冽的值.

【解答】（1）證明：A=/）2-4ac=（-2）2-4X（-m4）=16+4m2.

A16+4m5>0,即A>0,

?,?該方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.

（2）解：..?方程f-4x-冽2=6的兩個實(shí)數(shù)根分別為％1、必

.*.X5+X2=4,X4X2=~m2.

第15頁（共20頁）

又,.*X6X2+X1+%5=3,

-加2+7=3,BP冽2=7,

解得m=±l.

故加的值為±1.

24.矩形/BCD中，AB=17,5C=A/21)且滿足4P=3尸C,求心之長.

:AP=3PC,

：.PC=I7-*,

3

在RtZXPBC中，PCS=PB2+BC2,

3+21=（2Zz^）2,

3

：.4x2-17x-50=0,

解得：X4=2,X2=-25（不符合題意舍去），

6

答：PB之長為2.

25.已知CD為△/8C的中線，//及NADC的度數(shù)分別是方程f-75x+1350=0的兩根.

（1）求//及N3DC的度數(shù)；

(x-30)(x-45)=8,

x-30=0或x-45=0,

%6=30,、2=45,

丁ZBDC=ZA+ZACD,

第16頁（共20頁）

???/BDC>/A,

：.ZBDC=45°,ZA=30°

???N4的度數(shù)為30°,。的度數(shù)為45。；

(2)過點(diǎn)5作垂足為H,

AZAHB=ZCHB=90°,

VZA=30°,

ZABH=90°-ZA=60°,

???。8是斜邊45上的中線，

:?DH=BD=LB,

8

???△瓦/D是等邊三角形，

：.HD=HB,ZHDB=ZABH=60°,

■:/BDC=45°,

：.ZHDC=ZHDB-ZBDC=15°,

9：ZACD=ZBDC-ZA=15°,

：.ZACD=ZHDC=15°,

：.HD=HC,

:?HB=HC,

：.NHBC=/HCB=45°,

ZABC=ZABH+ZHBC=105°,

???N/5。的度數(shù)為105°.

26.王老師提出問題：求代數(shù)式，+4x+5的最小值.要求同學(xué)們運(yùn)用所學(xué)知識進(jìn)行解答.

同學(xué)們經(jīng)過探索、交流和討論，最后總結(jié)出如下解答方法；

解：X2+4X+5=X2+4X+22-22+5=(x+2)2+1,

(X+2)220,.??(x+2)2+121.

當(dāng)G+2)『0時，G+2)2+1的值最小，最小值是1.

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.*.X2+4X+5的最小值是1.

請你根據(jù)上述方法，解答下列各題:

(1)直接寫出(x-1)2+3的最小值為