高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習：權(quán)方和不等式 高階拓展 專項練習（學(xué)生版+解析）

專題06權(quán)方和不等式（高階拓展）

（核心考點精講精練）

【學(xué)習目的】本節(jié)內(nèi)容為基本不等式的高階版，能快速解決基本不等式中的最值問題

知識講解

權(quán)方和不等式：若則《+竺好當且僅當時取等.

xyx+yxy

（注：熟練掌握這個足以應(yīng)付高考中的這類型最值問題可以實現(xiàn)對一些問題的秒殺）

廣義上更為一般的權(quán)方和不等式：

+

設(shè)國,9,…,X”，yx,y2,--,yn&R,

則方\以\］?。?。+%+--+瑞嚴.

若機＞0或加＜一1,

1

'y:以X一(yi+y2+-+yj'

若1＜析＜0則鏟+鏟++以尸

＜加＜U,火J----1-----F----S---------------

K久y：3+%+…+4)”

上述兩個不等式中的等號當且僅當土=立=立=...=反時取等

鬢乂九%幾

注意觀察這個不等式的結(jié)構(gòu)特征，分子分母均為正數(shù)，且始終要求分子的次數(shù)比分母的次數(shù)

多1,出現(xiàn)定值是解題的關(guān)鍵，特別的，高考題中以機=1最為常見，此時這個不等式是大家

例i：;熟悉的柯西不等式.

13

例2：若%>0,y〉0,--------+——=2,則6x+5y的最小值為_______________

2%+y1+y

12

例3：若Z?>0,a+b=2,則——+—的最小值為______________

a-\b

a2b2

例4：若a>l,b>l,則，的最小值為

b-1a-1

XVz

例5：己知正數(shù)x,V,z滿足x+y+z=l,則———+———+------的最小值為_______________

y+2zz+2xx+2y

149

例6：已知正數(shù)x,V,z滿足x+y+z=l,則一+一+一的最小值為______________

xyz

?18

例7：已知正數(shù)%,V滿足％+丁=1,則~y+二的最小值為

14

例樂求"B最小值為--------------

例9:求/(%)=——5——+——0——的最小值為______________

2sinx+35cos-x+6

49,49

例io：已知正數(shù)》,y滿足一+—=1,則力一+——的最小值為______________

xy2x~+xy+y

例11：已知x+2y+3z+4“+5v=30,求x?+2/+3z?+4/+5寸的最小值為

例12：已知a>0,b>0,a+b=5,求Ja+l+Jb+3的最大值為

例13：求/(%)=&-3X+2+^2+3x-x2的最大值為

例14：已知正數(shù)a，b，c滿足a+b+c=l,求73a+1+J36+1+73c+1的最大值為

一、單選題

41

1.（2023?全國?高三專題練習）設(shè)加，〃為正數(shù)，且加+幾=2,則」7+—1的最小值為（）

m+1n+1

13979

A.—B.-C.一D.-

4445

2Q

2.（2023?河北邯鄲?統(tǒng)考一模）已知〃>0,b>0,且a+b=2,貝|—；的最小值是（）

a+1b+1

A.2B.4D.9

3.（2023?廣西?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正實數(shù)滿足2x+y=3,則^—+—丁的最小值為（）

5x+yx+2y

4884

A.—B.一C.-D.一

9933

121

4.（2023?海南?？?校聯(lián)考模擬預(yù)測）若正實數(shù)九，V滿足％+3y=l.則一+一的最小值為（）

1y

A.12B.25C.27D.36

19

5.（2023?全國?高三專題練習）若正數(shù)a,b滿足a+b=7,則一\+=的最小值是（）

a+1b+1

A.1B.yC.6D.25

（兀、4]

6.（2023?全國?高三專題練習）若?！?,馬，m=cos2cr+l,n=2sin2a,則一十一的最小值等于（）

\zymn

59

A.2B.-C.3D.-

22

13

7.（2023?全國二專題練習）若x>0,y>0,且—+—=1,則3%+y的最小值為（）

xy

A.6B.12C.14D.16

8.（2023春?廣東廣州?高三統(tǒng)考階段練習）已知。>0,b>0,且a+2b=l,則工+，的最小值為（）

ab

,r-1

A.4^2B.—c.3-2V2D.3+2V2

41

9.（2023,全國,局三專題練習）已知正實數(shù)x,y滿足2x+y=3,則+的最小值為（）

x+yx

2828

A.—B.—C.3D.1

1?

10.（2023,全國二專題練習）已知〃>0,b>0,且----1------7=1，那么的最小值為（）

a+11+b

A.20-1B.2C.272+1D.4

IL（2023?全國?高三專題練習）權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個變化，在求二元變量最值時有很廣泛

的應(yīng)用，其表述如下：設(shè)a,b,x,y>0,則d+Qz也皿，當且僅當q=2時等號成立.根據(jù)權(quán)方和不

xyx+yxy

291

等式，函數(shù)/（無）=—+丁=（0〈尤<彳）的最小值為（）

xl—2x2

A.16B.25C.36D.49

114

12.（2023,全國二專題練習）已知a+b=l,a>0,b>0,則—F—H—-—方的最小值為（）

aba+b

LJ

A.12B.6+4近C.—D.4+6&

2

13.（2023?全國?高三專題練習）已知正數(shù)尤,y滿足,+.=1,則％+y的最小值（

x+3y3x+y

3+2行3+近3+203+及

A.RD.

4488

14.（2023春?廣東揭陽?高三?？茧A段練習）已知實數(shù)北0>，且—+J-=1,則尤7的最小值是（）

x+21-y

A.0B.1C.2D.4

TT11

15.（2023?河南開封?開封高中?？寄M預(yù)測）已知銳角滿足。+尸=彳，則^------+-----f的最小

3sinacos//coscrsinp

值為（）

A.2B.-C.gD.8A/3

33

二、填空題

16.（2023?天津紅橋?統(tǒng)考二模）已知x,yeR+,4x+5y=l,則一二的最小值_____.

17.（2023?全國?高三專題練習）已知正數(shù)％、y滿足,+'=1,求％+2y的最小值為___________.

xy

112

18.（2023?吉林?長春十一高校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正實數(shù)羽y滿足犬+》=二，則4的小值為

21

19.（2023嘿龍江哈爾濱?哈爾濱三中校考一模）已知工+丁=4,且x>y>0,則——+一的最小值為____.

x-yy

21

20.（2023秋?天津南開?高三南開中學(xué)?？茧A段練習）已知正實數(shù)］,>滿足4x+7y=4,則——+-——

x+3y2x+y

的最小值為.

1Q

21.（2023?全國，局二專題練習）已知/（%）=—■F-----（0<x<4）,則/（%）的最小值為___________.

x4-x

4Y2v2

22.（2023?全國?高三專題練習）若正實數(shù)x,>滿足2x+y=2,則一三的最小值是.

j+12x+2

175

23.（2023?全國?高三專題練習）函數(shù)f（x）=^^+—『的最小值為.

cosxsmx

24.（2023?全國?高三專題練習）設(shè)且％+2y=l,則」"7+’的最小值為.

x+1y

25.（2023秋?貴州貴陽?高一統(tǒng)考期末）權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個變化，在求二元變量最值時有

很廣泛的應(yīng)用，其表述如下：設(shè)a,b,x,y>0,貝依⑹當且僅當@=2時，等號成立.根

xyx+yxy

據(jù)權(quán)方和不等式，函數(shù)“X)=3+h11°<X<2的最小值為______.

x2-3xV3)

專題06權(quán)方和不等式（高階拓展）

（核心考點精講精練）

【學(xué)習目的】本節(jié)內(nèi)容為基本不等式的高階版，能快速解決基本不等式中的最值問題

知識講解

權(quán)方和不等式：若a,b,x,y>0則《+匕2竺好當且僅當g=2時取等.

xyx+yxy

（注：熟練掌握這個足以應(yīng)付高考中的這類型最值問題可以實現(xiàn)對一些問題的秒殺）

廣義上更為一般的權(quán)方和不等式：

+

設(shè)再，々，…,X”，yx,y2,--,yneR,

"+15+1”+1/YII-v\m+l

若陽＞0或燒＜一1,則又+"+…+工之二」七〉??+」)

%"以y：S+%+…+xT

壬，?m,l^+1球"x：+,(x+x,+---+x?r+1

右-1＜加＜0,貝I-L—+^—+…+-=—~~=---------叱—

K川y：5+%+-+"

上述兩個不等式中的等號當且僅當土=五=尊=...=乙時取等

注意觀察這個不等式的結(jié)構(gòu)特征，分子分母均為正數(shù)，且始終要求分子的次數(shù)比分母1

多1,出現(xiàn)定值是解題的關(guān)鍵，特別的，高考題中以加=1最為常見，此時這個不等式7

熟悉的柯西不等式.

1+V2L1J2

即^------441=＞尤+2y23+20，當且僅當一="時取等號,即x=V2+1，

（x+2v）%2y

Ji

丫=注+1時取等號

-2

所以x+2y的最小值為3+20

....13

例2：若%>0,y>0，---------1-------=2,則6x+5y的最小值為_______________

2x+y1+y

解：1?31?1211對J1+2呵13+4相

2x+yx+y2x+y4（%+y）2x+y4（九+y）6x+5y6x+5y

即2213+4石,則6x+5y2U+20，當且僅當k匚="、"、時取等號

6x+5y22x+y4（x+y）

12

例3：若a>l,Z?>0,〃+Z?=2,則----+7的最小值為_______________

a-\b

工+西2比互=3+2行

解：1?2-

a-1ba—1bci-\~b—1

當且僅當——=正時取等號

a-1b

272

例4：若a>l,b>l,則—+乙的最小值為

b-ia-1

物〃b1"+2）24.「

斛：——+——>-^----——^-=/+—+428

b~l（J—1。+/?——2tt

a_b

當且僅當（了口一二I時取等號，即。=5=2,

d-\-b—2=2

2T2

所以」二+乙的最小值為8

b-1a-1

xyz

例5：已知正數(shù)X,y,z滿足x+y+z=l,則-----+二一+-------的最小值為

y+2zz+2xx+2y

上+上+上之一(x+y+z『—1

解:=

y+2zz+2xx+2yy+2z+z+2x+x+2y3

_y_z

當且僅當時取等號

y+2zz+2%x+2y

.149

例6：已知正數(shù)九，y,z滿足x+y+z=l,則一--1■—的最小值為_______________

xyz

149I2223\(1+2+3)2

xyzxyzx+y+z

123

當且僅當一二—二一時取等號

xyz

、，^?18

例7：已知正數(shù)%,y滿足X+y=l,則=+二的最小值為______________

冗y

3

解:力27

xyxy,2x+y)

12

當且僅當一=一時取等號

%y

14

例8：求一+—7的最小值為______________

sin8cos0

]+4_儼+22>(1+2『

sin*cos20卜山?。)(cos?6)6in?8+cos?”

12

當且僅當時取等號

sin?。cos20

SR

例9：求f(X)=--+--\--的最小值為_______________

2sinx+35cosx+6

解：

22

,/、5854(5+4『81

2sin2x+35cos2x+65(2sin2x+3)2(5cos2x+6)10(sin2x+cos2xj+2737

54

當且僅當5(2sin2x+3)-2(5cos2x+6)時取等號

49,49

例io：已知正數(shù)天,y滿足一+—=1,則一+——的最小值為______________

xy

4292(49丫

解：」—+，=—￡—+9'=上+上Jx翻」

244

2x，+x/+y4(2尤2+x)9(y+y)8+9+2+2+1718

xyxy

49

當且僅當」了=」不時取等號

8+-9+-

%y

例11：己知x+2y+3z+4a+5V=30,求爐+2/+3z?+4/+5/的最小值為

解：

222

x+2y2+3z+4M2+5v=—+(_—-卜—-------卜—--------卜—----

12345

(%+2y+3z+4M+5z/302

—1+2+3+4+5~~L5~

當且僅當尤=y=z=〃=v時取等號

例12：已知。>0,Z?>0,a+b=5,求Ja+l+Jb+3的最大值為

J__L1

解：內(nèi)+際=^^+^4^("1+"3)丁3=30

f212(1+lp2-5

當且僅當a+l=b+3時取等號

例13：求/(X)=&-3X+2+J2+3%-爐的最大值為

當且僅當爐―3x+2=2+3x—V時取等號

例14：已知正數(shù)a,b,c滿足。+6+。=1,求J3a+1+J36+1+J3c+1的最大值為

解:

121212

(3a+1+3b+1+3c+

=30

(1+1+1)-2

當且僅當。=b=c=工時取等號

3

一、單選題

41

1.（2023,全國?高三專題練習）設(shè)加，〃為正數(shù)，且機+〃=2,則一-+一；的最小值為（）

m+1n+1

13979

A.—B.-C.—D.一

4445

【答案】B

【分析】將加+幾=2拼湊為竽m+1+1中7+1=1,利用〃1〃的妙用及其基本不等式求解即可.

44

【詳角軍】回加+〃=2,

團（相+1）+（幾+1）=4,g|J—^―+~~~~1，

41（41m+\〃++m+15

0--------1-------=---------1------------------1--------IH

m+1n+1I機+1n+1Jv44Jm+14（〃+l）4

、小I幾十1m+159-一九+1機+1「,rr

22-v+—=—,當且僅當-77=/,且加+〃=2時，即

7m+14（n+l）44m+1A+

m=g,〃=g時等號成立.

故選：B.

9Q

2.（2。23?河北邯鄲?統(tǒng)考一模）已知2。"＞。，且"=2,則不的最小值是（）

9

A.2B.4C.D.9

2

【答案】C

【分析】根據(jù)''乘1法〃，運用基本不等式即可求解.

【詳解】依題意，

因為a+6=2,所以（a+1）+（/?+1）=4,則

28

------+------

a+1Z?+1

』2p+l）18（a+l）H0-io

^-x（2x4+10）=-,

4a+\b+\

當且僅當a=；,b=g時，等號成立.

故選：c.

3.（2023?廣西?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正實數(shù)尤,V滿足2x+y=3,則三匚+」廠的最小

5x+yx+2y

值為（）

4884

A.-B.一C.一D.-

9933

【答案】A

【分析】利用''乘1法〃與基本不等式的性質(zhì)即可得出.

【詳解】解：依題意，6%+3y=5%+y+x+2y=9,

111x+2y+5x+y4

故5x+915x+y+＞-,當且僅

yx+2y5x+yx+2y

當x=；,y=2時等號成立.

故選:A.

4.（2023?海南海口?校聯(lián)考模擬預(yù)測）若正實數(shù)九，V滿足x+3y=l.則2+'的最小值為

()

A.12B.25C.27D.36

【答案】C

【分析】根據(jù)基本不等式“1〃的用法求解即可;

I?112(、+3315+出+工

【詳解】解：因為x+3y=l,所以—+—二

xyxxy

36yx71

因為蒼＞＞。，所以——~1—22=12,當且僅當一=9即戶家時，等號

%yx

成立,

121

所以,一+一的最小值為27.

%y

故選:C

10

5.（2023?全國?高三專題練習）若正數(shù)。，b滿足〃+b=7,則》+百的最小值是（）

16

A.1DC.6D.25

9

【答案】B

【分析】湊配出積為定值，然后用基本不等式得最小值.

【詳解】解：由題意，正數(shù)。，b滿足，+人=7,.。+:+1=1,

1919〃+l+Z?+l」11+9+"1+2

/.------+----------+---->-X(10+279)=—

4+1Z?+1tl+lZ7+199〃+1Z7+199

523

當且僅當〃°丁時取等號，

故選：B.

(JT\41

6.(2023?全國?高三專題練習)若?！?,彳，m=cos2a+l,n=2sin2a,則一+一的最小

I2/mn

值等于()

59

A.2B.—C.3D.一

22

【答案】D

【分析】由余弦的倍角公式和三角函數(shù)的基本關(guān)系式，求得m+〃=2,化簡

-+-=^(5+—+-),結(jié)合基本不等式，即可求解.

mn2mn

【詳解】由根=cos26Z+l=2cos2<2,且鹿=2sin2y,

所以相+〃=2cos2or+2sin2a=2,

又由可得根>0,〃>0,

rm?41141」、1.4nm1Mm、9

貝!J—i—=—(z—i—)(m+n)=—(z5rH-----1—)x>—(5+2J--------)=—,

mn2mn2mn2\mn2

當且僅當4竺〃=m',即加=4:"=2:時，等號成立，

mn33

所以34+上I最小值等于01

mn2

故選：D.

13一

7.（2023?全國?高三專題練習）若x>0,y>0,且—+—=1,則3尤+y的最小值為（）

xy

A.6B.12C.14D.16

【答案】B

【分析】根據(jù)基本不等式"1"的用法求解即可.

13

【詳解】解：因為尤>o,y>o,且一+二=1,

xy

所以3%+〉=（3尤+>）[工+3]=6+2+鋁26+2U--=12,

（XyjxyY尤y

當且僅當>=3x=6時等號成立，

所以，3x+y的最小值為12.

故選：B

8.（2023春?廣東廣州?高三統(tǒng)考階段練習）已知。>0,b>0,且a+?=1,則9的最

ab

小值為（）

A.472B.yC.3-20D.3+2也

【答案】D

【分析】利用基本不等式求解.

【詳解】因為a>0,b>0,且a+2b=l,

所以—H—=(—F—)(<2+2b)=3+—+y->3+2^2,當且僅當竺=，，BPa=y/2-l,b=~―

abababab2

時等號成立，

故選：D.

41

9.（2023?全國?高三專題練習）已知正實數(shù)x,y滿足2x+y=3,則——+-的最小值為（）

x+yx

2828

A.—B.—C.3D.1

93

【答案】C

【分析】由/一+，==（-一+L]（x+y+x）=:〔5+上+9],再由基本不等式即可求

x+yx3（x+yx）3（x+yx）

出答案.

【詳解】因為2x+y=3,則：（2x+y）=l

411(41\、1(_4x11廠—I4x%+y、.

則------+—=-+-\(x+y+x)=-\5+-------+——->-5+2---------------=3,

x+yx----------------x)3(x+yxJ3(%)

4x_x+y

當且僅當〈尤+y%即無=y=i時等號成立.

2x+y=3

41

所以----+一的最小值為3.

x+yx

故選:C.

1?

10.（2023?全國?高三專題練習）已知〃>0,b>0且--+=1,那么a+b的最小值

fQ+11+b

為()

A.272-1B.2C.272+1D.4

【答案】C

【分析】由題意可得〃+6=(a+l+b+l)[—[+4]-2,再由基本不等式求解即可求出答

案.

1?

【詳角牟1因為〃>0,b>0,+---=1,

〃+11+b

貝Ia+b=a+l+Z?+l—2=(tz+l+Z?+l)；~——j—2

=3+丑』"1一2

1+Z7Q+1

=辿創(chuàng)+經(jīng)+1叵］而+「2行+1.

1+Z?Q+1\1+Z?Q+1

2（。+1）6+1f72

當且僅當<1+b”+1即，"一三時取等.

---I-——=1b-夜

、〃+11+b

故選：C.

11.（2023?全國?高三專題練習）權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個變化，在求二元變量

最值時有很廣泛的應(yīng)用，其表述如下：設(shè)mb,x,y>0,貝|且+￡2e±@-,當且僅當@=2

xyx+yxy

291

時等號成立.根據(jù)權(quán)方和不等式，函數(shù)/。）=±+一1（0<》<力的最小值為（）

xl-2x2

A.16B.25C.36D.49

【答案】B

【分析】將給定函數(shù)式表示成已知不等式的左邊形式，再利用該不等式求解作答.

則《+4（。+可當且僅當Y時等號成立,

【詳解】因a,b,x,y>0,

xyx+y

又0<x<g,即1—2x>0,

2232(2+3)2?31

于是得f(x)-..1------N=25,當且僅當初K,即X、時取"=”，

2xl-2x2x+(l-2x)

291

所以函數(shù)”x）=一+1二一（0〈尤<彳）的最小值為25.

xl-2x2

故選：B

,114

12.（2023?全國?高三專題練習）已知a+b=l,a>Q,b>0,貝1J—+丁+——方的最小值為

aba+b

（）

L15廠

A.12B.6+4V2C.-D.4+6V2

【答案】B

【分析】由已知得出S+62）+2M=l,將所求代數(shù)式化為、+/^,與代數(shù)式

+/）+2向相乘，展開后利用基本不等式可求得:+g+4

的最小值.

a2+b2

【詳角軍】因為〃>0,匕>。且a+b=l,貝?。荩ā?+/）+2〃6=1,

所以，:+「4a+b414=^2ab+^a2+〃)]]14

----1------=---1---------1--2---2

a2+b2aba1+b2aba1+b2aba+b

,Saba2+b2,小工.3=6+40，

=6+—~-+--------->6+2,

a+baba+bab

當且僅當/+/=20次,時，等號成立,

ii4

因此，一+7+力一萬的最小值為6+4起.

aba+b

故選：B.

21

13.（2023?全國?高三專題練習）已知正數(shù)x,y滿足------1------=1,貝”+》的最小值（）

x+3y3x+y

A3+203+V23+2拉3+V2

RcD.

,44?88

【答案】A

【分析】利用換元法和基本不等式即可求解.

21

[詳解]令％+3y=根，3x+y=n,則一+—=1,

mn

即加+〃=(x+3y)+(3x+y)=4(%+y),

m+nmn21mIn1、否m2〃+3

團x+y=---—+—1=—+——+——+—>2,

44m+n24n4m44n4m4

=2」+」=①

2V244

當且僅當F=?,即加=2+應(yīng)，"=3+1時，等號成立,

4M4m

故選：A.

1

14.（2023春?廣東揭陽?高三?？茧A段練習）已知實數(shù)％20>y,且+，=1,則無一y

x+21-y

的最小值是（）

A.0B.1C.2D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，將所求式子進行整理變形，再利用基本不等式即可求解.

11(\1

【詳解】y,等式一-+-=1恒成立，.,.x-y+3=(x+2+l-y)--+-——

x+21-y'\x+21-yJ

由于x20>y,所以l-y>0,2+x>0,

(11Vci\x+2l-y_/x+2l-y.

-------1-------(x+2+l-y)=2d----------1--------22+2/---------------=4,

(x+2l-y7l-yx+2\l-yx+2

當且僅當無+2=l-y時，即x=0,y=-l時取等號.

:.x-y+