2025年高考一輪復(fù)習(xí)：曲線的公切線方程【含解析】

專題03曲線的公切線方程【原卷版】

【方法總結(jié)】

解決此類問題通常有兩種方法

(1)利用其中一曲線在某點處的切線與另一曲線相切，列出關(guān)系式求解；

(2)設(shè)公切線/在>=於)上的切點P1(X1，加1)),在〉=8(元)上的切點2(X2,g(尤2))，則了(Xl)=g'(X2)=_

X\一X2

注意：求兩條曲線的公切線，如果同時考慮兩條曲線與直線相切，頭緒會比較亂，為了使思路更清晰，

一般是把兩條曲線分開考慮，先分析其中一條曲線與直線相切，再分析另一條曲線與直線相切，直線與拋

物線相切可用判別式法.

【例題選講】

[例1]⑴(2020?全國III)若直線/與曲線尸市和圓《+》2=點都相切，則/的方程為()

A.y=2x+lB.y—2x+^C.y—^x+1D.>=%+￡

(2)已知小)=e%e為自然對數(shù)的底數(shù))，g(x)=lnx+2,直線/是段)與g(x)的公切線，則直線I的方程

為.

(3)曲線G：y=lnx+x與曲線。2：有條公切線.

(4)已知曲線y=x+liu;在點(1,1)處的切線與曲線y=axz+(a+2)x+l相切，則a=.

(5)若直線>=區(qū)+方是曲線y=lnx+2的切線，也是曲線丁=廿的切線，貝I6=.

(6)已知曲線/(x)=lnx+l與g(x)=，-有公共切線，則實數(shù)。的取值范圍為.

【對點訓(xùn)練】

1.若直線/與曲線尸3及尸一*都相切，則直線/的方程為.

2.已知函數(shù)式尤)=/的圖象在x=l處的切線與函數(shù)g(x)=9的圖象相切，則實數(shù)。等于()

A.#B.C.容D.e\/e

3.已知函數(shù)期)=5+1,ga)=ahix,若在x=：處函數(shù)/)與g(x)的圖象的切線平行，則實數(shù)a的值為()

A./B.C.1D.4

4.若/(%)=lnx與飄入)=/+以兩個函數(shù)的圖象有一條與直線y=x平行的公共切線，則。等于()

A.1B.2C.3D.3或一1

5.若直線>=區(qū)+人是曲線y=lnx+2的切線，也是曲線y=ln(x+l)的切線，則/?=.

17

6.已知y(x)=lnx,g(x)=2x2+2(m<°)?直線/與函數(shù)人%)，g(%)的圖象都相切，與?x)圖象的切點為

(1,11)),則小=.

7.已知定義在區(qū)間(0,+co)上的函數(shù)?r)=—ZV+,w,g(x)=-31nr—x,若以上兩函數(shù)的圖象有公共點,

且在公共點處切線相同，則根的值為()

A.2B.5C.1D.0

8.若直線y=fcc+6是曲線y=3的切線，也是曲線y=e*—1的切線，則上+6等于()

9.設(shè)曲線y=e'在點(0,1)處的切線與曲線y=%x>0)在點P處的切線垂直，則尸的坐標為

1

-在

10.已知曲線八龍)=x3++■4處的切線與曲線g(x)=-\wc相切，則a的值為

11.已知曲線、=^在點(xi，e&)處的切線與曲線在點(X2，h?2)處的切線相同，則(尤1+1)3—1)=()

A.-1B.-2C.1D.2

12.曲線Ci：>=/與曲線C2：y=ae'(a>0)存在公切線，則a的取值范圍是.

13.若存在過點。(0,0)的直線/與曲線y=V—3/+2工和、=/+4都相切，求a的值.

14.己知函數(shù)無)=0^+3/—6ar—11,8(尤)=3/+6^+12和直線相：y—kx+9,且/(-1)=0.

(1)求。的值；

(2)是否存在匕使直線機既是曲線y=/(x)的切線，又是曲線y=g(x)的切線？如果存在，求出上的值;

如果不存在，請說明理由

專題03曲線的公切線方程【解析版】

【方法總結(jié)】

解決此類問題通常有兩種方法

(1)利用其中一曲線在某點處的切線與另一曲線相切，列出關(guān)系式求解；

(2)設(shè)公切線/在>=小)上的切點P1(X1，加1)),在〉=8(無)上的切點P2(X2,g(X2))，則/(尤1)=g'(X2)="X1)1g02)

X\一X2

注意：求兩條曲線的公切線，如果同時考慮兩條曲線與直線相切，頭緒會比較亂，為了使思路更清晰，

一般是把兩條曲線分開考慮，先分析其中一條曲線與直線相切，再分析另一條曲線與直線相切，直線與拋

物線相切可用判別式法.

【例題選講】

[例1]⑴(2020.全國m)若直線/與曲線產(chǎn)百和圓/+/=點都相切，貝h的方程為()

B.y=2x+^C.y=^x+l

A.y—■2x+1

\b\_y[5

答案解析易知直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程>=丘+。，則①.設(shè)直線/與

D、產(chǎn)十「5

曲線》=市的切點坐標為(xo，G^)(xo>O),則y'\x=XQ=^XQ—^=k?,yfxo=kxo+b③，由②③可得/?=手耳,

將〃=今昂Z=&o—；代入①得Xo=l或Xo=—舍去)，所以左=Z?=T，故直線/的方程尸5+今

(2)已知/(x)=e](e為自然對數(shù)的底數(shù))，g(x)=hu+2,直線/是八入)與g(x)的公切線，則直線/的方程

為.

答案y=ex或y=x+l解析設(shè)/與“x)=e”的切點為(為，州)，則以=田，7(%)=巴?\/(為)=e'】，

，切點為(為，e/),切線斜率％=e*,?,?切線方程為y—鏟=e*(x—%D，即y=e*?%—玉e*I+e*,①，

同理設(shè)/與g(%)=lnx+2的切點為(%2,p2),??.y2=ln及+2,g'(x)=；,切點為(尬，lnx2+2),

切線斜率左=；,???切線方程為y—(lnx2+2)=；(x—%2),即y=；%+lnx2+l,②，由題意知，①與②相同，

才2A2A2

eX|=—n%=ef,③

*,?<%把③代入④有一玉e~+e*=—即+1,即(1—xi)(e*-1)=0,解得％i=l或?

x,X1

一百e+e=Inx2+1,@

=0,當制=1時，切線方程為y=ex；當為=0時，切線方程為y=x+l,綜上，直線/的方程為y=ex或y

=x+l.

(3)曲線G：y=lnx+x與曲線Q：有條公切線.

答案1解析由y=lnx+x得y=:+l,設(shè)點8,lnxi+處)是曲線G上任一點，.,?曲線G在點(為,

lnxi+羽)處的切線方程為y一(lnxi+xi)=&+l)(x—為)，即j=(~+l^)x+lnxi—1.同理可得曲線G在點(處,

—+1=2X2,

適)處的切線方程為y一五=2%2(X—%2),即>=2X2%—6.依題意知兩切線重合，，,為消去X2

Jnx\-1=—xi,

19172244X2一2x一2

得春+京+41n尤i—3=0,①，令六尤)=蘆+[+41n尤一3(x>0),則f(x)==~~----=

-聲當x￡(0,l)時，/(%)<0;當工￡(1,+oo)時，/(x)>0,?\/(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+oo)

上單調(diào)遞增，??/X)min=/U)=0,?,.加)只有一個零點.即方程①只有一個解，故曲線C1與。2只有1條公切

線.

(4)已知曲線y=x+lwc在點(1,1)處的切線與曲線y=ax1+(a+2)x+1相切，則a=.

答案8解析方法一因為y=x+lnx,所以y=l+J,y[%=i=2.所以曲線y=x+lnx在點(1,1)

處的切線方程為y—1=2(x—1),即y=2x—1.因為y=2x—1與曲線)=以2+(〃+2)4+1相切，所以分0(當

[y=2x—l,

〃=0時曲線變?yōu)閥=2x+l與已知直線平行).由彳消去y,得加+依+2=0.由4=

[y=ax^+(a+2')x+l,

/—8。=0,解得〃=8.

方法二同方法一得切線方程為y=2x—1.設(shè)y=2%—1與曲線>=加+(〃+2)%+1相切于點(xo,axo+

/2QX()+(Q+2)=2,

(。+2)%()+1).因為y'=2"+(。+2),所以VJx=2"o+(〃+2).由彳,一〔小?「1解得

q十(〃十2)必十I=2xo—I>

(_I

xo——2?

、。=8.

(5)若直線丁=丘+/?是曲線y=lnx+2的切線，也是曲線丁=匕*的切線，則匕=.

答案0或I解析設(shè)直線丁=丘+/?與曲線y=lnx+2的切點為(為，％),與曲線y=e]的切點為(血,

>2),y=ln尤+2的導(dǎo)數(shù)為片(，>=爐的導(dǎo)數(shù)為y，=e",可得上=ex2=J.又由左="二^=咕一學(xué)一x,消

去X2,可得(l+lnxi)?(xi—l)=O,則為=1或為=1,則直線丫=息+6與曲線y=lnx+2的切點為(占1)或(1,2),

e—11—2

與曲線y=e”的切點為(1,e)或(0,1),所以k=j~=e或k=0_1=1,則切線萬程為y=cx或y=x~\~1,

可得Z?=0或1.

(6)已知曲線Xx)=lnx+1與gOOMx2—有公共切線，則實數(shù)〃的取值范圍為.

答案8解析設(shè)切線與相切于點P(xo,laxo+1),/(無())=：,???切線方程為y—Qnxo+l)

一1

11y=—x+lnxo,r1、,1、

=高(冗一xo),即y=/+lnxo,聯(lián)立<Xo得一一(1+mJr+a—lnxo=O,.?.4=(1+元|2—4(〃-Inxo)

j=j^—x+a,

i212122

=0,即短+;-+1—4。+41nxo=O,即4a=?+;r+l+41iu：o有解，令研元)=;^+7+1+41腔(冗>0),d(x)=-R

一1+*4/m-2=2(2x+?(x—1),當xe(0,1)時，?，(x)<o,當xe(i,+◎時，<p'(x)>0,，p(x)在(0,

1)上單調(diào)遞減,在(1,+8)上單調(diào)遞增，??.9(X)min=9(D=4,又X一+oo時，磯X)—+?),故夕⑴的值域為［4,

+◎，所以4壯4,即位1,故實數(shù)〃的取值范圍是［1,+co).

【對點訓(xùn)練】

1.若直線/與曲線丁=廿及y=—%2都相切，則直線/的方程為.

答案y=x+l解析設(shè)直線/與曲線y=e”的切點為(xo,ex°),直線/與曲線y=—j2的切點為

(ji,一因為y=e］在點(x(),小)處的切線的斜率為y|x=xo=在點(為，一寺處的切線的

斜率為/|x=xi=(^―0x=xi=-y,則直線I的方程可表示為j=ex°x—xoeex°+ex°或y=一$ix+家,

所以一：

所以*=1—尤0,解得尤0=0,所以直線/的方程為y=x+l.

［―猶源+/=J,

2.已知函數(shù)段)=/的圖象在x=l處的切線與函數(shù)g(x)=3的圖象相切，則實數(shù)。等于()

A.#B.C.坐D.er^e

答案B解析由五幻二%2,得/(x)=2x,則/(1)=2,又式1)=1,所以函數(shù)凡￥)=%2的圖象在％=1處

的切線方程為y—l=2Q—1),即y=2x—1.設(shè)y=2x—1與函數(shù)擊尸1^■的圖象相切于點(演)，刈)，由/(x)

e出

g'(x0)=—=2,3r

e%2

可得Va解得xo*,a=-^=^.

e2222

g(%o)=—=2/=-1,

a

3.已知函數(shù)火工)=4+1,g(x)=〃lnx,若在處函數(shù)y(x)與g(x)的圖象的切線平行，則實數(shù)a的值為(.),

B.；

A.\C.1D.4

答案,A.解析由題意可知了(x)=；x—J,g3=%由/(；)=/(；)，得Jx(；)—可得〃=》,經(jīng)檢

4

驗，4=:滿足題意.

4.若"x)=lnx與g(x)=f+ox兩個函數(shù)的圖象有一條與直線y=x平行的公共切線，則〃等于()

A.1B.2C.3D.3或一1

答案D解析設(shè)在函數(shù)段)=lnx處的切點為(x,y),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到仁5=1,解得x=l,

故切點為(1,0),可求出切線方程為y=x—1,此切線和g(x)=f+以也相切，故x2+ox=x—i,化簡得

到x2+(〃一1)%+1=0,只需要滿足/=3—1)2—4=0,解得a=—l或〃=3.

5.若直線>=履+/?是曲線y=lnr+2的切線，也是曲線y=ln(x+l)的切線，則/?=.

答案1一ln2解析y=lnx+2的切線為y=；-x+lnxi+l(設(shè)切點橫坐標為％1).y=ln(x+l)的切線為

y=隹F+ln(X2+l)一渣了(設(shè)切點橫坐標為X2).解得Xl=1,元2=1

X2T

lnxi+l=ln(X2+l)

X2+1'

.*./?=lnxi+l=l—ln2.

17

6.已知/(x)=hu:,^(x)=2^2+mx+2(m<0),直線/與函數(shù)/(x),g(x)的圖象都相切，與/(x)圖象的切點為

(1，11)),則m=

答案一2解析?.了(無)=:,...直線/的斜率左=川)=1.又加)=0,.?.切線/的方程為y=x—1.g'(x)

=x+m,設(shè)直線/與g(x)的圖象的切點為(%o,yo),則有xo+m=l,yo=x()—1,yo=^xo+m<0,

：.m=-2.

7.已知定義在區(qū)間(0,+oo)上的函數(shù)?x)=—2/+加，g(x)=—3\nx—x,若以上兩函數(shù)的圖象有公共點，

且在公共點處切線相同，則根的值為()

A.2B.5C.1D.0

答案C解析根據(jù)題意，設(shè)兩曲線y=?x)與y=g(x)的公共點為(〃，b),其中〃>0,由“r)=—2f+

3

m,可得/(x)=-4x,則切線的斜率為攵=/(〃)=-4Q,由g(x)=-31nx—%,可得g<x)=一］一1,則切線

的斜率為左=/(〃)=—楙3一1,因為兩函數(shù)的圖象有公共點，且在公共點處切線相同，所以一4〃=一楙3一1,

3

解得。=1或。=—w(舍去)，又g(i)=—1,即公共點的坐標為(1,—1),將點(1,—1)代入?x)=—2/

+m,可得m=1.

8.若直線>=辰+匕是曲線的切線，也是曲線丁=廿一1的切線，則化+b等于()

In21—ln2In2-1In2

A?~~B.""2-C.2D.F

答案D解析設(shè)直線尸質(zhì)+b與曲線尸息相切于點尸(即，%)，尸裊=尸2,攵i=e“a直線尸

kx+b與曲線y=^—l相切于點。(入2,m)，y'=e\k?=e、？，eX|-2x+eX1-2-x,e%1-2,Z2：y

fe為2=e"?,11

2--X2==X2

e^x+e^lx2e,**?sX2—In2,??k~\-b+e^~l~x2e—1—(一

…、1In2

In2)x-=-^—.

9.設(shè)曲線y=e*在點(0,1)處的切線與曲線y=5(x>0)在點尸處的切線垂直，則尸的坐標為.

答案(1,1)解析>'=3,曲線產(chǎn)F在點(0,1)處的切線的斜率自=e°=l.設(shè)尸⑺，〃)，>=:(無

>0)的導(dǎo)數(shù)為/=-^(%>0),曲線y=：(x>0)在點P處的切線斜率fe=-^2(m>0),因為兩切線垂直，

所以后比=—1,所以m=1,n=l,則點尸的坐標為(1,1).

10.已知曲線風(fēng)r)=x3+ox+(在x=0處的切線與曲線g(x)=—lnx相切，則a的值為.

--1]

答案一e4解析由|x)=%3+依+不得了(冗)=3/+4.?.?/(())=4,8))=不，曲線>=黃n)在x=

—

0處的切線方程為y—9=狽.設(shè)直線》一〃=〃％與曲線g(%)=—lm相切于點(沏，lnx0),又;且'(%)=一

\—\nxo-^=axo,①aa

1今3-1--

]將②代入①得lnxo=a，-??％。=，4,；,a=——=—e4.

L束②/

11.已知曲線丁=^在點(即，處的切線與曲線y=lDJl在點(X2，hlX2)處的切線相同，則(為+1)(%2—1)=()

A.-1B.-2C.1D.2

答案B解析已知曲線丁=^在點Qi,非)處的切線方程為>一爐=e』(不一即)，即y=eN-e國玉+e為

,曲線y=\nx在點3，lnx2)處的切線方程為y—\nx2=~~(x—X2)即y=~x—1+lm：2,由題意得

A29矛2

爐=-

<、2得尬=上，e不-e%,x=—1+lnX2=_1+In—=—1—xi,貝！Je*.又

0百Pxix\—I

、eX1—e*=-1+lm：2,

i%[—]JQ-I—]—2

'2=我"，所以冗2=處+],所以兀2-1=犬]+]—1=修+],所以(為+1)(%2—1)=—2.

12.曲線G：與曲線Q：y=〃e%3>0)存在公切線，則〃的取值范圍是.

答案(。，《解析設(shè)公切線在丁=冗2上的切點為(xi,才)，在〉=4式4>0)上的切點為(%2,aeX2).函

X

丫2_np2

數(shù)y=f,〉=〃找>0)的導(dǎo)數(shù)分別為y，=2x,yr=aex,則公切線的斜率為2R=ae^2=」-----,整理得4

再~x2

4(羽一1),RL人4x—1,e4e'2—x8—4x

=----—?由〃>0可知，入2>1,令7(%)=-7A->%￡(1,+℃),貝!Jf(x)=3=-Tv-,f(x)>0=>1<x<2；

4

了(X)<O=>X>2,?\/(X)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(2,+oo)上單調(diào)遞減，#%)max=/(2)=1；當工一十8

4C4~

時，危)一0，即。勺㈤第，，。氣。，￡.

13.若存在過點0(0,0)的直線/與曲線y=/—3/+2%和y=/+〃都相切，求〃的值.

解析易.知點0(0,0)在曲線>=??—3/+2X上.

(1)當0(0,0)是切點時，由y=3f—6x+2,得昨=0=2,

[y