山東省青島市2025屆高三年級上冊期初調(diào)研檢測數(shù)學試題（含答案）

山東省青島市2025屆高三上學期期初調(diào)研檢測數(shù)學試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知集合/={x\y=ln(4-x)},B={1,2,3,4,5},則An8=

A.{5}B.{1,2,3}C.{123,4}D.{123,4,5}

2.已知復數(shù)z滿足(1+2i)z=4+3i,貝Uz的虛部為

A.1B.-1C.iD.-i

3.已知命題p：V(zeR,sin(^-a)=cos(^+a),則ip為

A.VaGR,sine—a)Wcos《+a)

B.3aeR,sinr一a)Wcosg+a)

C.Ver住R,sin《-a)=cos《+a)

D.3a生R,sin《-a)=cose+a)

4.等差數(shù)列{即}的首項為-1,公差不為0,若。2,。3,。6成等比數(shù)列，則{斯}的前6項和為

A.-1B.3C.-24D.24

5.在平面直角坐標系%。y中，角a與角S均以%軸的非負半軸為始邊，它們的終邊關(guān)于%軸對稱.若cosa=-

1

貝!Jcos(a-S)=

177

A.-B.--C.1D.-

6.兩個粒子4B從同一發(fā)射源發(fā)射出來，在某一時刻，它們的位移分別為可=(1,2),嬴=(4,3).粒子8相

對粒子4的位移為貝「在可上的投影向量為

A菩)B.(在,2")C.(1,2)D.(2,1)

(%+a)2%v0

{X+工+見久口&若八0)是/(久)的最小值，貝心的取值范圍為

A.[—1,0]B.[—1,2]C.[-2,-1]D.[—2,0]

8.已知雙曲線C：善餐=l(a>0力>0)的左、右焦點分別為Fi，F(xiàn)2,以為直徑的圓和C的漸近線在

第一象限交于4點，直線4％交C的另一條漸近線于點8,F^B=BA,貝|C的離心率為

A.A/2B.V3C.2D.3

二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

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9.一組數(shù)據(jù)%1，%2,“110是公差為-2的等差數(shù)列，去掉首末兩項打，巧0后得到一組新數(shù)據(jù)，則

A.兩組數(shù)據(jù)的極差相同B.兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相同

C.兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同D.兩組數(shù)據(jù)的標準差相同

10.平面a過正方體/BCD—4$iCiDi的頂點4平面a〃平面C&Di，平面an平面ABC。=m,平面an

平面ZBBiAi=n,貝"

A.B1D1IImB.A^B〃平面a

C.九_L平面ZDCiBiD.m,幾所成的角為30。

11.設(shè)數(shù)列｛斯｝和｛%｝的項數(shù)均為小，稱￡之1@-a|為數(shù)列｛即｝和｛%｝的距離.記滿足%+1=莖詈的所有

?L“九

數(shù)列｛即｝構(gòu)成的集合為C.已知數(shù)列｛力?｝和｛Bn｝為C中的兩個元素，項數(shù)均為根，下列正確的有

A.數(shù)列1,3,5,7和數(shù)列2,4,6,8的距離為4

B.若m=4p(p€N*),則①&…4帆=

C.若m=4P(peN*),則鄧\Ai\<m

D.若公=2,%=3,數(shù)列｛4J和｛%｝的距離小于2017,則m的最大值為3456

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.若曲線y=axcosx在點(0,0)處的切線斜率為一1,則a=.

TT_

13.若Xi=w，M2=兀是函數(shù)/(久)=sin3X(3>0)的兩個相鄰極值點，則3=.

14.正方體4BCD-的棱長為3,P是側(cè)面ADDMi(包括邊界)上一動點，E是棱CD上一點，若

乙APB=￡EPD,且△APB的面積是△DPE面積的9倍，則三棱錐P-4BE體積的最大值是.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

甲、乙兩人在每次猜謎活動中各猜一個謎語，若一方猜對且另一方猜錯，則猜對的一方獲勝，否則本次平

局.已知每次活動中，甲、乙猜對的概率分別為|和，且每次活動甲、乙猜對與否互不影響，各次活動也

互不影響.

(1)求在一次猜謎活動中，有一方獲勝的概率；

(2)若有一方獲勝則猜謎活動結(jié)束，否則猜謎繼續(xù)，猜謎最多進行3次，求猜謎次數(shù)X的分布列和期望.

16.(本小題12分)

已知△力BC的內(nèi)角力，B,C的對邊分別為a,b,c,亞■(ccosB+bcosC')=琮不

(1)求力；

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(2)若4B邊上的高等于疝求sinC.

17.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P—4BCD中，底面四邊形4BCD是正方形，PD=DC,PD_L底面力BCD,E是線段PC的中

點，尸在線段PB上，EF1PB.

(1)證明：PB1平面DEF；

(2)G在線段PB上，EG與P4所成的角為45。，求平面DEF與平面DEG夾角的余弦值.

18.(本小題12分)

已知雙曲線C:47—丫2=皿，點在。上.按如下方式構(gòu)造點Pn(7l22):過點作斜率為1的直線

與C的左支交于點Qn-l，點Qn-l關(guān)于V軸的對稱點為P"記點Pn的坐標為On，打).

(1)求點22，03的坐標；

(2)記斯=2久?-即，證明：數(shù)列也?｝為等比數(shù)列；

(3)0為坐標原點，G,H分別為線段PnPn+2,Pn+lPn+3的中點，記△0Pn+lP,+2，△0GH的面積分別為

S］,52，求3的值.

19.(本小題12分)

已知函數(shù)/(無)定義域為/,DQI,若VxGD,3tGD,當x<t時，都有f(X)</(t).則稱t為/(%)在。上的

點”.

(1)設(shè)函數(shù)/(%)=(2+ax)ln(l+x)-2x.

⑴當a=。時，求f(x)在(一1,+8)上的最大“。點”；

(ii)若/(*)在［0,1］上不存在“0點”，求a的取值范圍；

(2)設(shè)O=eN*),llf(l)=0,f(x)-f(x-l)<1.

證明：/(%)在。上的“0點”個數(shù)不小于/(爪).

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參考答案

1.5

2.2

3.5

4.D

5.B

6.C

7.4

8.C

9.BC

10.ABC

11.ABD

12.-1

i13j.2-

14警

15.解：(1)設(shè)事件a表示在一次猜謎活動中有一方獲勝，

事件a包含兩種情況：甲猜對乙猜錯或甲猜錯乙猜對，

則P⑷=|x(l-|)+(l-|)x|=|,

所以在一次活動中，有一方獲勝的概率為最

(2)由題意知，猜謎次數(shù)X可能取值為1,2,3,

P(X=1)=P(A)=

P(X=2)nP(Z4)=(l-1)x|=|-

P(X=3)=P(AA)=a^=j,

所以X的分布列為

X123

111

P

244

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期望為E(X)=lx1+2xi+3xj=^.

16.解：(1)因為2cos/(ccosB+bcosC)=^/2a,

由正弦定理得2cos/(sinCcosB+sinBcosC)=&sin/,

即2cosAs譏(B+C)="sin4

即cosA=孝,則A-p

(2)作C。1AB于D,

因為CD=AD=%B,

所以D在線段ZB上

所以BD=|ZB,

所以sin/BCD=能=^^,cos乙BCD=累=￡,

DC5DC5

所以sinC=sin(N4CD+/.BCD)二考乂*+孝*等

17.(1)證明：因為PD1底面2BCD,且BCu底面2BCD,所以P。1BC,

又因為ABCD為正方形，可得DC1BC,

因為PDCDC=C,且PD,DCc平面PDC,所以BC1平面PDC,

又因為DEu平面PDC,所以BC1DE,

因為PO=DC,且E為PC的中點，所以DE1PC,

又因為PCCBC=C,且PC,BCu平面PBC,所以DE1平面PBC,

因為PBc平面PBC,所以。E1PB,

又因為EFIPB,且DEnEF=E,DE,EFu平面DEF,所以PB1平面DEF.

(2)解：以點。為原點，以。4D&DP所在的直線分別為x軸、y軸和z軸，

建立空間直角坐標系，如圖所示，設(shè)正方形ABCD的邊長為2,可得DP=2,

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Z/

可得D(0,0,0)H(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),E(0,l,l),

則PA=(2,0-2),PB=(2,2-2),PE=(0,1-1)

因為G在線段PB上，設(shè)E=4而=(2九2兒一22),其中0<2<1,

則麗=~PG-PE=(2/1,22-1,-22+1),

因為EG與PA所成的角為45°,

悶?函_______|8S入A一-22|也

可得cos45°=

\PA\\EG\―2遂x^12A2-8A+2-V，

解得所以4=2,所以可得而=(0,1,1),而=(1,1,1),

4,Z

>—>—>

n?DE=y+z=0

設(shè)平面DEG的法向量為n=(x,y,z),則

n?DG=x+y+z=0

令y=1,可得x=0,z=-1,所以n=(0,1,—1),

因為PB1平面DEF,所以平面DEF的一個法向量為PB=(2,2-2),

設(shè)平面DEF與平面DEG所成的二面角為e,其中0°<9<90°,

伍?麗1_4—亞

可得COS0=

|n||PB|-A/2X2^/3-_T

即平面DEF與平面DEG所成的二面角為手.

18.(1)由題知m=4-1=3,所以雙曲線C:4%2-y2=3,又過點斜率為1的直線方程為y=x,由

雙曲線與直線的對稱性可知Ql(—1,—1),所以P2(l,—1),又過P2(l,—1)，且斜率為1的直線方程為

y+1=x-1,即y=x-2,由修反^13,解得x=1或x=-1,當x=-,時，y=-1-2=—全所以

八,713、二匚［、［,713、

Q2(-§，--))，所以「n3(§，-))；

(2)設(shè)*(xn_】yn_i)(n>2,neN*),則過*>2,neN*),且斜率為1的直線方程為y-

yn_i=x-xn-i>聯(lián)立幻乃”"T,消y得至IJ37+2(xn_i—yn-i)x—(xn-i—yn-i)2—3=0,由題有一

2

Xn+xn-i=—(xn-i-yn-i),得到3%,=5xn_1-2yn-1,由題知點〃-式一刈打)在直線丫一為-1=

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上，即有yn—Vn-l=—Xn—Xn-l，所以Vn=為_1一今一馬-1，因為=2%?一即，則點'=2久『:-y：_]=

2"；1+：+-=3X姿:：x“-i=3由⑴知由=2-1=1,所以數(shù)列｛冊｝為1為首項，3的公比的等比

^Xn-l-yn-l乙4n-l7n-l

數(shù)列；

nn1

(3)由(2)知an=2xn-yn=3-]，得到y(tǒng)n=2xn-3-,由4/一煽=3,即4%一城=(2xn-yn)(2xn+yn

)=3,即2Xn+yn=&;=|=32f,則久n=(2支n+即)：(2-一2)=32f:3"-1,即=

(2久九+y九)一(2久及一y九)_32一九一3八一132f+3九—132f—3九-1)31一九十3n31-n-3n\-D，3一九+3九+1

，故P展，「九+iC')?尸九+2(.

224242

-n-3n+i,3一九一1+3九+23一九一1-3九+2l,32-n+3n-1.3-n+3n+1x5(3-n+S71-1)1,

—32—)，Pn+3(--------------2----)'從而q=2(---4----+~~)=~~~4----4=式

32一九_3九T3一九一3九+1、5(3--3f艮|JC(5(3—九+3-1)5(3九311))貝g“(5(3f一、+3與5(3一九T—371)、

2+2'則

Si=l\xn+1yn+2-xn+2yn+1\=1,S2=^\xGyH-xHyG\系3-九+3"-1)(3-3")-(3*1+3")(

3f—3，1)|=言.從而勤=9

25

19.(1)。)當a=0時，f(x)=21n(l+x)-2x,則r(x)=e—2=2筆^=—亳，

I人_LI4I人

則當工G(一1,0)時，尸Q)>0,當Xe(0,+8)時，尸Q)<0,

即/(久)在(-1,0)上單調(diào)遞增，在(0,+8)上單調(diào)遞減，

即對vxe(-1,0],ate(-1,0],當久<t時，都有/'(%)</(t),

即/(為在(-1,+8)上的最大“0點”為0；

(商)由題意可得f(x)Wf(0)在x6[0,1]時恒成立，f'(x)=aln(l+x)+%f-2,

令g(x)=aln(l+x)+憂—2,xe[0,1],則g'Q)=梟+心+工笈")=。界"

當Q<0時，g'O)V0恒成立，故g(%)在[0,1]上單調(diào)遞減,

24-0

則r(X)=g(X)<g(o)=aim+二江—2=o,

故/(久)在[0,1]上單調(diào)遞減，此時/(x)</(0),符合要求;

當a>0時，令ax+2a-2=0,貝!]%=馬券=七一2,

則當日一2三0,即a21時，g'{x}>0,即g(x)在［0,1］上單調(diào)遞增，

則/'(%)=9。)>5(0)=o,即/(x)在［0,1］上單調(diào)遞增,有f(x)2/(0),不符合要求，故舍去;

當弓—221,即0<aW爭寸，g'(x)<0恒成立，

故。(久)在［0,1］上單調(diào)遞減，則f'(x)=g(x)<5(0)=0,

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故/(久)在［0,1］上單調(diào)遞減，此時f(x)</(0),符合要求；

當(一26(0,1),即扛a<1時，

若久e(0—2),g'(x)<0,若x6g'(x)>0,即儀久)在(0,宗2)上單調(diào)遞減，在。一2,1)上單調(diào)

遞增，

則若需八口=/(0)恒成立，有/(I)=(2+a)ln2；-2</(0)=0,

解得Q〈而一2，

7

2=1ne2.］n23=力看<

mln2ln2ln2

故卷一2<1,由總—2—>號臀=型哼-=強>0,

ln2ln2331