【學(xué)霸滿(mǎn)分】2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)重難點(diǎn)專(zhuān)題提優(yōu)訓(xùn)練（北師大版）專(zhuān)題11 難點(diǎn)探究專(zhuān)題：新定義型二次函數(shù)的綜合探究問(wèn)題之八大類(lèi)型（解析版）

專(zhuān)題11難點(diǎn)探究專(zhuān)題：新定義型二次函數(shù)的綜合探究問(wèn)題之八大類(lèi)型【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類(lèi)型一新定義型二次函數(shù)——關(guān)聯(lián)拋物線】 1【類(lèi)型二新定義型二次函數(shù)——友好二次函數(shù)】 5【類(lèi)型三新定義型二次函數(shù)——衍生拋物線】 13【類(lèi)型四新定義型二次函數(shù)——同軸對(duì)稱(chēng)拋物線】 19【類(lèi)型五新定義型二次函數(shù)——孔像拋物線】 25【類(lèi)型六新定義型二次函數(shù)——伴隨拋物線】 32【類(lèi)型七新定義型二次函數(shù)——美麗拋物線】 35【類(lèi)型八新定義型二次函數(shù)——系列平移拋物線】 40【典型例題】【類(lèi)型一新定義型二次函數(shù)——關(guān)聯(lián)拋物線】例題：如果拋物線的頂點(diǎn)在拋物線上，拋物線的頂點(diǎn)也在拋物線上時(shí)，那么我們稱(chēng)拋物線與“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線．如圖，已知拋物線：與：是“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線，點(diǎn)A，B分別是拋物線，的頂點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)直接寫(xiě)出A，B的坐標(biāo)和拋物線的解析式；(2)拋物線上是否存在點(diǎn)E，使得是直角三角形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；【答案】(1)，，，(2)存在，或．【分析】（1）由拋物線：可得，將，代入，求得，；（2）易得直線的解析式：，①若B為直角頂點(diǎn)，，；②若A為直角頂點(diǎn)，，；③若E為直角頂點(diǎn)，設(shè)不符合題意；【詳解】（1）由拋物線：可得，將，代入得，解得，∴，∴；（2）易得直線的解析式：，①若B為直角頂點(diǎn)，，，∴，直線解析式為聯(lián)立，解得或，∴；②若A為直角頂點(diǎn)，，同理得解析式：，聯(lián)立，解得或，∴；③若E為直角頂點(diǎn)，設(shè)，由得，即，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)得是方程的增根，即方程無(wú)解，綜上所述，或【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)，熟練運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．新定義：我們把拋物線（其中與拋物線稱(chēng)為“關(guān)聯(lián)拋物線”，例如，拋物線的“關(guān)聯(lián)拋物線”為已知拋物線：的“關(guān)聯(lián)拋物線”為，與y軸交于點(diǎn)E．(1)若點(diǎn)E的坐標(biāo)為，求的解析式；(2)設(shè)的頂點(diǎn)為F，若△OEF是以O(shè)F為底的等腰三角形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)過(guò)x軸上一點(diǎn)P，作x軸的垂線分別交拋物線，，于點(diǎn)M，N．①當(dāng)MN=6時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②當(dāng)時(shí)，的最大值與最小值的差為2a，求a的值．【答案】(1)(2)(3)①或，②或【分析】（1）根據(jù)“關(guān)聯(lián)拋物線”的定義可直接得出的解析式，再將該解析式化成頂點(diǎn)式，可得出的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)“關(guān)聯(lián)拋物線”的定義可得的解析式，之后得到函數(shù)的頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接，進(jìn)而得到，，，于是根據(jù)即可得到結(jié)論；（3）①設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則可表達(dá)點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可表達(dá)的長(zhǎng)，列出方程，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；②當(dāng)時(shí)得出的最大值和最小值，進(jìn)而列出方程，可求出的值．【詳解】（1）解：∵C1與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為E（0，-1），∴，解得．∴C1的解析式為；（2）解：根據(jù)“關(guān)聯(lián)拋物線”的定義可得的解析式為，∵，∴的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為易得點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接．

∴，，，∵，∴，即．解得，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為；（3）解：①設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，∵過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線分別交拋物線，于點(diǎn)，∴，，∴，∵，∴，解得或，∴或；②∵的解析式為，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．根據(jù)題意可知，需要分三種情況討論：Ⅰ．當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為；函數(shù)的最小值為-3．∴，解得或（舍）或（舍）；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，函數(shù)的最小值為-3．∴，解得或（舍）或（舍）；Ⅱ．當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的最大值為；函數(shù)的最小值為，∴，解得（舍）或（舍）；Ⅲ．當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去．綜上，a的值為或【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)背景下新定義類(lèi)問(wèn)題，涉及等腰三角形以及兩點(diǎn)間距離公式，二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，由“關(guān)聯(lián)拋物線”的定義得出的解析式，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【類(lèi)型二新定義型二次函數(shù)——友好二次函數(shù)】例題：若兩條拋物線的頂點(diǎn)相同，則稱(chēng)它們?yōu)椤坝押脪佄锞€”，拋物線：與拋物線：為“友好拋物線”．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)是拋物線上在第一象限的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作軸，為垂足，求的最大值；(3)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，問(wèn)在的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)，使線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，且點(diǎn)恰好落在拋物線上？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或【分析】（1）先求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后依據(jù)兩個(gè)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)相同可求得、的值；（2）設(shè)．則，，然后得到與的函數(shù)關(guān)系式，最后依據(jù)配方法可求得的最值；（3）連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．接下來(lái)證明，由全等三角形的性質(zhì)得到，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為．則用含的式子可表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得的值，從而得到點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1），拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，．拋物線：與頂點(diǎn)相同，，．解得：，．拋物線的解析式為；（2）如圖1所示：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為．，，．當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為．（3）如圖2所示；連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．，，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為，，．，．，．．在和中，，，．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為．則，．點(diǎn)的坐標(biāo)為．．整理得：．解得，或．當(dāng)時(shí)，的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，的坐標(biāo)為．綜上所述，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí)，恰好落在拋物線上．【點(diǎn)睛】解答本題主要應(yīng)用了二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)解析式的關(guān)系，用含的式子表示點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．定義：若拋物線與拋物線的開(kāi)口大小相同，方向相反，且拋物線經(jīng)過(guò)的頂點(diǎn)，我們稱(chēng)拋物線為的“友好拋物線”．（1）若的表達(dá)式為，求的“友好拋物線”的表達(dá)式；（2）已知拋物線為的“友好拋物線”．求證：拋物線也是的“友好拋物線”；（3）平面上有點(diǎn)，，拋物線為的“友好拋物線”，且拋物線的頂點(diǎn)在第一象限，縱坐標(biāo)為2，當(dāng)拋物線與線段沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍．【答案】（1）的“友好拋物線”為：；（2）見(jiàn)解析；（3）或.【分析】（1）設(shè)的“友好拋物線”的表達(dá)式為：，根據(jù)可得其頂點(diǎn)坐標(biāo)，代入可得的值，進(jìn)而得出的“友好拋物線”；（2）先求出拋物線和的頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)過(guò)的頂點(diǎn)，得出，進(jìn)而得到拋物線經(jīng)過(guò)的頂點(diǎn)，再根據(jù)與的開(kāi)口大小相同，方向相反，即可得出拋物線也是的“友好拋物線”；（3）根據(jù)“友好拋物線”的定義，得到，進(jìn)而得到的頂點(diǎn)為．根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)在第一象限，縱坐標(biāo)為2，可得．再根據(jù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得到．根據(jù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得到．進(jìn)而得出拋物線與線段沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，的取值范圍．【詳解】解：（1）依題意，可設(shè)的“友好拋物線”的表達(dá)式為：，∵，∴的頂點(diǎn)為．∵過(guò)點(diǎn)，∴，即．∴的“友好拋物線”為：．（2）的頂點(diǎn)為，的頂點(diǎn)為，∵為的“友好拋物線”，∴．∵過(guò)的頂點(diǎn)，∴．化簡(jiǎn)得：．把代入，得．∴拋物線經(jīng)過(guò)的頂點(diǎn)．又∵與的開(kāi)口大小相同，方向相反，∴拋物線也是的“友好拋物線”．（3）∵拋物線為的“友好拋物線”，∴．∴的頂點(diǎn)為．∵拋物線的頂點(diǎn)在第一象限，縱坐標(biāo)為2，∴，即．當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，∴．當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，∴．由此可知：時(shí)，拋物線與線段有公共點(diǎn)，∴拋物線與線段沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，或．【點(diǎn)睛】此題考查的是二次函數(shù)的綜合大題，讀懂“友好拋物線”的定義并根據(jù)“友好拋物線”的定義解決實(shí)際問(wèn)題、拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式和用方程思想解決問(wèn)題是解決此題的關(guān)鍵.2．【概念感知】我們把兩個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)之和為1，對(duì)稱(chēng)軸相間，且圖象與y軸交點(diǎn)也相同的二次函數(shù)稱(chēng)為“友好對(duì)稱(chēng)二次函數(shù)”，例如：的“友好對(duì)稱(chēng)二次函數(shù)”為．【特例求解】（1）的“友好對(duì)稱(chēng)二次函數(shù)”為_(kāi)_____________；的“友好對(duì)稱(chēng)二次函數(shù)”為_(kāi)___________．【性質(zhì)探究】（2）關(guān)于“友好對(duì)稱(chēng)二次函數(shù)”，下列結(jié)論正確的是___________（填入正確的序號(hào)）①二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次函數(shù)沒(méi)有“友好對(duì)稱(chēng)二次函數(shù)”；②二次項(xiàng)系為的二次函數(shù)的“友好對(duì)稱(chēng)二次函數(shù)”是它本身；③的“友好對(duì)稱(chēng)二次函數(shù)”為．④任意兩個(gè)“友好對(duì)稱(chēng)二次函數(shù)”與y軸一定有交點(diǎn)，與x軸至少有一個(gè)二次函數(shù)有交點(diǎn)．【拓屐應(yīng)用】（3）如圖，二次函數(shù)與其“友好對(duì)稱(chēng)二次函數(shù)”都與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，C分別在，上，點(diǎn)B，C的橫坐標(biāo)均為，它們關(guān)于的對(duì)稱(chēng)軸的稱(chēng)點(diǎn)分別力，，連接，，，．①若，且四邊形為正方形，求m的值；②若，且四邊形鄰邊之比為，直接寫(xiě)出a的值．【答案】（1）y＝x2，y＝x2+2x－5；（2）①②③；（3）①m的值為；②a的值為－或或或【分析】（1）根據(jù)題中“友好對(duì)稱(chēng)二次函數(shù)”的性質(zhì)：二次項(xiàng)系數(shù)之和為1，對(duì)稱(chēng)軸相同，且圖象與y軸交點(diǎn)也相同，據(jù)此求解即可；（2）根據(jù)題中“友好對(duì)稱(chēng)二次函數(shù)”的性質(zhì)逐個(gè)判斷即可得；（3）①根據(jù)題意可得：二次函數(shù)L1：，二次函數(shù)L2：，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，則可得點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)，然后得出線段，的長(zhǎng)，根據(jù)四邊形為正方形，得出方程求解即可；②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，則可得點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)，然后得出線段，的長(zhǎng)，根據(jù)題意：四邊形的鄰邊之比為1：2，得出或，求解即可得．【詳解】解：（1）∵，∴函數(shù)的“友好對(duì)稱(chēng)二次函數(shù)”為；，原函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為：，∴，∴，，∴函數(shù)的“友好對(duì)稱(chēng)二次函數(shù)”為，,故答案為：；；（2）∵，∴二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次函數(shù)沒(méi)有“友好對(duì)稱(chēng)二次函數(shù)”，①正確；∵，∴二次項(xiàng)系數(shù)為的二次函數(shù)的“友好對(duì)稱(chēng)二次函數(shù)”是它本身，②正確；由定義，的“友好對(duì)稱(chēng)二次函數(shù)”為，③正確；若，則其“友好對(duì)稱(chēng)二次函數(shù)”為，此時(shí)這兩條拋物線與x軸都沒(méi)有交點(diǎn)，④錯(cuò)誤；故答案為：①②③；（3）二次函數(shù)L1：的對(duì)稱(chēng)軸為直線，其“友好對(duì)稱(chēng)二次函數(shù)”L2：．①∵，∴二次函數(shù)L1：，二次函數(shù)L2：，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，，∵四邊形為正方形，∴，即，解得：，（不合題意，舍去），∴m的值為；②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，，∵四邊形的鄰邊之比為1：2，∴或，即或，解得：，，，，∴a的值為－或或或．【點(diǎn)睛】題目主要考查二次函數(shù)拓展運(yùn)用，正方形的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間的距離等，理解題意，熟練掌握運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【類(lèi)型三新定義型二次函數(shù)——衍生拋物線】例題：（2023秋·江西南昌·九年級(jí)南昌市第十七中學(xué)?？计谀┬≠t與小杰在探究某類(lèi)二次函數(shù)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)歷了如下過(guò)程：求解體驗(yàn)：(1)已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則b＝，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，該拋物線關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)的拋物線表達(dá)式是．抽象感悟：我們定義：對(duì)于拋物線，以y軸上的點(diǎn)為中心，作該拋物線關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱(chēng)的拋物線，則我們又稱(chēng)拋物線為拋物線y的“衍生拋物線”，點(diǎn)M為“衍生中心”．(2)已知拋物線關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為，若這兩條拋物線有交點(diǎn)，求m的取值范圍．問(wèn)題解決：(3)已知拋物線．①若拋物線y的衍生拋物線為，兩拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，且恰好是它們的頂點(diǎn)，求a，b的值及衍生中心的坐標(biāo)；②若拋物線y關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為，其頂點(diǎn)為；關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為，其頂點(diǎn)為；…；關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為，其頂點(diǎn)為，…（為正整數(shù)）．求的長(zhǎng)（用含n的式子表示）．【答案】(1)；；；(2)(3)①；衍生中心的坐標(biāo)為；②【分析】（1）把代入即可求出，然后把拋物線解析式變?yōu)轫旤c(diǎn)式即可求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，繼而可得頂點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，從而可寫(xiě)出原拋物線關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)的拋物線的表達(dá)式；（2）先求出拋物線的頂點(diǎn)是，從而求出關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是，得，根據(jù)兩拋物線有交點(diǎn)，可以確定方程有解，繼而求得的取值范圍即可；（3）①先求出拋物線以及拋物線的衍生拋物線為，的頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，且恰好是它們的頂點(diǎn)，求的值及再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出衍生中心的坐標(biāo)；②根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)，由題意得出，…

分別是，…的中位線，繼而可得，，…，再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)即可求得的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】（1）解：把代入，得，∴，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是，∵關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，∴成中心對(duì)稱(chēng)的拋物線表達(dá)式是：，即，故答案為：，，；（2）∵，∴頂點(diǎn)是∵關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是，∴，∵兩拋物線有交點(diǎn)，∴有解，∴有解，∴，∴；（3）①∵，∴頂點(diǎn)，代入得：①∵，∴頂點(diǎn)，代入得：②由①②得，∵，，∴，∴兩頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得“衍生中心”的坐標(biāo)是；②如圖，設(shè)，…，與軸分別相于，…

，，則，，…，分別關(guān)于，…，中心對(duì)稱(chēng)，∴，…

分別是，…的中位線，∴，，…，∵，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，理解題意，畫(huà)出符合題意的圖形借助數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題是關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．我們定義：對(duì)于拋物線（a≠0），以y軸上的點(diǎn)M（0，m）為中心，作該拋物線關(guān)于點(diǎn)M成中心對(duì)稱(chēng)的拋物線y'，則我們稱(chēng)拋物線y'為拋物線y的“衍生拋物線”，點(diǎn)M為“衍生中心”．（1）已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，0），則b=_______，頂點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)______，該拋物線關(guān)于點(diǎn)（0，1）成中心對(duì)稱(chēng)的拋物線的表達(dá)式是_______；（2）已知拋物線關(guān)于點(diǎn)（0，m）的衍生拋物線為y'，若這兩條拋物線有交點(diǎn)，求m的取值范圍；（3）已知拋物線（a≠0）．若拋物線y關(guān)于點(diǎn)（0，k+12）的衍生拋物線為y1，其頂點(diǎn)為A1；關(guān)于點(diǎn)（0，k+22）的衍生拋物線為y2，其頂點(diǎn)為A2；…；關(guān)于點(diǎn)（0，k+n2）的衍生拋物線為yn，其頂點(diǎn)為An；…（n為正整數(shù)），直接寫(xiě)出AnAn+1的長(zhǎng)_________（用含n的式子表示）．【答案】（1），（-2，1），；（2）m≤5；（3）4n+2【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出b的值，進(jìn)而求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，在拋物線上取一點(diǎn)（0，-3），求出點(diǎn)（-2，1）和（0，-3）關(guān)于（0，1）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；（2）求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（-1，6），進(jìn)而利用待定系數(shù)法求出衍生函數(shù)解析式，聯(lián)立即可得出結(jié)論；（3）求出拋物線頂點(diǎn)關(guān)于（0，k+n2）和（0，k+（n+1）2）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵拋物線y=-x2+bx-3經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，0），∴-1-b-3=0，∴b=-4，∴拋物線解析式為y=-x2-4x-3=-（x+2）2+1，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，1），∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（-2，1）關(guān)于（0，1）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（2，1），即：新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），y=-x2-4x-3中，令x=0，∴y=-3，∴（0，-3）關(guān)于點(diǎn)（0，1）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5），設(shè)新拋物線的解析式為y=a（x-2）2+1，∵點(diǎn)（0，5）在新拋物線上，∴5=a（0-2）2+1，∴a=1，∴新拋物線解析式為y=（x-2）2+1=x2-4x+5，故答案為-4，（-2，1），y=x2-4x+5；（2）∵拋物線y=-x2-2x+5=-（x+1）2+6①，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，6），設(shè)衍生拋物線為y′=a（x-1）2+2m-6，∵拋物線y=-x2-2x+5關(guān)于點(diǎn)（0，m）的衍生拋物線為y′，∴a=1，∴衍生拋物線為y′=（x-1）2+2m-6=x2-2x+2m-5②，聯(lián)立①②得，x2-2x+2m-5=-x2-2x+5，整理得，2x2=10-2m，∵這兩條拋物線有交點(diǎn)，∴10-2m≥0，∴m≤5；（3）拋物線y=ax2+2ax-b的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-a-b），∵點(diǎn)（-1，-a-b）關(guān)于點(diǎn)（0，k+n2）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（1，a+b+2k+2n2），∴拋物線yn的頂點(diǎn)坐標(biāo)An為（1，a+b+2k+2n2），同理：An+1（1，a+b+2k+2（n+1）2）∴AnAn+1=a+b+2k+2（n+1）2-（a+b+2k+2n2）=4n+2．【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法，新定義的理解和掌握，點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)的求法，理解新定義是解本題的關(guān)鍵．【類(lèi)型四新定義型二次函數(shù)——同軸對(duì)稱(chēng)拋物線】例題：定義：關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)且對(duì)稱(chēng)軸相同的兩條拋物線叫作“同軸對(duì)稱(chēng)拋物線”．例如：的“同軸對(duì)稱(chēng)拋物線”為．(1)請(qǐng)寫(xiě)出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；及其“同軸對(duì)稱(chēng)拋物線”的頂點(diǎn)坐標(biāo)；寫(xiě)出拋物線的“同軸對(duì)稱(chēng)拋物線”為．(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B是拋物線L：上一點(diǎn)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線，交拋物線L的“同軸對(duì)稱(chēng)拋物線”于點(diǎn)C，分別作點(diǎn)B、C關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)、，連接、、、，設(shè)四邊形的面積為．①當(dāng)四邊形為正方形時(shí)，求a的值．②當(dāng)拋物線L與其“同軸對(duì)稱(chēng)拋物線”圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（不包括邊界）共有11個(gè)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)求出a的取值范圍．【答案】(1)，，(2)①a；②或【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)式的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；先化成頂點(diǎn)式，再求“同軸對(duì)稱(chēng)拋物線”的解析式；（2）①寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再由對(duì)稱(chēng)軸求出點(diǎn)，然后結(jié)合正方形的性質(zhì)列出方程求a；②先由對(duì)稱(chēng)性分析得到封閉區(qū)域內(nèi)在x軸上整點(diǎn)的個(gè)數(shù)，然后針對(duì)拋物線L開(kāi)口的不同進(jìn)行分類(lèi)討論．【詳解】（1）解：由知頂點(diǎn)坐標(biāo)為，由知頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴拋物線的“同軸對(duì)稱(chēng)拋物線”為；故答案為：，，．（2）①當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴，∵拋物線L的對(duì)稱(chēng)軸為直線，∴點(diǎn)，∴，∵四邊形是正方形，∴，即，解得：（舍）或．②拋物線L的對(duì)稱(chēng)軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∵L與“同軸對(duì)稱(chēng)拋物線”關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，∴整點(diǎn)數(shù)也是關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)出現(xiàn)的，∴封閉區(qū)域內(nèi)在x軸上的整點(diǎn)可以是3個(gè)或5個(gè)，L與x軸圍成的區(qū)域內(nèi)整點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè)或3個(gè)，（i）當(dāng)時(shí)，∵L開(kāi)口向上，與y軸交于點(diǎn)，∴封閉區(qū)域內(nèi)在x軸上只可能有3個(gè)整點(diǎn)，兩個(gè)區(qū)域內(nèi)各有4個(gè)整點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得：；（ii）當(dāng)時(shí)，∵L開(kāi)口向下，與y軸交于點(diǎn)，∴封閉區(qū)域內(nèi)在x軸上只可能有5個(gè)整點(diǎn)，兩個(gè)區(qū)域內(nèi)各有3個(gè)整點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得：，綜上所述：或．【點(diǎn)睛】此題借助二次函數(shù)考查正方形的性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)式找頂點(diǎn)坐標(biāo)，及新定義“同軸對(duì)稱(chēng)拋物線”．【變式訓(xùn)練】1．定義：關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的兩條拋物線叫做“同軸對(duì)稱(chēng)拋物線”.例如：的“同軸對(duì)稱(chēng)拋物線”為.(1)求拋物線的“同軸對(duì)稱(chēng)拋物線”.(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交拋物線的“同軸對(duì)稱(chēng)拋物線”于點(diǎn)，分別作點(diǎn)、關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)、，連接、、、.①當(dāng)四邊形為正方形時(shí)，求的值.②在①的條件下，拋物線的“同軸對(duì)稱(chēng)拋物線”的圖像與一次函數(shù)相交于點(diǎn)和點(diǎn)（其中在的左邊），將拋物線的“同軸對(duì)稱(chēng)拋物線”的圖像向上平移得到新的拋物線與一次函數(shù)相交于點(diǎn)和點(diǎn)（其中在的左邊），滿(mǎn)足，在拋物線上有且僅有三個(gè)點(diǎn)、、，使得、、的面積均為定值，求、、的坐標(biāo).

【答案】(1)(2)①②，【分析】（1）先由，根據(jù)“同軸對(duì)稱(chēng)拋物線”的定義計(jì)算即可.（2）①根據(jù)拋物線，得到對(duì)稱(chēng)軸為，點(diǎn)，，，，計(jì)算，根據(jù)正方形的性質(zhì)，得到，計(jì)算即可.②先解方程組得到，求得，根據(jù)得到，設(shè)向上平移了t個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新拋物線為，設(shè)，則是方程的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)關(guān)系定理，結(jié)合確定t，繼而確定平移后的拋物線解析式，設(shè)直線與新拋物線相切，確定切點(diǎn)坐標(biāo)，得到面積的定值，利用對(duì)稱(chēng)的思想，確定面積定值的另外兩個(gè)點(diǎn)，計(jì)算坐標(biāo)即可.【詳解】（1）∵，∴拋物線的“同軸對(duì)稱(chēng)拋物線”是.（2）①∵點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為，點(diǎn)，，，，∴，∵四邊形為正方形，∴，∴，解得.②根據(jù)題意，得，解得，∴，∵，∴，設(shè)向上平移了t個(gè)單位長(zhǎng)度，∴新拋物線為，設(shè)，則是方程的兩個(gè)根，∴是方程的兩個(gè)根，∴∴，，∴，解得，∴新拋物線為，設(shè)直線與新拋物線相切，切點(diǎn)為，∴有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴的判別式為0，∴，解得，∴，直線解析式為，解得，∴，故，設(shè)直線與x軸的交點(diǎn)為K，與y軸的交點(diǎn)為E，

故，∴，∴，∵，∴，過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)A，則延長(zhǎng)到點(diǎn)D，使得，過(guò)點(diǎn)D作，交y軸于點(diǎn)F，交拋物線于，則，，、、的面積均為定值，∴，∴，∴，∴直線的解析式為，根據(jù)題意，得，整理得，，解得，∴，故，綜上所述，，．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的新定義，拋物線的平移，拋物線與一元二次方程的根的判別式，正方形的性質(zhì)，直線的解析式，解方程，熟練掌握新定義，拋物線的平移，拋物線與一元二次方程的根的判別式，解方程組是解題的關(guān)鍵．【類(lèi)型五新定義型二次函數(shù)——孔像拋物線】例題：二次函數(shù)的圖象交軸于原點(diǎn)及點(diǎn)．【感知特例】(1)當(dāng)時(shí)，如圖1，拋物線：上的點(diǎn)，，，，分別關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，，，，，如表：…（___，___）………①補(bǔ)全表格；②在圖1中描出表中對(duì)稱(chēng)后的點(diǎn)，再用平滑的曲線依次連接各點(diǎn)，得到的圖象記為．【形成概念】我們發(fā)現(xiàn)形如（1）中的圖象上的點(diǎn)和拋物線上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，則稱(chēng)是的“孔像拋物線”．例如，當(dāng)時(shí)，圖2中的拋物線是拋物線的“孔像拋物線”．【探究問(wèn)題】(2)①當(dāng)時(shí)，若拋物線與它的“孔像拋物線”的函數(shù)值都隨著的增大而減小，則的取值范圍為_(kāi)_____；②若二次函數(shù)及它的“孔像拋物線”與直線有且只有三個(gè)交點(diǎn)，直接寫(xiě)出的值______；③在同一平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)取不同值時(shí)，通過(guò)畫(huà)圖發(fā)現(xiàn)存在一條拋物線與二次函數(shù)的所有“孔像拋物線”都有唯一交點(diǎn)，這條拋物線的解析式為_(kāi)___________．【答案】(1)①；②見(jiàn)解析；(2)①；②；③【分析】（1）①根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)的定義求解即可；②根據(jù)表格，描點(diǎn)，連線即可；（2）①畫(huà)出草圖，利用數(shù)形結(jié)合思想即可求解；②根據(jù)“孔像拋物線”的性質(zhì)求得圖象L的頂點(diǎn)為，則圖象L′的頂點(diǎn)為，再根據(jù)題意即可求解；③根據(jù)題意得：二次函數(shù)的“孔像拋物線”為，設(shè)符合條件的拋物線M的解析式為，，再由拋物線M與有唯一交點(diǎn)，分兩種情況：當(dāng)時(shí)，無(wú)論取任何值，都會(huì)存在對(duì)應(yīng)的m使得，此時(shí)符不符合題意；當(dāng)時(shí)，有，根據(jù)當(dāng)m取何值時(shí)，兩拋物線都有唯一的交點(diǎn)，可得當(dāng)m取任意實(shí)數(shù)時(shí)，上述等式成立，從而得到，即可求解．【詳解】（1）解：①∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A中心對(duì)稱(chēng)，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，即，故答案為：2，0；②描點(diǎn)，連線，得到的圖象如圖所示：（2）解：①當(dāng)時(shí)，拋物線L為，對(duì)稱(chēng)軸為，∴它的“孔像拋物線”的解析式為，對(duì)稱(chēng)軸為，畫(huà)出草圖如圖所示：∴拋物線L與它的“孔像拋物線”的函數(shù)值都隨著x的增大而減小，則x的取值范圍為：；②L：，設(shè)頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)M，“孔像拋物線”的頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，由題意得：，∴，∴，∵拋物線L及“孔像拋物線”與直線y=m有且只有三個(gè)交點(diǎn)，∴或，解得m=0，當(dāng)時(shí)，與只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，舍去，∴．③根據(jù)題意得：二次函數(shù)的“孔像拋物線”為，∴設(shè)符合條件的拋物線M的解析式為，∴，整理得：，∵拋物線M與有唯一交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，無(wú)論取任何值，都會(huì)存在對(duì)應(yīng)的m使得，此時(shí)方程無(wú)解或有無(wú)數(shù)解，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，即，整理得：，∵當(dāng)m取何值時(shí)，兩拋物線都有唯一的交點(diǎn)，∴當(dāng)m取任意實(shí)數(shù)時(shí)，上述等式成立，∴，解得：，∴該函數(shù)解析式為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．二次函數(shù)的圖象交軸于原點(diǎn)及點(diǎn)．感知特例（1）當(dāng)時(shí)，如圖1，拋物線上的點(diǎn)，，，，分別關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，，，，，如下表：…（___，___）………①補(bǔ)全表格；②在圖1中描出表中對(duì)稱(chēng)后的點(diǎn)，再用平滑的曲線依次連接各點(diǎn)，得到的圖象記為．形成概念我們發(fā)現(xiàn)形如（1）中的圖象上的點(diǎn)和拋物線上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，則稱(chēng)是的“孔像拋物線”．例如，當(dāng)時(shí)，圖2中的拋物線是拋物線的“孔像拋物線”．探究問(wèn)題（2）①當(dāng)時(shí)，若拋物線與它的“孔像拋物線”的函數(shù)值都隨著的增大而減小，則的取值范圍為_(kāi)______；②在同一平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)取不同值時(shí)，通過(guò)畫(huà)圖發(fā)現(xiàn)存在一條拋物線與二次函數(shù)的所有“孔像拋物線”，都有唯一交點(diǎn)，這條拋物線的解析式可能是______．（填“”或“”或“”或“”，其中）；③若二次函數(shù)及它的“孔像拋物線”與直線有且只有三個(gè)交點(diǎn)，求的值．【答案】（1）①2，0；②見(jiàn)解析；（2）①；②；③m=1．【分析】（1）①根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)的定義求解即可；②根據(jù)表格，描點(diǎn)，連線即可；（2）①畫(huà)出草圖，利用數(shù)形結(jié)合思想即可求解；②結(jié)合（1）②的圖象以及（2）①的圖象即可回答；③根據(jù)“孔像拋物線”的性質(zhì)求得圖象L的頂點(diǎn)為，則圖象L′的頂點(diǎn)為(3m，)，再根據(jù)題意即可求解．【詳解】（1）∵點(diǎn)B(-1，3)與點(diǎn)B′(5，-3)關(guān)于點(diǎn)A中心對(duì)稱(chēng)，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，)，即A(2，0)，故答案為：2，0；②描點(diǎn)，連線，得到的圖象如圖所示：（2）①當(dāng)m=?1時(shí)，拋物線L為，對(duì)稱(chēng)軸為，它的“孔像拋物線”L′的解析式為，對(duì)稱(chēng)軸為，畫(huà)出草圖如圖所示：∴拋物線L與它的“孔像拋物線”L′的函數(shù)值都隨著x的增大而減小，則x的取值范圍為：；②畫(huà)出草圖，由圖象知，這條拋物線的解析式只能是；故答案為：；③L：，設(shè)頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥軸于點(diǎn)M，“孔像拋物線”的頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作⊥x軸于點(diǎn)，由題意可知△PMA≌△A，得(3m，0)，所以(3m，)，∵拋物線L及“孔像拋物線”與直線y=m有且只有三個(gè)交點(diǎn)，∴=m或=m，解得m=1或0，當(dāng)m=0時(shí)，與只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，舍去，∴m=1．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【類(lèi)型六新定義型二次函數(shù)——伴隨拋物線】例題：定義：如圖，若兩條拋物線關(guān)于直線成軸對(duì)稱(chēng)，當(dāng)時(shí)，取頂點(diǎn)左側(cè)的拋物線的部分；當(dāng)時(shí)，取頂點(diǎn)在右側(cè)的拋物線的部分，則我們將像這樣的兩條拋物線稱(chēng)為關(guān)于直線的一對(duì)伴隨拋物線．例如：拋物線與拋物線就是關(guān)于直線軸的一對(duì)伴隨拋物線．(1)求拋物線關(guān)于直線的“伴隨拋物線”所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式．(2)設(shè)拋物線交軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．①求直線平行于軸時(shí)的的值．②求是直角時(shí)拋物線關(guān)于直線的“伴隨拋物線”的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)．③已知點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，直接寫(xiě)出拋物線及其關(guān)于直線的“伴隨拋物線”與矩形不同的邊有四個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的取值范圍．【答案】(1)(2)①；②或；③或且或．【分析】（1）先求出“伴隨拋物線”的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解；（2）①先求出點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)，代入解析式可求的值；②根據(jù)是直角確定點(diǎn)在軸上，進(jìn)而得點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線的解析式便可求得的值即原拋物線的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得伴隨拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；③當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，拋物線及其關(guān)于直線的“伴隨拋物線”與矩形不同的邊有四個(gè)公共點(diǎn)，求出此時(shí)的取值范圍便可．【詳解】（1）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為“伴隨拋物線”所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式為：；（2）①拋物線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)，直線平行于軸，拋物線交直線于點(diǎn)．點(diǎn)，，（舍去），，；②如圖1和圖2，，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)是，把代入中，得，解得，或，的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為：，即拋物線的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為或，則拋物線關(guān)于直線的“伴隨拋物線”的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為：，或，“伴隨拋物線”的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為或；③如圖3和圖4，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，，拋物線及其關(guān)于直線的“伴隨拋物線”與矩形不同的邊有四個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)在軸下方，設(shè)，則，把代入中，得，，由二次函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，若，則；當(dāng)時(shí)，若，則．又，且，故或且．當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，，解得，此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)小于0，不符合題意，當(dāng)點(diǎn)在的上方，拋物線的頂點(diǎn)在與之間時(shí)，符合題意，則有，解得，，綜上所述，滿(mǎn)足條件的的值為或且或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，涉及了拋物線的解析式、拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)以及新定義的問(wèn)題，著重理解互稱(chēng)為“伴隨拋物線”拋物線這個(gè)新定義，本題（2）問(wèn)的關(guān)鍵是運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合和分類(lèi)思想解決問(wèn)題．【類(lèi)型七新定義型二次函數(shù)——美麗拋物線】例題：已知如圖，拋物線的頂點(diǎn)為A，對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)C，當(dāng)以線段為對(duì)角線的正方形的另兩頂點(diǎn)B、D恰好在拋物線上時(shí)，我們把拋物線稱(chēng)為美麗拋物線，正方形為它的內(nèi)接正方形．（1）當(dāng)拋物線是美麗拋物線時(shí)，________；當(dāng)拋物是美麗拋物線時(shí)，________．（2）若拋物線是美麗拋物線，請(qǐng)直接寫(xiě)出的a，k數(shù)量關(guān)系．（3）若拋物線是美麗拋物線，（2）中a，k數(shù)量關(guān)系仍成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（4）已知系列美麗拋物線（n為正整數(shù)，）的頂點(diǎn)為均在直線上，且它們中恰有兩個(gè)美麗拋物線與（s，t為正整數(shù)，，）的內(nèi)接正方形的面積之比為1：4，試求的值．【答案】（1），；（2）；（3）成立，理由見(jiàn)解析；（4）或或【分析】（1）先求出拋物線得對(duì)稱(chēng)軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，得出AC的長(zhǎng)，由AC=BD，B，D關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)可得B，D的坐標(biāo)，將其中一點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式，即可求解；（2）同（1）的方法得B，D的坐標(biāo)，將其中一點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式，即可得出結(jié)論；（3）分，兩種情況，先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，代入拋物線解析式，即可得出結(jié)論；（4）由題意可得，美麗拋物線的內(nèi)接正方形的面積為，根據(jù)題意得出，從而得出，根據(jù)題中的范圍得出的值，再得出的值，然后由即可求解．【詳解】解：（1）∵拋物線中，令，則，∴對(duì)稱(chēng)軸是，頂點(diǎn)坐標(biāo)，∴對(duì)稱(chēng)軸與軸交于點(diǎn)C的坐標(biāo)是，∴AC=1，∵正方形中，AC，BD是對(duì)角線，∴AC=BD=1，又∵由題意得，B，D關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，∴，或，，∴將代入拋物線中，得，解得：；∵拋物線中，令，則，∴對(duì)稱(chēng)軸是，頂點(diǎn)坐標(biāo)，∴對(duì)稱(chēng)軸與軸交于點(diǎn)C的坐標(biāo)是，∴AC=k，∵正方形中，AC，BD是對(duì)角線，∴AC=BD=k，又∵由題意得，B，D關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，∴，或，，∴將代入拋物線中，得，解得：（不合題意，舍去）；，∴；故答案為：，；（2），∵拋物線中，令，則，∴對(duì)稱(chēng)軸是，頂點(diǎn)坐標(biāo)，∴對(duì)稱(chēng)軸與軸交于點(diǎn)C的坐標(biāo)是，∴AC=k，∵正方形中，AC，BD是對(duì)角線，∴AC=BD=k，又∵由題意得，B，D關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，∴，或，，∴將代入拋物線中，得，解得：，（不合題意，舍去）；∴；（3）a，k數(shù)量關(guān)系仍成立．當(dāng)時(shí)，∵拋物線是美麗拋物線，正方形，又∵點(diǎn)A是拋物線的頂點(diǎn)，直線AC是對(duì)稱(chēng)軸，∴AC=BD=，，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為，∵點(diǎn)D在拋物線，∴，解得，∴；當(dāng)時(shí)，同理可得．∴若拋物線是美麗拋物線，a，k數(shù)量關(guān)系仍為；（4）由題意可得，美麗拋物線的內(nèi)接正方形的面積為，∵系列美麗拋物線（n為正整數(shù)，）的頂點(diǎn)為均在直線上，∴，∵美麗拋物線與的內(nèi)接正方形的面積之比為1：4，∴，∵，在直線上，∴，∵s，t為正整數(shù)，，，∴或或，∴或或，∵，∴或或，∴或或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題型，主要涉及拋物線的對(duì)稱(chēng)軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，正方形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握方程思想是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．定義：如果兩個(gè)二次函數(shù)的圖像的開(kāi)口大小相同，方向相反且頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)，則稱(chēng)其中一個(gè)二次函數(shù)為另一個(gè)二次函數(shù)的美麗函數(shù)．如與互為美麗函數(shù)．(1)求的美麗函數(shù)的表達(dá)式；(2)若的圖像的頂點(diǎn)為P，且經(jīng)過(guò)它的美麗函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)Q．①求證：這兩個(gè)函數(shù)的圖像的交點(diǎn)為P，Q；②點(diǎn)M是在P，Q之間的圖像的動(dòng)點(diǎn)，軸交的圖像于點(diǎn)N，求MN長(zhǎng)度的最大值．【答案】(1)(2)①見(jiàn)解析，②2【分析】（1）對(duì)一般式配方，，根據(jù)定義得解；（2）①，得，，于是；由的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q，求解得，于是，．驗(yàn)證經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得證結(jié)論；②設(shè)，則，得，由點(diǎn)M在P，Q之間，得，故時(shí)，最大值為2．【詳解】（1）解：，∴其美麗函數(shù)的表達(dá)式；即；（2）①，∴．∴．∴．∵的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q，∴，解得．∴，．對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)．∴兩個(gè)函數(shù)的圖像的交點(diǎn)為P，Q．②由①，，，，．設(shè)，∵軸交的圖像于點(diǎn)N，∴．∴∵點(diǎn)M在P，Q之間，∴．∴當(dāng)時(shí)，值最大，最大值為2．

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)；熟練運(yùn)用解析式確定點(diǎn)坐標(biāo)，通過(guò)點(diǎn)坐標(biāo)確定線段長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．【類(lèi)型八新定義型二次函數(shù)——系列平移拋物線】例題：【特例感知】（1）如圖1，對(duì)于拋物線，，，下列結(jié)論正確的序號(hào)是_______；①拋物線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)；②拋物線的對(duì)稱(chēng)軸由拋物線的對(duì)稱(chēng)軸依次向左平移個(gè)單位得到；③拋物線與直線的交點(diǎn)中，相鄰兩點(diǎn)之間的距離相等．【形成概念】（2）把滿(mǎn)足（為正整數(shù)）的拋物線稱(chēng)為“系列平移拋物線”．【知識(shí)應(yīng)用】在（2）中，如圖2．①“系列平移拋物線”的頂點(diǎn)依次為，用含的代數(shù)式表示頂點(diǎn)的坐標(biāo)，并寫(xiě)出該頂點(diǎn)縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)之間的關(guān)系式；②“系列平移拋物線”存在“系列整數(shù)點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）”：，其橫坐標(biāo)分別為（為正整數(shù)），判斷相鄰兩點(diǎn)之間的距離是否都相等，若相等，直接寫(xiě)出相鄰兩點(diǎn)之間的距離；若不相等，說(shuō)明理由．③在②中，直線分別交“系列平移拋物線”于點(diǎn)連接，判斷是否平行？并說(shuō)明理由．【答案】（1）①②③；（2）①，，②相鄰兩點(diǎn)之間的距離都相等，理由見(jiàn)解析；③與不平行,理由見(jiàn)解析【分析】（1）①當(dāng)時(shí)，分別代入拋物線，，，即可得；②，的對(duì)稱(chēng)軸分別為，，的對(duì)稱(chēng)軸，③當(dāng)時(shí)，則，可得或；，可得或；，可得或；所以相鄰兩點(diǎn)之間的距離都是1，（2）①的頂點(diǎn)為，，可得；②橫坐標(biāo)分別為，，，，為正整數(shù)），當(dāng)時(shí)，，縱坐標(biāo)分別為，，，，，相鄰兩點(diǎn)間距離分別為；③由題可知，，，．比較，即可得出結(jié)論與不平行．.【詳解】解：解：（1）①當(dāng)時(shí)，分別代入拋物線，，，即可得；①正確；②，的對(duì)稱(chēng)軸分別為，，的對(duì)稱(chēng)軸，由向左移動(dòng)得到，再向左移動(dòng)得到，②正確；③當(dāng)時(shí)，則，或；，或；，或；相鄰兩點(diǎn)之間的距離都是1，③正確；故答案為①②③；（2）①的頂點(diǎn)為，，令，，；②相鄰兩點(diǎn)之間的距離都相等．理由：根據(jù)題意得：，．∴兩點(diǎn)之間的鉛直高度．兩點(diǎn)之間的水平距離．∴由勾股定理得．∴．③與不平行．理由：根據(jù)題意得：，，，．過(guò)分別作直線的垂線，垂足為，，所以，．在中，．在中，．∵，∴．∴，∴與不平行．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)；能夠結(jié)合題意，分別求出拋物線與定直線的交點(diǎn)，拋物線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)求出相應(yīng)的縱坐標(biāo)，結(jié)合勾股定理，直線的解析式進(jìn)行綜合求解是關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．在平面直角坐標(biāo)系中，有系列拋物線（n為正整數(shù)）．系列拋物線的頂點(diǎn)分別為，，，…，．(1)下列結(jié)論正確的序號(hào)是______．①系列拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線；②系列拋物線有公共交點(diǎn)和；③系列拋物線都是由拋物線平移所得；④任意兩條相鄰拋物線頂點(diǎn)的距離相等；(2)對(duì)于任意一條與x軸垂直的直線，與系列拋物線的交點(diǎn)分別為，，，…，．①當(dāng)時(shí)，______；②試判斷相鄰兩點(diǎn)之間的距離是否相等，若相等，直接寫(xiě)出相鄰兩點(diǎn)之間的距離；若不相等，說(shuō)明理由；③以為邊作正方形，若正方形的另二個(gè)點(diǎn)落在對(duì)稱(chēng)軸上，求a的值．【答案】(1)①②④(2)①-1；②相鄰兩點(diǎn)之間的距離相等，距離為NnNn-1=；③a的值為或．【分析】（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法，以及平移的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)題意求得NnNn-1=yn-1-yn=；①令a=0，代入求解即可；②相等距離就是；③分兩種情況討論，列出一元二次方程，求解即可．(1)解：系列拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線，故①正確；yn=，令，解得x1=-4，x2=1，∴系列拋物線有公共交點(diǎn)為（-4，1），（1，1），故②正確；∵系列拋物線二次項(xiàng)的系數(shù)為，與拋物線的系數(shù)不同，∴系列拋物線不是由拋物線平移所