【學(xué)霸滿分】2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊重難點專題提優(yōu)訓(xùn)練（北師大版）專題16 類比歸納專題：切線證明的常用方法之二大類型（解析版）

專題16類比歸納專題：切線證明的常用方法之二大類型【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一有切點，連半徑，證垂直】 1【類型二無切點，作垂直，證半徑】 16【典型例題】【類型一有切點，連半徑，證垂直】例題：（2023上·云南昭通·九年級?？计谥校┤鐖D，是的直徑，是的切線，連接，過作交于點，連接并延長，交延長線于．(1)求證：是的切線；(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查圓切線的判定與性質(zhì)（1）連接，利用求證即可求證即得證；（2）通過勾股定理,再通過勾股定理即可求出的長．【詳解】（1）解：證明：如圖，連接OD∵∴，∵∴∴在與中∴(SAS)∴∵AC是切線．∴∴∵點D在上，OD為半徑，且∴CE是的切線（2）解：∵CE是的切線∴設(shè)半徑為，在Rt中，，由勾股定理得：∵，∴解得：∵∴設(shè)，在Rt中，，由勾股定理得：∴解得：∴CD的長為6【變式訓(xùn)練】1．（2023上·湖北武漢·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，等腰中，以為直徑的與、的延長線分別交于點、，垂直于．(1)求證：為的切線；(2)若，，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，首先得到是等腰三角形，然后結(jié)合，證明，進而得到，即可證明出是的切線；（2）連接，首先根據(jù)勾股定理求出，然后證明出，得到，代入求出，然后證明出，得到，求出，然后利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：如圖所示，連接，∵，∴是等腰三角形，，∵，∴，∴，∴，而，∴，∵是的半徑，∴是的切線；（2）∵為的直徑，∴，，∴，如圖所示，連接，∵，，，∴，∵∴∵，∴∴∵∴∴，即解得，∵為的直徑，∴，∵，∴，∴∵∴∴∴．【點睛】此題考查了切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線的性質(zhì)和判定，等腰三角形三線合一性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點．2．（2023·廣東佛山·?？家荒＃┤鐖D，已知中，，以為直徑的圓交于，交于．(1)若，求證：為的切線．(2)若為的切線，，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）如圖：連接、，根據(jù)圓周角定理可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，然后運用三角形的中位線的性質(zhì)可得，進而得到即可證明結(jié)論；（2）如圖：連接，由圓周角定理可得，再解直角三角形可得，運用勾股定理可得;再運用等腰三角形的性質(zhì)可得、，進而得到，任何根據(jù)切線的性質(zhì)可得，即；最后根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)即可解答．【詳解】（1）解：如圖：連接，，∵為圓直徑，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴為的切線．（2）解：如圖：連接，∵為的直徑，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，∵為的切線，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了切線的證明、切線的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)等知識點，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．3．（2023上·湖北荊門·九年級?？计谥校┤鐖D，在中，，點O在上，以為半徑的半圓O交于點D，交于點E，點F在上，且．(1)求證：是半圓O的切線；(2)若，，，求半圓O的半徑長．【答案】(1)見解析(2)半圓O的半徑長為【分析】本題考查了切線的判定“經(jīng)過半徑外端且垂直于半徑的直線是圓的切線”和勾股定理“直角三角形兩直角邊平方和等于斜邊平方”，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）連接，易得，根據(jù)，得出，則，即可求證；（2）連接，易得，設(shè)半圓O的半徑長為r，則，在中，根據(jù)勾股定理可得：，在中，根據(jù)勾股定理可得：，則，求解即可．【詳解】（1）解：連接，如圖，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴是半圓O的切線；（2）解：連接，∵，，∴，設(shè)半圓O的半徑長為r，∵，∴，在中，根據(jù)勾股定理可得：，在中，根據(jù)勾股定理可得：，∴，解得：，即半圓O的半徑長為．4．（2023上·廣東深圳·九年級校考階段練習(xí)）如圖，中，以為直徑的交于點E，平分，過點E作于點D，延長交的延長線于點P．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】（1）連接，證明，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)先求出半徑和的長，然后證明，，進而根據(jù)線段的和差即可解決問題．【詳解】（1）（1）證明：如圖，連接，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵是的半徑，∴是的切線；（2）解：∵，，，∴，∴，∴，∴，在中，，∴，∵為的直徑，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴的長為．【點睛】本題考查切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造基本圖形解決問題．5．（2023上·廣東中山·九年級?？计谥校┤鐖D，在中，，的平分線交于點，過點作的垂線交于點，是的外接圓．

(1)求證：是的切線；(2)過點作，垂足為，求證：；(3)若，，求長．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、切線的判定、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識：（1）連接，由于的平分線交于點，則有；而，就有，等量代換有，可得；又，所以，即可得到結(jié)論；（2）連接．證明，再由全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得出；（3）由（2）中．又，根據(jù)勾股定理求出的長，證明，則，代入數(shù)值計算即可得到答案；【詳解】（1）證明：如圖，連接．

∵的平分線交于點，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴是的切線；（2）如圖，連接．

∵，∴．∵，∴．在與中，，∴，∴．（3）由（2）得．又∴，在中，，

∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴．6．（2023上·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期中）如圖，是的直徑，，與相交于點E，D是的中點，直線與直線相交于點F．

(1)求證：是的切線．(2)已知，當(dāng)長度變化時，的長也隨之變化．①當(dāng)時，②在整個變化過程中，的長是否存在最大值？判斷并說明理由．【答案】(1)見解析(2)①或；②不存在最大值，理由見解析【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)可得，可得，由余角的性質(zhì)可求，可得結(jié)論；（2）①通過證明，可得，通過證明，可得即可求解；②利用①中結(jié)論得出和的關(guān)系，可判斷的長度的變化．【詳解】（1）證明：連接，．

∵是的直徑，∴．∴．∵D是的中點，∴．∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．又點E在上，∴是的切線．（2）①∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，如圖1，∵，，∴，，∴，即；如圖2，

∵，，∴，，∴，即；②AF不存在最大值，理由如下：如圖1，設(shè)，，∴，∴，整理得，，當(dāng)x無限接近4時，y的值無限大，即當(dāng)和接近平行時，此時無限大．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．【類型二無切點，作垂直，證半徑】例題：（2022春·廣東廣州·九年級廣州市第八十九中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，在中，，是的角平分線，以為圓心，為半徑作，求證：是的切線．

【答案】證明過程見解析；【分析】題目并沒有說明直線與有沒有交點，所以過點作于點，然后證明即可．【詳解】證明：如圖：過點作于點，

是的角平分線，，，，是的切線．【點睛】本題考查圓的切線的判定知識．結(jié)合角平分線的性質(zhì)，正確構(gòu)造輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·福建南平·九年級統(tǒng)考期中）如圖，以矩形的邊為直徑作半圓，圓心為點O，點E在邊上，平分．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長.【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了切線的判定、矩形的性質(zhì)、勾股定理、角平分線的性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì)：熟練掌握相關(guān)判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）過點O作，垂足為M，根據(jù)矩形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)即可求證結(jié)論；（2）設(shè)，利用矩形的性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì)可得，，再利用勾股定理即可求解；【詳解】（1）證明：過點O作，垂足為M，如圖：

在矩形中，，，平分，，，即是的半徑，是的切線．（2）設(shè)，在矩形中，，，，，，在和中，，，在和中，，，，在中，，得，解得：，．2．（2023上·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期中）如圖，是的角平分線，點O是上一點，與相切于點M，與交于點E、F．

(1)求證：是的切線；(2)連接，若，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】此題主要考查了切線的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，靈活運用三角形的內(nèi)角和定理進行運算是解決問題的關(guān)鍵；（1）連接，過點作于，先根據(jù)切線的性質(zhì)得，再由角平分線的性質(zhì)得，進而根據(jù)切線的判定可得出結(jié)論；（2）由得，根據(jù)角平分線的定義得，再由得，然后根據(jù)求出，進而可得的度數(shù)．【詳解】（1）連接，過O作于N．

∵與相切于M，∴．∵是的角平分線，，，∴半徑．∴是的切線．（2）∵，∴．∵是的角平分線，∴，∴，∵，∴．∵，∴，，∴，∴．3．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）如圖，是等腰直角三角形，，點O為的中點，連接交于點E，與相切于點D．(1)求證：是的切線；(2)延長交于點G，連接交于點F，若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，過點O作于點P，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，推出，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出，的長，勾股定理求出，連接，過O作于點H，利用面積法求出，勾股定理求出，即可根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出的長．【詳解】（1）證明：連接，過點O作于點P，∵與相切于點D．∴，∵是等腰直角三角形，，點O為的中點，∴，∴，即是的半徑，∴是的切線；（2）解：∵，，，∴，，∵點O為的中點，∴，∵∴，在中，連接，過O作于點H，∴，∴∵，∴．

【點睛】此題考查了判定直線是圓的切線，切線的性質(zhì)定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確掌握各知識點是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·九年級單元測試）如圖，是的直徑，，分別切于點，，交，于點，，平分．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）過點作于點，根據(jù)切線的性質(zhì)由切于點可得，再根據(jù)角平分線定理得到，然后根據(jù)切線的判定定理得到是的切線；（2）過作于，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，則得到四邊形為矩形，得到，所以，再利用切線長定理得，，所以，在中，利用勾股定理計算出，則，所以，然后中，利用勾股定理可計算出．【詳解】（1）證明：如圖，過點作于點，，切于點，，平分，，為的半徑，是的半徑，是的切線；（2）解：如圖，過作于，，是的直徑，，分別切于點，，，，四邊形為矩形，，，，，為的切線，，，在中，，，，在中，．【點睛】本題主要考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，也考查了切線的性質(zhì)、切線長定理、勾股定理．5．（2023春·湖南長沙·九年級長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，點為正方形對角線上一點，以為圓心，的長為半徑的與相切于點．(1)求證：與相切；(2)若的半徑為，求正方形的邊長．【答案】(1)答案見