六屆團(tuán)支書聯(lián)席會復(fù)習(xí)寶典級線代課件佚名

一、歐氏空間的定義

§4.5歐氏空間二、歐氏空間中向量的長度三、歐氏空間中向量的夾角四、n維歐氏空間中內(nèi)積的矩陣表示五、歐氏子空間問題的引入：性質(zhì)(如長度、夾角)等在一般線性空間中沒有涉及.其具體模型為幾何空間、1、線性空間中，向量之間的基本運(yùn)算為線性運(yùn)算，但幾何空間的度量長度：都可以通過內(nèi)積反映出來：夾角

：2、在解析幾何中，向量的長度，夾角等度量性質(zhì)3、幾何空間中向量的內(nèi)積具有比較明顯的代數(shù)性質(zhì).滿足性質(zhì)：當(dāng)且僅當(dāng)時一、歐氏空間的定義1.定義設(shè)V是實(shí)數(shù)域R上的線性空間，對V中任意兩個向量、定義一個二元實(shí)函數(shù)，記作，若（對稱性）（數(shù)乘）（可加性）（正定性）①V為實(shí)數(shù)域R上的線性空間;②V除向量的線性運(yùn)算外，還有“內(nèi)積”運(yùn)算;③

歐氏空間V是特殊的線性空間則稱為和的內(nèi)積，并稱這種定義了內(nèi)積的實(shí)數(shù)域R上的線性空間V為歐氏空間.注：例1．在中，對于向量

當(dāng)時，1）即為幾何空間中內(nèi)積在直角坐標(biāo)系下的表達(dá)式.即這樣對于內(nèi)積就成為一個歐氏空間.易證滿足定義中的性質(zhì)～.1）定義

（1）

所以,該定義為內(nèi)積.2）定義

從而對于內(nèi)積也構(gòu)成一個歐氏空間.由于對未必有注意：所以1），2）是兩種不同的內(nèi)積.從而對于這兩種內(nèi)積就構(gòu)成了不同的歐氏空間.易證滿足定義中的性質(zhì)～.所以也為內(nèi)積.例2．為閉區(qū)間上的所有實(shí)連續(xù)函數(shù)所成線性空間，對于函數(shù)，定義（2）

則對于（2）作成一個歐氏空間.證：

且若則從而故因此，為內(nèi)積，為歐氏空間.推廣：

2.內(nèi)積的簡單性質(zhì)V為歐氏空間，2)歐氏空間V中，使得有意義.二、歐氏空間中向量的長度1.引入長度概念的可能性1）在向量的長度（模）

2.向量長度的定義稱為向量的長度.特別地，當(dāng)時，稱為單位向量.

3.向量長度的簡單性質(zhì)3）非零向量的單位化：

1）在中向量與的夾角

2）在一般歐氏空間中推廣（4）的形式，首先三、歐氏空間中向量的夾角1.引入夾角概念的可能性與困難應(yīng)證明不等式：

此即,（4）

對歐氏空間V中任意兩個向量，有（5）2.柯西－施瓦茨不等式當(dāng)且僅當(dāng)線性相關(guān)時等號成立.證：當(dāng)時，結(jié)論成立.當(dāng)時，作向量由內(nèi)積的正定性，對，皆有（6）取代入（6）式，得即兩邊開方，即得當(dāng)線性相關(guān)時，不妨設(shè)于是，(5)式等號成立.反之，若（5）式等號成立，由以上證明過程知或者，或者也即線性相關(guān).（7）

證：

兩邊開方，即得（7）成立.對歐氏空間中的任意兩個向量有推論三角不等式設(shè)V為歐氏空間，為V中任意兩非零向量，的夾角定義為4.歐氏空間中兩非零向量的夾角定義1：①零向量與任意向量正交.注：②即.設(shè)為歐氏空間中兩個向量，若內(nèi)積

則稱與正交或互相垂直，記作

定義2：例3、已知在通常的內(nèi)積定義下，求解：