廣東省茂名市2023-2024學(xué)年高二年級下冊教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

廣東省茂名市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試

卷

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合/=卜昌<05={x|x>o},則4r|5=()

A.（0,1）B.(0,4)C.(-1,0)D.(-4,0)

2.復(fù)數(shù)2=白（z?為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于

1-1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.函數(shù)/（x）=xl中|的圖象大致為（

=4x交于48兩點，則|明=（）

A.75B.5C.36D.475

5.已知一個等差數(shù)列的項數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項的和為264,所有偶數(shù)項的和為253,

則此數(shù)列的項數(shù)是（）

A.43B.45C.47D.49

6.已知函數(shù)〃x)=K，則不等式的解集為()

A.(-8,0)B.Ip+o°I

試卷第1頁，共4頁

D.(-<?,O)uf|-,+<x>

c.°4

7.函數(shù)/(x)=2sin(0x+p),(^>0,0<°<g)滿足/⑼=1,且>=/(x)在區(qū)間-々,0

上有且僅有3個零點，則實數(shù)。的取值范圍為()

1319

A.(5,7)D.[4,8)

B.5C.T'T

8.如圖，棱長為2的正方體288-441〃中,BP=ABBt,皿=〃南，A,〃e(0』),

則下列說法不正確的是()

A.2=必時，gC]//平面2尸。

B.2時，四面體工產(chǎn)?？诘捏w積為定值

C.〃=；時，32e(O,l),使得4。，平面0尸/

413

D.若三棱錐P-C&)的外接球表面積為:萬，則4=:

44

二、多選題

9.已知向量入石不共線且￡%=0,則下列結(jié)論一定正確的是()

A.a=6或1=。B.aLb

c.|5+S|=|a-Z；|D.a，.在￡+B上的投影向量相等

10.擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記向上的點數(shù)分別為加，"，記事件/="加+〃＞9”,

B="rm為偶數(shù)”,C="〃?+〃為奇數(shù)"，則＜)

A.〃(/)=:B.p(/忸)=：C.p(/|C)=gD.B與C互斥

11.已知函數(shù)了卜卜三--^^-為工+方，其中實數(shù)a,beR,且。＞0,貝!]()

A.當(dāng)。=1時，/(x)沒有極值點

B.當(dāng)/(x)有且僅有3個零點時，

試卷第2頁，共4頁

C.當(dāng)6=§〃時，/(X+1)為奇函數(shù)

D.當(dāng)心《〔三+瓦+②]時，過點2(0,m)作曲線/(X)的切線有且只有1條

三、填空題

12.已知圓錐的底面直徑為2拒，母線長為2,則此圓錐的體積是.

71

13.已知數(shù)列仇7｝是首項為:，公比為;的等比數(shù)列，且為+&+%+…+*<100,則"

的最大值為.

22

14.已知雙曲線E：斗-2=1(。>0，6>0)的左、右焦點分別為片，%過點月的直

ab

——3——

線與y軸交于點8,與E交于點A,且點片在以為直徑的圓上，則￡的

漸近線方程為.

四、解答題

15.如圖，正三棱柱/BC-44cl中，。為BC邊的中點.

B

(1)證明：48//平面/。6；

⑵若/8=2'三棱錐CTOG的體積為求二面角的余弦值.

16.已知函數(shù)/(x)=(x+a)ln尤+1,aeR.

⑴若/'(x)在點(1,1)處的切線的斜率為1,求“X)的極值;

(2)若4=1,證明:當(dāng)0<x<l時，/(x)<x.

17.銳角V48C中，角A,B,C的對邊分別為。，b,c,且樨=2csin]/+1

⑴求角C的大??；

試卷第3頁，共4頁

11

⑵若缶=3c,求----------1----------的值.

tanAtanB

18.已知橢圓E：二+4=1（。>6>0）的一個頂點為離心率為".

ab2

（1）求E的方程;

⑵設(shè)直線（"eR且〃N-1）與E交于不同的兩點8,C,若直線5M與E交

于另一點。，則直線是否過定點？若過定點，求出定點坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由.

19.某同學(xué)參加趣味答題比賽，規(guī)則如下：第1次答題時，若答對則得2分，否則得1分;

從第2次答題開始，若答對則獲得上一次答題得分的2倍，否則得1分，該同學(xué)每次答對的

概率都為答錯的概率都為I,且每次答對與否相互獨立.記第〃次答題得分為X”

⑴求。（入3=4）；

（2）求（”22）的分布列和期望；

（3）在游戲開始前，該同學(xué)有兩個選擇，①從第2次開始，若第〃次得分剛好為〃時，則該同

學(xué)獲得勝利，游戲結(jié)束.②從第1次開始，若第”次得分剛好為2〃時，則該同學(xué)獲得勝利，

游戲結(jié)束.已知共有4次答題環(huán)節(jié)，求該同學(xué)選擇哪個方案獲得勝利的概率更大.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案BBABCDCCBCAC

題號11

答案BCD

1.B

【分析】求出集合A,根據(jù)集合的交集運算進行求解.

【詳解】由題可得/=卜|三<o}={x|-l<x<4},則4口8=(0,4),

故選：B

2.B

【詳解】,對應(yīng)點為(-：，3,位于第二象限，選B.

1-z22222

3.A

【分析】先判斷函數(shù)奇偶性得函數(shù)為奇函數(shù)，故排除C,D,在根據(jù)0<x<l時，/(x)<0排

除B,進而得答案.

【詳解】因為/(-x)=-xlnr|=-xln|x|=-/(x),

所以/'⑺是奇函數(shù)，排除C,D.

當(dāng)0<x<l時，In|x|<0,/(x)<0,排除B.

故選：A.

【點睛】思路點睛：函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手：

(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置.

(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；

(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；

(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象.

4.B

【分析】證明直線過焦點，再利用焦半徑公式和韋達定理即可得到答案.

【詳解】將2x+y-2=0與拋物線C：/=4無聯(lián)立得X2-3X+1=0,

設(shè)工(巧,力),2(/,%),

答案第1頁，共14頁

顯然拋物線焦點坐標(biāo)為(1,0),令X=l,即2+y-2=0,貝!|歹=0,則直線過焦點,

貝U@=芯+/+P=3+2=5.

故選：B.

5.C

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)與其前〃項和的性質(zhì)求解即可.

【詳解】設(shè)該等差數(shù)列中有2〃+l,(〃之l,〃￡N*)項，其中偶數(shù)項有〃項，奇數(shù)項有〃+1項,

“1+。2〃+1x(〃+1)

設(shè)等差數(shù)列｛冊｝的前n項和為S“，則變=—???+?“2

3偶02+“4+06+…+出xn

(.S4〃+1264

；｛。"｝為等差數(shù)列，，4+。2"+1=出+。20，；?]=---=忘，解得”=23,

D偶〃J

，2〃+1=47,.,.此數(shù)列的項數(shù)是47項.

故選：C.

6.D

【分析】證明函數(shù)的奇偶性，再分析出其單調(diào)性，從而得到|2工-1]>|尤-1],解出即可.

12]一(—]丫1_丫2

【詳解】由/(對=上二可得-6R且〃-x)=，=：，則/(x)為偶函數(shù)，

1+X1+01+工

—(1+國+2

小)=

F41+x2ij

因為歹=/+1在(_叫0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，則〉=/+1>0恒成立,

則/(%)在(0,y)單調(diào)遞減，在(f,0)單調(diào)遞增，

2

v/(2x-1)</(x-1),/.|2x-11>|x-11,解得工<0或x>:.

故選：D.

7.C

【分析】代入/'(0)=1解出夕=2,再利用整體法得到-?+2e(-3兀,-2可，解出即可.

636

IT7T

【詳解】/(0)=2sin^=1,0<^<—(P=—,

26

(ITAjrTT7T〃)7TTT

.-./W=2sinax+-\,因為xe--,0,?>0,貝1］。》+二€

V6J36366

答案第2頁，共14頁

7T

因為y=f（%）在區(qū)間-§,0上有且僅有3個零點，且歹=5由、在零點0之前的三個零點依

次為_3兀,一2兀,一兀,

Tico兀/cc「&力/口「1319、

貝！J一~^-十:￡（一3兀，一2兀］,觸得?！辍?

36［_21）

故選：C.

8.C

【分析】利用線面平行的判定推理判斷A；由線面平行確定點。到平面22P的距離是定值

判斷B；由空間向量數(shù)量積的運算律計算判斷C；求出外接球半徑計算判斷D.

【詳解】對于A,當(dāng)幾=〃時，所=通-麗=2（網(wǎng)-甌）=2瓦干］,即尸。/ABG，

而尸Qu平面。/。，46^平面。/。，因此gC"/平面。尸。，A正確；

對于B,正方體NBCD-44G〃中，當(dāng)2=g時，尸面積是定值，

又BCJ/AD、,N2u平面4D1尸，平面401尸，則8G〃平面/。尸，

于是點。到平面/口尸的距離是定值，因此四面體/P0A的體積為定值，B正確；

對于C,當(dāng)〃=；時，A^Q=BQ-BAi=^BCl-（BA+BBi）=-BA-^BBi+^BC,

^\AP=BP-BA=^BB-BA,則福.萬=（"-：函+；麗《麗一麗

1?2--->2

=+BA=4-22^0,因此4。不垂直于4P,不存在2e（0,l）,使得4。，平面

D.PA,C錯誤；

對于D,顯然平面/BCD,則三棱錐與以線段B48C,AP為棱的長方體有相

同的外接球，

令球半徑為R,則2R=衣+22+（2㈤2=2正+2,

417r3

球的表面積5=4或2=4/+2）兀=——,解得力=—,D正確.

44

故選：C

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接問題時，關(guān)鍵是確定球心的位置，進而確

定球半徑求解.

9.BC

【分析】根據(jù)向量垂直的向量表示即可判斷AB；根據(jù)向量加減法的幾何意義或者根據(jù)向量

答案第3頁，共14頁

數(shù)量積的運算律即可判斷C；舉出反例即可判斷D.

【詳解】對AB,石=O,，Z_L幾A選項錯誤；B選項正確;

對C,由向量加法和減法的幾何意義，|￡+H,|2-3是矩形的兩條對角線長度是相等的，選

項C正確；

或者由。％=0,則/2abb=a-lab片，

則,+弓=,一可，則標(biāo)可=標(biāo)可，則歸+同十一可，故C正確;

對D,根據(jù)矩形性質(zhì)知￡,5在2+刃上在￡+5上的投影向量的模不一定相等,

如圖所不：OA=a,OB=b,OC=a+b>且a_Lb，

Z，3在￡+1上的投影向量分別為歷，礪，故D選項錯誤.

故選：BC.

10.AC

【分析】列出所有滿足題意的情況，根據(jù)古典概型公式即可判斷A；求出事件5,AB,AC

的情況，再利用條件概率公式即可判斷BC；再根據(jù)互斥事件的判定方法即可判斷D.

【詳解】擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次的可能結(jié)果共有36種.

對A,事件/="小+">9”的可能結(jié)果有6種，

即/=｛（4,6）,（5,5）,（5,6）,（6,4）,（6,5）,（6,6）｝,."⑷=卷=:，選項A正確；

對B,事件3="mn為偶數(shù)”的可能結(jié)果有C；?煤+C；C=27種，

事件48="加〃為偶數(shù)且加+">9”的可能結(jié)果有5種，

.?〃（4|8）=以黑=福，選項B錯誤；

對C,事件C="M+〃為奇數(shù)”的可能結(jié)果有=18種，

P(AC}21

事件AC=-m+n為奇數(shù)且m+n>9”的可能結(jié)果有2種.p{A\C)=選項

r(C)1oy

答案第4頁，共14頁

C正確；

對D,樣本點為⑶4)時，說明B與C不互斥，選項D不正確.

故選：AC.

11.BCD

【分析】對A,直接代入求導(dǎo)即可得到其極值點；對B,求導(dǎo)得到/'(x)的單調(diào)性，再根據(jù)

其零點個數(shù)得到不等式組，解出即可；對C,代入方=?〃，化簡/(x+1)即可；對D,設(shè)切

點，求出切線方程，代入/(0,加)，再轉(zhuǎn)化得轉(zhuǎn)化為直線y=二及與g(x。)的交

a3a

點個數(shù)問題.

【詳解】對A,當(dāng)。=1時，fM=^x3-x2-3x+b,

貝2x—3=(x—3)(%+1),當(dāng)一l<x<3時，/'(x)<0,

當(dāng)了<-1或X<3時，f\x)>0,

所以x=—l,x=3分別是函數(shù)/(x)的極大值點和極小值點，選項A錯誤;

對B,當(dāng)/(%)=_〃工2_3qx+b時，/<X)=Q(X+1)(X—3),

當(dāng)一1cx<3,fXx)<0,當(dāng)x<—l或x>3時，f\x)>0,

即/(%)在(-13)上單調(diào)遞減，在和(3,+8)上單調(diào)遞增.

—。+6〉0

當(dāng)〃尤)有且僅有3個零點時，/(-1)>0且/(3)<0得3

-9a+b<0

得故B正確；

又寸C,當(dāng)b―u日寸，/(x)=§d-cix^—3ax+u,

11a.

/(X+1)=y(x+l)3_Q(X+1)2—3a(x+l)H----a=—x3—,

33

a3.

設(shè)〃—4QX,定義域為R,且〃=一切(_')=一—x-Aax

3

所以/'(x+1)為奇函數(shù)，選項C正確;

對D,,?,/(0)=6<'|+，<加，，/(0,加)不在曲線/(無)上.

設(shè)過點/(0,⑼的曲線/(x)切線的切點為1%,'|呼-氏-3.+6),,/(0)=b,

過點”(0,⑼的曲線/(x)切線的方程為>一［三片-辦；-3ax0+b\=(ax；-2ax0-3a^(x-x0),

答案第5頁，共14頁

又點”(0,⑼在/(x)的切線上，有機-1三片一.q一350+方］=--2辦0-30年，

即x；_gx；=^—,設(shè)g(x())=x；_|"X；,g(X)=x2_gx3,g\x)=2x-2A2=2x(1-x),

當(dāng)x<0或x>l時，g'(x)<O,g(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)0<x<l時，g'(x)>O,g(x)單調(diào)遞增，

則g(x)極大值=g(D=|，g⑴極小值=g(0)=°，

+根據(jù)圖象知且0)與了=?只有一個交點，選項D正確.

故選；BCD.

\T尸喏

1

-

3

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題D選項的關(guān)鍵是設(shè)出切點坐標(biāo)，寫出切線方程，將/(0,刈代入

切線方程得焉-,最后轉(zhuǎn)化為直線y=生心與函數(shù)g(x)的交點個數(shù)問題.

3aa

2百

129.71

3

【分析】求出圓錐的高，再利用圓錐的體積公式即可求出答案.

【詳解】記圓錐的底面半徑為「，母線為/,高為d,

則d=J/2-/=j22-(應(yīng))2=后,:"=#7=除71,

故答案為：述「

3

13.99

【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列｛g｝的通項公式，再利用分組求和法及等比數(shù)列前〃項和

公式求和，然后借助數(shù)列單調(diào)性求解即得.

【詳解】依題意，31=沁尸,則%=2+1,

-(1-—)1

數(shù)列｛??｝的前n項和5“=~臺+"="+1--,顯然數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)列，

3

答案第6頁，共14頁

而Io。=100+1一5>100,59=99+1一:<100,

所以使得多+4+〃3+…+*<1。。成立的n的最大值為99.

故答案為：99

14J生

14.y=±-x

5

【分析】設(shè)M閶=2機，則忸閶=3機=忸周,|“周=2a+2m,利用勾股定理得到

4

a=m,則得到cos/片48=］，最后再利用余弦定理得到齊次方程即可.

【詳解】依題意，設(shè)以閶=2加,則忸閭=3%二忸周,以片|=2。+2-,

因為點片在以45為直徑的圓上，貝］/4巧5=90°,

在中，9次之+（2〃+2加了=25加之，貝lJ（〃+3加）（。一加）=0,

故〃=加或Q=-3加（舍去），所以M耳I=4〃，M閶=2見忸閭=忸周=3〃,

AF,4￡_4

貝”451=5。，故cos/片

AD5a5

16/+4〃2_4r24

所以在△4片8中，cos/￡盟=1"+的牝=3,

一2x4ax2a5

整理得5°2=9。2,則5（。2+62）=9〃2,貝心〃=4/,則5=

故E的漸近線方程為y=士亭工.

故答案為：?=±2亞x.

5

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是利用雙曲線的定義和勾股定理得到cos/片/月=，4，最

后再利用余弦定理得到齊次方程，

15.（1）證明見解析

答案第7頁，共14頁

⑵孚

【分析】(1)證明。￡〃4臺，利用線面平行的判定即可證明；

(2)利用等體積法求出CQ=2,再建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，利

用面面角的夾角公式即可.

【詳解】(1)連接4C,與NG交于點￡，連接DE，

分別為8cMe邊的中點，.?.DE//4B；

又DEu平面4DG,4臺0平面4DC、,:.AXBH平面ADQ.

(2)七棱錐c—ADG=匕棱錐G_zoc=§℃1.S/QC

_C￡V3_V3

------,———,..CU,—Zf

323

正三棱柱48C-48cl中，平面4BC,

又V/3C是正三角形，。是BC邊的中點，

又BCCBB\=B,且月u平面88℃，平面BBCC，

取的中點2，則。CD4,兩兩垂直，

故以。為原點，。4。民?？诜謩e為x,y,z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系;

則0(0,0,0),/(△,0,0),G(0,-1,2),C(0,-1,0),

DA=(V3,0,0),DCX=(0,-1,2),CQ=(0,0,2),CA=(A1,0),

記平面O/G,平面NC。的法向量分別為％=(xqi，Z|),〃2=(々，%/2)，

答案第8頁，共14頁

=0|2?2—0

-y1+2Z[=0=0[V3X2+y2=0

故可取4=l,x2=1,則%=(0,2,1),%=(l,-V3,0),

n-n_

/.COS々，〃2=x2

同同V5x25

又二面角LC所成的平面角是銳角，故其余弦值為"

16.(1)極小值為」■+1,無極大值

e

(2)證明見解析

【分析】(1)由/''(1)=1求出。，再由導(dǎo)數(shù)求出極值即可；

(2)令g(x)=/(x)-x,得g，(x)=lnx+j再構(gòu)造函數(shù)〃(x)=lnx+：,利用導(dǎo)數(shù)求出

〃(x)>〃(1)>0可得g卜)的單調(diào)性，結(jié)合g⑴在0<x<1上范圍情況可得答案.

【詳解】(1)/(x)=lnx+T(x>0),

若/(x)在點(14)處的切線的斜率為1,則/'(1)=1+。=1,解得0=0,

所以/(x)=xlnx+l,/'(x)=lnx+l(x>0),

令/■[x)=lnx+l=0,解得x=L

e

當(dāng)0<x<(時，尸⑸<0,所以/(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)時，f'Q)>0,所以/'(X)單調(diào)遞增，

答案第9頁，共14頁

所以/'(力在》=,有極小值，/|-|=-ln-+l=--+l,無極大值；

eyeJeee

(2)若a=l,則/(x)=(x+l)lnx+l,

令g(x)=/(x)-x，

所以g<x)=Inx+"I-1=Inx+—,

令〃(x)=g，(x)=lnx+L貝=

XXXX

當(dāng)0〈尤<1時，八’(久)<0，所以八(久)單調(diào)遞減，所以〃(無)>刈1)=1>0,

即g[x)>0,所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,

所以gG)<g⑴=2皿+1-1=0,

可得g(無)=/(x)-x<0,即y(x)<x.

17.(1)C=]

【分析】(1)根據(jù)正弦定理化邊為角，再利用兩角和的正弦公式展開化簡即可得到tanC=石,

則得到角C的大??；

(2)記Q=3冽，則。=也加，再利用余弦定理得6=加或6=2加，再分類討論即可.

【詳解】(1)由正弦定理得：

GsinB=2sinC—sinA+cosA=sinCsin4+J^inCcosA,

(22J

,,,百sinB=百sin(4+C)=百sinAcosC+VJsinCcosA，

sinCsin4=6sin4cosC,又sin4w0,

兀

tanC=VJ,又C￡(0,71),C=—.

(2)記”=3加，貝iJc=J7加；

由余弦定理cosC二---------，即一二-------------，

2ab26mb

:.b=m,或6=2m，

答案第10頁，共14頁

b2+c2-a21+7-9

6=7"時，角A對的邊最大，且cos/==----j=<C,

2bc2>/72V7

則A是鈍角，舍去;

24+7—9V7

6=2冽時，角A對的邊最大，且cos/=----------=----=-=——>C,符合.

2bc4V714

又4￡（0,兀）,.二sin4=J1—=3Atan4=3y3;

』（14）14V7

a2+c2-b29+7-4

cos5=—,又Be（0,7i）,

lac6777

.]11_2__7?

tanAtanB373@9

18.（吁+/=i；

⑵過定點，定點坐標(biāo)為（-4,0）.

【分析】（1）首先得到6=1,再根據(jù)離心率和。,仇c關(guān)系即可得到方程組，解出即可；

（2）設(shè)直線8M的方程為x=wy-l,B（XQj,￡＞（X2，%），C（Xi，f）,聯(lián)立橢圓方程得到韋達

定理式，計算直線CD的方程，令y=0化解即可.

【詳解】（1）由題意可得，b=l,

a2=c2+1

又由“c1，得。=2,C=A/J,

、a2

所以E的方程為'+「=1.

（2）顯然直線的斜率不為0,

設(shè)直線W的方程為》=陽-1,3（再,必卜。（工2，%）,。（國,-必）,

x=my

由,且+2T消去X整理得（4+/）y1-2my-3=0,

彳+V一

VmeR,A=（-2m）2-4（4+m2）（-3）=16（m2+3）>0,

答案第11頁，共14頁

二匚［、［2m-3

所以必+%=丁^，乂,%=7TF'

4+m4+m

直線CD的方程為y=3；1y-(x-%)+%,

再-x2

根據(jù)BC的對稱性可知，若直線CD恒過定點，則定點在x軸上,

令尸。，解得x=x/見3=心國

%+為M+%

_（優(yōu)%-1）%+（優(yōu)%T）%一2呻%

1

M+%

--3

2m--------w

------4+"_1=-4

2