專題05圓的性質(zhì)與計算綜合題-2023年江西中考數(shù)學(xué)真題模擬題分類匯編

專題05圓的性質(zhì)與計算綜合題1．（2022?江西）課本再現(xiàn)（1）在中，是所對的圓心角，是所對的圓周角，我們在數(shù)學(xué)課上探索兩者之間的關(guān)系時，要根據(jù)圓心與的位置關(guān)系進(jìn)行分類．圖1是其中一種情況，請你在圖2和圖3中畫出其它兩種情況的圖形，并從三種位置關(guān)系中任選一種情況證明；知識應(yīng)用（2）如圖4，若的半徑為2，，分別與相切于點(diǎn)，，，求的長．【答案】（1）見解析；（2）【詳解】（1）①如圖2，連接，并延長交于點(diǎn)，，，，，，，；如圖3，連接，并延長交于點(diǎn)，，，，，，，；（2）如圖4，連接，，，，，，分別與相切于點(diǎn)，，，，，，．2．（2021?江西）如圖1，四邊形內(nèi)接于，為直徑，點(diǎn)作于點(diǎn)，連接．（1）求證：；（2）若是的切線，，連接，如圖2．①請判斷四邊形的形狀，并說明理由；②當(dāng)時，求，與圍成陰影部分的面積．【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②【詳解】（1）證明：四邊形是的內(nèi)接四邊形，，為的直徑，，，，，，；（2）①四邊形是菱形，理由：，，是的切線，，，，，由（1）知，，，，四邊形是平行四邊形，，是菱形；②由①知，四邊形是菱形，，，由①知，，在中，，，，，與圍成陰影部分的面積為．3．（2020?江西）已知的兩邊分別與相切于點(diǎn)，，的半徑為．（1）如圖1，點(diǎn)在點(diǎn)，之間的優(yōu)弧上，，求的度數(shù)；（2）如圖2，點(diǎn)在圓上運(yùn)動，當(dāng)最大時，要使四邊形為菱形，的度數(shù)應(yīng)為多少？請說明理由；（3）若交于點(diǎn)，求第（2）問中對應(yīng)的陰影部分的周長（用含的式子表示）．【答案】（1）；（2）見解析；（3）【詳解】（1）如圖1，連接，，，為的切線，，，，，，；（2）如圖2，當(dāng)時，四邊形是菱形，連接，，由（1）可知，，，，，點(diǎn)運(yùn)動到距離最大，經(jīng)過圓心，，為的切線，，，又，，，，，，，四邊形是菱形；（3）的半徑為，，，，，，的長度，陰影部分的周長．4．（2019?江西）如圖1，為半圓的直徑，點(diǎn)為圓心，為半圓的切線，過半圓上的點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接．（1）連接，若，求證：是半圓的切線；（2）如圖2，當(dāng)線段與半圓交于點(diǎn)時，連接，，判斷和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】見解析【詳解】（1）證明：如圖1中，連接，為半圓的切線，為半圓的直徑，，，，四邊形是平行四邊形，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，是半圓的切線；（2）解：，理由：如圖2中，連接．，，為半圓的直徑，，，，．5．（2018?江西）如圖，在中，為上一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑做圓，與相切于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，且．（1）求證：為的切線；（2）若，，求的長．【答案】（1）見解析；（2）【詳解】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，，，，又為的切線，，，，，在和中，，，，，是的切線；（2），，，、，，則，由（1）知，，，，，，，，，，即，．6．（2022?南昌模擬）如圖，在中，以為直徑的與邊、分別交于、兩點(diǎn)，恰好是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．（1）求證：是的切線．（2）若，，求陰影部分的面積．【答案】（1）見解析；（2）【詳解】（1）證明：如圖，連接，恰好是的中點(diǎn)，，，是的中位線，，于點(diǎn)，，經(jīng)過的半徑的端點(diǎn)，且，是的切線；（2）解：如圖，連接，則，，是等邊三角形，，，，陰影部分的面積為．7．（2022?吉安一模）如圖，在中，，以的中點(diǎn)為圓心，為直徑的圓交于，是的中點(diǎn)，交的延長線于．（1）求證：是圓的切線：（2）若，，求的長．【答案】（1）見解析；（2）【詳解】（1）證明：連接，由題可知，為直徑，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，又，，，和是圓的半徑，，，即，故：是的切線．（2）由（1）可知，在中，，，又在和中有：，，，，即，求得，，故：長為．8．（2022?高安市一模）如圖，是的直徑，，是上兩點(diǎn)，且，連接，．過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)．（1）判定直線與的位置關(guān)系，并說明理由；（2）連接，連接交于，若，，①求證：四邊形是矩形；②求圖中陰影部分的面積．【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②【詳解】（1）解：直線與相切，理由：連接，，，，，，，，，是的半徑，是的切線；（2）①證明：，，，是的直徑，，，四邊形是矩形，②解：四邊形是矩形，，，，，，，，，，連接，，是等邊三角形，，，，，，，，，圖中陰影部分的面積．9．（2022?新余一模）如圖，在中，，為邊上的一點(diǎn)，以為直徑的交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)的弦交于點(diǎn)不是直徑），點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，連結(jié)，恰好為的切線．（1）求證：是的切線；（2）求證：平分；（3）若，，，求四邊形的面積．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）20【詳解】（1）證明：連接，，為直徑，點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，，點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，垂直平分，，，，，，為的切線，，，，是的切線．（2）證明：，，，，，，平分；（3）解：為的直徑，點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形，，，，設(shè)，，，，，或（不合題意舍去），，四邊形的面積．10．（2022?贛州一模）如圖，在矩形中，是上一點(diǎn)，連接，以為直徑的與邊交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，，，若，．（1）試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；（2）求矩形的周長；（3）求陰影部分的面積．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【詳解】（1）與相切，理由：四邊形是矩形，，，，，是，，，，，是的半徑，與邊相切；（2）四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，，，設(shè)，則，，，，，解得：，，矩形的周長；（3）如圖，連接，，，，，是等邊三角形，，．11．（2022?瑞金市模擬）如圖，在中，，平分交于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)，的分別交，于點(diǎn)，，連接交于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）設(shè)，，試用含，的代數(shù)式表示線段的長；（3）若，，求的長，【答案】（1）見解析；（2）；（3）【詳解】（1）證明：如圖，連接，為的角平分線，，，，，，，，，為圓的切線；（2）解：連接，由（1）知為圓的切線，，，，，，，即，則；（3）解：連接，在中，，設(shè)圓的半徑為，可得，解得：，，，是直徑，，，，，，，，即，，則．12．（2022?宜春模擬）如圖，為的直徑，與相切于點(diǎn)，與的延長線交于點(diǎn)，交延長線于點(diǎn)，連接，，已知，，．（1）求證：是的切線；（2）求的半徑；（3）連接，求．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【詳解】（1）證明：在和中，，，，，是半徑，是的切線；（2）解：，，，，，是的切線，，，設(shè)的半徑為，，，在中，，，即的半徑為；（3）解：如圖，延長，交于點(diǎn)，，是的切線，，，，在和中，，，，，，，，，，，，，，，．13．（2022?尋烏縣模擬）如圖，的點(diǎn)，在上，與相交于點(diǎn)，連接，，，．（1）求圓心到弦的距離；（2）若．①求證：是的切線；②求的長．【答案】（1）；（2）①見解析；②【詳解】（1）連接，，過作于，，，，，是等邊三角形，，，，，，，圓心到弦的距離為：；（2）①由（1）得，是等邊三角形，，，，，，，，，是的切線；②由，，，過作于，，，，，，，，，，，設(shè)，則，（負(fù)值舍去），．14．（2022?江西模擬）如圖，為的直徑，為上的一點(diǎn)，連接、，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接、，與交于點(diǎn)，與的延長線交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，求證：為的切線；（3）若，求的值．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【詳解】（1）證明：，，，又，；（2）證明：連接，如圖1所示：是的直徑，，，，，，，，，，是的半徑，是的切線；（3）解：連接，如圖2所示：，，，，設(shè)，，則，在中，，，在中，，即，解得：，，在中，，，或（舍去），．15．（2022?石城縣模擬）如圖，是直角三角形的外接圓，直徑，過點(diǎn)作的切線，與延長線交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，連接，，且與相交于點(diǎn)．（1）求證：與相切；（2）當(dāng)時，求弦和弧所夾圖形的面積；（3）在（2）的條件下，在弧上取一點(diǎn)，使，連接交弦于點(diǎn)，求的長度是多少？【答案】（1）見解析；（2）；（3）【詳解】（1）證明：如圖，連接，是直角三角形的外接圓，．在中，為的中點(diǎn)，，．又，．為的切線，．，即．又為的半徑，與相切；（2）解：，，為等邊三角形，．，，弦和弧所夾圖形的面積．（3）解：連接，時，，等邊中，平分，．在中，，，，，．16．（2022?石城縣模擬）如圖，在中，，以為直徑的分別與，交于點(diǎn)，，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．（1）求證：直線是的切線；（2）求證：；（3）若點(diǎn)是半圓的一個三等分點(diǎn)，直接寫出陰影部分的面積．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）或【詳解】（1）連接，如圖：，，，，，，，，直線是的切線；（2）連接，如圖：為直徑，，，，而，，，即，，，，，；（3）如圖，連接，點(diǎn)是半圓的一個三等分點(diǎn)，或，當(dāng)時，．．當(dāng)時，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，．．．綜上所述，陰影部分的面積是或．17．（2022?贛州模擬）已知，是的直徑，是上半圓弧上一動點(diǎn)，是的中點(diǎn)，弦與弦交于點(diǎn)．過點(diǎn)作的切線交射線于點(diǎn)．（1）如圖1．當(dāng)時，求的度數(shù)．（2）如圖2，，求的度數(shù)．（3）如圖3，連接，是的中點(diǎn)，已知，求的長和的面積．【答案】（1）；（2）；（3）【詳解】（1）如圖1，連接，，是的切線，，，，，是的中點(diǎn)，，；（2）如圖2，連接，是的切線，，，，，是是的中點(diǎn)，，，；（3）如圖3，連接，，連接交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，是的中位線，，為直徑，，，，是的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．18．（2022?南昌模擬）如圖，點(diǎn)為半外一點(diǎn)，為直徑，，，，與半交于點(diǎn)，點(diǎn)是上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．（1）的最大值；（2）如圖1，當(dāng)時，求證：是的切線；（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在的中點(diǎn)時，求圖中陰影部分的周長．【答案】（1）；（2）見解析；（3）【詳解】（1）解：如圖1，作于，交于點(diǎn)，，，，是的直徑，，，，，，故答案為：；（2）證明：如圖2，作于，，，，，，，，是的切線；（3）解：如圖3，是直徑，是半圓，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，作，交的延長線于，，四邊形是矩形，，，，，，圖中陰影部分的周長．19．（2022?江西二模）如圖，射線，是上的一點(diǎn)，以為圓心，長為半徑，在上方作半圓，與半圓相切于點(diǎn)，交于點(diǎn)，于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，①判斷點(diǎn)與半圓所在圓的位置關(guān)系，并說明理由；②若，直接寫出陰影部分的面積．【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②【詳解】（1）證明：，是半圓的切線，切點(diǎn)為，又與半圓相切于點(diǎn)，；（2）解：①點(diǎn)在半圓所在的圓上，理由如下：，，又，，，又，，，，點(diǎn)在半圓所在的圓上；②連接，則，，，，，．20．（2022?湖口縣二模）如圖，在中，，與相切于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)、．連接，．（1）若，求的大小．（2）若，的半徑為．求邊的長度．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）如圖，連接，與相切于點(diǎn)，，，，，，；（2）是的直徑，，，，，，，．，，，，，而，，，，，．21．（2022?吉州區(qū)模擬）如圖，是的直徑，點(diǎn)為上一點(diǎn)，點(diǎn)是半徑上一動點(diǎn)（不與，重合），過點(diǎn)作射線，分別交弦，于、兩點(diǎn)，在射線上取點(diǎn)，使．（1）求證：是的切線；（2）當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時，①若，判斷以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是什么特殊四邊形，并說明理由；②若，且，求的長．【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②6【詳解】證明：（1）連接，，，，，，是的切線；（2）如圖2，連接，，，，①以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．理由如下：是直徑，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，均為等邊三角形，四邊形是菱形；②，設(shè)，，由勾股定理得，即，解得，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，即，解得：，由勾股定理得．22．（2022?景德鎮(zhèn)模擬）如圖，以的一邊為直徑的半圓與邊，的交點(diǎn)分別為點(diǎn)，點(diǎn)，且是的中點(diǎn)．（1）若，求的度數(shù)．（2）求證：．（3）若的半徑為，，求線段的長．【答案】（1）；（2）見解析；（3）【詳解】（1）解：連接，是的中點(diǎn)，，，；（2）證明：是直徑，，，，，，．（3）解：的半徑為，，，，，，，，．23．（2022?撫州模擬）如圖，中，，以為直徑作，交于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且．連接并延長交的延長線于點(diǎn)．（1）求證：是的切線．（2）若，連接．①求圖中陰影部分的面積；②求的長．【答案】（1）見解析；（2）①；②8【詳解】（1）證明：如圖，連接，在與中，，，，，是的半徑，是的切線；（2）解：①連接，為的直徑，，，，，，，，，，陰影部分的面積；②，，，，，，，，，，設(shè)，則，，，，或（舍去），，．24．（2022?九江三模）如圖1，為半徑，點(diǎn)在延長線上且滿足，點(diǎn)是圓上的一個動點(diǎn)，連接、．（1）面積最大時，請直接寫出的值；（2）猜想：當(dāng)?shù)亩葦?shù)為多少時，為的切線，并證明你的猜想．（3）如圖2，點(diǎn)為中點(diǎn)，試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析【詳解】（1）當(dāng)時，面積最大．設(shè)，則，，；（2）當(dāng)時，為的切線．證明：，，是等邊三角形，，，又，，，又，，，，又為半徑，為的切線；（3）．理由如下：延長到，使，連接，，為的中點(diǎn)，，，，，，又，，，，，，，，又，，又，，，，．25．（2022?九江一模）如圖，、、、是上的四個點(diǎn)，，點(diǎn)是弦延長線上一點(diǎn)，連接，滿足．（1）如圖①，求證：是的切線；（2）如圖②，若點(diǎn)是優(yōu)弧中點(diǎn)，的半徑長為3，求的值．【答案】（1）見解析；（2）36【詳解】（1）證明：連接，連接并延長交于點(diǎn)，連接，，，，，，，，，是的直徑，，，，，，是的半徑，是的切線；（2）連接，點(diǎn)是優(yōu)弧中點(diǎn)，，，，，，四邊形是圓內(nèi)接四邊形，，，是的直徑，，，，，，的值為36．26．（2022?南城縣一模）如圖，為的直徑，為上一點(diǎn)，連接，，為延長線上一點(diǎn)，連接，且．（1）求證：是的切線；（2）若的半徑為，的面積為，求的長．【答案】（1）見解析；（2）【詳解】（1）證明：連接，如圖，為的直徑，，．，．，，即，．是的半徑，是的切線；（2）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，的半徑為，，的面積為，，．，，，，．．解得：或（不合題意，舍去），．，，．，，在和中，，．，．，，，，，解得：，．27．（2022?萍鄉(xiāng)模擬）如圖，的直徑，點(diǎn)是上的動點(diǎn)，是經(jīng)過點(diǎn)的弦，過點(diǎn)作的切線交的延長線于點(diǎn)，且．（1）若，連，分別求，的長；（2）當(dāng)點(diǎn)位于的什么位置時，以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？請說明理由．【答案】（1）的長為16，的長；（2）見解析【詳解】（1）是