2025屆吉林某中學高三數(shù)學上學期期初考試卷（附答案解析）

2025屆吉大附中實驗高三數(shù)學上學期期初考試卷

考試時間：120分鐘試卷滿分：150分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要

求的.

1若集合人=卜1?<3},5={/=31,“川，則AC6=

A.0B.{3,6,9}C.{2,5,8}D.{-1,2,5,8}

2.上海百聯(lián)集團對旗下若干門店的營業(yè)額與三個影響因素分別作了相關性分析，繪制了如下的散點圖,

則下述大小關系正確的為（）.

外?珅??

相關系數(shù)〃“°相關系數(shù),2X°相關系數(shù),3X

、.丫\＞丫2＞丫3B.馬〉與〉4C.馬D.馬＞彳

3.已知。＞0,則“a＞3”是“廢＞43”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.’一?）展開式中％項的系數(shù)為（）

孫

A.80B.-80C.40D.-40

5.已知。＞0,且awl,則函數(shù)y=log0[x+：]的圖象一定經(jīng)過（）

A.一、二象限B.一、三象限C.二、四象限D.三、四象限

6.下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)y=/（2x—1）的圖象關于直線X=1對稱的是（）

A.y=/（-2x-l）B.y=/（-2%+l）C.y=/（-2x+3）D.y=2-

7.我校某班舉辦新年聯(lián)歡班會，抽獎項目設置了特等獎、一等獎、二等獎、三等獎、鼓勵獎共五種獎項.

甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一張獎票，開獎后發(fā)現(xiàn)這5人的獎項都不相同.甲說：“我不是鼓勵獎”；乙

說：“我不是特等獎”；丙說：“我的獎沒有戊好但是比丁的強”.根據(jù)以上信息，這5人的獎項的所有可能

的種數(shù)是（）

1

A.12B.13C.24D.26

8.已知實數(shù)0bw(l,+8),且2(a+b)=e2"+21nb+l,e為自然對數(shù)的底數(shù)，則()

A.l<b<aB.a<b<2aC.2a<b<eaD-ea<b<e2a

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.某計算機程序每運行一次都隨機出現(xiàn)一個十位二進制數(shù)A40(例如若

=°，“2，%，%，。8，“9=L則A=0101001110),已知見伏=1,2,-,10)出現(xiàn)“0”的概

率為‘，出現(xiàn)"1”的概率為一，記X=a,+%+。6+。8+a10，則當程序運行一次時()

44

3

A.X服從二項分布B.尸(X=l)=——

1024

C.E(X)=—D.D(X)=—

44

10.暑假結束后，為了解假期中學生鍛煉身體情況，學生處對所有在校學生做問卷調查，并隨機抽取了

180人的調查問卷，其中男生比女生少20人，并將調查結果繪制得到等高堆積條形圖.已知

n^ad-bey

z2=n=a+b+c+d,附

a0.10.050.010.0050001

6635

Za2.7063.8417.87910.828

在被調查者中，下列說法正確的是()

男生女生

A.男生中不經(jīng)常鍛煉的人數(shù)比女生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)多

B.男生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)比女生中經(jīng)常鍛煉的人多8人

C.經(jīng)常鍛煉者中男生的頻率小于不經(jīng)常鍛煉者中男生的頻率的2倍

D.根據(jù)小概率值a=0.01的獨立性檢驗，可以認為假期是否經(jīng)常鍛煉與性別有關

2

11.已知三次函數(shù)/（彳）=尤3+加+5+2有三個不同的零點七,馬，七（石<%2<演），若函數(shù)

g（x）=/（x）—1也有三個不同的零點則下列等式或不等式一定成立的有（）

2

A.b<3cB.t3>X3C.再+%2+%3=%+%2+%3D.*^2^3t]t2t31

三、填空題：本題共3小題，每小題.5分，共15分.

12.在本次考試的8道單選題中，你前桌的小張同學對其中5道題有思路，3道題完全沒有思路，假設有

3

思路的題能做對的概率為一，沒有思路的題僅能隨機猜，你恰好看到了他一道題的答案，這個答案是正

4

確的概率為.（誠信考試，誠實做人，拒絕抄襲，從我做起）

3x+l

13.已知正數(shù)x,V滿足無+y=L則---的最小值為.

盯

14.在一個3x3的“乘法幻方”中，每個空格中都填上一個正數(shù)，使得每一行、每一列以及每條對角線的

各數(shù)之積均相等.則％=.

5

4X

1

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.設數(shù)列｛4｝的前幾項和為S“，已知％=2,S“+i=4a〃+2.

⑴設a=?！?1-2a“，證明：數(shù)列｛bn｝是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列||^-1的前〃項和T,,.

16.在剛剛結束的巴黎奧運會中，國球再創(chuàng)輝煌，包攬全部5枚金牌，其中最驚險激烈的就是男單1/4

決賽，中國選手樊振東對戰(zhàn)日本選手張本智和.比賽采取7局4勝制，每局為11分制，每贏一球得一分.

（1）樊振東首局失利，第二局比賽雙方打到8：8平，此時張本智和連續(xù)發(fā)球2次，然后樊振東連續(xù)發(fā)

球2次，根據(jù)以往比賽結果統(tǒng)計，樊振東發(fā)球時他自己得分的概率為06張本智和發(fā)球時樊振東得分的

概率為0.5,各球的結果相互獨立，遺憾的是該局比賽樊振東最終以9：H落敗，求其以該比分落敗的概

率；

（2）在本場比賽中，張本智和先以2:0領先，根據(jù)以往比賽結果統(tǒng)計，在后續(xù)每局比賽中樊振東獲

勝的概率為|,張本智和獲勝的概率為一，且每局比賽的結果相互獨立，

33

3

（i）假設兩人又進行了X局后比賽結束，求X的分布列與數(shù)學期望.

（ii）最后樊振東以4:3拿下了本場比賽，成功晉級半決賽，有媒體報道樊振東從0:2到4:3實現(xiàn)了

,驚天逆轉”，同學們也認同這個說法么？請結合本題中的數(shù)據(jù)簡要說明你的理由.

17.在如圖①所示的平面圖形中，四邊形ACDE為菱形，現(xiàn)沿AC進行翻折，使得A3J_平面ACDE,

過點E作瓦7/A5,且跖連接FD,FB,BD,所得圖形如圖②所示，其中G為線段的

2

中點，連接EG.

（1）求證：平面A3。；

若AC=A￡>=2,直線尸G與平面BCD所成角的正弦值為立，求平面ABC與平面BED所成

(2)

7

角的余弦值.

18.已知函數(shù)/（%）=ahix+二,Q￡R.

x

⑴若4=2^,求〃龍）的極小值；（2）若過原點可以作兩條直線與曲線y=/（x）相切，求。的取值

范圍.

19.已知雙曲線。：七一二=1（?！?1〉0）兩條漸近線分別為4：y=2x和4：y=-2x,右焦點坐

ab

標為為坐標原點.

（1）求雙曲線的標準方程;

（2）直線y=4x—6與雙曲線的右支交于點4,耳（A在用的上方），過點4,男分別作&4的平行

4

線，交于點片，過點4且斜率為4的直線與雙曲線交于點4,外（4在坊的上方），再過點人2,4分別

作L'l的平行線，交于點鳥,?，這樣一直操作下去，可以得到一列點匕舄，,Pn,n＞3,neN*.

（i）證明：耳，2，，與共線；

（ii）判斷用2_山匕小—["eN*）是否為定值，若是定值求出定值；若不是定值，說明理

由.

2025屆吉大附中實驗高三數(shù)學上學期期初考試卷

考試時間：120分鐘試卷滿分：150分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要

求的.

L若集合人中小才,B={x|x=3n-l,nGN）；則AcB=（）

A.0B.{3,6,9}c.{2,5,8}D.{-1,2,5,8}

【答案】C

【解析】

【分析】求得集合人=[0,9],可求得AcB.

【詳解】依題得A={x[?＜3}=[0,9],則Ac3={2,5,8}.

故選：C.

2.上海百聯(lián)集團對旗下若干門店的營業(yè)額與三個影響因素分別作了相關性分析，繪制了如下的散點圖，

則下述大小關系正確的為（）.

歹本?科??

?????

??????????

?????????

?a??????

---?-?-------------?-------------?-.--?---＞__________?__?_???

相關系數(shù)〃X°相關系數(shù)。X司相關系數(shù),3*

A.丫\＞丫2＞丫3B.r2＞r3＞rxC.《＞與＞弓D.4＞馬＞可

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)散點圖判斷兩變量的線性相關性，再根據(jù)線性相關性與相關系數(shù)的關系判斷即可.

5

詳解】由散點圖可知，圖一兩個變量成正相關，且線性相關性較強，故4〉0,

圖二、圖三兩個變量都成負相關，且圖二的線性相關性更強，

故々＜0,4＜0,同＞同，故0＞與＞4,所以］＞與＞々.

故選：C.

3.已知。＞0,則“a＞3”是“相＞/”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】結合不等式的性質分充分性、必要性兩方面進行說明即可求解.

【詳解】若。＞3,則函數(shù)＞=優(yōu)單調遞增，所以廢＞d，充分性成立；

當。=工時，=X＞l=flY,滿足廢＞/,但a=L＜3,不滿足必要性；

2UJ728y2)2

所以“a＞3”是“廢＞43”的充分不必要條件.

故選：A

4.‘一2')'展開式中％項的系數(shù)為()

孫

A.80B.-80C.40D.-40

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)二項式定理，寫出其通項即可求特定項的系數(shù)

【詳解】(x—的二項展開式的通項為I；.=C*5d(—2y/=(—21

令k=3,得n=—8C*2y3=—80%2y3,

所以(x—的展開式中x的系數(shù)為—80.

孫

故選：B

5.已知。＞0,且awl,則函數(shù)y=log0x+：的圖象一定經(jīng)過()

6

A.一、二象限B.一、三象限C.二、四象限D.三、四象限

【答案】D

【解析】

【分析】由函數(shù)y=iogjx+：）過（0,—1）點，分類可解.

［詳解】當尤=0時，y=log?—=-1,

a

所以函數(shù)y=log0x+：的圖象一定經(jīng)過三、四象限.

故選：D

6.下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù)y=/（2x—1）的圖象關于直線x=l對稱的是（）

A.y=/（-2x-l）B,y=/（-2x+l）

C.y=/（-2x+3）D.y=2-/（2x-l）

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)直線對稱的性質，結合中點坐標公式進行求解即可.

【詳解】設函數(shù)y=/（2x—1）的圖象為曲線G，該曲線關于x=1對稱的曲線為C?,

7

設曲線G上任意一點的坐標為（七,%）,則有為=/（2x0—1），

該點（無0,%）關于直線X=1對稱點的坐標為（龍,》），

\=[X=2-%

因此有｛20°,代入為=/（2%—1）中，

u=>

得y=/[2（2—x）—l]=y=/（3—2x）,

故選：C

7.我校某班舉辦新年聯(lián)歡班會，抽獎項目設置了特等獎、一等獎、二等獎、三等獎、鼓勵獎共五種獎項.

甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一張獎票，開獎后發(fā)現(xiàn)這5人的獎項都不相同.甲說：“我不是鼓勵獎”；乙

說：“我不是特等獎”；丙說：“我的獎沒有戊好但是比丁的強”.根據(jù)以上信息，這5人的獎項的所有可能

的種數(shù)是（）

A.12B.13C.24D.26

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，按甲是否是特等獎分類，再結合丙的情況列式計算即可.

【詳解】甲是特等獎，乙有4種情況，則丙、丁、戊有1種情況，

所以有4x1=4種；

甲不是特等獎，則甲有3種情況，乙有3種情況，

而丙、丁、戊有1種情況，所以有3x3xl=9種；

所以5人的獎項的所有可能的種數(shù)是4+9=13.

故選：B.

8.已知實數(shù)匹（1,+8）,且2（a+》）=e2a+21nZ?+l,e為自然對數(shù)的底數(shù)，則（）

A.l<b<aB.a<b<2aC.2a<b<eaD-ea<b<e2a

【答案】D

【解析】

【分析】化簡條件后根據(jù)形式構造函數(shù)，利用單調性判斷不等式

【詳解】因為2（a+b）=e2〃+21n/;+l,所以e?。一2a—1=2（人一ln6—1）=2（eM"—ln〃-1）,

8

函數(shù)/(x)=e*—x—ln/'(x)=ex—l>OJ(x)在(0,+s)上單調遞增，且/(0)=0,因為

b〉lnlnb〉0=>f(lnb)〉0

所以/(2a)=2/(lnA)>/(lnA),所以2a>ln=,即bve?。,

Xe2fl-2a-l>2(efl-a-l),所以/(2a)=2/(lnb)>2/(a),所以。<山一,即b<e"，綜上,

efl<b<e2a.

故選：D

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.某計算機程序每運行一次都隨機出現(xiàn)一個十位二進制數(shù)A=%為生?io(例如若

%,生,。5,4，％0=°，4，%，“7，。8，。9=1，則A=0101001110)，已知心(左=1,2,-,10)出現(xiàn)“0”的概

率為,，出現(xiàn)“1”的概率為之，記X=a,+4+%,+/+40，則當程序運行一次時()

44

A.X服從二項分布B.P(X=1)=^—C.E(X)=—D.D(X)=—

102444

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)二項分布的定義可判斷A的正誤，利用二項分布可判斷B的正誤，利用公式計算出X的

期望和方差后可判斷CD的正誤.

【詳解】由二進制數(shù)A的特點知，每一個數(shù)位上的數(shù)字只能填0,1且每個數(shù)位上的數(shù)字互不影響，

故X中1出現(xiàn)次數(shù)的可能取值有0,1,2,3,4,5,則X可能取值情況與之相同，

由二項分布的定義可得：~,sf5,-1

,故A正確.

3

故p(X=l)=C；x：—,故B錯誤;

1024

3153115

所以E(X)=5X2=」，D(X)=5X-X-=—故C正確，D錯誤.

V'44',4416

故選：AC.

10.暑假結束后，為了解假期中學生鍛煉身體情況，學生處對所有在校學生做問卷調查，并隨機抽取了

9

180人的調查問卷，其中男生比女生少20人，并將調查結果繪制得到等高堆積條形圖.已知

n^ad-bey

z2=n=a+b+c+d,附

a0.10.050.010.0050.001

7a2.7063.8416.6357.87910.828

在被調查者中，下列說法正確的是（）

我…口不經(jīng)常鍛煉

窗K「LJ西■二口經(jīng)常鍛煉

用」HH

男生女生

A.男生中不經(jīng)常鍛煉的人數(shù)比女生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)多

B.男生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)比女生中經(jīng)常鍛煉的人多8人

C.經(jīng)常鍛煉者中男生的頻率小于不經(jīng)常鍛煉者中男生的頻率的2倍

D.根據(jù)小概率值a=0.01的獨立性檢驗，可以認為假期是否經(jīng)常鍛煉與性別有關

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)男生比女生少20人，建立等式求出男生、女生的人數(shù)，建立列聯(lián)表，利用列聯(lián)表中的信息

解決ABC,利用獨立性檢驗來解決D選項.

【詳解】設男生人數(shù)為》,則女生人數(shù)為X+20,

由題得x+x+20=180,

解得x=80,即在被調查者中，男、女生人數(shù)為80,100,可得到如下2x2列聯(lián)表，

鍛煉情況

性別合計

經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉

男483280

女4060100

合計8892180

10

對于A：由表可知，A顯然錯誤,

對于B：男生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)比女生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)多48-40=8,B正確;

對于C：在經(jīng)常鍛煉者中是男生的頻率為一標0.5455,在不經(jīng)常鍛煉者中是男生的頻率為

88

0.5455

0.3478,a1.6,C錯誤;

920.3478

對于D：零假設"°：假設假設是否經(jīng)常鍛煉與性別無關,

2

則J=180x(48x60-32義40廠工7115〉6635=x根據(jù)小概率值x=0.01的獨立性檢驗，我們

80x100x88x92°-01

推斷〃。不成立，

即認為假期是否經(jīng)常鍛煉與性別有關，此推斷犯錯誤概率不大于0.01,D正確.

故選：BD.

11.已知三次函數(shù)/(力=%3+反2+CX+2有三個不同的零點七,％2，項(周<X2<%3)，若函數(shù)

g(x)=/(x)—1也有三個不同的零點則下列等式或不等式一定成立的有()

2

A.b<3cB.t3>x3

C./+/+/=：+三+hD.f2t3-1

【答案】BC

【解析】

【分析】對于A,由題意可得r(x)=0有兩個不同的實根，則A〉0,從而可進行判斷，對于B,根據(jù)

圖象分析判斷，對于CD,由零點的定義結合方程化簡變形進行判斷.

【詳解】f\x)=3x1+2bx+c,因為原函數(shù)有三個不同零點，則/'(%)=0有兩個不同的實根，

即3*+2/ZX+C=0,則A=4/—12C>0,即。2>3C，所以A錯誤；

因為三次函數(shù)/(4=%3+82+5+〃有三個不同的零點七,七,七(七<七<七)，

32

所以x+Zzx+cx+d=(x-x1)(x-x2)(x-x3)

所以X]+九2+九3=-b,元1%2元3=.d,

11

同理4++%3=-b,tj2t3=1—d,

所以九1+%2+九3=%1+%2+/3，%1%2%3-，卬3=一1，故C正確，D錯誤;

由/(%)的圖象與直線y=1的交點可知t3>x3,B正確.

三、填空題：本題共3小題，每小題.5分，共15分.

12.在本次考試的8道單選題中，你前桌的小張同學對其中5道題有思路，3道題完全沒有思路，假設有

3

思路的題能做對的概率為一，沒有思路的題僅能隨機猜，你恰好看到了他一道題的答案，這個答案是正

4

確的概率為.(誠信考試，誠實做人，拒絕抄襲，從我做起)

9

【答案】記

【解析】

【分析】利用全概率公式求解即可.

【詳解】設事件A表示“恰好看到這道題小張的答案是正確的”，

設事件8表示“恰好看到的這道題小張有思路”，則恰好看到了小張一道題的答案，

--5331189

這個答案是正確的概率為P(A)=P(B)P(A|B)+P(B)P(A|B)=-x-+-x-=—,

84843216

9

故答案為：—

16

3x+l

13.已知正數(shù)x,y滿足x+y=l,則-----的最小值為.

孫

【答案】9

【解析】

【分析】利用“1”的靈活運用，結合基本不等式即得.

【詳解】因為％+y=l,則

3x+l3x+l.3x+x+y/、4x+y4x+y4x,“y_4xy

------=-------xl=-----------x(x+y)=-------+------=——+1+4+—=5+——+—

xyxyxyyxyxyx

12

4%V

因為久>0,J7>o,所以—>0,—>0,

y%

I-------電=2

則原式=5+經(jīng)+）之5+2,隹x2=9,當Iy-%即》=」,'=2時，取等號.

yxVyx.33

-Y-[x+v=1

3x+l

所以------的最小值為9.

孫

故答案為：9.

14.在一個3x3的“乘法幻方”中，每個空格中都填上一個正數(shù)，使得每一行、每一列以及每條對角線的

各數(shù)之積均相等.則％=.

5

4X

1

【答案】10

【解析】

【分析】根據(jù)題中的條件設出每一行、每一列以及每條對角線的各數(shù)之積，列出等式求解x即可.

【詳解】在一個乘法幻方中，每一行數(shù)之積、每一列數(shù)之積、對角線上的數(shù)之積都相等,

設積為S,

則乘法幻方可表示為如圖所示:

SX

5

X~5

S

4X

4%

S

20120

故對角線一XXX—=S,

205

解得：x=10,經(jīng)驗證滿足題意.

13

故答案為：1。

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.設數(shù)列｛4｝的前幾項和為5"，已知％=2,S,+i=4a“+2.

⑴設a=?！?1-2a“，證明：數(shù)列也｝是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前〃項和Tn.

n（n+W

【答案】（1）證明見解析⑵T“=，2

【解析】

【分析】⑴利用?！芭cS’,間的關系，得到a“+i=4a“—4a,i（"22）,再構造成

??+i-2an=2（an-2an_1）（n>2）,即可證明結果.

（2）利用（1）中結果得到數(shù)列]匕是首項為1,公差為1的等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的前〃項和公

2

式即可求出結果.

【小問1詳解】

由4=2及S,M=4。〃+2,

得a1+Q2=S?—4q+2,***a?=8,.,./?]=a2-2〃]—4.

"跖=也+2,①

[S〃=44T+2,n>2?

由①一②,得an+x=4a“—4a,i（〃22）,

an+1-2an=2（a?-2a?_1）（n>2）.

"-'b“=4+i-2an,：.bn=2%（〃之2）,

故數(shù)列抄“｝是首項4=4,公比為2的等比數(shù)列.

【小問2詳解】

由⑴知d=a〃+「2a“=4-2小=2向，

?￡5±I__￡^.=Iv=I

??2，，+i2"'乂2'

14

故數(shù)列K是首項為1,公差為1的等差數(shù)列，所以墨=1+(〃-1)=〃.

n(n+Y\

T=1+2+3++n=^——L

n2

16.在剛剛結束的巴黎奧運會中，國球再創(chuàng)輝煌，包攬全部5枚金牌，其中最驚險激烈的就是男單1/4

決賽，中國選手樊振東對戰(zhàn)日本選手張本智和.比賽采取7局4勝制，每局為11分制，每贏一球得一分.

(1)樊振東首局失利，第二局比賽雙方打到8:8平，此時張本智和連續(xù)發(fā)球2次，然后樊振東連續(xù)發(fā)

球2次，根據(jù)以往比賽結果統(tǒng)計，樊振東發(fā)球時他自己得分的概率為0.6.張本智和發(fā)球時樊振東得分的

概率為0.5,各球的結果相互獨立，遺憾的是該局比賽樊振東最終以9：H落敗，求其以該比分落敗的概

率；

(2)在本場比賽中，張本智和先以2:0領先，根據(jù)以往比賽結果統(tǒng)計，在后續(xù)的每局比賽中樊振東獲

勝的概率為|,張本智和獲勝的概率為一，且每局比賽的結果相互獨立，

(i)假設兩人又進行了X局后比賽結束，求X的分布列與數(shù)學期望.

(ii)最后樊振東以4:3拿下了本場比賽，成功晉級半決賽，有媒體報道樊振東從0:2到4:3實現(xiàn)了

“驚天逆轉”，同學們也認同這個說法么？請結合本題中的數(shù)據(jù)簡要說明你的理由.

【答案】⑴0.14(2)⑴分布列見解析，數(shù)學期望為E(X)=^.(ii)答案見解析.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用相互獨立事件、互斥事件的概率公式計算即可.

(2)(i)求出X的所有可能值及各個值對應的概率，列出分布列并求出數(shù)學期望即可；(ii)求出張

本智和勝的概率、樊振東以4:3贏得比賽的概率即可得解.

小問1詳解】

在比分為8:8后張本智和先發(fā)球的情況下，樊正東以9:H落敗的情況分三種：

第一種：后四球樊正東依次為勝敗敗敗，概率為《=0.5x0.5x0.4x0.4=0.04,

第二種：后四球樊正東依次為敗勝敗敗，概率為鳥=0.5x0.5x0.4x0.4=0.04,

第三種：后四球樊正東依次為敗敗勝敗，概率為6=0.5x0.5x0.6x0.4=0.06,

所以所求事件的概率為：《+6+6=0.14.

【小問2詳解】

15

(i)隨機變量X的可能取值為2,3,4,5,

…c、11127

P(X=2)=—x—=—=---,

339243

p(X=3)=C*x-x-x-=—,

-33327243

P(X=4)=C3X-X(-)2X-+(-)4=—=—

3333381243

所以X的分布列為

X2345

27368496

P

243243243243

皿遼甘口'口div、_27.36.8496326

數(shù)學期望為￡(X)=2x---+3x---+4x---+5x---=----.

24324324324381

(ii)由⑴得，

張本智和勝的概率為基+仁+03(捫+后又(處3=翳

樊正東勝的概率為6+C：X(|)3X*=啜=果，

且張本智和勝的概率大于樊正東4:3勝的概率，

又因為最后樊正東以4:3拿下本場比賽，且獲勝的概率為說,

所以可以這么說樊正東從0:2到4:3實現(xiàn)“驚天逆轉”.

17.在如圖①所示的平面圖形中，四邊形ACDE為菱形，現(xiàn)沿AC進行翻折，使得平面ACDE,

過點￡作跖//45,且匹連接FD,FB,BD,所得圖形如圖②所示，其中G為線段8。的

2

中點，連接尸G.

(1)求證：FGL平面

16

(2)若AC=AO=2,直線FG與平面BCD所成角的正弦值為"，求平面ABC與平面BED所成

7

角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析(2)&

4

【解析】

【分析】(1)連接EC,交AD于點“，連接G”,由題意得EHLA。，AB±EH,由線面垂直的

判定定理可得田，平面A3。，由題意可得四邊形EEGH為平行四邊形，可得FG//EH,繼而即可

證明.

(2)取ED的中點為K，連接AK,由題意，以A為坐標原點，以AB,AC,AK分別為軸建立

空間直角坐標系，設A3=2a(a>0),由直線FG與平面所成角的正弦值為立，計算可得。=1,

7

再利用法向量及兩平面夾角的余弦公式即可求解.

【小問1詳解】

連接EC,交AD于點“，連接GH,

-四邊形ACDE為菱形，

.-.EH±AD，

又皿u平面ACDE,

:.AB±EH,

又QABIAD=A,

AB,ADu平面AB。，

平面ABD,

QG,H分別為線段的,EC的中點，

:.GH//AB,且

2

又?.所//AB,且=

2

:.EFUGH,且EF=GH,

故四邊形EFGH為平行四邊形,

17

:.FG//EH,

.?.NG，平面ABD.

J

一/\【小問2詳解】

BC

在菱形ACDE中，AC=AD,

:.^ACD和VADE都是正三角形，

取ED的中點為K,連接AK,

:.AK±AC,

又QAB,平面ACDE,

AC,AKu平面ACDE,

.-.AB±AC,AB±AK,

即AB,AC,AK兩兩互相垂直，

如圖，以A為坐標原點，以A5,AC,AK分別為％,y,z軸建立空間直角坐標系,

設AB=2a(a>0),己知AC=AD=2,

C(0,2,0),B(2a,0,0),D(0,1,^),F(a,-1,^),G(a,1，

???FG=(O,|,一￥),

BC=(-2a,2,0),CD=(0,-1,石),

設平面BCD的法向量為m=(x,y,z),

m-BC--2ax+2y=0

則.l，

mCD=—y+A/3Z=0

取z=1,則機=,A/3,1)，

18

設直線FG與平面BC。所成角為。，

因為直線FG與平面BCD所成角的正弦值為V7

a=1,

設平面ABC的法向量為4,取々=(0,0,1),

BF=(-1,-1,73),FD=(-1,2,0),

設平面AFD的法向量為%=（石，%，4），

n2-BF=一百一M+6z\=0

n2.FD=一玉+2%=0

?。?1,則〃2=(2,1,有)，

設平面ABC與平面BED所成角為a,

n,-n.乖iA/6

K1JCOS?=COS.I,?2=^=I-?—=-,

故平面ABC與平面BFD所成角的余弦值為V6

4

18.已知函數(shù)〃%）=。111%+二，?！陞^(qū).

19

⑴若“=2e"求"％）的極小值；

（2）若過原點可以作兩條直線與曲線y=/（x）相切，求。的取值范圍.

A

【答案】（1）-e2（2）（一,+◎

e

【解析】

【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)與極值的關系，即可求得答案；

（2）設切點分別為（石,/（七））,（々，/（%）），根據(jù)導數(shù)的幾何意義，表示出切線方程，將原問題轉化為

3

方程=+a（lnx-1）=0兩個不同的根的問題，構造函數(shù)，利用導數(shù)求得其最小值的表達式，分類討論,

結合零點存在定理，即可求得答案.

【小問1詳解】

1op29op2v2—9

由〃%)=2621皿+”,(%>0),得了'(%)二二_彳二/'尤

XXXX

令尸（無）<0得0<X<（,則/⑴在上單調遞減,

令廣（無）>0得x〉,，則/（%）在Q,+。上單調遞增，

則/（x）的極小值為==-e2；

【小問2詳解】

設切點分別為（石"（%））,（%，/（%2））,

2

則/（%）在％=%處的切線方程為y—/（玉）=3（x—玉）,

xl

又切點過原點，所以0_/（芯）=附32（。一））,

xi

33

即一+“（in%—1）=0,同理~^~+a（in%2-1）=0,

20

3

所以和々為方程=+a(lnx-1)=0兩個不同的根，

設g(x)=W+a(ln%-l),貝!]gf(x)=--^-+-=~6+QX,

XXXX

若a<0,g'(x)<0,則g(x)在(0,+8)單調遞減，g(W=0不可能有兩個不同的根，不符合題意;

若a>0,令g'(x)<0得,

令g'(x)>0得xe單調遞增,

KiJ0<?<-,

e

3

此時方程—+?(lnx-l)=0沒有兩個不同的根，不符合題意;

X

若g(不<。，即。［He)—"

a

因為〃〉一，所以————J<0，所以，<g=〃(3〃—Ina-1),

eaaaa\a\aJ

令〃(a)=3a_lna_l|a〉g],則/(a)=3_L>0,

所以入⑷在上單調遞增,

e

3

即g3a—Ina—1)〉0,又g(x)==+a(lnx—1)的圖象是不間斷的曲線,

X

所以存在用,％2滿足!<王<9<%<e使得g(%)=g(x,)=0,

aa一

所以a的取值范圍是(9,+8).

e

【點睛】關鍵點點睛：難點在于根據(jù)切線的條數(shù)求解參數(shù)范圍。解答時將問題轉化為方程

3

二+a(lnx-1)=0兩個不同的根的問題，然后構造函數(shù)，利用導數(shù)，求得函數(shù)最小值，分類討論，結