專項(xiàng)20切線的證明方法歸類(2大類型+5種方法)(原卷版+解析)

專項(xiàng)20切線的證明方法歸類（2大類型+5種方法）證明一條直線是圓的切線的方法及輔助線的作法（1）連半徑、證垂直：當(dāng)直線和圓有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，把圓心和這個(gè)公共點(diǎn)連接起來，然后證明直線垂直于這條半徑，簡稱“連半徑，證垂直”（2）作垂直，證半徑：當(dāng)直線和圓的公共點(diǎn)沒有明確時(shí)，可以過圓心作直線的垂線，再證圓心到直線的距離等于半徑，簡稱“作垂直，證半徑”【考點(diǎn)1有公共點(diǎn)：連半徑，證垂直】方法1：特殊角計(jì)算法證垂直【典例1】（2022?思明區(qū)校級(jí)一模）如圖，AD是⊙O的弦，AB經(jīng)過圓心O交⊙O于點(diǎn)C，∠A＝∠B＝30°，連接BD．求證：BD是⊙O的切線．【變式1-1】（2021?廣東二模）如圖，AD是⊙O的弦，AB經(jīng)過圓心O，交⊙O于點(diǎn)C，連接BD，∠DAB＝∠B＝30°，求證：直線BD是⊙O的切線．【變式1-2】（2021秋?濰坊期末）如圖，A、B、C分別是⊙O上的點(diǎn)，∠B＝60°，CD是⊙O的直徑，CD＝2，E是CD延長線上的一點(diǎn)，且AE＝AC．（1）求證：AE是⊙O的切線；（2）求ED的長．方法2：等角代換法證垂直【典例2】（2020秋?福州期末）如圖，AB是⊙O的直徑，C為半圓O上一點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)C，過點(diǎn)A作AD⊥l于點(diǎn)D，連接AC，當(dāng)AC平分∠DAB時(shí)，求證：直線l是⊙O的切線．【變式2-1】（2017秋?荊州區(qū)期末）如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，D為BC的中點(diǎn)，以AC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若AE：EB＝1：2，BC＝6，求⊙O的半徑．【變式2-2】（2021秋?灌南縣期末）已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AB⊥AC，BC交⊙O于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，ED與AB的延長線交于點(diǎn)F．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若∠F＝30°，BF＝2，求△ABC外接圓的半徑．方法3：平行線性質(zhì)法證垂直【典例3】（2021秋?吉林期末）已知：如圖，△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)P，PD⊥AC于點(diǎn)D．求證：PD是⊙O的切線；【變式3-1】（2022?大興區(qū)二模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，O是AB上一點(diǎn)，以O(shè)A為半徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)D．求證：BC是⊙O切線；【變式3-2】（2021?崆峒區(qū)一模）如圖，AB是⊙O的直徑，⊙O交BC的中點(diǎn)于D，DE⊥AC．求證：DE是⊙O的切線．【變式3-3】（2022?百色一模）如圖，在△ABC中，BA＝BC，以AB為直徑作⊙O，交AC于點(diǎn)D，連結(jié)DB，過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為點(diǎn)E．求證：DE是⊙O的切線；方法4：全等三角形法證垂直【典例4】（2022?東明縣一模）已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點(diǎn)E，在AC上取一點(diǎn)D，使得DE＝AD，求證：DE是⊙O的切線．【變式4-1】（2021秋?虎林市校級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC為直徑的⊙O交斜邊AB于點(diǎn)D，若E是AC的中點(diǎn)，連接DE．求證：DE為⊙O的切線．【考點(diǎn)2無公共點(diǎn)：做垂直，證半徑】方法5：角平分線的性質(zhì)法證半徑【典例5】（2020?八步區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC的角平分線交BC于點(diǎn)D，E為AB上一點(diǎn)，DE＝DC，以D為圓心，DB的長為半徑作⊙D，AB＝5，BE＝3．求證：AC是⊙D的切線；【變式5-1】（2018?天河區(qū)校級(jí)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分線，以點(diǎn)D為圓心，DA為半徑的⊙D與AC相交于點(diǎn)E求證：BC是⊙D的切線；方法6：全等三角形法證半徑【典例6】如圖，在△ABC中，O為AC上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑作圓，與BC相切于點(diǎn)C，過點(diǎn)A作AD⊥BO交BO的延長線于點(diǎn)D，且∠AOD＝∠BAD．求證：AB為⊙O的切線；【變式6】（2020秋?開福區(qū)月考）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在圓上，且四邊形AOCD是平行四邊形，過點(diǎn)D作⊙O的切線，分別交OA的延長線與OC的延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接BF．求證：BF是⊙O的切線；1．（2021秋?西城區(qū)校級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分線，點(diǎn)O在AB上，以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑的圓經(jīng)過點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．求證：AC是⊙O的切線；2．（2021秋?溫嶺市期末）如圖，D為⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)C在直徑BA的延長線上，且∠CDA＝∠CBD．求證：CD是⊙O的切線；3．（2022春?興寧區(qū)校級(jí)期末）如圖，⊙O的半徑為1，A是⊙O的直徑BD延長線上的一點(diǎn)，C為⊙O上的一點(diǎn)，AD＝CD，∠A＝30°．求證：直線AC是⊙O的切線；4．（2021秋?新興縣期末）如圖，已知，四邊形ABCD中，E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，DE＝EC，以AE為直徑的⊙O與邊CD相切于點(diǎn)D，點(diǎn)B在⊙O上，連接OB．（1）求證：DE＝OE；（2）若CD∥AB，求證：BC是⊙O的切線．（2022?郴州）如圖，在△ABC中，AB＝AC．以AB為直徑的⊙O與線段BC交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，ED的延長線與AB的延長線交于點(diǎn)P．求證：直線PE是⊙O的切線；6．（2021秋?甘井子區(qū)期末）如圖，△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與AC，BC分別交于點(diǎn)D和點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AC，垂足為F．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）若CD＝4，EF＝3，求⊙O半徑．7.（2020秋?蒼南縣校級(jí)期中）如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，OD⊥BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作⊙O的切線，交OD的延長線于點(diǎn)E，連接BE．求證：BE與⊙O相切．8．（2022?環(huán)翠區(qū)一模）如圖，AC是⊙O直徑，D是的中點(diǎn)，連接CD交AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AB延長線上且FC＝FE．求證：CF是⊙O的切線；專項(xiàng)20切線的證明方法歸類（2大類型+5種方法）證明一條直線是圓的切線的方法及輔助線的作法（1）連半徑、證垂直：當(dāng)直線和圓有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，把圓心和這個(gè)公共點(diǎn)連接起來，然后證明直線垂直于這條半徑，簡稱“連半徑，證垂直”（2）作垂直，證半徑：當(dāng)直線和圓的公共點(diǎn)沒有明確時(shí)，可以過圓心作直線的垂線，再證圓心到直線的距離等于半徑，簡稱“作垂直，證半徑”【考點(diǎn)1有公共點(diǎn)：連半徑，證垂直】方法1：特殊角計(jì)算法證垂直【典例1】（2022?思明區(qū)校級(jí)一模）如圖，AD是⊙O的弦，AB經(jīng)過圓心O交⊙O于點(diǎn)C，∠A＝∠B＝30°，連接BD．求證：BD是⊙O的切線．【解答】如圖，連接OD，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠DAB＝30°，∴∠DOB＝∠ODA+∠DAB＝60°，∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°，即OD⊥BD，∴直線BD與⊙O相切．【變式1-1】（2021?廣東二模）如圖，AD是⊙O的弦，AB經(jīng)過圓心O，交⊙O于點(diǎn)C，連接BD，∠DAB＝∠B＝30°，求證：直線BD是⊙O的切線．【解答】證明：連接OD，∵OA＝OD，∠DAB＝∠B＝30°，∴∠ODA＝∠DAB＝∠B＝30°，又∠BOD為△AOD的外角，∴∠BOD＝∠DAB+∠ODA＝60°，∴∠ODB＝180°﹣∠BOD﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°，即OD⊥BD，∵OD是⊙O的半徑．∴直線BD是⊙O的切線．【變式1-2】（2021秋?濰坊期末）如圖，A、B、C分別是⊙O上的點(diǎn)，∠B＝60°，CD是⊙O的直徑，CD＝2，E是CD延長線上的一點(diǎn)，且AE＝AC．（1）求證：AE是⊙O的切線；（2）求ED的長．【解答】（1）證明：連接OA．∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°，又∵OA＝OC，∴∠ACE＝∠CAO＝30°，∴∠AOE＝∠ACO+∠CAO＝30°+30°＝60°，∵AE＝AC，∴∠E＝∠ACE＝30°，∴∠OAE＝90°，∴OA⊥AE，又∵OA是半徑∴AE是⊙O的切線；方法2：等角代換法證垂直【典例2】（2020秋?福州期末）如圖，AB是⊙O的直徑，C為半圓O上一點(diǎn)，直線l經(jīng)過點(diǎn)C，過點(diǎn)A作AD⊥l于點(diǎn)D，連接AC，當(dāng)AC平分∠DAB時(shí)，求證：直線l是⊙O的切線．【解答】證明：連接OC，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC，又∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OCA，又∵l⊥AD，即∠ADC＝90°，∴∠DAC+∠DCA＝90°，∴∠OCA+∠DCA＝90°，即∠OCD＝90°，∴OC⊥l，∴l(xiāng)是圓O的切線．【變式2-1】（2017秋?荊州區(qū)期末）如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，D為BC的中點(diǎn)，以AC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若AE：EB＝1：2，BC＝6，求⊙O的半徑．【解答】（1）證明：連接OE、EC，∵AC是⊙O的直徑，∴∠AEC＝∠BEC＝90°，∵D為BC的中點(diǎn)，∴ED＝DC＝BD，∴∠1＝∠2，∵OE＝OC，∴∠3＝∠4，∴∠1+∠3＝∠2+∠4，即∠OED＝∠ACB，∵∠ACB＝90°，∴∠OED＝90°，∴DE是⊙O的切線；【變式2-2】（2021秋?灌南縣期末）已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AB⊥AC，BC交⊙O于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，ED與AB的延長線交于點(diǎn)F．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若∠F＝30°，BF＝2，求△ABC外接圓的半徑．【解答】（1）證明：連接OD，∵AB⊥AC，∴∠CAB＝90°，∴∠CAD+∠DAO＝90°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝90°，∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，∴EA＝ED＝AC，∴∠EAD＝∠EDA，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠EDA+∠ODA＝90°，∴∠ODE＝90°，∵OD是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；方法3：平行線性質(zhì)法證垂直【典例3】（2021秋?吉林期末）已知：如圖，△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)P，PD⊥AC于點(diǎn)D．求證：PD是⊙O的切線；【解答】（1）證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵OP＝OB，∴∠B＝∠OPB，∴∠OPB＝∠C，∴OP∥AC，∵PD⊥AC，∴OP⊥PD，∴PD是⊙O的切線；【變式3-1】（2022?大興區(qū)二模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，O是AB上一點(diǎn)，以O(shè)A為半徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)D．求證：BC是⊙O切線；【解答】（1）證明：連接OD；∵AD是∠BAC的平分線，∴∠1＝∠3．∵OA＝OD，∴∠1＝∠2．∴∠2＝∠3．∴OD∥AC．∴∠ODB＝∠ACB＝90°．∴OD⊥BC．∴BC是⊙O切線．【變式3-2】（2021?崆峒區(qū)一模）如圖，AB是⊙O的直徑，⊙O交BC的中點(diǎn)于D，DE⊥AC．求證：DE是⊙O的切線．【解答】（1）證明：連接OD，∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD．∵OA＝OB，∴OD∥AC．又∵DE⊥AC，∴OD⊥DE．∴DE是⊙O的切線；【變式3-3】（2022?百色一模）如圖，在△ABC中，BA＝BC，以AB為直徑作⊙O，交AC于點(diǎn)D，連結(jié)DB，過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為點(diǎn)E．求證：DE是⊙O的切線；【解答】（1）證明：連接OD，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵AB＝BC，∴AD＝CD，∵OA＝OB，∵DO是△ABC的中位線，∴DO∥BC，∴∠ODE＝∠DEC＝90°，∵OD是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；方法4：全等三角形法證垂直【典例4】（2022?東明縣一模）已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB為直徑的⊙O與BC相交于點(diǎn)E，在AC上取一點(diǎn)D，使得DE＝AD，求證：DE是⊙O的切線．【解答】（1）證明：連接OE、OD，在△AOD和△EOD中，，∴△AOD≌△EOD（SSS），∴∠OED＝∠BAC＝90°，∴DE是⊙O的切線；【變式4-1】（2021秋?虎林市校級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC為直徑的⊙O交斜邊AB于點(diǎn)D，若E是AC的中點(diǎn)，連接DE．求證：DE為⊙O的切線．【解答】證明：連接OD、OE，∵BC是⊙O直徑，E是AC的中點(diǎn)，∴OE∥AB，∴∠EOD＝∠ODB，∠EOC＝∠B，又∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∴∠EOD＝∠EOC，又∵OC＝OD，OE＝OE，∴△EOD≌△EOC（SAS），∴∠EDO＝∠ECO（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等），又∵∠ACB＝90°，∴∠EDO＝90°，又∵點(diǎn)D在⊙O上，∴DE為⊙O的切線．【考點(diǎn)2無公共點(diǎn)：做垂直，證半徑】方法5：角平分線的性質(zhì)法證半徑【典例5】（2020?八步區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC的角平分線交BC于點(diǎn)D，E為AB上一點(diǎn)，DE＝DC，以D為圓心，DB的長為半徑作⊙D，AB＝5，BE＝3．求證：AC是⊙D的切線；【解答】（1）證明：過點(diǎn)D作DF⊥AC于F；∵AB為⊙D的切線，∴∠B＝90°，∴AB⊥BC，∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，∴BD＝DF，∴AC與⊙D相切；【變式5-1】（2018?天河區(qū)校級(jí)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分線，以點(diǎn)D為圓心，DA為半徑的⊙D與AC相交于點(diǎn)E求證：BC是⊙D的切線；【解答】（1）證明：過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，∵∠BAD＝90°，BD平分∠ABC，∴AD＝DF．∵AD是⊙D的半徑，DF⊥BC，∴BC是⊙D的切線；方法6：全等三角形法證半徑【典例6】如圖，在△ABC中，O為AC上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑作圓，與BC相切于點(diǎn)C，過點(diǎn)A作AD⊥BO交BO的延長線于點(diǎn)D，且∠AOD＝∠BAD．（1）求證：AB為⊙O的切線；（2）若AB＝10，sin∠ABC＝，求⊙O的半徑．【解答】（1）證明：過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，∵AD⊥BO于點(diǎn)D，∴∠D＝90°，∴∠BAD+∠ABD＝90°，∠AOD+∠OAD＝90°，∵∠AOD＝∠BAD，∴∠ABD＝∠OAD，又∵BC為⊙O的切線，∴AC⊥BC，∴∠BCO＝∠D＝90°，∵∠BOC＝∠AOD，∴∠OBC＝∠OAD＝∠ABD，∴OE＝OC，∵OE⊥AB，OE是⊙O的半徑，∴AB是⊙O的切線；【變式6】（2020秋?開福區(qū)月考）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在圓上，且四邊形AOCD是平行四邊形，過點(diǎn)D作⊙O的切線，分別交OA的延長線與OC的延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接BF．求證：BF是⊙O的切線；【解答】（1）證明：連接OD，如圖，∵四邊形AOCD是平行四邊形,∵OA＝OC，∴四邊形AOCD是菱形,∴△OAD和△OCD都是等邊三角形，∴∠AOD＝∠COD＝60°，∴∠FOB＝60°,∵EF為切線，∴OD⊥EF，∴∠FDO＝90°,在△FDO和△FBO中,,∴△FDO≌△FBO（SAS）,∴∠ODF＝∠OBF＝90°,∴OB⊥BF，∴BF是⊙O的切線；1．（2021秋?西城區(qū)校級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分線，點(diǎn)O在AB上，以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑的圓經(jīng)過點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．求證：AC是⊙O的切線；【解答】（1）證明：連接OD，如圖，∵BD為∠ABC平分線，∴∠1＝∠2，∵OB＝OD，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴OD∥BC，∵∠C＝90°，∴∠ODA＝90°，∴AC是⊙O的切線；2．（2021秋?溫嶺市期末）如圖，D為⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)C在直徑BA的延長線上，且∠CDA＝∠CBD．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若AC＝8，CD＝12，求半徑的長度．【解答】（1）證明：連接OD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∵∠CDA＝∠CBD，∴∠DAB+∠CDA＝90°，∵OD＝OA，∴∠DAB＝∠ADO，∴∠CDA+∠ADO＝90°，∴∠CDO＝90°，∵OD是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線；3．（2022春?興寧區(qū)校級(jí)期末）如圖，⊙O的半徑為1，A是⊙O的直徑BD延長線上的一點(diǎn)，C為⊙O上的一點(diǎn)，AD＝CD，∠A＝30°．求證：直線AC是⊙O的切線；【解答】（1）證明：連接OC，如圖，∵AD＝CD，∠A＝30°，∴∠ACD＝30°，∴∠CDB＝60°，∵OD＝OC，∴∠OCD＝60°，∴∠ACO＝∠ACD+∠OCD＝90°，∵OC是半徑，∴直線AC是⊙O的切線；4．（2021秋?新興縣期末）如圖，已知，四邊形ABCD中，E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，DE＝EC，以AE為直徑的⊙O與邊CD相切于點(diǎn)D，點(diǎn)B在⊙O上，連接OB．（1）求證：DE＝OE；（2）若CD∥AB，求證：BC是⊙O的切線．【解答】（1）證明：如圖，連接OD，∵CD是⊙O的切線，∴OD⊥CD，∴∠2+∠3＝∠1+∠COD＝90°，∵DE＝EC，∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠COD，∴DE＝OE；（2）證明：∵OD＝OE，∴OD＝DE＝OE，∴∠3＝∠COD＝∠DEO＝60°，∴∠2＝∠1＝30°，∵AB∥CD，∴∠4＝∠1，∴∠1＝∠2＝∠4＝∠OBA＝30°，∴∠BOC＝∠DOC＝60°，在△CDO與△CBO中，，∴△CDO≌△CBO（SAS），∴∠CBO＝∠CDO＝90°，∴OB⊥BC，∵OB是圓的半徑，∴BC是⊙O的切線．5.（2022?郴州）如圖，在△ABC中，AB＝AC．以AB為直徑的⊙O與線段BC交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，ED的延長線