專題10分式方程及分式方程的應(yīng)用壓軸題五種模型全攻略(原卷版+解析)-【壓軸必考】2021-2022學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊壓軸題攻略(浙教版)

專題10分式方程及分式方程的應(yīng)用壓軸題五種模型全攻略【類型一分式方程的定義】例題：（2022·山東濟(jì)寧·八年級期末）下列方程中不是分式方程的是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練1】（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）下列關(guān)于的方程，是分式方程的是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練2】（2021·河南省淮濱縣第一中學(xué)模擬預(yù)測）下列方程：①；②；③；④（為已知數(shù)），其中分式方程有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【變式訓(xùn)練3】（2021·山東威?！ぐ四昙壠谥校┮阎匠蹋孩?；②；③；④．這四個方程中，分式方程的個數(shù)是（

）A． B． C． D．【類型二解分式方程】例題：（2022·山東濟(jì)寧·八年級期末）解方程(1)．(2)．【變式訓(xùn)練1】（2022·湖南邵陽·八年級期末）解下列分式方程：(1)；(2)【變式訓(xùn)練2】（2022·吉林大學(xué)附屬中學(xué)八年級階段練習(xí)）解方程：(1)＝；(2)﹣3【變式訓(xùn)練3】（2022·山東泰安·八年級期末）解分式方程(1)(2)(3)(4)【類型三列分式方程】例題：（2022·四川眉山·八年級期中）“綠水青山就是金山銀山”，為改善環(huán)境，某村計(jì)劃在荒山上種植960棵樹苗，實(shí)際比原計(jì)劃每天多種20棵樹苗，結(jié)果提前4天完成任務(wù)，原計(jì)劃每天種樹苗多少棵？設(shè)原計(jì)劃每天種樹苗x棵，根據(jù)題意可列出方程為____________．【變式訓(xùn)練1】（2022·遼寧鞍山·一模）某高科技企業(yè)要完成6000個零件的生產(chǎn)任務(wù)，按原計(jì)劃工作一天后，為了盡快完成該項(xiàng)任務(wù)，延長了工作時間，之后每天生產(chǎn)的零件數(shù)量是原計(jì)劃的倍，結(jié)果提前3天完成任務(wù)，求原計(jì)劃每天生產(chǎn)零件多少個？設(shè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)零件x個，則可列方程為______．【變式訓(xùn)練2】（2022·云南·云大附中模擬預(yù)測）疫情無情人有情，某制藥廠要為抗擊疫情第一線捐贈一種急救藥品，有兩種包裝，大瓶比小瓶可多裝20克該藥品，已知120克這一藥品單獨(dú)裝滿小瓶的瓶數(shù)是單獨(dú)裝滿大瓶瓶數(shù)的1.5倍．設(shè)小瓶每個可裝這一藥品x克，則可列方程為_______．【變式訓(xùn)練3】（2022·浙江湖州·模擬預(yù)測）小明乘出租車去體育場，有兩條路線可供選擇：路線一的全程是25千米，但交通比較擁堵，路線二的全程是30千米，平均車速比走路線一時的平均車速能提高80%，因此能比走路線一少用10分鐘到達(dá)．若設(shè)走路線一時的平均速度為x千米/小時，根據(jù)題意，列方程為_____．【類型四分式方程中含參數(shù)問題】例題：（2022·河南周口·八年級期末）若關(guān)于x的分式方程無解，則k的值為（

）A． B． C．或2 D．【變式訓(xùn)練1】（2022·江蘇南通·一模）若關(guān)于x的方程的解為正數(shù)，則m的取值范圖是（

）A． B．且 C． D．且【變式訓(xùn)練2】（2022·重慶·一模）若關(guān)于x的一元一次不等式組的解集為，且關(guān)于x的分式方程有正整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)a的和為（

）A．-6 B．-4 C．-2 D．0【變式訓(xùn)練3】（2022·山東·廣饒縣英才中學(xué)一模）已知關(guān)于x的分式方程的解為非正數(shù)，則k的取值范圍是______．【類型五分式方程的應(yīng)用】例題：（2022·湖南常德·一模）常德市某校購進(jìn)一批甲、乙兩種中考排球，已知一個甲種排球的價(jià)格與一個乙種排球的價(jià)格的和為元，用元購進(jìn)甲種排球的個數(shù)與用元購進(jìn)乙種排球的個數(shù)相同．(1)求每個甲種、乙種排球的價(jià)格分別是多少元？(2)該校計(jì)劃用元購買甲、乙兩種排球，由于采購人員把甲、乙兩種排球的個數(shù)互換了，結(jié)果需元，求該校原計(jì)劃購進(jìn)甲、乙兩種排球各多少個？【變式訓(xùn)練1】（2022·山東泰安·一模）疫情期間，蔬菜成為人們搶購的生活物資．某蔬菜超市第一次用1200元購進(jìn)某種蔬菜若干千克，以每千克8元價(jià)格很快被搶購一空．該超市第二次購買時，受疫情影響，每千克的進(jìn)價(jià)比第一次提高了10%，用1452元所購買的數(shù)量比第一次購進(jìn)的數(shù)量多20千克．第二次購進(jìn)的該種蔬菜以每千克9元售出100千克后，因政府調(diào)控，蔬菜供應(yīng)充足，為防滯銷，該超市便降價(jià)50%售完剩余的蔬菜．該蔬菜超市在這兩次銷售中，總體上是盈利還是虧損？盈利或虧損了多少元？【變式訓(xùn)練2】（2022·遼寧·黑山縣教師進(jìn)修學(xué)校一模）2022年春季的疫情牽動著全國人民的心．“一方有難、八方支援”，某廠計(jì)劃生1800萬個口罩支援疫區(qū)，為盡快把口罩發(fā)往災(zāi)區(qū)，工人把每天的工作效率提高到原計(jì)劃的1.5倍，結(jié)果比原計(jì)劃提前3天完成了生產(chǎn)任務(wù)．求原計(jì)劃每天生產(chǎn)多少萬個口罩？【變式訓(xùn)練3】（2022·山東青島·一模）為厲行節(jié)能減排，倡導(dǎo)綠色出行，“共享單車”登陸某市中心城區(qū)，某公司擬在甲、乙兩個街道社區(qū)投放一批“共享單車”，這批自行車包括A，B兩種不同款型．請解決下列問題：(1)該公司早期在甲街區(qū)進(jìn)行了試點(diǎn)投放，共投放A，B兩型自行車各50輛，投放成本共計(jì)20500元，其中B型車的成本單價(jià)比A型車高10元，求A，B兩型自行車的成本單價(jià)各是多少？(2)該公司決定采取如下投放方式：甲街區(qū)每1000人投放a輛“共享單車”，乙街區(qū)每1500人投放2a輛“共享單車”，按照這種投放方式，甲街區(qū)共投放1500輛，乙街區(qū)共投放1200輛，如果兩個街區(qū)共有12萬人，試求a的值．【課后訓(xùn)練】一、選擇題1．（2022·甘肅慶陽·八年級期末）下列關(guān)于x的方程是分式方程的是（

）A． B． C． D．2．（2021·廣東·廣州市白云區(qū)廣大附中實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級階段練習(xí)）方程的解為（）A．x＝2 B．x＝6 C．x＝﹣6 D．x＝﹣33．（2022·山東煙臺·八年級期末）若關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值為（

）A．2 B． C． D．34．（2022·河北保定外國語學(xué)校一模）京張高鐵連接北京市和張家口，是北京冬奧會的重要交通保障設(shè)施．全長，由于高速列車速度大約是普通快車速度的6.5倍、所以全程時間也相應(yīng)縮短了．若設(shè)普通快車的速度為，那么下面所列方程正確的是（

）A． B． C． D．5．（2022·四川德陽·一模）若數(shù)使關(guān)于的方程無解，且使關(guān)于的不等式組有整數(shù)解且至多有個整數(shù)解，則符合條件的之和為（

）A． B． C． D．二、填空題6．（2022·山東濱州·一模）關(guān)于x的方程的解為______．7．（2022·湖北襄陽·八年級期末）若關(guān)于的方程無解，則的值為______．8．（2022·江蘇·江陰市敔山灣實(shí)驗(yàn)學(xué)校一模）關(guān)于x的方程的根為負(fù)數(shù)，則a的值為__________．9．（2022·山東濰坊·一模）為提升晚高峰車輛的通行速度，某市設(shè)置潮汐車道，首條潮汐車道從市政府廣場到人民公園，全程約3千米．該路段實(shí)行潮汐車道設(shè)置后，在晚高峰期間，通過該路段的車輛的行駛速度平均提升25%，行駛時間平均減少2分鐘．設(shè)實(shí)施潮汐車道之前，在晚高峰期間通過該路段的車輛平均每小時行駛x千米，則可列方程為__________．10．（2022·浙江·蘭溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模）對于實(shí)數(shù)a，b定義一種新運(yùn)算“”為，這里等式右邊是實(shí)數(shù)運(yùn)算．例如，則方程的解是__．三、解答題11．（2022·北京·東直門中學(xué)一模）解方程：．12．（2022·北京大興·一模）解分式方程：．13．（2021·海南省直轄縣級單位·八年級期末）解分式方程.(1)；(2).14．（2021·浙江·杭州市建蘭中學(xué)一模）小明在解一道分式方程﹣1＝，過程如下：方程整理．去分母x﹣1﹣1＝2x﹣5，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)x＝3，檢驗(yàn)，經(jīng)檢驗(yàn)x＝3是原來方程的根．小明的解答是否有錯誤？如果有錯誤，寫出正確的解答過程．15．（2022·浙江衢州·一模）小王和小凌在解答“解分式方程：”的過程如下框，請你判斷他們的解法是否正確？若錯誤，請寫出你的解答過程.小王的解法：解，去分母得：

①去括號得：

②移項(xiàng)得：

③合并同類項(xiàng)得：

④系數(shù)化為1得：

⑤是原分式方程的解

⑥小凌的解法：解，去分母得：

①移項(xiàng)得：

②合并同類項(xiàng)得：

③系數(shù)化為1得：

④是原分式方程的解

⑤16．（2022·江西·南城縣教育體育事業(yè)發(fā)展中心一模）“菊潤初經(jīng)雨，橙香獨(dú)占秋”，如圖，橙子是一種甘甜爽口的水果，富含豐維生C．某水果商城為了了解兩種橙子市場銷售情況，購進(jìn)了一批數(shù)量相等的“血橙”和“臍橙”供客戶對比品嘗，其中購買“臍橙”用了420元，購買“血橙”用了756元，已知每千克“血橙”進(jìn)價(jià)比每千克“臍橙”貴8元．求每千克“血橙”和“臍橙”進(jìn)價(jià)各是多少元？17．（2022·廣西貴港·二模）甲、乙兩人在同一個商場購買相同價(jià)格的同一種商品，甲用2400元購買的商品數(shù)量比乙用3000元購買的商品數(shù)量少10件．(1)求這種商品的單價(jià)；(2)甲、乙兩人第二次又同時去購買該商品，發(fā)現(xiàn)該商品的單價(jià)有所變化，如果甲購買該商品的總價(jià)與上次相同，乙購買該商品的數(shù)量與上次相同，結(jié)果兩人兩次購買該商品的總件數(shù)相同，那么該商品的價(jià)格是如何變化？請說明理由．18．（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）某糕點(diǎn)加工點(diǎn)受資金和原料保質(zhì)期等因素影響，在購買主要原料面包粉和蛋糕粉時需分次購買．下表是該店最近三次購進(jìn)原料的數(shù)量與總金額，其中前兩次是按原價(jià)購買，第三次享受了優(yōu)惠．第一次第二次第三次面包粉（袋）235蛋糕粉（袋）458總金額（元）520700912(1)第三次購買的總金額比按原價(jià)購買節(jié)省了多少錢？(2)該店第四次購買原料時，按照第三次購買的經(jīng)驗(yàn)，預(yù)算912元，仍需購買5袋面包粉和8袋蛋糕粉．在接洽的過程中，發(fā)現(xiàn)優(yōu)惠方式又發(fā)生了變化，相較于原價(jià)，每袋蛋糕粉降低的價(jià)格是每袋面包粉降低的價(jià)格的兩倍，這時用576元能夠買到面包粉的袋數(shù)是蛋糕粉袋數(shù)的．預(yù)算夠嗎？專題10分式方程及分式方程的應(yīng)用壓軸題五種模型全攻略【類型一分式方程的定義】例題：（2022·山東濟(jì)寧·八年級期末）下列方程中不是分式方程的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分式方程的概念逐項(xiàng)判斷即可找出正確答案．【詳解】解：分式方程需同時滿足3個條件，即是方程，有分母，分母中含有未知量，觀察可知，選項(xiàng)ABD均滿足上述三個條件，故都是分式方程，選項(xiàng)C分母中沒有未知量，不屬于分式方程，故答案為：C．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的概念，熟練掌握分式方程的判定方法是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）下列關(guān)于的方程，是分式方程的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分式方程的定義：分母里含有字母的方程叫做分式方程進(jìn)行判斷．【詳解】解：．方程分母中不含未知數(shù)，故不是分式方程，不符合題意；．方程分母中不含未知數(shù)，故不是分式方程，不符合題意；．方程分母中不含表示未知數(shù)的字母，是常數(shù)，故不是分式方程，不符合題意；．方程分母中含未知數(shù)，故是分式方程，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的定義，解題的關(guān)鍵是掌握判斷一個方程是否為分式方程，主要是依據(jù)分式方程的定義，也就是看分母中是否含有未知數(shù)（注意：僅僅是字母不行，必須是表示未知數(shù)的字母）．【變式訓(xùn)練2】（2021·河南省淮濱縣第一中學(xué)模擬預(yù)測）下列方程：①；②；③；④（為已知數(shù)），其中分式方程有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】B【解析】【分析】等號兩邊至少有一個分母含有未知數(shù)的有理方程叫做分式方程；【詳解】解：觀察各方程的分母，只有①③分母中含有未知數(shù)，而④中分母雖含有字母，但字母不是未知數(shù)，故不是分式方程，所以方程①③是分式方程，方程②④均屬于整式方程．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的定義，掌握定義是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】（2021·山東威?！ぐ四昙壠谥校┮阎匠蹋孩?；②；③；④．這四個方程中，分式方程的個數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程，根據(jù)定義解答．【詳解】解：根據(jù)定義可知：①②③為分式方程，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查分式方程的定義，熟記定義是解題的關(guān)鍵．【類型二解分式方程】例題：（2022·山東濟(jì)寧·八年級期末）解方程(1)．(2)．【答案】(1)(2)【解析】【分析】根據(jù)分式方程的求解步驟解分式方程即可；去分母、去括號、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1.(1)解：將代入x-1中得-3≠0所以是方程的解；(2)解：將代入中得-8≠0所以是方程的解.【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的求解，掌握分式方程的求解步驟（去分母、去括號、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1）是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】（2022·湖南邵陽·八年級期末）解下列分式方程：(1)；(2)【答案】(1)x＝0(2)無解【解析】【分析】（1）方程兩邊同時乘（x﹣1）化成整式方程，然后解這個方程并檢驗(yàn)即可；（2）方程兩邊同時乘（x＋2）（x﹣2）化成整式方程，然后解這個方程并檢驗(yàn)即可；(1)解：∵＋＝1，∴﹣＝1，方程兩邊同時乘（x﹣1），可得：1﹣2＝x﹣1，解得：x＝0，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝0是原分式方程的解，∴原分式方程的解為：x＝0．(2)解：∵﹣1＝，∴﹣1＝，方程兩邊同時乘（x＋2）（x﹣2），可得：x（x＋2）﹣（x＋2）（x﹣2）＝8，整理得：2x﹣4＝0，解得x＝2，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝2時，（x＋2）（x﹣2）＝0，∴原分式方程無解．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，解題的關(guān)鍵是把方程兩邊同時乘以方程分母的最簡公分母，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，然后解整式方程并檢驗(yàn)，即可確定分式方程的根．【變式訓(xùn)練2】（2022·吉林大學(xué)附屬中學(xué)八年級階段練習(xí)）解方程：(1)＝；(2)﹣3【答案】(1)x=3(2)分式方程無解【解析】【分析】（1）將分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解；（2）將分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．(1)解：去分母得：x+2（x-2）=x+2，去括號得：x+2x-4=x+2，解得：x=3，檢驗(yàn)：把x=3代入得：（x+2）（x-2）≠0，∴分式方程的解為x=3；(2)解：去分母得：1=x-1-3（x-2），去括號得：1=x-1-3x+6，解得：x=2，檢驗(yàn)：把x=2代入得：x-2=0，∴x=2是增根，分式方程無解．【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．【變式訓(xùn)練3】（2022·山東泰安·八年級期末）解分式方程(1)(2)(3)(4)【答案】(1)x=4(2)無解(3)無解(4)x=--5【解析】【分析】（1）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解；（2）方程先乘最簡公分母，化分式方程為整式方程，再求解；（3）方程先乘最簡公分母，化分式方程為整式方程，再求解；（4）方程先乘最簡公分母，化分式方程為整式方程，再求解．(1)，解：方程兩邊同時乘以得：，解得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時，．所以原方程的解為．(2)解：方程兩邊同時乘以得：，解得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時，．所以原方程無解．(3)解：方程兩邊同時乘以得：，解得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時，．所以原方程無解．(4)解：方程兩邊同時乘以得：，解得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時，．所以原方程的解為．【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．【類型三列分式方程】例題：（2022·四川眉山·八年級期中）“綠水青山就是金山銀山”，為改善環(huán)境，某村計(jì)劃在荒山上種植960棵樹苗，實(shí)際比原計(jì)劃每天多種20棵樹苗，結(jié)果提前4天完成任務(wù)，原計(jì)劃每天種樹苗多少棵？設(shè)原計(jì)劃每天種樹苗x棵，根據(jù)題意可列出方程為____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，找出等量關(guān)系式：原計(jì)劃所用天數(shù)-實(shí)際所用天數(shù)=4，進(jìn)而列出方程．【詳解】解：由題意，得故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的實(shí)際問題，找到等量關(guān)系式是解決問題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】（2022·遼寧鞍山·一模）某高科技企業(yè)要完成6000個零件的生產(chǎn)任務(wù)，按原計(jì)劃工作一天后，為了盡快完成該項(xiàng)任務(wù)，延長了工作時間，之后每天生產(chǎn)的零件數(shù)量是原計(jì)劃的倍，結(jié)果提前3天完成任務(wù)，求原計(jì)劃每天生產(chǎn)零件多少個？設(shè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)零件x個，則可列方程為______．【答案】【解析】【分析】設(shè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)零件x個，則實(shí)際每天生產(chǎn)零件為個，根據(jù)提前3天完成任務(wù)，列方程即可．【詳解】解：設(shè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)零件x個，則實(shí)際每天生產(chǎn)零件為個，由題意得，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程即可．【變式訓(xùn)練2】（2022·云南·云大附中模擬預(yù)測）疫情無情人有情，某制藥廠要為抗擊疫情第一線捐贈一種急救藥品，有兩種包裝，大瓶比小瓶可多裝20克該藥品，已知120克這一藥品單獨(dú)裝滿小瓶的瓶數(shù)是單獨(dú)裝滿大瓶瓶數(shù)的1.5倍．設(shè)小瓶每個可裝這一藥品x克，則可列方程為_______．【答案】【解析】【分析】設(shè)小瓶每個可裝這一藥品x克，則大瓶每個可裝這一藥品(x＋20)克，根據(jù)“120克這一藥品單獨(dú)裝滿小瓶的瓶數(shù)是單獨(dú)裝滿大瓶瓶數(shù)的1.5倍”即可列出方程．【詳解】解：設(shè)小瓶每個可裝這一藥品x克，則大瓶每個可裝這一藥品(x＋20)克，由題意得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，理解題意，找到合適的等量關(guān)系列方程是解決問題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】（2022·浙江湖州·模擬預(yù)測）小明乘出租車去體育場，有兩條路線可供選擇：路線一的全程是25千米，但交通比較擁堵，路線二的全程是30千米，平均車速比走路線一時的平均車速能提高80%，因此能比走路線一少用10分鐘到達(dá)．若設(shè)走路線一時的平均速度為x千米/小時，根據(jù)題意，列方程為_____．【答案】【解析】【分析】若設(shè)走路線一時的平均速度為x千米/小時，則走路線二時的平均速度為，根據(jù)走路線一用的時間-走線路二用的時間=10分鐘，可列出方程．【詳解】解：設(shè)走路線一時的平均速度為x千米/小時，則走路線二時的平均速度為，根據(jù)題意得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了列分式方程解解應(yīng)用題，根據(jù)條件找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【類型四分式方程中含參數(shù)問題】例題：（2022·河南周口·八年級期末）若關(guān)于x的分式方程無解，則k的值為（

）A． B． C．或2 D．【答案】C【解析】【分析】分兩種情況，整式方程無解，分式方程產(chǎn)生增根．【詳解】解：，去分母得：kx+2k-1=2（x-1），整理得：（2-k）x=2k+1，∵關(guān)于x的分式方程無解，∴分兩種情況：當(dāng)2-k=0時，k=2；當(dāng)x-1=0時，x=1，把x=1代入kx+2k-1=2（x-1）中可得：k+2k-1=0，∴k=，綜上所述：k的值為：2或，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程無解問題，分式方程無解分兩種情況：整式方程本身無解；分式方程產(chǎn)生增根．【變式訓(xùn)練1】（2022·江蘇南通·一模）若關(guān)于x的方程的解為正數(shù)，則m的取值范圖是（

）A． B．且 C． D．且【答案】D【解析】【分析】先求得方程的解，再把x＞0轉(zhuǎn)化成關(guān)于m的不等式，求得m的取值范圍，注意x≠2．【詳解】方程兩邊同乘以，得，解得，∵方程的解為正數(shù)，且，解得且，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，利用方程的解得出不等式是解題關(guān)鍵，注意方程的解要使方程有意義．【變式訓(xùn)練2】（2022·重慶·一模）若關(guān)于x的一元一次不等式組的解集為，且關(guān)于x的分式方程有正整數(shù)解，則符合條件的所有整數(shù)a的和為（

）A．-6 B．-4 C．-2 D．0【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)關(guān)于x的一元一次不等式組的解集為，求得的范圍，再根據(jù)分式方程有正整數(shù)解，求得的范圍，綜合即可求得的范圍，再求整數(shù)和即可．【詳解】解：關(guān)于x的一元一次不等式組解的∵解集為x≤-5．∴2a+3＞-5．∴a＞-4．關(guān)于x的分式方程解得：x∵有正整數(shù)數(shù)解，且x≠3．∴a-2=-12或-6或-3或-2或-1．∴a=-10或-4或-1或0或1綜上：符合條件的所有整數(shù)a為：-1、0、1．∴符合條件的所有整數(shù)a的和為：-1+0+1=0．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式組，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．關(guān)于參數(shù)考查不等式，參數(shù)分式方程的知識，一般先將參數(shù)看成已知，解出不等式的解集或分式方程的解，然后利用數(shù)軸進(jìn)行分析，或者已知條件分析從而，找到參數(shù)的的取值范圍．【變式訓(xùn)練3】（2022·山東·廣饒縣英才中學(xué)一模）已知關(guān)于x的分式方程的解為非正數(shù)，則k的取值范圍是______．【答案】且【解析】【分析】先將分式方程化成整式方程，求出方程的解為，再根據(jù)方程的解為非正數(shù)確定k的取值范圍，要注意分式分母不為零的情況．【詳解】解：去分母得：，整理得：，解得：，由分式方程的解為非正數(shù)，得到，且，解得：且．故答案為：且【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解的情況求解參數(shù)的取值范圍，解題的關(guān)鍵是用含k的代數(shù)式將方程的解表示出來，注意分式方程有意義的條件．【類型五分式方程的應(yīng)用】例題：（2022·湖南常德·一模）常德市某校購進(jìn)一批甲、乙兩種中考排球，已知一個甲種排球的價(jià)格與一個乙種排球的價(jià)格的和為元，用元購進(jìn)甲種排球的個數(shù)與用元購進(jìn)乙種排球的個數(shù)相同．(1)求每個甲種、乙種排球的價(jià)格分別是多少元？(2)該校計(jì)劃用元購買甲、乙兩種排球，由于采購人員把甲、乙兩種排球的個數(shù)互換了，結(jié)果需元，求該校原計(jì)劃購進(jìn)甲、乙兩種排球各多少個？【答案】(1)每個甲種排球進(jìn)價(jià)是15元，每個乙種排球進(jìn)價(jià)是25元(2)原計(jì)劃購進(jìn)甲種排球150個、乙種排球個【解析】【分析】（1）設(shè)每個甲種排球進(jìn)價(jià)元，則每個乙種排球進(jìn)價(jià)為元．根據(jù)題意列出分式方程并求解即可．（2）設(shè)購進(jìn)甲種排球個，購進(jìn)乙種排球個．根據(jù)題意列出二元一次方程組并求解即可．(1)解：設(shè)每個甲種排球進(jìn)價(jià)元，則每個乙種排球進(jìn)價(jià)為元．根據(jù)題意得．解得．經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解．所以．答：每個甲種排球進(jìn)價(jià)是15元，每個乙種排球進(jìn)價(jià)是25元．(2)解：設(shè)購進(jìn)甲種排球個，購進(jìn)乙種排球個根據(jù)題意得解得答：原計(jì)劃購進(jìn)甲種排球150個、乙種排球個．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用，正確理解題意是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】（2022·山東泰安·一模）疫情期間，蔬菜成為人們搶購的生活物資．某蔬菜超市第一次用1200元購進(jìn)某種蔬菜若干千克，以每千克8元價(jià)格很快被搶購一空．該超市第二次購買時，受疫情影響，每千克的進(jìn)價(jià)比第一次提高了10%，用1452元所購買的數(shù)量比第一次購進(jìn)的數(shù)量多20千克．第二次購進(jìn)的該種蔬菜以每千克9元售出100千克后，因政府調(diào)控，蔬菜供應(yīng)充足，為防滯銷，該超市便降價(jià)50%售完剩余的蔬菜．該蔬菜超市在這兩次銷售中，總體上是盈利還是虧損？盈利或虧損了多少元？【答案】總體上是盈利，盈利388元．【解析】【分析】設(shè)第一次購進(jìn)的單價(jià)為x元，則第二次購進(jìn)的單價(jià)為（1+10%）x，根據(jù)數(shù)量=總價(jià)÷單價(jià)結(jié)合用1452元所購買的數(shù)量比第一次購進(jìn)的數(shù)量多20千克，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出x的值，由數(shù)量=總價(jià)÷單價(jià)及第二次比第一次多購進(jìn)20千克，可求出第一次及第二次購進(jìn)的數(shù)量，再利用利潤=銷售單價(jià)×銷售數(shù)量-進(jìn)貨總成本，即可求出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)第一次購進(jìn)的單價(jià)為x元，則第二次購進(jìn)的單價(jià)為（1+10%）x，依題意得：，解得：x=6，經(jīng)檢驗(yàn)，x=6是原方程的解且符合題意．第一次購進(jìn)的數(shù)量為1200÷6=200（千克），第二次購進(jìn)的數(shù)量為200+20=220（千克）．8×200+9×100+9×（1-50%）×（220-100）-1200-1452=388（元）．答：總體上是盈利，盈利388元．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】（2022·遼寧·黑山縣教師進(jìn)修學(xué)校一模）2022年春季的疫情牽動著全國人民的心．“一方有難、八方支援”，某廠計(jì)劃生1800萬個口罩支援疫區(qū)，為盡快把口罩發(fā)往災(zāi)區(qū)，工人把每天的工作效率提高到原計(jì)劃的1.5倍，結(jié)果比原計(jì)劃提前3天完成了生產(chǎn)任務(wù)．求原計(jì)劃每天生產(chǎn)多少萬個口罩？【答案】原計(jì)劃每天生產(chǎn)200萬個口罩【解析】【分析】設(shè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)x萬個口罩，根據(jù)工人把每天的工作效率提高到原計(jì)劃的1.5倍，結(jié)果比原計(jì)劃提前3天完成了生產(chǎn)任務(wù)，利用時間做為等量關(guān)系列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)x萬個口罩，則依據(jù)題意，得：，解得：x=200，把x代入原方程，成立，∴x=200是原方程的解，且符合題意．答：原計(jì)劃每天生產(chǎn)200萬個口罩．【點(diǎn)睛】

本題考查了分式方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵讀懂題意，找出列方程利用的等量關(guān)系，注意解分式方程需要檢驗(yàn)．【變式訓(xùn)練3】（2022·山東青島·一模）為厲行節(jié)能減排，倡導(dǎo)綠色出行，“共享單車”登陸某市中心城區(qū)，某公司擬在甲、乙兩個街道社區(qū)投放一批“共享單車”，這批自行車包括A，B兩種不同款型．請解決下列問題：(1)該公司早期在甲街區(qū)進(jìn)行了試點(diǎn)投放，共投放A，B兩型自行車各50輛，投放成本共計(jì)20500元，其中B型車的成本單價(jià)比A型車高10元，求A，B兩型自行車的成本單價(jià)各是多少？(2)該公司決定采取如下投放方式：甲街區(qū)每1000人投放a輛“共享單車”，乙街區(qū)每1500人投放2a輛“共享單車”，按照這種投放方式，甲街區(qū)共投放1500輛，乙街區(qū)共投放1200輛，如果兩個街區(qū)共有12萬人，試求a的值．【答案】(1)A，B兩型自行車的單價(jià)分別是200元和210元；(2)a的值為20．【解析】【分析】（1）設(shè)A型車的成本單價(jià)為x元，B型車的成本單價(jià)為y元，根據(jù)題意列方程組求解即可；（2）根據(jù)等量關(guān)系，列關(guān)于a的方程求解即可．(1)解：解：設(shè)A型車的成本單價(jià)為x元，B型車的成本單價(jià)為y元.依題意得解得，，∴A，B兩型自行車的單價(jià)分別是200元和210元；(2)解：由題意得：，解得，經(jīng)檢驗(yàn)：是所列方程的解，∴a的值為20【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是找出等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系列方程（組）．【課后訓(xùn)練】一、選擇題1．（2022·甘肅慶陽·八年級期末）下列關(guān)于x的方程是分式方程的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分式方程的定義判斷選擇即可．【詳解】A.，是一元一次方程，不符合題意；

B.，是一元一次方程，不符合題意；

C.，是分式方程，符合題意；

D.，是一元一次方程，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的定義．掌握分式方程是指分母里含有未知數(shù)或含有未知數(shù)整式的有理方程是解答本題的關(guān)鍵．2．（2021·廣東·廣州市白云區(qū)廣大附中實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級階段練習(xí)）方程的解為（）A．x＝2 B．x＝6 C．x＝﹣6 D．x＝﹣3【答案】B【解析】【分析】方程兩邊同乘以x（x－2），將分式方程化為整式方程，解整式方程，最后驗(yàn)根．【詳解】解：方程兩邊同乘以x（x－2），得3（x－2）＝2x，去括號，得3x－6＝2x，移項(xiàng)，得x＝6，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝6時，x（x－2）＝24≠0，∴x＝6是原方程的解，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，熟練掌握分式方程的方法以及最后要驗(yàn)根是解題的關(guān)鍵．3．（2022·山東煙臺·八年級期末）若關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值為（

）A．2 B． C． D．3【答案】D【解析】【分析】把分式方程化為整式方程，進(jìn)而把可能的增根代入，可得m的值．【詳解】解：去分母得3x-(x-2)=m+3，當(dāng)增根為x=2時，6=m+3∴m=3．故選：D．【點(diǎn)睛】考查分式方程的增根問題；增根問題可按如下步驟進(jìn)行：①讓最簡公分母為0確定增根；②化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．4．（2022·河北保定外國語學(xué)校一模）京張高鐵連接北京市和張家口，是北京冬奧會的重要交通保障設(shè)施．全長，由于高速列車速度大約是普通快車速度的6.5倍、所以全程時間也相應(yīng)縮短了．若設(shè)普通快車的速度為，那么下面所列方程正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】設(shè)普通快車的速度為，則高速列車速度大約是6.5xkm/h，根據(jù)“全程時間也相應(yīng)縮短了”可列方程．【詳解】解：設(shè)普通快車的速度為，則高速列車速度大約是6.5xkm/h，根據(jù)題意，可得：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的應(yīng)用，理解題意抓住相等關(guān)系并以此列出方程是關(guān)鍵．5．（2022·四川德陽·一模）若數(shù)使關(guān)于的方程無解，且使關(guān)于的不等式組有整數(shù)解且至多有個整數(shù)解，則符合條件的之和為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】讓最簡公分母y（y+1）（y-1）=0，確定可能的增根；然后代入化為整式方程的方程求解，得到m的值，解不等式組，根據(jù)題意確定m的范圍，即可確定m的值，根據(jù)題意計(jì)算即可．【詳解】，方程兩邊同乘，得，原分式方程無解，最簡公分母，解得或或，當(dāng)時，，．當(dāng)時，，．當(dāng)時，，．解不等式組得，關(guān)于的不等式組有整數(shù)解且至多有個整數(shù)解，，，則符合條件的所有整數(shù)為：、，所有滿足條件的整數(shù)的值之和為：，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查的是分式方程的解法、一元一次不等式組的解法，掌握解分式方程、一元一次不等式組的一般步驟是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2022·山東濱州·一模）關(guān)于x的方程的解為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)解分式方程的規(guī)則進(jìn)行求解即可，最后必須檢驗(yàn)．【詳解】解：去分母得：，整理得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：，是原方程的解．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解題關(guān)鍵，注意一定要對求出來的未知數(shù)的值進(jìn)行檢驗(yàn)．7．（2022·湖北襄陽·八年級期末）若關(guān)于的方程無解，則的值為______．【答案】3【解析】【分析】首先去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求得x的值，分式方程無解，則整式方程的解使分式方程的分母等于0，即可求得m的值．【詳解】解：，∴，關(guān)于的方程無解，，，把代入中可得：，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程，理解分式方程無解的條件是解題的關(guān)鍵．8．（2022·江蘇·江陰市敔山灣實(shí)驗(yàn)學(xué)校一模）關(guān)于x的方程的根為負(fù)數(shù)，則a的值為__________．【答案】a＞－1且a≠3【解析】【分析】先將原方程去分母化為整式方程，解整式方程求得x，根據(jù)方程的根是負(fù)數(shù)及分母不為0得到關(guān)于a的不等式，解不等式即可得出a的范圍，【詳解】解：去分母，得（x＋1）（x－1）－x（x＋2）＝a，解得：，∵關(guān)于x的方程的根為負(fù)數(shù)，∴＜0，∴a＞－1，，，∴，，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，解得，∴，，∴a的取值范圍是a＞－1且a≠3．故答案為：a＞－1且a≠3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的解的相關(guān)運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵．9．（2022·山東濰坊·一模）為提升晚高峰車輛的通行速度，某市設(shè)置潮汐車道，首條潮汐車道從市政府廣場到人民公園，全程約3千米．該路段實(shí)行潮汐車道設(shè)置后，在晚高峰期間，通過該路段的車輛的行駛速度平均提升25%，行駛時間平均減少2分鐘．設(shè)實(shí)施潮汐車道之前，在晚高峰期間通過該路段的車輛平均每小時行駛x千米，則可列方程為__________．【答案】【解析】【分析】實(shí)施潮汐車道之前，在晚高峰期間通過該路段的車輛平均每小時行駛x千米，則實(shí)行潮汐車道后，在晚高峰期間通過該路段的車輛的行駛速度為千米/小時，根據(jù)實(shí)行潮汐車道前后的時間關(guān)系建立方程即可，注意時間要化成小時．【詳解】由題意得，實(shí)施潮汐車道之前，在晚高峰期間通過該路段的車輛平均每小時行駛x千米，則實(shí)行潮汐車道后，在晚高峰期間通過該路段的車輛的行駛速度為千米/小時，則列出方程：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象成分式方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的分式方程．10．（2022·浙江·蘭溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模）對于實(shí)數(shù)a，b定義一種新運(yùn)算“”為，這里等式右邊是實(shí)數(shù)運(yùn)算．例如，則方程的解是__．【答案】x=10【解析】【分析】根據(jù)新定義的運(yùn)算求出，即得出關(guān)于x的分式方程，再解方程即可．【詳解】解：，∴，等式兩邊同時乘，得：，解得：．經(jīng)檢驗(yàn)是原分式方程的解．∴方程的解是．故答案為：x=10．【點(diǎn)睛】本題考查新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，解分式方程．理解題意，掌握新定義的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．三、解答題11．（2022·北京·東直門中學(xué)一模）解方程：．【答案】【解析】【分析】直接找出最簡公分母進(jìn)而去分母解方程求解，最后要檢驗(yàn)．【詳解】解：方程兩邊同乘以3（x-1）得：3x+3（x-1）=2x，解得經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．12．（2022·北京大興·一模）解分式方程：．【答案】【解析】【分析】根據(jù)解分式方程的步驟，因式分解、去分母、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化“1”、驗(yàn)根、下結(jié)論即可．【詳解】解：整理得，方程兩邊同乘最簡公分母得，移項(xiàng)得，合并同類項(xiàng)得，系數(shù)化“1”得，檢驗(yàn)：當(dāng)時，，是原分式方程的解．【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟，不要忘記驗(yàn)根是解決問題的關(guān)鍵．13．（2021·海南省直轄縣級單位·八年級期末）解分式方程.(1)；(2).【答案】(1)5(2)【解析】【分析】根據(jù)解分式方程的步驟進(jìn)行解題，即可求出分式方程的解．(1)解：，去分母，得：x－2＝3解得：x＝5檢驗(yàn)：當(dāng)x＝5時，x－2＝3≠0，∴原分式方程的解為x＝5；(2)解：，方程兩邊乘x－1，得3－x＝2（x－1）解得：x＝檢驗(yàn)：當(dāng)x＝時，x－1≠0，∴原分式方程的解為x＝；【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，解題的關(guān)鍵是掌握解分式方程的步驟進(jìn)行解題．14．（2021·浙江·杭州市建蘭中學(xué)一模）小明在解一道分式方程﹣1＝，過程如下：方程整理．去分母x﹣1﹣1＝2x﹣5，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)x＝3，檢驗(yàn)，經(jīng)檢驗(yàn)x＝3是原來方程的根．小明的解答是否有錯誤？如果有錯誤，寫出正確的解答過程．【答案】小明的解答有錯誤，解答過程見解析【解析】【分析】去分母的時候，1沒有乘以（x﹣2），所以小明的解答錯誤，方程的兩邊同時乘以（x﹣2），將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，進(jìn)而求解即可，最后要進(jìn)行檢驗(yàn)．【詳解】解：去分母的時候，1沒有乘以（x﹣2），所以小明的解答錯誤，正確解答如下：方程整理為：，方程兩邊都乘以（x﹣2）得：x﹣1﹣（x﹣2）＝2x﹣5，解得：x＝3．經(jīng)檢驗(yàn)，x＝3是原方程的根．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．15．（2022·浙江衢州·一模）小王和小凌在解答“解分式方程：”的過程如下框，請你判斷他們的解法是否正確？若錯誤，請寫出你的解答過程.小王的解法：解，去分母得：

①去括號得：

②移項(xiàng)得：

③合并同類項(xiàng)得：

④系數(shù)化為1得：

⑤是原分式方程的解

⑥小凌的解法：解，去分母得：

①移項(xiàng)得：

②合并同類項(xiàng)得：

③系數(shù)化為1得：

④是原分式方程的解

⑤【答案】【解析】【分析】根據(jù)分式方程的求解步驟，進(jìn)行判斷求解即可．【詳解】解：小王和小凌的解法不正確，小王在去分母的時候，有一項(xiàng)忘記乘，小凌的解法，去分母的時候后面的應(yīng)當(dāng)加括號，去分母得：去括號得：移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：系數(shù)化為1得：經(jīng)檢驗(yàn)時，，所以是原分式方程的解．【點(diǎn)睛】此題考查了分式