專題11二次函數(shù)中的胡不歸(原卷版+解析)

專題11二次函數(shù)中的胡不歸1．如圖1所示，直線與x軸、y軸分別相交于點A，點B，點C（1，2）在經(jīng)過點A，B的二次函數(shù)的圖象上．(1)求拋物線的解析式；(2)點P為線段AB上（不與端點重合）的一動點，過點P作PQ∥y軸交拋物線于點Q，求取得最大值時點P的坐標；(3)如圖2，連接BC并延長，交x軸于點D，E為第三象限拋物線上一點，連接DE，點G為x軸上一點，且，直線CG與DE交于點F，點H在線段CF上，且∠CFD＋∠ABH＝45°，連接BH交OA于點M，已知∠GDF＝∠HBO，求點H的坐標．2．如圖1．拋物線與軸交于A、兩點．交軸于點，點，連接．(1)求拋物線的解析式；(2)為拋物線上一點，點為軸上一點，點在軸上，求的最小值；(3)如圖2．點是拋物線上一點，為第四象限拋物線上一點，延長交軸于點，連接，點，直線與交于點，點在線段上，且，已知，求點的坐標．3．如圖1，拋物線（）與軸交于點，與軸交于點，在線段上有一動點（不與，重合），過點作軸的垂線交直線于點，交拋物線于點．（1）分別求出拋物線和直線的函數(shù)表達式；（2）連接、，求面積的最大值，并求出此時點的坐標；（3）如圖2，點，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角為（），連接，，求的最小值．4．如圖，拋物線y=ax2－2ax+c與x軸分別交于點A、B(點B在點A的右側(cè))，與y軸交于點C，連接BC，點(，a－3)在拋物線上．（1）求c的值；（2）已知點D與C關(guān)于原點O對稱，作射線BD交拋物線于點E，若BD=DE，①求拋物線所對應的函數(shù)表達式；②過點B作BF⊥BC交拋物線的對稱軸于點F，以點C為圓心，以的長為半徑作⊙C，點T為⊙C上的一個動點，求TB+TF的最小值．5．如圖，已知拋物線y＝a（x+2）（x﹣4）（a為常數(shù)，且a＞0）與x軸從左至右依次交于A，B兩點，與y軸交于點C，經(jīng)過點B的直線y＝﹣x+拋物線的另一交點為D，且點D的橫坐標為﹣5．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）該二次函數(shù)圖象上有一點P（x，y）使得S△BCD＝S△ABP，求點P的坐標；（3）設F為線段BD上一點（不含端點），連接AF，求2AF+DF的最小值．6．如圖，已知二次函數(shù)的圖象交軸于，兩點，交軸于點，其中.（1）求點的坐標，并用含的式子表示；（2）連接，，當為銳角時，求的取值范圍；（3）若為軸上一個動點，連接，當點的坐標為時，直接寫出的最小值．7．如圖，拋物線y＝ax2﹣2ax+c的圖象經(jīng)過點C（0，﹣2），頂點D的坐標為（1，﹣），與x軸交于A、B兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）連接AC，E為直線AC上一點，當△AOC∽△AEB時，求點E的坐標和的值．（3）點F（0，y）是y軸上一動點，當y為何值時，F(xiàn)C+BF的值最?。⑶蟪鲞@個最小值．8．在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點A、B、C，已知A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）.（1）求此拋物線的函數(shù)表達式；（2）若P為線段BC上一點，過點P作軸的平行線，交拋物線于點D，當△BCD面積最大時，求點P的坐標；（3）若M（m，0）是軸上一個動點，請求出CM+MB的最小值以及此時點M的坐標.專題11二次函數(shù)中的胡不歸1．如圖1所示，直線與x軸、y軸分別相交于點A，點B，點C（1，2）在經(jīng)過點A，B的二次函數(shù)的圖象上．(1)求拋物線的解析式；(2)點P為線段AB上（不與端點重合）的一動點，過點P作PQ∥y軸交拋物線于點Q，求取得最大值時點P的坐標；(3)如圖2，連接BC并延長，交x軸于點D，E為第三象限拋物線上一點，連接DE，點G為x軸上一點，且，直線CG與DE交于點F，點H在線段CF上，且∠CFD＋∠ABH＝45°，連接BH交OA于點M，已知∠GDF＝∠HBO，求點H的坐標．【答案】(1)拋物線的解析式為：(2)，(3)(-2，-1)【分析】（1）先根據(jù)一次函數(shù)關(guān)系式，求出點A、B的坐標，把A、B、C三點的坐標代入，求出a、b、c的值即可；（2）過點P作PD⊥y軸于點D，根據(jù)已知條件證明，因此，設，則P點坐標為：，用m表示出，得出當時，有最大值，即可求出點P的坐標；（3）過點C作CK⊥x軸于點K，MN⊥AB于點N，根據(jù)已知條件說明，結(jié)合∠CFD＋∠ABH＝45°，得出，根據(jù)∠GDF＝∠HBO，得出，即可得出BM平分∠ABO，從而可以證明MN=OM，設MN=OM=n，則AM=4-n，根據(jù)三角函數(shù)，列出關(guān)于n的方程，解方程得出n的值，求出直線BM的解析式，根據(jù)CG、BM的關(guān)系式即可求出H的坐標．（1）解：把代入得：，∴點B的坐標為：（0，3），把代入得：，解得：，∴點A的坐標為：（-4，0），把A（-4，0），B（0，3），C（1，2）代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為．（2）過點P作PD⊥y軸于點D，如圖所示：∵點A（-4，0），B（0，3），∴OA=4，OB=3，∵∠AOB=90°，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，設點，則P點坐標為：，∴當時，有最大值，此時點P的坐標為：，即取得最大值時點P的坐標為．（3）過點C作CK⊥x軸于點K，MN⊥AB于點N，如圖所示：設BC的關(guān)系式為，把點B（0，3），C（1，2）代入得：，解得：，∴BC的關(guān)系式為，設CG的關(guān)系式為，把點C（1，2），G（-1，0）代入得：，解得：，∴CG的關(guān)系式為，把代入得：，解得：，∴點D的坐標為：（3，0），∴OD=3，∴OB=OD，∴，，∴=，∵，∴，，，∴，∵，∴=，∴，∴，即，∴，∵∠CFD＋∠ABH＝45°，∴，∵∠GDF＝∠HBO，∴，∴BM平分∠ABO，∵MN⊥AB，MO⊥BO，∴MN=OM，設MN=OM=n，則AM=4-n，∵，∴，即，解得：，∴點M的坐標為：，設直線BM的關(guān)系式為，把點B（0，3），M代入得：，解得：，∴直線BM的關(guān)系式為，聯(lián)立，解得：，∴點H的坐標為：（-2，-1）．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用，角平分線的性質(zhì)，求二次函數(shù)解析式和一次函數(shù)解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)，作出輔助線，得出是解決第（2）小問的關(guān)鍵，證明BM為∠ABO的平分線是解決第（3）小問的關(guān)鍵．2．如圖1．拋物線與軸交于A、兩點．交軸于點，點，連接．(1)求拋物線的解析式；(2)為拋物線上一點，點為軸上一點，點在軸上，求的最小值；(3)如圖2．點是拋物線上一點，為第四象限拋物線上一點，延長交軸于點，連接，點，直線與交于點，點在線段上，且，已知，求點的坐標．【答案】(1)(2)10(3)（3，-1）【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出點P的坐標為（-4，），過點M作MH⊥BC于H，利用勾股定理求出，根據(jù)，得到，則可以推出當P、Q、M、H四點共線且PH⊥BC時，有最小值，求出直線BC的解析式為，設點H的坐標為（m，），則，，，得到，由此求解即可；（3）先求出點D的坐標為（-2，4），過點D作DN⊥x軸于N，則DN=4，NG=4，則∠DGN=45°，從而一處∠BCF=∠FCO，得到CF是∠BOC的角平分線，設CF與x軸的交點為I，過點I作IL⊥BC于L，則IO=IL，CL=CO=8，得到BL=2，設IO=IL=x，則BI=6-x，由，求得點I的坐標為（，0），再根據(jù)F是兩條直線的交點求解即可．（1）解：∵．拋物線與軸交于A、兩點．交軸于點，點，∴，∴，∴拋物線解析式為（2）解：當時，，∴點P的坐標為（-4，），過點M作MH⊥BC于H，∵B（6，0），C（0，8），∴OC=8，OB=6，∴，∴，∴，∴，∴當P、Q、M、H四點共線且PH⊥BC時，有最小值，設直線BC的解析式為，∴，∴，∴直線BC的解析式為，設點H的坐標為（m，），∴，，，∵，∴，∴，解得或（舍去），∴，∴PH=10，∴的最小值為10；（3）解：當時，，∴點D的坐標為（-2，4），過點D作DN⊥x軸于N，則DN=4，NG=4，∴∠DGN=45°，∴∠BES+∠DSE=45°，∵∠DSE+∠BCF=45°，∴∠BES=∠BCF，又∵∠BES=∠FCO，∴∠BCF=∠FCO，∴CF是∠BOC的角平分線，設CF與x軸的交點為I，過點I作IL⊥BC于L，則IO=IL，又∵CI=CI，∴Rt△COI≌Rt△CLI（HL），∴CL=CO=8，∴BL=2，設IO=IL=x，則BI=6-x，∵，∴，解得，∴點I的坐標為（，0），設直線CF的解析式為，直線DG的解析式為，∴，，∴，，∴直線CF的解析式為，直線DG的解析式為，聯(lián)立，解得，∴點F的坐標為（3，-1）．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理，兩點距離公式，角平分線的性質(zhì)等等，解直角三角形，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．3．如圖1，拋物線（）與軸交于點，與軸交于點，在線段上有一動點（不與，重合），過點作軸的垂線交直線于點，交拋物線于點．（1）分別求出拋物線和直線的函數(shù)表達式；（2）連接、，求面積的最大值，并求出此時點的坐標；（3）如圖2，點，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角為（），連接，，求的最小值．【答案】（1）拋物線，直線解析式為；（2）；（3）【分析】(1)用待定系數(shù)法即可求解；(2)由S=S△PNA+S△PNB=×PN×OA=×=-x2+6x，即可求解；(3)在y軸上取一點M使得0M′=，構(gòu)造相似三角形，可以證明AM'就是E'A+E'B的最小值.【詳解】解：（1）∵拋物線（）與軸交于點與軸交于點，則有，解得，∴拋物線，令，得到，解得：或，∴，，設直線解析式為，則，解得，∴直線解析式為；（2）如圖1中，設，則點，則設面積為，則，∵，故有最大值，當時，的最大值為6，此時；（3）如圖，在軸上取一點使得，連接，在上取一點使得OE′=OE．∵，，∴，∴，∵，∴∽，∴，∴，∴，此時最?。▋牲c間線段最短，，、共線時），最小值．【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查相似三角形的判定和性質(zhì)、待定系數(shù)法、最小值問題等知識，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形，找到線段AM'就是E'A+E'B的最小值，屬于中考壓軸題.4．如圖，拋物線y=ax2－2ax+c與x軸分別交于點A、B(點B在點A的右側(cè))，與y軸交于點C，連接BC，點(，a－3)在拋物線上．（1）求c的值；（2）已知點D與C關(guān)于原點O對稱，作射線BD交拋物線于點E，若BD=DE，①求拋物線所對應的函數(shù)表達式；②過點B作BF⊥BC交拋物線的對稱軸于點F，以點C為圓心，以的長為半徑作⊙C，點T為⊙C上的一個動點，求TB+TF的最小值．【答案】（1）；（2）①拋物線的解析式為；②【分析】（1）將代入中即可求得c的值；（2）①根據(jù)題意，設點，則點，將兩點坐標代入中即可求得a的值，進而即可求得函數(shù)解析式；②根據(jù)題意，令y=0求出，再由及勾股定理求得，接著由得到，再根據(jù)當點F，T，G三點共線時，的值最小，最小值為線段的長進而即可求得最小值．【詳解】解：（1）∵點在拋物線上；（2）①如圖，由題意，得點點與點關(guān)于原點對稱點設點，則點將，代入拋物線得解得拋物線的解析式為；②∵拋物線拋物線的對稱軸為直線令，則解得或如圖，設直線與軸的交點為，則，又在中，，，由勾股定理得在上截取，，取，又，即點為定點當點F，T，G三點共線時，的值最小，最小值為線段的長在中，，，由勾股定理得：．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)及圓的幾何綜合，熟練掌握函數(shù)解析式的求解方法，三角形全等及相似的性質(zhì)與判定，幾何最值問題的求解方法等相關(guān)內(nèi)容是解決本題的關(guān)鍵．5．如圖，已知拋物線y＝a（x+2）（x﹣4）（a為常數(shù)，且a＞0）與x軸從左至右依次交于A，B兩點，與y軸交于點C，經(jīng)過點B的直線y＝﹣x+拋物線的另一交點為D，且點D的橫坐標為﹣5．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）該二次函數(shù)圖象上有一點P（x，y）使得S△BCD＝S△ABP，求點P的坐標；（3）設F為線段BD上一點（不含端點），連接AF，求2AF+DF的最小值．【答案】（1）y＝x2﹣x﹣；（2）(，)或(，)；（3）【分析】（1）求出點D的坐標，利用待定系數(shù)法求出a的值即可．（2）如圖1中，設直線BD交y軸于J，則J（0，）．連接CD，BC．由S△PAB＝10，推出×6×|yP|＝10，推出yP＝，再利用待定系數(shù)法構(gòu)建方程求出點P的坐標即可．（3）如圖2中，過點D作DM平行于x軸，首先證明∠BDM＝∠DBA＝30°，過F作FJ⊥DM于J，則有sin30°＝，推出HF＝，推出2AF+DF＝2（AF+）＝2（AF+HF），當A、F、H三點共線時，即AH⊥DM時，2AF+DF＝2（AF+HF）取最小值．【詳解】解：（1）拋物線y＝a（x+2）（x﹣4），令y＝0，解得x＝﹣2或x＝4，∴A（﹣2，0），B（4，0）．∵直線y＝，當x＝﹣5時，y＝∴D（﹣5，），∵點D（﹣5，3）在拋物線y＝a（x+2）（x﹣4）上，∴a（﹣5+2）（﹣5﹣4）＝，∴a＝．∴拋物線的函數(shù)表達式為：y＝．（2）如圖1中，設直線BD交y軸于J，則J（0，）．連接CD，BC．∵S△BDC＝∴S△PAB＝，∴×6×|yP|＝y(tǒng)P＝，當y＝時，，解得x＝，∴P或，當方程無解，∴滿足條件的點P的坐標為或．（3）如圖2中，過點D作DM平行于x軸，作FH⊥DM于H，∵D，B（4，0），∴tan∠DBA＝，∴∠DBA＝30°∴∠BDM＝∠DBA＝30°，過F作FJ⊥DM于J，則有sin30°＝，∴，∴2AF+DF＝2（AF+）＝2（AF+HF），當A、F、H三點共線時，即AH⊥DM時，2AF+DF＝2（AF+HF）取最小值．【點睛】本題為二次函數(shù)綜合題，運算量大，綜合性強，（1）（2）步按照題目要求逐步解題即可，第三步解題關(guān)鍵是要根據(jù)一次函數(shù)解析式得到∠DBA＝30°．6．如圖，已知二次函數(shù)的圖象交軸于，兩點，交軸于點，其中.（1）求點的坐標，并用含的式子表示；（2）連接，，當為銳角時，求的取值范圍；（3）若為軸上一個動點，連接，當點的坐標為時，直接寫出的最小值．【答案】（1）的坐標為；；（2）；（3）【分析】（1）由函數(shù)解析式可知對稱軸為直線，又因為A、B兩點是拋物線與x軸的交點，兩點關(guān)于對稱軸對稱，可得點的坐標為，將A點坐標代入函數(shù)解析式可得k的表達式.（2）當時，，利用相似三角形的性質(zhì)求得，由（1）得，即，所以當為銳角時.（3）在中，，可得，作，垂足為點，則，，即的最小值為點到的距離，求得AH的值即可.【詳解】解：（1）的圖象的對稱軸為直線，又該函數(shù)圖象過點.∴由對稱性可知點的坐標為.把，代入，得，故.（2）當時，，于是，，即，如圖1，∴由（1）得，即.的取值范圍為.（3）.解：在中，,.作，垂足為點，則，，即的最小值為點到的距離，如圖2，.【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，解直角三角形和相似三角形的判定和性質(zhì)，綜合性較強.7．如圖，拋物線y＝ax2﹣2ax+c的圖象經(jīng)過點C（0，﹣2），頂點D的坐標為（1，﹣），與x軸交于A、B兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）連接AC，E為直線AC上一點，當△AOC∽△AEB時，求點E的坐標和的值．（3）點F（0，y）是y軸上一動點，當y為何值時，F(xiàn)C+BF的值最?。⑶蟪鲞@個最小值．【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2；（2）點E（﹣，﹣），＝；（3）﹣，．【分析】（1）將點C、D的坐標代入拋物線表達式，即可求解；（2）當△AOC∽△AEB時，＝（）2＝（）2＝，求出yE＝﹣，由△AOC∽△AEB得：＝＝，即可求解；（3）如圖2，連接BF，過點F作FG⊥AC于G，當折線段BFG與BE重合時，取得最小值，即可求解．【詳解】解：（1）由題可列方程組：，解得：∴拋物線解析式為：y＝x2﹣x﹣2；（2）∵拋物線y＝x2﹣x﹣2的圖象與x軸交于A、B兩點，∴點A（﹣1，0），點B（3，0），∴AO＝1，BO＝3，∴∠AOC＝90°，AC＝，AB＝4，設直線AC的解析式為：y＝kx+b，則，解得：，∴直線AC的解析式為：y＝﹣2x﹣2；當△AOC∽△AEB時∴＝（）2＝（）2＝，∵S△AOC＝1，∴S△AEB＝，∴AB×|yE|＝，AB＝4，則yE＝﹣，則點E（﹣，﹣）；由△AOC∽△AEB得：＝＝，∴＝；（3）如圖2，連接BF，過點F作FG⊥AC于G，則FG＝CFsin∠FCG＝CF，∴CF+BF＝GF+BF≥BE，當折線段BFG與BE重合時，取得最小值，由（2）可知∠ABE＝∠ACO∴BE＝ABcos∠ABE＝ABcos∠ACO＝4×＝，|y|＝OBtan∠ABE＝OBtan∠ACO＝3×＝，∴當y＝﹣時，即點F（0，﹣），CF+BF有最小值為.【點睛】此題重點考查學生對拋物線的圖象和性質(zhì)的實際應用，掌握拋物線的圖象性質(zhì)和解析式的求解方法是解題的關(guān)鍵.8．在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點A、B、C，已知A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）.（1）求此拋物線的函數(shù)表達式；（2）若P為線段BC上一點，過點P作軸的平行線，交拋物線于點D，當△BCD面積最大時，求點P的坐標；（3）若M（m，0）是軸上一個動點，請求出CM+MB的最小值以及此時點