習(xí)題課2　帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界極值問(wèn)題 教學(xué)設(shè)計(jì)

習(xí)題課2帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界極值問(wèn)題題型一直線邊界磁場(chǎng)中的臨界和極值問(wèn)題1．?dāng)?shù)學(xué)方法和物理方法的結(jié)合：利用“矢量圖”“邊界條件”等求臨界值，利用“三角函數(shù)”“不等式的性質(zhì)”“二次方程的判別式”等求極值。2．一個(gè)“解題流程”，突破臨界問(wèn)題3．從關(guān)鍵詞找突破口：許多臨界問(wèn)題，題干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脫離”等詞語(yǔ)對(duì)臨界狀態(tài)予以暗示，審題時(shí)，一定要抓住這些特定的詞語(yǔ)挖掘其隱藏的規(guī)律，找出臨界條件。4．幾個(gè)常用的結(jié)論(1)剛好穿出或剛好不能穿出磁場(chǎng)的條件是帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡與邊界相切。(2)當(dāng)以一定的速率垂直射入磁場(chǎng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)的弧長(zhǎng)越長(zhǎng)，圓心角越大，則帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)。(3)當(dāng)比荷相同，速率v變化時(shí)，在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的帶電粒子圓心角越大，運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)?！纠?】一磁場(chǎng)寬度為L(zhǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，如圖所示，一粒子質(zhì)量為m，電荷量為－q，不計(jì)重力，以一速度v(方向如圖)射入磁場(chǎng)。若不使其從右邊界飛出，則電荷的速度應(yīng)為多大？[解析]若要粒子不從右邊界飛出，則當(dāng)達(dá)到最大速度時(shí)，半徑最大，此時(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，即軌跡恰好和右邊界相切。由幾何關(guān)系可求得最大半徑r，即r＋rcosθ＝L所以r＝eq\f(L,1＋cosθ)由牛頓第二定律得qvB＝eq\f(mv2,r)所以vmax＝eq\f(Bqr,m)＝eq\f(BqL,m（1＋cosθ）)。[答案]0＜v≤eq\f(BqL,m（1＋cosθ）)[針對(duì)訓(xùn)練1](多選)長(zhǎng)為l的水平極板間有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，板間距離也為l，板不帶電。現(xiàn)有質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子(不計(jì)重力)，從左邊極板間中點(diǎn)處垂直于磁感線以速度v水平射入磁場(chǎng)，欲使粒子不打在極板上，可采用的辦法是()A．使粒子的速度v＜eq\f(Bql,4m)B．使粒子的速度v＞eq\f(5Bql,4m)C．使粒子的速度v＞eq\f(Bql,m)D．使粒子的速度eq\f(Bql,4m)＜v＜eq\f(5Bql,4m)解析：選AB。如圖所示，帶電粒子剛好打在極板右邊緣時(shí)，有req\o\al(2,1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r1－\f(l,2)))eq\s\up12(2)＋l2，又r1＝eq\f(mv1,Bq)，所以v1＝eq\f(5Bql,4m)；粒子剛好打在極板左邊緣時(shí)，有r2＝eq\f(l,4)＝eq\f(mv2,Bq)，v2＝eq\f(Bql,4m)，綜合上述分析可知，A、B正確。題型二圓形邊界磁場(chǎng)中的臨界和極值問(wèn)題【例2】地磁場(chǎng)可以減少宇宙射線中帶電粒子對(duì)地球上生物體的危害。為研究地磁場(chǎng)可將其簡(jiǎn)化為包圍地球一定厚度的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，某研究小組模擬了一個(gè)地磁場(chǎng)。如圖所示，地球半徑為R，模擬地磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于赤道平面。A處有一粒子源，可在赤道平面內(nèi)以速度2v向各個(gè)方向射入帶正電粒子，該粒子比荷為eq\f(q,m)＝eq\f(v,2BR)。研究發(fā)現(xiàn)，沿半徑方向射入磁場(chǎng)的粒子恰不能到達(dá)模擬地球。不計(jì)粒子重力及大氣對(duì)粒子運(yùn)動(dòng)的影響，且不考慮相對(duì)論效應(yīng)。這時(shí)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是()A.eq\f(7πR,90v) B.eq\f(53πR,90v)C.eq\f(37πR,45v) D.eq\f(37πR,180v)[解析]其軌跡如圖所示。由qB×2v＝meq\f(（2v）2,r)，解得粒子軌跡半徑為r＝eq\f(m×2v,qB)＝4R，設(shè)包圍地球的勻強(qiáng)磁場(chǎng)厚度為r0，由幾何關(guān)系可知r2＋(R＋r0)2＝(r＋R)2，解得r0＝2R，圓心角θ＝74°，又T＝eq\f(2πr,2v)，所以粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t＝eq\f(74°,360°)×eq\f(2πr,2v)＝eq\f(37πR,45v)，故C正確。[答案]C[針對(duì)訓(xùn)練2]如圖，虛線所示的圓形區(qū)域內(nèi)存在一垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，P為磁場(chǎng)邊界上的一點(diǎn)，大量相同的帶電粒子以相同的速率經(jīng)過(guò)P點(diǎn)，在紙面內(nèi)沿不同方向射入磁場(chǎng)。若粒子射入速率為v1，這些粒子在磁場(chǎng)邊界的出射點(diǎn)分布在六分之一圓周上；若粒子射入速率為v2，相應(yīng)的出射點(diǎn)分布在三分之一圓周上。不計(jì)重力及帶電粒子之間的相互作用。則v2∶v1為()A.eq\r(3)∶2 B.eq\r(2)∶1C.eq\r(3)∶1 D．3∶eq\r(2)解析：選C。由于是相同的粒子，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小相同，由qvB＝meq\f(v2,R)可知，R＝eq\f(mv,qB)，即粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相同。若粒子運(yùn)動(dòng)的速度大小為v1，如圖所示，通過(guò)旋轉(zhuǎn)圓可知，當(dāng)粒子的磁場(chǎng)出射點(diǎn)A離P點(diǎn)最遠(yuǎn)時(shí)，AP＝2R1；同樣，若粒子運(yùn)動(dòng)的速度大小為v2，粒子的磁場(chǎng)出射點(diǎn)B離P點(diǎn)最遠(yuǎn)時(shí)，則BP＝2R2，由幾何關(guān)系可知，R1＝eq\f(R,2)，R2＝Rcos30°＝eq\f(\r(3),2)R，則eq\f(v2,v1)＝eq\f(R2,R1)＝eq\r(3)，C正確。[針對(duì)訓(xùn)練3](多選)如圖所示，在半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)(圓心為O)有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直于圓平面(未畫出)。一群具有相同比荷的負(fù)離子以相同的速率由P點(diǎn)在紙平面內(nèi)向不同方向射入磁場(chǎng)中，發(fā)生偏轉(zhuǎn)后又飛出磁場(chǎng)，若離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑大于R，則下列說(shuō)法中正確的是(不計(jì)離子的重力)()A．從Q點(diǎn)飛出的離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)B．沿PQ方向射入的離子飛出時(shí)偏轉(zhuǎn)角最大C．所有離子飛出磁場(chǎng)時(shí)的動(dòng)能一定相等D．在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的離子不可能經(jīng)過(guò)圓心O點(diǎn)解析：選AD。由圓的性質(zhì)可知，軌跡圓與磁場(chǎng)圓相交，當(dāng)軌跡圓的弦長(zhǎng)最大時(shí)偏向角最大，故應(yīng)該使弦長(zhǎng)為PQ，由Q點(diǎn)飛出的離子圓心角最大，所對(duì)應(yīng)的時(shí)間最長(zhǎng)，軌跡不可能經(jīng)過(guò)圓心O點(diǎn)，A、D正確，B錯(cuò)誤；因洛倫茲力永不做功，故離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)動(dòng)能保持不變，但由于不知離子的初動(dòng)能，故飛出時(shí)的動(dòng)能不一定相等，C錯(cuò)誤。題型三其他的臨界和極值問(wèn)題【例3】(2022·大同市高二期末)如圖所示，邊長(zhǎng)為l的正三角形abc(含邊界)內(nèi)存在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。質(zhì)量為m、電荷量為＋q的帶電粒子，以大小不等的速度從a點(diǎn)沿ad方向射入磁場(chǎng)，ad與ab的夾角為30°。下列判斷正確的是()A．若能從ac邊射出，則粒子的速度v≥eq\f(Bql,m)B．若能從bc邊射出，則粒子的速度v≤eq\f(Bql,m)C．若粒子的速度v＝eq\f(Bql,m)，則恰好從c點(diǎn)射出D．若粒子所帶電荷量為－q，則會(huì)從bc的中點(diǎn)射出[解析]粒子剛好能從c點(diǎn)射出，據(jù)幾何關(guān)系R＝l，據(jù)牛頓第二定律Bqv＝meq\f(v2,R)，解得v＝eq\f(Bql,m)，若能從ac邊射出，則粒子的速度v≤eq\f(Bql,m)，若能從bc邊射出，則粒子的速度v≥eq\f(Bql,m)，A、B錯(cuò)誤，C正確；粒子帶負(fù)電，向ab一側(cè)偏轉(zhuǎn)，不會(huì)從bc的中點(diǎn)射出，D錯(cuò)誤。[答案]C【例4】平面OM和平面ON之間的夾角為30°，其橫截面(紙面)如圖所示，平面OM上方存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外。一帶電粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q(q＞0)。粒子沿紙面以大小為v的速度從OM的某點(diǎn)向左上方射入磁場(chǎng)，速度與OM成30°角。已知該粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡與ON只有一個(gè)交點(diǎn)，并從OM上另一點(diǎn)射出磁場(chǎng)。不計(jì)重力。粒子離開磁場(chǎng)的出射點(diǎn)到兩平面交線O的距離為()A.eq\f(mv,2qB) B.eq\f(\r(3)mv,qB)C.eq\f(2mv,qB) D.eq\f(4mv,qB)[解析]粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖如圖所示，設(shè)出射點(diǎn)為P，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與ON的交點(diǎn)為Q，粒子入射方向與OM成30°角，則射出磁場(chǎng)時(shí)速度方向與OM成30°角，由幾何關(guān)系可知，PQ⊥ON，故出射點(diǎn)到O點(diǎn)的距離為軌跡圓直徑的2倍，即4R，又粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑R＝eq\f(mv,qB)，故出射點(diǎn)到O點(diǎn)的距離為eq\f(4mv,qB)，D正確。[答案]D[針對(duì)訓(xùn)練4](多選)如圖所示，以直角三角形AOC為邊界的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，∠A＝60°，AO＝a，在O點(diǎn)放置一個(gè)粒子源，可以向各個(gè)方向發(fā)射同種帶負(fù)電粒子，粒子的比荷為eq\f(q,m)，發(fā)射速度大小都為v0，且滿足v0＝eq\f(aqB,m)，發(fā)射方向由圖中的角度θ表示。對(duì)于粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后的運(yùn)動(dòng)(不計(jì)重力作用)，下列說(shuō)法正確的是()A．在0°＜θ＜30°范圍入射的粒子將從AC邊界射出B．在AC邊界上只有一半?yún)^(qū)域有粒子射出C．以θ＝0°、θ＝60°入射的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)D．以60°＜θ＜90°范圍飛入的粒子將從AC邊界射出解析：選ABC。由左手定則，可知帶負(fù)電的粒子向右偏轉(zhuǎn)。由qv0B＝meq\f(veq\o\al(2,0),R)和T＝eq\f(2πm,Bq)得R＝a，t＝eq\f(α,2π)T，以θ＝0°、θ＝60°入射的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)。以60°＜θ＜90°范圍飛入的粒子將從AO邊界射出，由幾何關(guān)系得在AC邊界上只有一半?yún)^(qū)域有粒子射出，A、B、C正確，D錯(cuò)誤。[A級(jí)——基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]1．如圖所示，寬為d的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)的邊界為PP′、QQ′，一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的負(fù)電荷沿圖示方向以速度v0垂直射入磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，要使粒子不能從邊界QQ′射出，粒子的入射速度v0的最大值可能是下面給出的(粒子的重力不計(jì))()A.eq\f(qBd,m)B.eq\f(2qBd,m)C.eq\f(2qBd,3m)D.eq\f(qBd,3m)解析：選C。粒子帶負(fù)電荷，當(dāng)粒子軌跡與QQ′相切時(shí)，恰好不能從邊界QQ′射出，此時(shí)速度最大，如圖所示，根據(jù)幾何知識(shí)得R＋Rcos60°＝d，解得R＝eq\f(2,3)d，由qvB＝meq\f(v2,R)，解得v＝eq\f(2qBd,3m)。2.如圖所示，在邊長(zhǎng)為2a的正三角形區(qū)域內(nèi)存在方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為－q(q＞0)的帶電粒子(重力不計(jì))從AB邊的中心O以速度v進(jìn)入磁場(chǎng)，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度方向垂直于磁場(chǎng)且與AB邊的夾角為60°，若要使粒子能從AC邊穿出磁場(chǎng)，則勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B需滿足()A．B＞eq\f(\r(3)mv,3aq) B．B＜eq\f(\r(3)mv,3aq)C．B＞eq\f(\r(3)mv,aq) D．B＜eq\f(\r(3)mv,aq)解析：選B。若粒子剛好到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，其運(yùn)動(dòng)軌跡與AC相切，如圖所示，則粒子運(yùn)動(dòng)的半徑為r0＝eq\f(a,tan30°)＝eq\r(3)a。由qvB＝eq\f(mv2,r)得r＝eq\f(mv,qB)，粒子要能從AC邊射出，粒子運(yùn)行的半徑應(yīng)滿足r＞r0，解得B＜eq\f(\r(3)mv,3aq)，B正確。3．如圖所示，邊界OA與OC之間分布著垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，邊界OA上有一個(gè)粒子源S。某一時(shí)刻，從S平行于紙面向各個(gè)方向發(fā)射出大量帶正電的同種粒子(不計(jì)粒子的重力及粒子間的相互作用)，所有粒子的初速度大小相同，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，有大量粒子從邊界OC射出磁場(chǎng)。已知∠AOC＝60°，從邊界OC射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間等于eq\f(T,6)(T為粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期)，則從邊界OC射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為()A.eq\f(T,3)B.eq\f(T,2)C.eq\f(2T,3)D.eq\f(5T,6)解析：選B。由左手定則可知，粒子在磁場(chǎng)中做逆時(shí)針?lè)较虻膱A周運(yùn)動(dòng)。粒子速度大小都相同，故軌跡弧長(zhǎng)越小，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間就越短；而弧長(zhǎng)越小，弦長(zhǎng)也越短，所以從S點(diǎn)作OC的垂線SD，則SD為最短弦，可知粒子從D點(diǎn)射出時(shí)運(yùn)行時(shí)間最短，如圖所示，根據(jù)最短時(shí)間為eq\f(T,6)，可知△O′SD為等邊三角形，粒子圓周運(yùn)動(dòng)半徑R＝SD，過(guò)S點(diǎn)作OA的垂線交OC于E點(diǎn)，由幾何關(guān)系可知SE＝2SD，SE為圓弧軌跡的直徑，所以從E點(diǎn)射出，對(duì)應(yīng)弦最長(zhǎng)，運(yùn)行時(shí)間最長(zhǎng)，且t＝eq\f(T,2)，B正確。4．(2022·河北石家莊二中期末)如圖所示，abcd為紙面內(nèi)矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，矩形區(qū)域內(nèi)(含邊界)處于垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，ad＝L，ab＝eq\r(3)L。一質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的粒子，從a點(diǎn)沿ab方向運(yùn)動(dòng)，不計(jì)粒子重力。求：(1)粒子能通過(guò)cd邊的最小速度v；(2)粒子能通過(guò)cd邊的最短時(shí)間t。解析：粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示。(1)粒子能通過(guò)cd邊，可知粒子以最小速率運(yùn)動(dòng)時(shí)恰好打在d點(diǎn)，由幾何關(guān)系可知其半徑r1＝eq\f(1,2)L根據(jù)qvB＝meq\f(v2,r1)解得v＝eq\f(qBL,2m)。(2)粒子能通過(guò)cd邊，從c點(diǎn)射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短，根據(jù)幾何關(guān)系(r2－L)2＋(eq\r(3)L)2＝req\o\al(2,2)解得r2＝2L則轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角sinθ＝eq\f(\r(3)L,2L)＝eq\f(\r(3),2)即θ＝60°粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期T＝eq\f(2πm,qB)則粒子能通過(guò)cd邊的最短時(shí)間t＝eq\f(θ,360°)T＝eq\f(πm,3qB)。答案：(1)eq\f(qBL,2m)(2)eq\f(πm,3qB)[B級(jí)——能力增分練]5．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy的第四象限有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝2.0T。一質(zhì)量m＝5.0×10－8kg、電荷量q＝1.0×10－6C的帶電粒子從P點(diǎn)沿圖示方向以v＝20m/s的速度進(jìn)入磁場(chǎng)，從x軸上的Q點(diǎn)離開磁場(chǎng)(Q點(diǎn)未畫出)。已知OP＝30cm(粒子重力不計(jì)，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)。(1)求OQ的距離；(2)若粒子不能進(jìn)入x軸上方，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B′滿足的條件。解析：(1)帶電粒子僅在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有qvB＝meq\f(v2,R)得R＝eq\f(mv,qB)＝0.50m而eq\f(OP,cos53°)＝0.50m故圓心一定在