熱點07銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用（原卷版）

熱點07銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用安徽中考數(shù)學(xué)解直角三角形題的主要考向分為四類：一是河流寬度模型，二是塔高模型，三是仰俯角模型，四是航海問題。需要注意的是，雖然在題目呈現(xiàn)上是以上四類題型，但從數(shù)學(xué)模型來看，所有解直角三角形題型均可分為兩大類：一是鈍角作垂線形，二是銳角作垂線形?？键c一：銳角三角函數(shù)【例1】．（2022秋·安徽宿州）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，點D在AC上，∠DBC=∠A，若AC=4，sinAA．94 B．154 C．125【例2】．（2022秋·安徽蕪湖）如圖，△ABC的頂點都是正方形網(wǎng)格中的格點，則cos∠ACB等于（）A．31010 B．1010 C．4【例3】．（2021秋·安徽亳州）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝5，D為AB邊上一動點．（1）若tan∠ACD=13，則（2）若CD=25，則tan∠ACD的值為__________【例4】．（2022·安徽淮南·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于點E，D是線段BE上的一個動點，那么：（1）AE=_________；（2）CD+55BD的最小值是__________【例5】．（2022·安徽合肥）如圖，在RtΔABC中，∠ACB=90°，將ΔABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到ΔDEC，BC和DE相交于點O，點D落在線段AB上，連接BE．（1）若∠ABC=20°，則∠BCE=______；（2）若BE=BD，則tan∠ABC=______．【例6】．（2023秋·安徽合肥）如圖，正方形ABCD中，點E在邊AD上（不與端點A，D重合），點A關(guān)于直線的對稱點為點F，連接CF，設(shè)∠ABE=α．(1)求∠AFC的大??；(2)過點C作CG⊥AF，垂足為G，連接DG．①求證：DG∥CF；②連接OD，若OD⊥DG，求sinα【例7】．（2022·安徽·）如圖，等邊△ABC中，點D在BC上，點E，F(xiàn)在AC上，∠ADE=60°，AD=AF．(1)如圖1，求證：EFCF(2)如圖2，若∠DAE=∠CDE，①求證：△ABD≌△ACD；②若EF=4，求CF的長．【例8】．（2022秋·安徽蚌埠）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，cosB=45，tanC=3，AB=5考點二：解直角三角形的應(yīng)用【例9】．（2022秋·安徽安慶）如圖，河的兩岸l1與l2相互平行，A、B是l1上的兩點，C、D是l2上的兩點．某人在點A處測得∠CAB=90°，∠DAB=30°，再沿AB方向前進10米到達點E（點E在線段AB上），測得∠DEB=60°，求【例10】．（2022秋·安徽滁州）如圖，張明站在河岸上的G點，看見河里有一只小船沿垂直于岸邊的方向劃過來，此時，他測得小船C的俯角是∠FDC=30°，若張明的眼睛與地面的距離是1.5米，BG=1米，BG平行于AC所在的直線，tan∠BAE=4:3，坡長AB=10米，求小船C到岸邊的距離CA的長？（參考數(shù)據(jù)：根號【例11】．（2022秋·安徽安慶）如圖，某超市的倉儲中心有一斜坡AB，其坡度為i=1:2，頂部處的高，B、C在同一水平地面上．(1)求斜坡AB長度；(2)矩形DEFG為長方體貨柜的側(cè)面圖，其中，將該貨柜沿斜坡向上運送，此時GB=6m，身高為1.5m的小明站在B處看到點D正上方1.5m處有一盞吊燈．求點D離地面的高度并求出小明的仰角α的正切值．【例12】．（2022·安徽六安）如圖，在坡頂A處的同一水平面上有一座網(wǎng)絡(luò)信號塔BC，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在斜坡底P處測得該塔的塔頂B的仰角為45°，然后他們沿著坡度為1:2.4的斜坡AP攀行了26米到達坡頂，在坡頂A處又測得該塔的塔頂B的仰角為76°．求：(1)坡頂A到地面PO的距離；(2)網(wǎng)絡(luò)信號塔BC的高度（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin76°≈0.97，cos7【例13】．（2022·安徽蚌埠·統(tǒng)考二模）某校初中數(shù)學(xué)綜合實踐開展了多彩的活動．在一次活動中，某興趣小組學(xué)習(xí)了以下史料：魏晉時劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測海島的高：如圖，點E，H，G在水平線AC上，DE和FG是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和EH都稱為“表目距”，GC與EH的差稱為“表目距的差”，則海島的高AB=表高(1)該興趣小組學(xué)過解直角三角形后，對該問題的測量方法進行了改良：測得兩次測量點之間的距離CH=140m，且∠BHA=30°，∠BCA=20°，請求出海島的高AB（其中AB⊥AC）．（結(jié)果保留兩位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：3≈1.732，）(2)證明：海島的高AB=表高【例14】．（2022·安徽蕪湖·統(tǒng)考一模）小明在A點測得C點在A點的北偏西75°方向，并由A點向南偏西45°方向行走到達B點測得C點在B點的北偏西45°方向，繼續(xù)向正西方向行走2km后到達D點，測得C點在D點的北偏東22.5°方向，求A，C兩點之間的距離．（結(jié)果保留0.1km．參數(shù)數(shù)據(jù)≈1.732）【例15】．（2023秋·安徽亳州）北京時間2022年6月5日10時44分，神舟十四號載人飛船在酒泉發(fā)射升空，為弘揚航天精神，某校在教學(xué)樓上從樓頂位置懸掛了一幅勵志條幅GF．如圖，已知樓頂?shù)降孛娴木嚯x為18.5米，當小亮站在樓前點B處，在點B正上方點A處測得條幅頂端G的仰角為37°，然后向教學(xué)樓方向前行15米到達點D處（樓底部點E與點B，D在一條直線上），在點D正上方點C處測得條幅底端F的仰角為42°，若AB，CD均為1.7米（即四邊形ABCD為矩形），請你幫助小亮計算：(1)當小亮站在B處時離教學(xué)樓的距離；(2)求條幅GF的長度．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin42°≈0.67，一、單選題1．（2022·中考真題）如圖，一條河兩岸互相平行，為測得此河的寬度PT（PT與河岸PQ垂直），測P、Q兩點距離為m米，∠PQT=α，則河寬PT的長度是（

）A．msinα B．mcosα C．2．下列計算錯誤的有（

）①sin60°-sin30°=sin30°；②A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=5，BC=3，將△BCD沿BD折疊到△BED位置，DE交AB于點F，則cos∠ADF的值為（A．817 B．715 C．15174．如圖，點E是矩形ABCD中CD邊上一點，△BCE沿折疊為△BFE，點F落在AD上．若sin∠DFE=1A．12 B．22 C． D．二、填空題5．（2022春·全國）如果α是銳角，sina=cos30°6．如圖，小明在某次投籃中剛好把球打到籃板的點D處后進球，已知小明與籃板底的距離BC＝5米，眼睛與地面的距離AB＝1.7米，視線AD與水平線的夾角為α，已知tanα的值為0.3，則點D到地面的距離CD的長為______7．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝3，AC＝2，則＝_____．三、解答題8．計算：2sin45°﹣|﹣3|+（2022﹣π）0+（12）﹣19．在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分別為（1）已知a=3,b=3，求∠A；（2）已知b=4,c=8，求a及∠A；（3）已知∠A=45°,c=8，求a及b．10．小明家住深圳某小區(qū)一樓，家里開了一間小賣部，小明的爸爸想把囤積的商品打折促銷7天，因為考慮到疫情期間的安全問題，小明爸爸把一樓朝南的窗戶改造成了營業(yè)窗口，如下圖1，因為天氣漸漸回暖，小明的爸爸想讓小明幫忙設(shè)計一個可以伸縮的遮陽棚，如圖2，AB表示窗戶，高度為2米，寬度為3米，BCD表示直角遮陽篷，他打算選擇的支架BC的高度為0．5米．小明為了最大限度地阻擋正午最強的陽光，為了測量太陽與地面的最大夾角，小明選擇一個晴朗的天氣，正午12點時在地面上豎立了一個長4米的木桿，測得落在地面的影子長為2．31米．參考數(shù)據(jù)（tan60°=≈1．73）(1)正午12點時，太陽光線與地面的夾角約為________度，請你幫忙估算出沒有遮陽棚時，正午12點時太陽照射到室內(nèi)區(qū)域面積為___________．（結(jié)果保留根號）(2)正午12點時，太陽剛好沒有射入室內(nèi)此時的CD，并求此時CD的長．（結(jié)果保留根號）11．為做好疫情防控工作，確保師生生命安全，學(xué)校每日都在學(xué)生進校前進行體溫檢測．某學(xué)校大門AB高6.5米，學(xué)生DF身高1.5米，當學(xué)生準備進入體溫檢測有效識別區(qū)域時，在點D處測得攝像頭A的仰角為30°，當學(xué)生剛好離開體溫檢測有效識別區(qū)域CD段時，在點C處測得攝像頭A的仰角為60°，求體溫檢測有效識別區(qū)域CD段的長（結(jié)果保留根號）12．（2022·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O