清單01數(shù)列的通項(xiàng)與求和（考點(diǎn)清單知識(shí)導(dǎo)圖13個(gè)考點(diǎn)清單題型解讀）（原卷版）

清單01數(shù)列的通項(xiàng)與求和（13個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】求數(shù)列通項(xiàng)的方法歸納法由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)公式①各項(xiàng)的符號(hào)特征，通過或來調(diào)節(jié)正負(fù)項(xiàng)．②考慮對(duì)分子、分母各個(gè)擊破或?qū)ふ曳肿印⒎帜钢g的關(guān)系．③相鄰項(xiàng)(或其絕對(duì)值)的變化特征．④拆項(xiàng)、添項(xiàng)后的特征．⑤通過通分等方法變化后，觀察是否有規(guī)律．（2）累加法累加法適用于an＋1－an＝f(n)或an－an1＝f(n)型，其解題恒等式為an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解（3）累乘法累乘法適用于或型，通常利用an＝eq\f(an,an－1)·eq\f(an－1,an－2)·…·eq\f(a2,a1)·a1，求出通項(xiàng)an.（4）已知Sn=f(n)求an已知求通項(xiàng)，步驟可分為三步：（1）當(dāng)時(shí)；（2）當(dāng)時(shí)，；（3）檢驗(yàn)?zāi)芊窈蠈?，即和兩種情況能否合寫成一個(gè)公式，否則就寫為分段的形式．（5）已知Sn與an的關(guān)系求an根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向不同的兩個(gè)方向轉(zhuǎn)化.（1）利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解；（2）利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解.（6）用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為（其中：），由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.（7）倒數(shù)法形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，通過兩邊取“倒”，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，即可求得.【清單02】求數(shù)列的前n項(xiàng)和的方法(1)公式法①等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，推導(dǎo)方法：倒序相加法．②等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn＝推導(dǎo)方法：乘公比，錯(cuò)位相減法．(2)分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解．(3)裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)．(4)倒序相加法把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣．(5)錯(cuò)位相減法主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣．(6)并項(xiàng)求和法一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.2．常見的裂項(xiàng)公式（1）等差型=1\*GB3①特別注意②如：（尤其要注意不能丟前邊的）（2）無理型=1\*GB3①如：（3）指數(shù)型①如：難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1．解決非等差、等比數(shù)列的求和，主要有兩種思路(1)轉(zhuǎn)化的思想，即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，這一思想方法往往通過通項(xiàng)分解或錯(cuò)位相減來完成．(2)不能轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的數(shù)列，往往通過裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等來求和．2．等價(jià)轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)列問題的基本思想方法，它可將復(fù)雜的數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問題來解決．【考點(diǎn)題型一】歸納法根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)求其通項(xiàng)公式其實(shí)是利用了不完全歸納法，蘊(yùn)含著“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想，由不完全歸納法得出的結(jié)果不一定是準(zhǔn)確的.【例1】（2324高二下·吉林長春·期中）數(shù)列，3，，9的一個(gè)通項(xiàng)公式是（

）A． B．C． D．【變式11】（2324高二下·遼寧大連·月考）數(shù)列的通項(xiàng)公式為（

）A． B．C． D．【變式12】（2324高二下·北京·期中）數(shù)列的前四項(xiàng)依次是4，44，444，4444，則數(shù)列的通項(xiàng)公式可以是（

）A． B． C． D．【考點(diǎn)題型二】累加法【例2】（2425高二上·全國·課堂例題）在數(shù)列中，，，則等于（

）A． B． C． D．【變式21】（2324高二下·陜西渭南·期中）高階等差數(shù)列是數(shù)列逐項(xiàng)差數(shù)之差或高次差相等的數(shù)列，中國古代許多著名的數(shù)學(xué)家對(duì)推導(dǎo)高階等差數(shù)列的求和公式很感興趣，創(chuàng)造并發(fā)展了名為“垛積術(shù)”的算法，展現(xiàn)了聰明才智.如南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法·商功》一書中記載的三角垛、方垛、芻甍垛等的求和都與高階等差數(shù)列有關(guān).如圖是一個(gè)三角垛，最頂層有1個(gè)小球，第二層有3個(gè)，第三層有6個(gè)，第四層有10個(gè)，…，則第n層小球的個(gè)數(shù)為.【變式22】（2324高二下·遼寧沈陽·期中）已知數(shù)列滿足，，.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【考點(diǎn)題型三】累乘法【例3】（2324高二下·四川成都·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．【變式31】（2324高二下·河南南陽·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．【變式32】（2324高二下·吉林·開學(xué)考試）在數(shù)列中，，則.【變式33】（2324高二下·江西萍鄉(xiāng)·期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．(1)求的值；(2)試猜想的通項(xiàng)公式，并證明．【考點(diǎn)題型四】已知Sn=f(n)求an【例4】（2324高二下·北京·期中）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．【變式41】（2425高二上·上?！ふn后作業(yè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則數(shù)列通項(xiàng)公式．【變式42】（2324高二下·西藏拉薩·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則【變式43】數(shù)列滿足，則．【考點(diǎn)題型五】已知Sn與an的關(guān)系求an【例5】（2425高二上·全國·課后作業(yè)）記數(shù)列an的前項(xiàng)和為，對(duì)任意正整數(shù)，有，且.(1)求和的值，并猜想an的通項(xiàng)公式；(2)證明第（1）問猜想的通項(xiàng)公式；【變式51】（2324高二下·江蘇南京·開學(xué)考試）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，且.若對(duì)滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為．【變式52】（2324高二下·海南?？凇て谥校┮阎獢?shù)列an的前項(xiàng)和為且滿足，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為．【變式53】（2223高二上·陜西榆林·階段練習(xí)）為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【考點(diǎn)題型六】待定系數(shù)構(gòu)造法【例6】（2324高二上·廣東深圳·期末）已知數(shù)an滿足，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式．【變式61】（2324高二下·江西南昌·階段練習(xí)）已知數(shù)列an的遞推公式為且，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和=【變式62】（2324高一下·上?！て谀?shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【變式63】（2324高二下·四川南充·期中）已知數(shù)列an的首項(xiàng)為，且滿足，則．【考點(diǎn)題型七】倒數(shù)構(gòu)造法【例7】（2324高二下·河南·期中）數(shù)列中，若，，則．【變式71】在數(shù)列中，已知，，則的通項(xiàng)公式為．【變式72】已知數(shù)列滿足，，則的前n項(xiàng)和為.【考點(diǎn)題型八】公式法求數(shù)列的和【例8】（2425高二上·全國·課后作業(yè)）在等比數(shù)列中，對(duì)任意，均有，求．【變式81】（2324高二下·廣東·期中）已知兩個(gè)等差數(shù)列1，5，9，…，和1，6，11，…，將這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，且的前n項(xiàng)和為，則（

）A．910 B．900 C．890 D．880【變式82】（2425高二上·全國·單元測試）在數(shù)列中，前項(xiàng)和.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)當(dāng)時(shí)，求.【考點(diǎn)題型九】分組求和【例9】（2324高二下·山西大同·期中）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且.(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【變式91】（2324高二下·海南·期中）在數(shù)列中，如果的每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的積等于同一個(gè)非零常數(shù)，則稱數(shù)列為“等積數(shù)列”，非零常數(shù)為數(shù)列的公積.已知數(shù)列是等積數(shù)列，且，公積為2，設(shè)，則（

）A． B．C． D．【變式92】（2324高二下·河南南陽·期中）已知等比數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的遞增數(shù)列，成等差數(shù)列，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【考點(diǎn)題型十】裂項(xiàng)相消求和【例10】已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，且．(1)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)記，為前項(xiàng)和，求．【變式101】（2324高二下·貴州安順·期末）若數(shù)列是等差數(shù)列，且滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前99項(xiàng)和.【變式102】（2024·福建龍巖·三模）若數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，且，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，記數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明:.【變式103】（2425高三上·廣東·開學(xué)考試）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，為的前項(xiàng)和，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，記的前項(xiàng)和為，求證：．【考點(diǎn)題型十一】倒序相加求和如果一個(gè)數(shù)列與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法求解．【例11】（2425高二上·全國·課后作業(yè)）已知某數(shù)列的通項(xiàng)，則（

）A．48 B．49 C．50 D．51【變式111】（2324高二上·山東菏澤·階段練習(xí)）已知，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A．8096 B．8094 C．4048 D．4047【變式112】（2024·上海·模擬預(yù)測）已知，數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，令，求數(shù)列的前2024項(xiàng)和.【考點(diǎn)題型十二】錯(cuò)位相減求和【例12】（2324高二上·江蘇南京·期末）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，其中．(1)證明為等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和【變式121】（2324高二下·海南·期中）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【變式122】（2324高二下·安徽池州·期中）在等差數(shù)列中，且，，構(gòu)成公比不為1的等比數(shù)列(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【考點(diǎn)