壓軸題24規(guī)律變化探究性問題-2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題專項(xiàng)訓(xùn)練

2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題專項(xiàng)訓(xùn)練壓軸題24規(guī)律變化探究性問題一、單選題1．（2023春·重慶豐都·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列圖形都是由同樣大小的棋子按一定的規(guī)律組成，其中第①個(gè)圖形有3顆棋子，第②個(gè)圖形一共有9顆棋子，第③個(gè)圖形一共有18顆棋子，…，則第⑦個(gè)圖形中棋子的顆數(shù)為（

）A．84 B．108 C．135 D．152【答案】A【分析】根據(jù)第①個(gè)圖形的棋子數(shù)是3=3×1，第②個(gè)圖形的棋子數(shù)是9=3×1+2，第③個(gè)圖形的棋子數(shù)是18=3×1+2+3，…，可得第n個(gè)圖形的棋子數(shù)是3×1+2+…+n【詳解】∵第①個(gè)圖形的棋子數(shù)是3=3×1，第②個(gè)圖形的棋子數(shù)是9=3×1+2第③個(gè)圖形的棋子數(shù)是18=3×1+2+3…，

∴第n個(gè)圖形的棋子數(shù)是3×1+2+…+n∴第⑦個(gè)圖形中棋子的顆數(shù)為：3×=3×24=84．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了圖形的變化類問題，要熟練掌握，解答此類問題的關(guān)鍵是首先應(yīng)找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．探尋規(guī)律要認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想來解決這類問題．2．（2022秋·山東菏澤·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，按如圖所示的方式放置，點(diǎn)A1，A2，A3，…和點(diǎn)C1，CA．(22021,C．(22021-1,【答案】C【分析】根據(jù)B1（1，1），B2（3，2），B3（7，4），……，Bn的橫坐標(biāo)為2n【詳解】解：∵B1∴A∴b=1，∵B2∴C∴A∴A∴∠A∴y=x+1，∵C∴A∴B3……，∴Bn的橫坐標(biāo)為2n-1，∴B2021的坐標(biāo)是故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查圖形的變化規(guī)律，通過觀察所給的圖形，探索出正方形邊長(zhǎng)與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·重慶渝北·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）觀察下列“蜂窩圖”，按照這樣的規(guī)律，則第2023個(gè)圖案中的“”的個(gè)數(shù)是（）A．6074 B．6072 C．6070 D．6068【答案】C【分析】根據(jù)題意可得出第n個(gè)圖案中的“”的個(gè)數(shù)為3n+1個(gè)，即可求解．【詳解】解：∵第1個(gè)圖案中的“”的個(gè)數(shù)=1×3+1=4（個(gè)），第2個(gè)圖案中的“”的個(gè)數(shù)=2×3+1=7（個(gè)），第3個(gè)圖案中的“”的個(gè)數(shù)=3×3+1=10（個(gè)），???第2023個(gè)圖案中的“”的個(gè)數(shù)=3×2023+1=6070（個(gè)），故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知圖形得出規(guī)律．4．（2022秋·四川資陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線l的解析式為y=33x，點(diǎn)M10，1，M1N1⊥y軸交直線l于點(diǎn)N1；點(diǎn)M2為y軸上位于M1上方的一點(diǎn)，且M1M2=M1N1，M2N2A．31+32021 B．31+32022【答案】C【分析】根據(jù)解析式得出：N13，1，N2【詳解】解：∵M(jìn)1∴將y=1代入y=33x∴N1∴M∴將y=3+1代入y=3∴N2∴M3∴將y=3+12代入y=N3∴N∴NN∴N==2=2故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律，正確得出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．5．（2023·山東德州·模擬預(yù)測(cè)）我國古代數(shù)學(xué)的許多創(chuàng)新和發(fā)展都位居世界前列，如南宋數(shù)學(xué)家楊輝（約13世紀(jì)）所著的《詳解九章算法》一書中，用如圖的三角形解釋二項(xiàng)式a+b2根據(jù)“楊輝三角”請(qǐng)計(jì)算a+b10A．36 B．45 C．55 D．66【答案】B【分析】根據(jù)“楊輝三角”確定出所求展開式第三項(xiàng)的系數(shù)即可．【詳解】找規(guī)律發(fā)現(xiàn)a+b3的第三項(xiàng)系數(shù)為3=1+2a+b4的第三項(xiàng)系數(shù)為6=1+2+3a+b5的第三項(xiàng)系數(shù)為10=1+2+3+4不難發(fā)現(xiàn)a+bn的第三項(xiàng)系數(shù)為1+2+3+…+∴a+b10第三項(xiàng)系數(shù)為1+2+3+…+9=45故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了探索數(shù)字規(guī)律以及數(shù)學(xué)常識(shí)，弄清“楊輝三角”中的系數(shù)規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．6．（2023·湖南益陽·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，矩形ABCD的面積為5，它的兩條對(duì)角線交于點(diǎn)O1，以AB、AO1為兩鄰邊作平行四邊形ABC1O1，平行四邊形ABC1O1A．52n-1 B．52n C．【答案】B【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)可得△ABO1的面積為54，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得平行四邊形ABC1O1【詳解】解：∵矩形ABCD的面積為5，∴△ABO1的面積為∵四邊形ABC∴平行四邊形ABC1O同理可得：平行四邊形ABC2O平行四邊形ABC3O歸納類推得：平行四邊形ABCnOn的面積為故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．7．（2022春·四川內(nèi)江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角△OAB位置如圖，∠OBA=90°，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），每一次將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，同時(shí)每邊擴(kuò)大為原來的2倍，第一次旋轉(zhuǎn)得到△OA1B1，第二次旋轉(zhuǎn)得到△OA2B2，…，以此類推，則點(diǎn)A2022的坐標(biāo)是（

）A．(22022，22022) B．(22021，22021) C．(22021，22021) D．(22022，22022)【答案】D【分析】△AOB是等腰直角三角形，OA=1，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得點(diǎn)A(1，1)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后可得A1(-2,2)，同理A2(-4,-4)，依次類推可求得，A3(8,-8)，A【詳解】∵△OAB是等腰直角三角形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），∴AB=OB=1，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)．將△OAB繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到等腰直角三角形OA1B再將△OA1B1繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到等腰直角三角形依此規(guī)律，∴點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)所位于的象限為每4次一循環(huán)，即A1(-2,2)，A2(-4,-4)，∵2022=505×4+2，∴點(diǎn)A2022與A∵-4=-22，8=2∴點(diǎn)A2022故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形在平面直角坐標(biāo)系中旋轉(zhuǎn)的規(guī)律問題，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)并能夠在坐標(biāo)系中找到點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-1,1),B(0,-2),C(1,-0)，點(diǎn)P(0,2)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)P1，點(diǎn)P1繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)P2，點(diǎn)P2繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)P3，點(diǎn)P3繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°A．(0,2) B．(-2,0) C．(2,-4) D．(-2,-2)【答案】A【分析】先畫出點(diǎn)P1【詳解】解：如圖，P1-2,0,∵2022=6×337，∴點(diǎn)P2022的坐標(biāo)與點(diǎn)P6的坐標(biāo)相同，即為故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查規(guī)律型：坐標(biāo)與圖形變化—旋轉(zhuǎn)，解題關(guān)鍵在于歸納類推出一般規(guī)律．9．（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示，直線y=33x+33與y軸相交于點(diǎn)D，點(diǎn)A1在直線y=33x+33上，點(diǎn)B1在x軸，且?OA1B1是等邊三角形，記作第一個(gè)等邊三角形；然后過B1作B1A2∥OA1與直線y=33x+33相交于點(diǎn)A2，點(diǎn)B2在x軸上，再以B1A2為邊作等邊三角形A2B2B1，記作第二個(gè)等邊三角形；同樣過B2作B2A3∥OA1與直線y=33x+33相交于點(diǎn)A3，點(diǎn)B3在x軸上，再以A．2n-1 B．2n-2 C．2n-1×3 D【答案】D【分析】可設(shè)直線與x軸相交于C點(diǎn)．通過求交點(diǎn)C、D的坐標(biāo)可求∠DCO=30°．根據(jù)題意得△COA1、△CB1A2、△CB2A3…都是等腰三角形，且腰長(zhǎng)變化有規(guī)律．在正三角形中求高即可得解．【詳解】解：設(shè)直線與x軸相交于C點(diǎn)．令x=0，則y=33；令y=0，則x=1∴OC=1，OD=33∵tan∠DCO=ODOC∴∠DCO=30°．∵△OA1B1是正三角形，∴∠A1OB1=60°．∴∠CA1O=∠A1CO=30°，∴OA1=OC=1．∴第一個(gè)正三角形的高=1×sin60°=32同理可得：第二個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)=1+1=2，高=2×sin60°=3；第三個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)=1+1+2=4，高=4×sin60°=23；第四個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)=1+1+2+4=8，高=8×sin60°=43；…第n個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)=2n1，高=2n2×3．∴第n個(gè)正三角形頂點(diǎn)A的縱坐標(biāo)是2n2×3．故選：D．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題型，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．10．（2023秋·山東濟(jì)寧·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線y=x+1與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，過點(diǎn)B作BC⊥AB，使BC=2BA．將ΔABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°．則第2022次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'落在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，則k的值為A．-4 B．4 C．-6 D．6【答案】C【分析】過點(diǎn)C作CD⊥y軸，垂足為D，則△BCD是等腰直角三角形，根據(jù)BC=22，確定點(diǎn)C的坐標(biāo)，第一次旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)第二次旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，第三次旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)與第一次坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，確定循環(huán)節(jié)為4，計(jì)算2022÷4的余數(shù)，確定最后的坐標(biāo)，利用k=橫坐標(biāo)×【詳解】如圖，過點(diǎn)C作CD⊥y軸，垂足為D，∵直線y=x+1與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，過點(diǎn)B作BC⊥AB，使BC=2BA，∴A（1，0），B（0，1），AB=2，BC=22∴OA=OB，∠ABO=∠BAO=∠CBD=∠DCB=45°，∴DC=BD=2，∴DC=BD=2，OD=OB+BD=3，∴點(diǎn)C（2，3），第一次旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)為（3，2），第二次旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱為（2，3），第三次旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)與第一次坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱為（3，2），第四次回到起點(diǎn)，∴循環(huán)節(jié)為4，∴2022÷4=505…2，∴第2022次變化后點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，3），∴k=3×2=6，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，反比例函數(shù)的解析式的確定，點(diǎn)的坐標(biāo)的對(duì)稱性，利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，確定點(diǎn)的對(duì)稱性及其坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．（2022秋·山東泰安·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知△ABC的周長(zhǎng)是1，連接△ABC三邊的中點(diǎn)構(gòu)成第二個(gè)三角形，再連接第二個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)構(gòu)成第三個(gè)三角形…依此類推，則第2019個(gè)三角形的長(zhǎng)_______.【答案】1【分析】根據(jù)“三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半”可知第2個(gè)三角形的周長(zhǎng)為1，第三個(gè)三角形的周長(zhǎng)為12×12=(1【詳解】根據(jù)“三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半”可知第2個(gè)三角形的周長(zhǎng)為12第3個(gè)三角形的周長(zhǎng)為12第4個(gè)三角形的周長(zhǎng)為(1…第n個(gè)三角形的周長(zhǎng)為(1∴第2019個(gè)三角形的周長(zhǎng)為(1故答案為：(1【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中位線定理，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵.12．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考一模）一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在第一象限及x軸、y軸上運(yùn)動(dòng)，在第一秒鐘，它從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到0,1，然后接著按圖中箭頭所示方向運(yùn)動(dòng)[即0,0→0,1→1,1→1,0【答案】1,44【分析】應(yīng)先判斷出走到坐標(biāo)軸上的點(diǎn)所用的時(shí)間以及相對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，可發(fā)現(xiàn)走完一個(gè)正方形所用的時(shí)間分別為3，5，7，9…，此時(shí)點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，進(jìn)而得到規(guī)律．【詳解】解：由題意可知，這點(diǎn)移動(dòng)的速度是1個(gè)單位長(zhǎng)度/每秒，設(shè)這點(diǎn)為x,y，到達(dá)1,0時(shí)用了3秒，到達(dá)2,0時(shí)用了4秒，從2,0到0,2有4個(gè)單位長(zhǎng)度，則到達(dá)0,2時(shí)用了4+4=8秒，到0,3時(shí)用了9秒；從0,3到3,0有6個(gè)單位長(zhǎng)度，則到達(dá)3,0時(shí)用9+6=15秒，到4,0時(shí)用16秒；從4,0到0,4有8個(gè)單位長(zhǎng)度，則到達(dá)0,4時(shí)用16+8=24秒，到0,5時(shí)用了25秒；從0,5到5,0有10個(gè)單位長(zhǎng)度，則到達(dá)5,0時(shí)用25+10=35秒，到6,0時(shí)用了36秒；…，可得在x軸上，橫坐標(biāo)為偶數(shù)時(shí)，所用時(shí)間為x2秒，在y軸上時(shí)，縱坐標(biāo)為奇數(shù)時(shí)，所用時(shí)間為y∵45×45=2025，2025→0,45，2026→1,45，2024→0,44∴第2023秒時(shí)這個(gè)點(diǎn)所在位置的坐標(biāo)為1,44，故答案為：1,44．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律，得出運(yùn)動(dòng)變化的規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵．13．（2023·廣東深圳·深圳市南山外國語學(xué)校?？家荒＃┗瘜W(xué)中直鏈烷烴的名稱用“碳原子數(shù)+烷”來表示．當(dāng)碳原子數(shù)為1~10時(shí)，依次用天干——甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、千、癸——表示，其中甲烷、乙烷、丙烷的分子結(jié)構(gòu)式如圖所示，則第7個(gè)庚烷分子結(jié)構(gòu)式中“H”的個(gè)數(shù)是______．【答案】16【分析】觀察題干中分子結(jié)構(gòu)式發(fā)現(xiàn)規(guī)律，第n個(gè)分子結(jié)構(gòu)式中“H”的個(gè)數(shù)是2n+2【詳解】解：觀察分子結(jié)構(gòu)式可知，第1個(gè)甲烷分子結(jié)構(gòu)式中“H”的個(gè)數(shù)是4；第2個(gè)乙烷分子結(jié)構(gòu)式中“H”的個(gè)數(shù)是6；第3個(gè)丙烷分子結(jié)構(gòu)式中“H”的個(gè)數(shù)是8；……∴第n個(gè)分子結(jié)構(gòu)式中“H”的個(gè)數(shù)是2n+2∴第7個(gè)庚烷分子結(jié)構(gòu)式中“H”的個(gè)數(shù)是2×7+2=16，故答案為：16．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形類規(guī)律探索，通過觀察歸納出規(guī)律是解題關(guān)鍵．14．（2023·甘肅隴南·?？家荒＃┌匆欢ㄒ?guī)律排列的式子：-3ba,8ba3,-【答案】(-1)【分析】根據(jù)所給式子找出各部分的規(guī)律解答即可．【詳解】解：3b,8b,15b,24b，…，分子可表示為：n(n+2)b．a(chǎn),a3,a5則第n個(gè)式子為：(-1)n故答案是：(-1)n【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字類規(guī)律與探究，要求學(xué)生通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題．此題注意分別觀察各部分的符號(hào)規(guī)律．15．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·統(tǒng)考一模）用火柴棒按上圖的方式擺出一系列圖案，按這種方式擺下去，第n個(gè)圖案所用的火柴棒的根數(shù)為_____．【答案】3【分析】先根據(jù)圖案排列規(guī)律求出第n個(gè)圖案的三角形的個(gè)數(shù)，再根據(jù)沒有個(gè)三角形有三根火柴棒計(jì)算即可得解．【詳解】解：第1個(gè)圖案有1個(gè)三角形，第2個(gè)圖案有1+2個(gè)三角形，第3個(gè)圖案有1+2+3個(gè)三角形，…，依此類推，第n個(gè)圖案有：1+2+3+…+n個(gè)三角形，∵1+2+3+…+n=n∴第n個(gè)圖案所用的火柴棒的根數(shù)為3×n故答案為：3n【點(diǎn)睛】本題是對(duì)圖形變化規(guī)律的考查，先求出第n個(gè)圖案的三角形的個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵．16．（2023·山東棗莊·?？寄M預(yù)測(cè)）觀察圖中每一個(gè)大三角形中白色三角形的排列規(guī)律，則第n個(gè)大三角形中白色三角形有（用含n代數(shù)式表示）________個(gè)．【答案】3【分析】分別數(shù)出第1個(gè)圖形、第2個(gè)圖形、第3個(gè)圖形、第4個(gè)圖形中白色三角形的個(gè)數(shù)，總結(jié)出白色三角形的增長(zhǎng)規(guī)律，即可推出第n個(gè)大三角形中白色的三角形的個(gè)數(shù)．【詳解】解：第1個(gè)圖形的白色三角形個(gè)數(shù)為1，第2個(gè)圖形的白色三角形個(gè)數(shù)為1+3=3第3個(gè)圖形的白色三角形個(gè)數(shù)為1+3+9=3第4圖形的白色三角形個(gè)數(shù)為1+3+9+27=3…，以此類推，第n個(gè)圖形的白色三角形個(gè)數(shù)為30故答案為：30【點(diǎn)睛】本題考查規(guī)律型中的圖形變化問題，解答此題要有以下步驟：①先數(shù)出白色三角形的個(gè)數(shù)；②探索出白色三角形的增長(zhǎng)規(guī)律；③根據(jù)規(guī)律解題．本題運(yùn)算量比較大，要仔細(xì)計(jì)算．17．（2023秋·重慶永川·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是一個(gè)電子青蛙游戲盤，已知AB=7，BC=6，AC=5，BP0=3．電子青蛙在AB邊上的P0處，第一步跳到P1處，使BP1=BP0，第二步跳到P2處，使C【答案】0【分析】根據(jù)上述規(guī)則，顯然6次完成一個(gè)循環(huán)．因?yàn)?023÷6=372…1，則P2023與P【詳解】解：第一步跳到P1處，使B第二步跳到P2處，使C第三步跳到P3處，使A第四步跳到P4處，B第五步跳到P5處，C第六步跳到p6處，AP5∴6次一循環(huán)，則2023÷6=372…1，則P2023與P∴P1與P2023之間的距離為故答案為：0．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)題目中各點(diǎn)的變化規(guī)律，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．18．（2023秋·河南許昌·九年級(jí)?？计谀┢矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，若干個(gè)半徑為1，圓心角為60°的扇形組成的圖形如圖所示，點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，向右沿箭頭所指方向做上下起伏運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，在弧線上運(yùn)動(dòng)的速度為每秒π3個(gè)單位長(zhǎng)度，則2021秒時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是__________【答案】(20212【分析】根據(jù)勾股定理和弧長(zhǎng)公式求出的P1坐標(biāo)，設(shè)第n秒運(yùn)動(dòng)到Pn(n為自然數(shù)）點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律找出部分Pn點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)的變化找出變化規(guī)律“P4n+1(4n+12，32)【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作AB⊥x軸，垂足為B，由題意可得：OA=1，∠AOB=60°，∴OB=12，AB=3∴P1(12設(shè)第n秒運(yùn)動(dòng)到Pn觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：P1(12，32)，P2(1,0)，P3(3∴P4n+1(4n+12，32)，P∵2021=4×505+1，∴P2021為(2021故答案為：(20212，【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型中的點(diǎn)的坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是找出變化規(guī)律，本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律找出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)的變化找出坐標(biāo)變化的規(guī)律是關(guān)鍵．19．（2022秋·山東臨沂·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+m2+m=0m>0，當(dāng)m=1,2,3,?,2022時(shí)，相應(yīng)的一元二次方程的兩根分別記為【答案】6066【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系得到α1+β1=3，α1β1=1×2；【詳解】解：∵x2-3x+m∴由根與系數(shù)的關(guān)系得：α1+β1=3，α1β1=1×2；∴原式=α==3×=3×=3×=故答案為：6066【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=020．（2023·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，頂點(diǎn)A-5，0，C5，10，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，CD與y軸交于點(diǎn)E，AF與BE交于點(diǎn)G，將正方形ABCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第【答案】-4【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB=BC=CD=10，∠C=∠ABF=90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BAF=∠CBE，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠BGF=90°，過G作GH⊥AB于H，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BH=2，根據(jù)勾股定理得到HG=4，求得G3【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=10，∠C=∠ABF=90°，∵點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，CD與y軸交于點(diǎn)E，∴CE=BF=5，∴△ABF≌△BCE（SAS），∴∠BAF=∠CBE，∵∠BAF+∠BFA=90°，∴∠FBG+∠BFG=90°，∴∠BGF=90°，∴BE⊥AF，∵AF=A∴BG=AB?BF過G作GH⊥AB于H，∴∠BHG=∠AGB=90°，∵∠HBG=∠ABG，∴△ABG∽△GBH，∴BG∴BG∴BH=2∴HG=B∴G3∵將正方形ABCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，∴第一次旋轉(zhuǎn)90°后對(duì)應(yīng)的G點(diǎn)的坐標(biāo)為4，第二次旋轉(zhuǎn)90°后對(duì)應(yīng)的G點(diǎn)的坐標(biāo)為-3，第三次旋轉(zhuǎn)90°后對(duì)應(yīng)的G點(diǎn)的坐標(biāo)為-4，第四次旋轉(zhuǎn)90°后對(duì)應(yīng)的G點(diǎn)的坐標(biāo)為3，…，∵2023=∴每4次一個(gè)循環(huán)，第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，相當(dāng)于正方形ABCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)3次，∴第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為-4，故答案為：-4，【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形變換—旋轉(zhuǎn)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．三、解答題21．（2023·安徽六安·統(tǒng)考二模）觀察以下等式：第1個(gè)等式：23第2個(gè)等式：25第3個(gè)等式：27第4個(gè)等式：29……按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第6個(gè)等式：______；(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)2(2)2【分析】（1）由題干給出的4個(gè)等式，抓住不變的量，尋找變化的量前后之間的聯(lián)系，即可得出第6個(gè)等式；（2）用n表示（1）中找到的規(guī)律，利用分式的混合運(yùn)算法則證明即可．【詳解】（1）解：∵第1個(gè)等式：23第2個(gè)等式：25第3個(gè)等式：27第4個(gè)等式：29……∴第6個(gè)等式為：213故答案為：213（2）解：第n個(gè)等式為：22n+1證明：1===2故答案為：22n+1【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)算規(guī)律的探究，分式的加減運(yùn)算，掌握規(guī)律的探究方法與分式的加減運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．22．（2022秋·江蘇徐州·七年級(jí)校考階段練習(xí)）先觀察，再解題：因?yàn)?-12=11×2，所以(1)15×6=(2)請(qǐng)接著完成下面的計(jì)算：1(3)參照上述解法計(jì)算11×3【答案】(1)15(2)4950(3)25【分析】（1）根據(jù)所給的等式的形式進(jìn)行求解即可；（2）利用所給的等式的形式進(jìn)行求解即可；（3）仿照（2）的解答方式進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：由題意得：15×6故答案為：15（2）解：1==1-=1-=49（3）解：1=====25【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的等式總結(jié)出存在的規(guī)律．23．（2022秋·安徽宣城·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，每個(gè)小正方形的面積均為1．將左圖中黑色的小正方形移動(dòng)，得到右邊拼成的長(zhǎng)方形，根據(jù)兩種圖形方法計(jì)算小正方形的個(gè)數(shù)；如圖得出以下等式：(1)請(qǐng)寫出第3個(gè)等式：__________；(2)猜想第n個(gè)等式為：__________（用含n的等式表示）；(3)當(dāng)n為多少時(shí)，左圖中的最底端有2024個(gè)小正方形？此時(shí)左圖中共有多少個(gè)小正方形？【答案】(1)2+4+6+8=4×5(2)2+4+6+?+2(n+1)=(n+1)(n+2)(3)n=1011，共有1025156個(gè)小正方形【分析】（1）根據(jù)給出的等式寫出答案即可；（2）根據(jù)這3個(gè)等式寫出答案即可；（3）因?yàn)樽畹锥擞?024個(gè)小正方形，所以2(n+1)=2024，得出n的值，再計(jì)算有多少個(gè)小正方形即可．【詳解】（1）解：2+4+6+8=4×5；（2）解：2+4+6+?+2(n+1)=(n+1)(n+2)；（3）解：因?yàn)樽畹锥擞?024個(gè)小正方形，所以2(n+1)=2024，解得：n=1011所以2+4+6+?+2024=1012×1013=1025156（個(gè)）答：n=1011，共有1025156個(gè)小正方形．【點(diǎn)睛】本題考查圖形的規(guī)律，根據(jù)給出的式子找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．24．（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）以下是一幅幅平面鑲嵌圖案，它們由相同的灰色正方形和白色等邊三角形排列而成，觀察圖案，如圖1，當(dāng)正方形只有1個(gè)時(shí)，等邊三角形有4個(gè)；如圖2，當(dāng)正方形有2個(gè)時(shí)，等邊三角形有7個(gè)；以此類推……(1)第5個(gè)圖案中正方形有______個(gè)，等邊三角形有______個(gè)．(2)第n個(gè)圖案中正方形有______個(gè)，等邊三角形有______個(gè)．(3)若此類圖案中有2023個(gè)等邊三角形，該圖案中正方形有多少個(gè)？【答案】(1)5，16；(2)n，3n+1；(3)該圖案中正方形有674個(gè)【分析】（1）觀察第1個(gè)圖案可知：中間的一個(gè)正方形對(duì)應(yīng)4個(gè)等邊三角形，第2個(gè)圖案可知增加一個(gè)正方形，變成了7個(gè)等邊三角形，增加了3個(gè)等邊三角形，???，依次計(jì)算可解答；（2）觀察第1個(gè)圖案，有1個(gè)等邊三角形；第2個(gè)圖案，有3+4個(gè)等邊三角形；???，依次計(jì)算可解答；（3）根據(jù)等邊三角形的個(gè)數(shù)求出圖形的個(gè)數(shù)，即可確定正方形的個(gè)數(shù)．【詳解】（1）解：觀察第1和2個(gè)圖案可知：圖案中每增加1個(gè)正方形，則等邊三角形增加3個(gè)，∴第5個(gè)圖案中正方形有5個(gè)，等邊三角形有4+3+3+3+3=16(個(gè))．故答案為：5，16；（2）解：第1個(gè)圖案：正方形有1個(gè)，等邊三角形有：4(個(gè))，第2個(gè)圖案：正方形有2個(gè)，等邊三角形有：4+3=7(個(gè))，第3個(gè)圖案：正方形有3個(gè)，等邊三角形有：4+2×3=10(個(gè))，第4個(gè)圖案：正方形有4個(gè)，等邊三角形有：4+3×3=13(個(gè))，??????第n個(gè)圖案：正方形有n個(gè)，等邊三角形有：4+3(n-1)=(3n+1)個(gè)，故答案為：n，3n+1；（3）解：∵3n+1=2023，解得：n=674，∴按此規(guī)律鑲嵌圖案，該圖案中正方形有674個(gè)．【點(diǎn)睛】本題考查了平面鑲嵌，以等邊三角形和正方形的拼圖為背景，關(guān)鍵是考查規(guī)律性問題的解決方法，探究規(guī)律要認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想來解決這類問題．25．（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）十一期間，泉城廣場(chǎng)的一個(gè)公共區(qū)域用盆栽進(jìn)行了美化，盆栽按如圖的方式擺放，圖中的盆栽被折線隔開分成若干層，第一層有1個(gè)盆栽，第二層有3個(gè)盆栽，第三層有5個(gè)盆栽，第四層有7個(gè)盆栽，……，以此類推．請(qǐng)觀察圖形規(guī)律，解答下列問題：(1)第10層有個(gè)盆栽，第a層有個(gè)盆栽，前n層共有個(gè)盆栽；(2)計(jì)算：1+3+5+……+25=；(3)拓展應(yīng)用：求27+29+……+1921的值．【答案】(1)19，2n-1，n(2)169(3)923352【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)即可得出每一小層盆栽個(gè)數(shù)是連續(xù)的奇數(shù)，進(jìn)而得出答案；（2）利用已知數(shù)據(jù)得出答案即可；（3）利用已知數(shù)據(jù)得出答案即可．【詳解】（1）解：第10層有19個(gè)盆栽，第n層有2n-1個(gè)盆栽；前n層共有1+3+5+……+2n-1故答案為：19，2n-1，n2（2）解：1+3+5+…+25=132故答案為：169；（3）解：27=1+3+5+?+1921==923521-169=923352【點(diǎn)睛】此題主要考查了圖形的變化類，根據(jù)已知得出數(shù)字的變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．26．（2022秋·山東濟(jì)南·七年級(jí)統(tǒng)考期中）利用圖形來表示數(shù)量或數(shù)量關(guān)系，也可以利用數(shù)量或數(shù)量關(guān)系來描述圖形特征或圖形之間的關(guān)系，這種思想方法稱為數(shù)形結(jié)合．請(qǐng)你嘗試?yán)脭?shù)形結(jié)合的思想方法解決下列問題(1)如圖①，一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，依次取正方形面積的12,14,18?1(2)如圖②，一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，第一次取正方形面積的23，然后依次取剩余部分的23，根據(jù)圖示：計(jì)算：23+29+(3)如圖③是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，根據(jù)圖示：計(jì)算：13+29+427【答案】(1)1-(2)1-(3)1-【分析】（1）根據(jù)題意找出規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)題干給出圖形，依次取正方形面積的23,2（3）根據(jù)題干給出圖形，依次取正方形面積的13,2【詳解】（1）解：∵第1次截取后剩余12第2次截取后剩余12第3次截取后剩余12…，第n次截取后剩余12∴12故答案為：1-1（2）解：∵第1次截取后剩余13第2次截取后剩余13第3次截取后剩余13…，第n次截取后剩余13∴23故答案為：1-1（3）解：∵第1次截取后剩余23第2次截取后剩余23第3次截取后剩余23…，第n次截取后剩余23∴13故答案為：1-2【點(diǎn)睛】本題考查的圖形的變化類，根據(jù)題干給出的圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．27．（2022秋·浙江杭州·七年級(jí)?？计谥校┩瓿上铝刑羁眨?1)已知a1=11×2×3+12=23(2)有若干張邊長(zhǎng)都是2的四邊形紙片和三角形紙片，從中取一些紙片按如圖所示的順序拼接起來（排在第一位的是四邊形），可以組成一個(gè)大的平行四邊形或一個(gè)大的梯形．如果所取的四邊形與三角形紙片數(shù)的和是5時(shí)，那么組成的大平行四邊形或梯形的周長(zhǎng)是___________；如果所取的四邊形與三角形紙片數(shù)的和是n，那么組成的大平行四邊形或梯形的周長(zhǎng)是___________．(3)下面是按一定規(guī)律排列的一列數(shù)：第1個(gè)數(shù)：a1第2個(gè)數(shù)：a2第3個(gè)數(shù)：a3……則第n個(gè)數(shù)為：___________．【答案】(1)199×100×101+(2)20，3n+5或3n+4(3)a【分析】（1）找到規(guī)律，根據(jù)規(guī)律填空即可；（2）第1張紙片的周長(zhǎng)為8，由2張紙片所組成的圖形的周長(zhǎng)比第1張紙片的周長(zhǎng)增加了2．由3張紙片所組成的圖形的周長(zhǎng)比前2張紙片所組成的圖形的周長(zhǎng)增加了4，按此規(guī)律可求解；（3）找到規(guī)律，根據(jù)規(guī)律填空即可．【詳解】（1）解：∵a1=11×2×3+12∴an∴a99故答案為：199×100×101+1（2）解：解：從圖形可推斷：紙張張數(shù)為5，圖片周長(zhǎng)為8+2+4+2+4=3×5+5=20；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，組成的大平行四邊形或梯形的周長(zhǎng)為：8+2+4+…+2+4=3n+5；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，組成的大平行四邊形或梯形的周長(zhǎng)為：8+2+…+4+2=3n+4．綜上，組成的大平行四邊形或梯形的周長(zhǎng)為3n+5或3n+4．故答案為：20，3n+5或3n+4．（3）解：∵第1個(gè)數(shù)：a1第2個(gè)數(shù)：a2第3個(gè)數(shù)：a3……∴第n個(gè)數(shù)為an故答案為：an【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化以及數(shù)字的變化，解第(2)題的關(guān)鍵是將紙片的張數(shù)分奇偶兩種情況進(jìn)行討論，得出組成的大平行四邊形或梯形的周長(zhǎng)．28．（2022秋·山西呂梁·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，每張小紙帶的長(zhǎng)為40cm，用膠水把它們粘貼成一張長(zhǎng)紙帶，接頭粘貼重疊部分的長(zhǎng)為3cm．(1)用2張這樣的小紙帶粘貼成的紙帶的長(zhǎng)度為77cm，則用3張這樣的小紙帶粘貼成的紙帶的長(zhǎng)度為______cm．(2)①用n張這樣的小紙帶粘貼成的紙帶的長(zhǎng)度是______cm；②計(jì)算用20張這樣的小紙帶粘貼成的紙帶的長(zhǎng)度．【答案】(1)114(2)①(37n+3)；②743【分析】（1）理解接頭是每相鄰兩張有一個(gè)接頭，則三張有兩個(gè)接頭，從而求出每張紙帶的長(zhǎng)度，即可求解；（2）①結(jié)合（1）推而廣之，n張有(n-1)個(gè)接頭，n張這樣的小紙帶粘貼成的紙帶的長(zhǎng)度是40n-3×(n-1)=(37n+3)cm②直接把n=30代入①即可求解．【詳解】（1）解：每張紙帶的長(zhǎng)度為：77+3÷2=40(∴3張這樣的小紙帶粘貼成的紙帶的長(zhǎng)度為：40×3-2×3=114(cm（2）解：①n張紙帶的長(zhǎng)度為：40n-3×(n-1)=(37n+3)cm②當(dāng)n=20時(shí)，37n+3=743(cm∴20張這樣的小紙帶粘貼成的紙