第九章中心對稱圖形平行四邊形（旋轉(zhuǎn)最值動點(diǎn)和四邊形綜合壓軸）

第九章中心對稱圖形平行四邊形（壓軸題專練）一、旋轉(zhuǎn)（幾何問題）1．如圖與為正三角形，點(diǎn)O為射線上的動點(diǎn)，作射線與直線相交于點(diǎn)E，將射線繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)，得到射線，射線與直線相交于點(diǎn)F．(1)如圖①，點(diǎn)O與點(diǎn)A重合時，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段，上，求證：；(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)O在的延長線上時，E，F(xiàn)分別在線段的延長線和線段的延長線上，三條線段之間的數(shù)量關(guān)系；(3)點(diǎn)O在線段上，若，當(dāng)時，請直接寫出的長．【答案】(1)證明見解答(2)(3)滿足條件的的值為4或2或6【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可得，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，易得，由“”可證；（2）過點(diǎn)O作交與點(diǎn)H，可證是等邊三角形，可得，由“”可證，可得，即可得；（3）分四種情形畫出圖形分別求解即可解決問題．【詳解】（1）證明：如圖①中，∵與為正三角形，∴，，∵將射線繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)，，，，，，；（2）解：，理由如下：，如圖②，過點(diǎn)O作交與點(diǎn)H，，，是等邊三角形，，，，，，，，，，，；（3）解：作于H．，為正三角形，，，，如圖③中，當(dāng)點(diǎn)O在線段上，點(diǎn)E在線段上時．，，，過點(diǎn)O作，交于N，是等邊三角形，，，，，，，，，，，；如圖③﹣2中，當(dāng)點(diǎn)O在線段上，點(diǎn)E在線段上，點(diǎn)F在線段的延長線上時，同法可證：，，；如圖③﹣3中，當(dāng)點(diǎn)O在線段上，點(diǎn)F在線段上，點(diǎn)E在線段上時．同法可證：，，，；如圖③中，當(dāng)點(diǎn)O在線段上，點(diǎn)F在線段的延長線上，點(diǎn)E在線段上時．同法可知：，而，，；綜上所述，滿足條件的的值為4或2或6．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題．2．在中，，，點(diǎn)D在線段上，點(diǎn)E在射線上，．【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段上時，猜想線段的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；【類比遷移】（2）如圖2，若點(diǎn)E在的延長線上時，（1）中的結(jié)論是否成立，若成立，請完成證明，若不成立，請寫出正確的結(jié)論并說明理由；【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在等邊中，點(diǎn)D，E在邊上，，，，求的面積．【答案】（1）（2）（1）中的結(jié)論成立，（3）【分析】（1）將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至的位置，使得與重合，連接，可得，由“”可證，可得，由勾股定理可求解；（2）把繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，由（1）可知：，得出，則可得出結(jié)論；（3）如圖3，將沿折疊得，將沿折疊得，過點(diǎn)作，交的延長線于，由直角三角形的性質(zhì)可求，由勾股定理可求解．【詳解】（1）．證明：如圖1，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至的位置，使得與重合，連接，，在和中，在中，由勾股定理知：，（2）（1）中的結(jié)論仍成立．理由：把繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，由（1）可知：，（3）∵，∴，將沿折疊得，將沿折疊得，過點(diǎn)作，交的延長線于，，如圖，過A作，則的邊上的高【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題關(guān)鍵．3．知：，其中，直線交直線于點(diǎn)．

(1)圖1中，點(diǎn)在上，求證：；(2)若將圖1中的繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)，如圖2，圖3，你認(rèn)為（1）中的結(jié)論還成立嗎？請直接寫出，與之間的數(shù)量關(guān)系；(3)若，，則___________．【答案】(1)見解析(2)不成立，見解析(3)3或13【分析】（1）連接，由，可得，，即可證明，有，從而；（2）圖2中連接，證明，得，可得；圖3中連接，證明，可得；（3）分為當(dāng)在線段上時及當(dāng)在的延長線上時，兩種情況進(jìn)行討論即可．【詳解】（1）證明：連接，

，，，，，，，，，；（2）：（1）中的結(jié)論不成立，圖2中，理由如下：連接，

，，，，，，，，，；圖3中，理由如下：連接，

，，，，，，，，，；（3）解：當(dāng)在線段上時，由（1）知，，當(dāng)在的延長線上時，由（2）可知，；綜上所述，的長為3或13．故答案為：3或13．【點(diǎn)睛】本題考查幾何變換綜合應(yīng)用，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．最值問題4．如圖，菱形中，，，點(diǎn)、、分別為線段、、上的任意一點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)軸對稱確定最短路線問題作圖，再利用直線外一點(diǎn)到直線的距離垂線段最短確定最短距離并計(jì)算即可．【詳解】解：作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，根據(jù)菱形的性質(zhì)，點(diǎn)落在線段上，連接∴當(dāng)在同一直線并且時，最小，過點(diǎn)作交于點(diǎn)∴最小為故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查軸對稱求最短距離以及直線外一點(diǎn)到直線的距離垂線段最短的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，熟練掌握軸對稱確定最短路線以及菱形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．5．如圖，正方形的對角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是直線上一動點(diǎn)．若，則的最小值是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】本題為典型的將軍飲馬模型問題，需要通過軸對稱，作點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)，再連接，運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短得到為所求最小值，再運(yùn)用勾股定理求線段的長度即可．【詳解】解：如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)，連接，其與BC的交點(diǎn)即為點(diǎn)E，再作交AB于點(diǎn)F，∵A與關(guān)于BC對稱，∴，，當(dāng)且僅當(dāng)，O，E在同一條線上的時候和最小，如圖所示，此時，∵正方形，點(diǎn)O為對角線的交點(diǎn)，∴，∵對稱，∴，∴，在中，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題為典型的將軍飲馬模型，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)，并運(yùn)用勾股定理求線段長度是解題關(guān)鍵。6．如圖，在直角坐標(biāo)系中，A（﹣4，0），B（0，4），C是OB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在第二象限，且四邊形AOCD為矩形，P是CD上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PH⊥OA于H，Q是點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)，則BP+PH+HQ的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)C是OB的中點(diǎn)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合矩形性質(zhì)得出，兩點(diǎn)對稱公式得出點(diǎn)；利用平行四邊形的性質(zhì)構(gòu)造等量關(guān)系，則，由三點(diǎn)之間直線最短可知的值最小時，即，可得出結(jié)論．【詳解】解：連接，∵，,為的中點(diǎn)，點(diǎn)．∴,∵四邊形AOCD為矩形,∴,PH⊥OA于H，∴，∴，∴四邊形為矩形,，，∴,∴四邊形是平行四邊形，∴,∵Q是點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)，A（﹣4，0），B（0，4），∴點(diǎn)．∴．當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，的值最小，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形中的線段最短問題，恰當(dāng)利用四邊形（平行四邊形）的性質(zhì)定性構(gòu)造等量關(guān)系，理解并掌握三角形三邊關(guān)系定理（三點(diǎn)共線時取得最值）是解本題的關(guān)鍵．7．如圖，在長方形ABCD中，，，點(diǎn)P為邊AB上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作，分別交BD、CD于點(diǎn)E、Q，則的最小值為．【答案】4【分析】在長方形中，求出，，設(shè)，用勾股定理可得，可得，用勾股定理可得最小值．【詳解】解：在長方形中，，，，，設(shè)，則，，在中，，，，在中，，，在中，，，如圖：設(shè)，，，，，，則，，由圖可知，當(dāng)、、共線時，最小，最小值為的長，過作交延長線于，則四邊形是矩形，在中，，，，最小值是4，最小值是4，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查矩形中的最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是設(shè)，用含的代數(shù)式表示，再構(gòu)造數(shù)學(xué)模型用勾股定理即可求得答案．8．如圖，菱形ABCD周長為16，∠DAC＝30°，E是AB的中點(diǎn)，P是對角線AC上的一個動點(diǎn)，則PE+PB的最小值是．【答案】【分析】連接BD交AC于點(diǎn)O，連接PD，DE．由四邊形ABCD是菱形，可得：，．可知AC垂直平分BD，所以．可得，即．由四邊形ABCD是菱形，,可得．由四邊形ABCD是菱形且周長是16，可得．結(jié)合，可得是等邊三角形．由于點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，可得．所以．由，可得．在中，由直角三角形性質(zhì)，可求出．由勾股定理可得，可求出．所以的最小值為．【詳解】解：連接BD交AC于點(diǎn)O，連接PD，DE四邊形ABCD是菱形，，，，AC垂直平分BD即，菱形ABCD的周長為16是等邊三角形點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)在中，在中，由勾股定理得的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查知識點(diǎn)為：菱形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，勾股定理．若要最小，應(yīng)讓PE、PB，在同一直線上，所以需將其中一條線段進(jìn)行轉(zhuǎn)移．掌握上述知識點(diǎn)和求最值的思路，是解決本題的關(guān)鍵．8．如圖，正方形ABCD的邊長為8，點(diǎn)E在AB上，BE＝2，點(diǎn)M，N為AC上動點(diǎn)，且，連接BN，EM，則四邊形BEMN周長的最小值為．【答案】【分析】連接BD、DN，作點(diǎn)E關(guān)于BD的對稱點(diǎn)F，連接NF、DF，根據(jù)正方形的性質(zhì)和平行四邊形的判定可證明四邊形MEFN是平行四邊形得到ME=NF，BN=DN，利用三角形三邊關(guān)系可得ME+BN=NF+DN≥DF（當(dāng)D、N、F共線時取等號），利用勾股定理求得DF即可求解．【詳解】解：連接BD、DN，作點(diǎn)E關(guān)于BD的對稱點(diǎn)F，則BE=BF=2，連接NF、DF，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BCD=90°，DB⊥AC，BN=DN，點(diǎn)F在BC上，∴EF∥AC，EF==MN，∴四邊形MEFN是平行四邊形，∴ME=NF，∴ME+BN=NF+DN≥DF（當(dāng)D、N、F共線時取等號），在Rt△DCF中，CD=8，CF=82=6，則DF==10，∴ME+BN≥10，∴MN+BE+ME+BN≥+2+10=12+，即則四邊形BEMN的周長的最小值為12+，故答案為：12+．【點(diǎn)睛】本題考查最短路徑問題，涉及正方形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理、軸對稱性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握正方形的對稱性質(zhì)，會利用三角形的三邊關(guān)系找的DF為最小是解答的關(guān)鍵．9．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E為CD邊的中點(diǎn)，若P、Q為BC邊上的兩個動點(diǎn)，且PQ＝2，四邊形APQE的周長最小值為．【答案】【分析】要使四邊形APQE的周長最小，由于AE與PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．為此，先在BC邊上確定點(diǎn)P、Q的位置，可在AD上截取線段AF=DE=2，作F點(diǎn)關(guān)于BC的對稱點(diǎn)G，連接EG與BC交于一點(diǎn)即為Q點(diǎn)，過A點(diǎn)作FQ的平行線交BC于一點(diǎn)，即為P點(diǎn)，則此時AP+EQ=EG最小，即四邊形APQE的周長最?。驹斀狻吭贏D上截取線段AF=PQ=2，作F點(diǎn)關(guān)于BC的對稱點(diǎn)G，連接EG與BC交于一點(diǎn)即為Q點(diǎn)，過A點(diǎn)作FQ的平行線交BC于一點(diǎn)，即為P點(diǎn)，過G點(diǎn)作BC的平行線交DC的延長線于H點(diǎn)．則四邊形APQF是平行四邊形∴PA=FQ=GQ∵E為CD邊的中點(diǎn)∴DE=EC=2∴∵GH=DF=6，EH=EC+CH=2+4=6，∠H=90°，∴∠GEH=45°，∴，∴四邊形APQE的周長的最小值=QE+EA+PQ+AP=+EQ+2+AP=+EQ+2+QG=+EG+2=．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對稱最短路線問題的應(yīng)用，題目具有一定的代表性，是一道難度較大的題目，對學(xué)生提出了較高的要求．（特殊）平行四邊形動點(diǎn)問題10．有一邊長為的正方形和等腰直角，，．點(diǎn)，，Q，在同一條直線l上，當(dāng)，Q兩點(diǎn)重合時，等腰直角以秒的速度沿直線l按箭頭所示方向開始勻速運(yùn)動，t秒后正方形與等腰直角重合部分的面積為，解答下列問題：(1)當(dāng)Q在線段上時，___________；當(dāng)Q在線段延長線上時，___________（用含t的代數(shù)式表示）．(2)當(dāng)秒時，求S的值．(3)當(dāng)重合部分為四邊形時，請用含t的代數(shù)式表示S，并注明t的取值范圍．(4)當(dāng)點(diǎn)P到正方形的兩條豎直的邊的距離之比是時，直接寫出t的值．【答案】(1)；(2)(3)(4)或或或13【分析】本題考查了正方形性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，三角形的面積，分類討論等知識，解決問題的關(guān)鍵是正確分類，找出數(shù)量關(guān)系．（1）當(dāng)點(diǎn)在上時，，當(dāng)在的延長線時，；（2）當(dāng)時，點(diǎn)在的右側(cè)，此時的邊長是3；（3）先根據(jù)臨界確定兩種情形：和，進(jìn)而確定的邊長，從而求得；（4）分為點(diǎn)在的右側(cè)，在和之間及在左側(cè)，設(shè)到距離是，距離是，列出二元一次方程組求得．【詳解】（1）解：當(dāng)點(diǎn)在上時，，當(dāng)在的延長線時，．（2）解：如圖1，作于，，，，，四邊形是正方形，，，，；（3）解：當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時，點(diǎn)在上，此時，當(dāng)點(diǎn)和重合時，此時，當(dāng)點(diǎn)和和點(diǎn)重合時，此時，當(dāng)點(diǎn)在上時，此時，當(dāng)時，如圖2，，，，，當(dāng)時，如圖3，，，，當(dāng)時，如圖4，此時是五邊形或三角形，；（4）解：設(shè)點(diǎn)到的距離是，到的距離是，當(dāng)點(diǎn)在的右側(cè)時，，，，此時，當(dāng)點(diǎn)在和之間時，當(dāng)時，，，此時，當(dāng)時，，，此時，當(dāng)點(diǎn)在的左側(cè)時，，，，此時，綜上所述：或或或13．11．有一邊長為的正方形和等腰直角，，．點(diǎn)，，，在同一條直線上，當(dāng)，兩點(diǎn)重合時，等腰直角以秒的速度沿直線按箭頭所示方向開始勻速運(yùn)動，秒后正方形與等腰直角重合部分的面積為，解答下列問題：(1)當(dāng)在線段上時，_________；當(dāng)在線段延長線上時，_________（用含的代數(shù)式表示）．(2)當(dāng)秒時，求的值．(3)當(dāng)重合部分為四邊形時，請用含的代數(shù)式表示，并注明的取值范圍．(4)當(dāng)點(diǎn)到正方形的兩條豎直的邊的距離之比是時，直接寫出的值．【答案】(1)或(2)(3)(4)或或或13【分析】（1）當(dāng)點(diǎn)在上時，，當(dāng)在的延長線時，；（2）當(dāng)時，點(diǎn)在的右側(cè)，此時的邊長是3；（3）先根據(jù)臨界確定兩種情形：和，進(jìn)而確定的邊長，從而求得；（4）分為點(diǎn)在的右側(cè)，在和之間及在左側(cè)，設(shè)到距離是，距離是，列出二元一次方程組求得．【詳解】（1）解：當(dāng)點(diǎn)在上時，，當(dāng)在的延長線時，，故答案是或；（2）如圖1，作于，∵，，∴，，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∴；（3）當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時，點(diǎn)在上，此時，當(dāng)點(diǎn)和重合時，此時，當(dāng)點(diǎn)和和點(diǎn)重合時，此時，當(dāng)點(diǎn)在上時，此時，∴當(dāng)時，如圖2，∵，∴，∵，∴，當(dāng)時，如圖3，∵，∴，∴，當(dāng)時，如圖4，此時是五邊形或三角形，∴；（4）設(shè)點(diǎn)到的距離是，到的距離是，當(dāng)點(diǎn)在的右側(cè)時，∵，∴，∴，此時，當(dāng)點(diǎn)在和之間時，當(dāng)時，∵，∴，此時，當(dāng)時，∵，∴，此時，當(dāng)點(diǎn)在的左側(cè)時，∵，，∴，此時，綜上所述：或或或13．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，分類討論等知識，解決問題的關(guān)鍵是正確分類，找出數(shù)量關(guān)系．12．如圖，在中，邊上的高為8．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿以每秒5個單位長度的速度運(yùn)動．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿以每秒8個單位長度的速度運(yùn)動．、兩點(diǎn)同時出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，、兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)運(yùn)動的時間為（秒），連結(jié)．(1)直接寫出點(diǎn)與點(diǎn)重合時的值．(2)當(dāng)點(diǎn)沿運(yùn)動時，求的長（用含的代數(shù)式表示）．(3)當(dāng)時，求的值．(4)當(dāng)時，直接寫出的值．【答案】(1)5(2)(3)2或(4)4【分析】（1）由題意可得，即可；（2）根據(jù)題意可得，從而得到，即可；（3）分兩種情況，點(diǎn)Q沿運(yùn)動時，如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)M，則四邊形是矩形；點(diǎn)Q沿運(yùn)動時，如圖，過點(diǎn)C作于點(diǎn)N，則四邊形是矩形，即可解決問題；（4）分兩種情況，結(jié)合等腰梯形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)分別求出t的值即可．【詳解】（1）解：點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時，由題意得：，解得：，即點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時，t的值為5；（2）解：當(dāng)點(diǎn)Q沿運(yùn)動時，由題意得：，∴，即的長為；（3）解：①∵四邊形是平行四邊形，∴，分兩種情況：點(diǎn)Q沿運(yùn)動時，如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)M，則四邊形是矩形，∴，∴，∴，∵，∴，解得：；②點(diǎn)Q沿運(yùn)動時，如圖，過點(diǎn)C作于點(diǎn)N，則四邊形是矩形，∴∴，∴，同①得：，∴，解得：，綜上所述，當(dāng)時，t的值為2或；（4）解：分兩種情況：點(diǎn)Q沿運(yùn)動時，∵，∴，∵，∴四邊形是等腰梯形，如圖3，過A作于點(diǎn)G，于點(diǎn)H，則四邊形是矩形，∴，∴，由（3）得：，∴，解得：；當(dāng)點(diǎn)Q沿運(yùn)動時，∵，∴，當(dāng)四邊形是等腰梯形時，如圖，過A作于點(diǎn)G，于點(diǎn)H，則四邊形是矩形，∴，∴，由（3）得：，∴，解得：；如圖，當(dāng)四邊形是平行四邊形時，則，∴，解得：；綜上所述，當(dāng)時，t的值為4或或．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰梯形的判定與性質(zhì)以及分類討論等知識，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．13．如圖，是直角梯形，，，，點(diǎn)P從B點(diǎn)開始，沿邊向點(diǎn)A以的速度移動，點(diǎn)Q從D點(diǎn)開始，沿DC邊向點(diǎn)C以的速度移動，如果P、Q分別從B、D同時出發(fā)，P、Q有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時運(yùn)動停止，設(shè)移動時間為t．(1)t為時四邊形是平行四邊形；(2)t為何值時四邊形是矩形？(3)t為時四邊形是等腰梯形．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題主要考查的是等腰梯形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)，熟知一組對邊平行不相等，另一組對邊不平行但相等的四邊形是等腰直角梯形是解題的關(guān)鍵．（1）若四邊形是平行四邊形，則，即，即可得到答案；（2）若四邊形是矩形，則，即，即可得到答案；（3）分別過點(diǎn)作，由于是直角梯形，故四邊形是矩形，，若四邊形是等腰梯形，故，由此求出答案．【詳解】（1）解：四邊形是平行四邊形，，即，，解得；（2）解：四邊形是矩形，，即，，解得；（3）解：分別過點(diǎn)作，是直角梯形，，，四邊形是矩形，，四邊形是等腰梯形，故，，即，．14．如圖，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以秒的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動，同時點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以秒的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動，當(dāng)其中一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)，運(yùn)動的時間是秒．過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，．(1)四邊形能構(gòu)成菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能；(2)當(dāng)t為何值時，△DEF為直角三角形？請說明理由．【答案】(1)當(dāng)時，四邊形能構(gòu)成菱形，理由見解析(2)當(dāng)或時，為直角三角形．理由見解析【分析】（1）由題意得，，再由含角的直角三角形的性質(zhì)得，得到得四邊形為菱形，得，進(jìn)而求得的值；（2）分、兩種情況，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)列出算式，計(jì)算即可．【詳解】（1）解：由題意可知，，，，．，，．，，∴．，，∴四邊形為平行四邊形，∴要使平行四邊形為菱形，則需，即，解得，∴當(dāng)時，四邊形為菱形；（2）解：當(dāng)時，如圖①，

，，，四邊形為矩形．，即，解得，；當(dāng)時，如圖②，

，，∴．，即，解得，，綜上所述，當(dāng)或時，為直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握直角三角形的判定和平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．四邊形綜合問題15．如圖1，已知，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)B分別作x軸，y軸的平行線交x軸，y軸于點(diǎn)A、C．點(diǎn)D為射線上的一個動點(diǎn)，與關(guān)于直線對稱，連接．(1)請判斷四邊形的形狀；(2)若，當(dāng)為直角三角形時，求的長；(3)如圖2，若，點(diǎn)，過點(diǎn)A作交的延長線于點(diǎn)H，求的長．【答案】(1)四邊形是矩形(2)18或2(3)【分析】（1）由題意可得，則四邊形是矩形；（2）當(dāng)D點(diǎn)在上時，D、、B三點(diǎn)共線，再由，得到，則，用勾股定理求出，則；當(dāng)D在的延長線上時，、B、D三點(diǎn)共線，再由，推導(dǎo)出，則，勾股定理求出，則；（3）連接、交于點(diǎn)G，利用折疊的性質(zhì)和三角形內(nèi)角定理得到，再由，求出，則，可得是等腰直角三角形，等積法求出，勾股定理求出，再由是中位線，得到，即可求．【詳解】（1）解：軸，軸，，∴四邊形是矩形；（2）解：∵點(diǎn)，，，由折疊可知，，為直角三角形，，當(dāng)D點(diǎn)在上時，，∴D、、B三點(diǎn)共線，，，，，，，；當(dāng)D在的延長線上時，，，∴、B、D三點(diǎn)共線，，，，，，，，；綜上所述：的長為18或2；（3）解：連接交于點(diǎn)G，由折疊可知，，，，∵點(diǎn)，，由折疊可知，，，，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形的綜合應(yīng)用，熟練掌握矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，分類討論，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．16．小明在學(xué)習(xí)了平行四邊形這一章后，對特殊平行四邊形的探究產(chǎn)生了興趣，發(fā)現(xiàn)另外一類特殊四邊形，如圖1，我們把兩條對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．

(1)【概念理解】在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四邊形的是_________．(2)【性質(zhì)探究】通過探究，小明發(fā)現(xiàn)了垂美四邊形的一些性質(zhì)：垂美四邊形的面積S與對角線的數(shù)量關(guān)系為：_________．(3)【問題解決】如圖2，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作正方形和．連接，已知．求證：四邊形為垂美四邊形，并求出它的面積．(4)【學(xué)以致用】請直接寫出（3）中的長．【答案】(1)菱形、正方形(2)(3)證明見解析，面積為(4)【分析】（1）由平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）四邊形的面積=的面積+的面積；（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)可證得和全等，得出，由得出，再根據(jù)對頂角相等得到，于是有，從而得出，根據(jù)垂美四邊形的定義得出四邊形為垂美四邊形，根據(jù)垂美四邊形的面積等于兩對角線乘積的一半即可得出結(jié)果．（4）勾股定理求出，設(shè)，雙勾股定理求出的值，進(jìn)而求出的長，再用勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形，正方形，一定是垂美四邊形的是菱形，正方形，故答案為：菱形，正方形；（2）如圖1所示：

∵四邊形的面積=的面積+的面積∴；故答案為：；（3）證明：連接，，設(shè)與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，

四邊形是正方形，，，四邊形是正方形，，，，即，在和中，，，，，，，，，，即，四邊形為垂美四邊形；四邊形是正方形，，，，，點(diǎn)、、在一條直線上，在中，，，由勾股定理得，，在中，由勾股定理得，∵，，四邊形為垂美四邊形，四邊形的面積是．（4）∵四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴，設(shè)，則：，∴，即：，解得：，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查的是垂美四邊形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直的定義、勾股定理的應(yīng)用，正確理解垂美四邊形的定義、靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．17．【定義學(xué)習(xí)】定義：如果四邊形有一組對角為直角，那么我們稱這樣的四邊形為“對直四邊形”．【判斷嘗試】（1）在①平行四邊形②矩形③菱形④正方形中，是“對直四邊形”的是______；（填序號）（2）如圖，四邊形是對直四邊形，若，，，，則邊的長是______；【操作探究】如圖，在菱形中，，，于點(diǎn)，請?jiān)谶吷险乙稽c(diǎn)，使得以點(diǎn)、、、組成的四邊形為“對直四邊形”，畫出示意圖，并直接寫出的長是______；【拓展延伸】如圖，在正方形中，，點(diǎn)、、分別從點(diǎn)、、同時出發(fā)，并分別以每秒、、個單位長度的速度，分別沿正方形的邊、、方向運(yùn)動保持，再分別過點(diǎn)、作、的垂線交于點(diǎn)，連接、．（1）試說明：四邊形為對直四邊形．（2）在此運(yùn)動過程中，動點(diǎn)的運(yùn)動路徑長是______；【實(shí)踐應(yīng)用】某加工廠有一批四邊形板材，形狀如圖所示，其中米，米，，現(xiàn)根據(jù)客戶要求，需將每張四邊形板材進(jìn)一步分割成兩個等腰三角形板材和一個“對直四邊形”板材，且這兩個等腰三角形的腰長相等，要求材料充分利用無剩余請直接寫出分割后得到的等腰三角形的腰長是______．

【答案】判斷嘗試：（1）②④；（2）；操作探究：；拓展延伸：（1）見解析；（2）；實(shí)踐應(yīng)用：4或【分析】嘗試判斷（1）矩形和正方形的對角是直角；（2）連接，根據(jù)勾股定理求得結(jié)果；探究操作連接，則，是等邊三角形，故取的中點(diǎn)，進(jìn)而得出結(jié)果；拓展延伸（1）延長，交于，可證得≌，從而，進(jìn)而得出，進(jìn)一步得出結(jié)論；（2）求邊長是的正方形的對角線即可；實(shí)踐應(yīng)用一種情形：作于，作于，可得四邊形是矩形，和是腰長相等的等腰直角三角形；另一種情形：作同上可知：四邊形是“對直四邊形”，和是腰長相等的等腰直角三角形．【詳解】嘗試判斷解：（1）∵矩形和正方形的四個角都