專題08二次函數(shù)與平行四邊形有關問題（專項訓練）

專題08二次函數(shù)與平行四邊形有關問題（專項訓練）1．（2022?攀枝花）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于O（O為坐標原點），A兩點，且二次函數(shù)的最小值為﹣1，點M（1，m）是其對稱軸上一點，y軸上一點B（0，1）．（1）求二次函數(shù)的表達式；（）在二次函數(shù)圖象上是否存在點N，使得以A、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有符合條件的點N的坐標，若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)的最小值為﹣1，點M（1，m）是其對稱軸上一點，∴二次函數(shù)頂點為（1，﹣1），設二次函數(shù)解析式為y＝a（x﹣1）2﹣1，將點O（0，0）代入得，a﹣1＝0，∴a＝1，∴y＝（x﹣1）2﹣1＝x2﹣2x；（2）連接OP，當y＝0時，x2﹣2x＝0，∴x＝0或2，∴A（2，0），∵點P在拋物線y＝x2﹣2x上，∴點P的縱坐標為t2﹣2t，∴S＝S△AOB+S△OAP﹣S△OBP＝+（﹣t2+2t）﹣t＝﹣t2++1；（3）設N（n，n2﹣2n），當AB為對角線時，由中點坐標公式得，2+0＝1+n，∴n＝1，∴N（1，﹣1），當AM為對角線時，由中點坐標公式得，2+1＝n+0，∴n＝3，∴N（3，3），當AN為對角線時，由中點坐標公式得，2+n＝0+1，∴n＝﹣1，∴N（﹣1，3），綜上：N（1，﹣1）或（3，3）或（﹣1，3）．2．（2022?內(nèi)蒙古）如圖，拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過B（3，0），D（﹣2，﹣）兩點，與x軸的另一個交點為A，與y軸相交于點C．（1）求拋物線的解析式和點C的坐標；（2）設點Q在y軸上，點P在拋物線上，要使以點A，B，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件的點P的坐標．（請在圖2中探索）【解答】解：（1）將B（3，0），D（﹣2，﹣）代入y＝ax2+x+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+x+，令x＝0，則y＝，∴C（0，）；（3）令y＝0，則﹣x2+x+＝0，解得x＝3或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），設Q（0，t），P（m，﹣m2+m+），①當AB為平行四邊形的對角線時，m＝3﹣1＝2，∴P（2，）；②當AQ為平行四邊形的對角線時，3+m＝﹣1，解得m＝﹣4，∴P（﹣4，﹣）；③當AP為平行四邊形的對角線時，m﹣1＝3，解得m＝4，∴P（4，﹣）；綜上所述：P點坐標為（2，）或（﹣4，﹣）或（4，﹣）．3．（2022?牡丹區(qū)三模）如圖，直線y＝﹣x+4與x軸交于點C，與y軸交于點B，拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過B，C兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）Q是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點P，使得以P，Q，B，C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）∵直線y＝﹣x+4與x軸交于點C，與y軸交于點B，∴點B，C的坐標分別為B（0，4），C（4，0），把點B（0，4）和點C（4，0）代入拋物線y＝ax2+x+c，得：，解之，得，∴拋物線的解析式為．（32存在．由拋物線可得對稱軸是直線x＝1．∵Q是拋物線對稱軸上的動點，∴點Q的橫坐標為1．①當BC為邊時，點B到點C的水平距離是4，∴點Q到點P的水平距離也是4．∴點P的橫坐標是5或﹣3，∴點P的坐標為或；②當BC為對角線時，點Q到點C的水平距離是3，∴點B到點P的水平距離也是3，∴點P的坐標為．綜上所述，在拋物線上存在點P，使得以P，Q，B，C為頂點的四邊形是平行四邊形，點P的坐標是或或．4．（2022?東莞市校級一模）如圖所示，拋物線y＝x2+bx+c交x軸于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），交y軸于點C（0，﹣3），已知AB＝4，對稱軸在y軸左側(cè)．（1）求拋物線的表達式；（2）若點N在對稱軸上，則拋物線上是否存在點M，使得點A、O、N、M構成平行四邊形，若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c交y軸于點C（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴拋物線的解析式為y＝x2+bx﹣3，設A（x1，0），B（x2，0），由題意得x2﹣x1＝4，∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，∵x1+x2＝﹣b，x1x2＝﹣3，∴b2+12＝16，∴b＝±2，又∵對稱軸在y軸左側(cè)，∴b＝2，∴拋物線的表達式為y＝x2+2x﹣3；（2）存在點M，使得點A、O、N、M構成平行四邊形．∵拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3，∴y＝0時，x＝﹣3或x＝1，∴A（﹣3，0），B（1，0），①若OA為邊，∴AO∥MN，OA＝MN＝3，∵N在對稱軸x＝﹣1上，∴點M的橫坐標為2或﹣4，當x＝2時，y＝5，當x＝﹣4時，y＝5，∴M（2，5）或（﹣4，5）；②若OA為對角線時，∵A（﹣3，0），O（0，0），∴OA的中點的坐標為（﹣，0），∵N在直線x＝﹣1上，設M的橫坐標為m，∴，∴m＝﹣2，把m＝﹣2代入拋物線解析式得y＝﹣3，∴M（﹣2，﹣3）．綜上所述，M的坐標為（2，5）或（﹣4，5）或（﹣2，﹣3）；5．（2022?畢節(jié)市）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，頂點為D（2，1），拋物線的對稱軸交直線BC于點E．（1）求拋物線y＝﹣x2+bx+c的表達式；（2）把上述拋物線沿它的對稱軸向下平移，平移的距離為h（h＞0），在平移過程中，該拋物線與直線BC始終有交點，求h的最大值；（3）M是（1）中拋物線上一點，N是直線BC上一點．是否存在以點D，E，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c的頂點為D（2，1），∴拋物線的表達式為：y＝﹣（x﹣2）2+1＝﹣x2+4x﹣3．（2）由（1）知，拋物線的表達式為：y＝﹣x2+4x﹣3，令x＝0，則y＝﹣3，∴C（0，﹣3）；令y＝0，則x＝1或x＝3，∴A（1，0），B（3，0）．∴直線BC的解析式為：y＝x﹣3．設平移后的拋物線的解析式為：y＝﹣（x﹣2）2+1﹣h，令﹣（x﹣2）2+1﹣h＝x﹣3，整理得x2﹣3x+h＝0，∵該拋物線與直線BC始終有交點，∴Δ＝9﹣4h≥0，∴h≤．∴h的最大值為．（3）存在，理由如下：由題意可知，拋物線的對稱軸為：直線x＝2，∴E（2，﹣1），∴DE＝2，設點M（m，﹣m2+4m﹣3），若以點D，E，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，則分以下兩種情況：①當DE為邊時，DE∥MN，則N（m，m﹣3），∴MN＝|﹣m2+4m﹣3﹣（m﹣3）|＝|﹣m2+3m|，∴|﹣m2+3m|＝2，解得m＝1或m＝2（舍）或m＝或m＝．∴N（1，﹣2）或（，）或（，）．②當DE為對角線時，設點N的坐標為t，則N（t，t﹣3），∴，解得m或（舍），∴N（3，0）．綜上，點N的坐標為N（1，﹣2）或（，）或（，）或（3，0）．6．（2022?婁底）如圖，拋物線y＝x2﹣2x﹣6與x軸相交于點A、點B，與y軸相交于點C．（1）請直接寫出點A，B，C的坐標；（2）點P（m，n）（0＜m＜6）在拋物線上，當m取何值時，△PBC的面積最大？并求出△PBC面積的最大值．（3）點F是拋物線上的動點，作FE∥AC交x軸于點E，是否存在點F，使得以A、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請寫出所有符合條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）當x＝0時，y＝﹣6，∴C（0，﹣6），當y＝0時，x2﹣2x﹣6＝0，∴x1＝6，x2＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（6，0）；（2）方法一：如圖1，連接OP，設點P（m，﹣2m﹣6），∴S△POC＝xP＝＝3m，S△BOP＝|yP|＝+2m+6），∵S△BOC＝＝18，∴S△PBC＝S四邊形PBOC﹣S△BOC＝（S△POC+S△POB）﹣S△BOC＝3m+3（﹣+2m+6）﹣18＝﹣（m﹣3）2+，∴當m＝3時，S△PBC最大＝；方法二：如圖2，作PQ⊥AB于Q，交BC于點D，∵B（6，0），C（0，﹣6），∴直線BC的解析式為：y＝x﹣6，∴D（m，m﹣6），∴PD＝（m﹣6）﹣（﹣2m﹣6）＝﹣+3m，∴S△PBC＝＝＝﹣（m﹣3）2+，∴當m＝3時，S△PBC最大＝；（3）如圖3，當?ACFE時，AE∥CF，∵拋物線對稱軸為直線：x＝＝2，∴F1點的坐標：（4，﹣6），如圖4，當?ACEF時，作FG⊥AE于G，∴FG＝OC＝6，當y＝6時，x2﹣2x﹣6＝6，∴x1＝2+2，x2＝2﹣2，∴F2（2+2，6），F(xiàn)3（2﹣2，6），綜上所述：F（4，﹣6）或（2+2，6）或（2﹣2，6）．7．（2022?宜賓）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（3，0）、B（﹣1，0）兩點，與y軸交于點C（0，3），其頂點為點D，連結(jié)AC．（1）求這條拋物線所對應的二次函數(shù)的表達式及頂點D的坐標；（2）在拋物線的對稱軸上取一點E，點F為拋物線上一動點，使得以點A、C、E、F為頂點、AC為邊的四邊形為平行四邊形，求點F的坐標；【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A（3，0）、B（﹣1，0），C（0，3），∴，解得，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣（x﹣1）2+4，∴頂點D的坐標為（1，4）；（2）設直線AC的解析式為y＝kx+b，把A（3，0），C（0，3）代入，得，∴，∴直線AC的解析式為y＝﹣x+3，過點F作FG⊥DE于點G，∵以A，C，E，F(xiàn)為頂點的四邊形是以AC為邊的平行四邊形，∴AC＝EF，AC∥EF，∵OA∥FG，∴∠OAC＝∠GFE，∴△OAC≌△GFE（AAS），∴OA＝FG＝3，設F（m，﹣m2+2m+3），則G（1，﹣m2+2m+3），∴FG＝|m﹣1|＝3，∴m＝﹣2或m＝4，當m＝﹣2時，﹣m2+2m+3＝﹣5，∴F1（﹣2，﹣5），當m＝4時，﹣m2+2m+3＝﹣5，∴F2（4，﹣5）綜上所述，滿足條件點F的坐標為（﹣2，﹣5）或（4，﹣5）；7．（2022?重慶）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A（4，0），與y軸交于點B（0，3）．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）點P為直線AB上方拋物線上一動點，過點P作PQ⊥x軸于點Q，交AB于點M，求PM+AM的最大值及此時點P的坐標；（3）在（2）的條件下，點P′與點P關于拋物線y＝﹣x2+bx+c的對稱軸對稱．將拋物線y＝﹣x2+bx+c向右平移，使新拋物線的對稱軸l經(jīng)過點A．點C在新拋物線上，點D在l上，直接寫出所有使得以點A、P′、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形的點D的坐標，并把求其中一個點D的坐標的過程寫出來．【解答】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A（4，0），與y軸交于點B（0，3）．∴，∴．∴拋物線的函數(shù)表達式為y＝﹣；（2）∵A（4，0），B（0，3），∴OA＝4，OB＝3，由勾股定理得，AB＝5，∵PQ⊥OA，∴PQ∥OB，∴△AQM∽△AOB，∴MQ：AQ：AM＝3：4：5，∴AM＝，，∴PM+，∵B（0，3），A（4，0），∴l(xiāng)AB：y＝﹣，∴設P（m，﹣），M（m，﹣），Q（m，0），∴PM+2MQ＝﹣＝﹣，∵﹣，∴開口向下，0＜m＜4，∴當m＝1時，PM+的最大值為，此時P（1，）；（3）由y＝﹣知，對稱軸x＝，∴P'（2，），∵直線l：x＝4，∴拋物線向右平移個單位，∴平移后拋物線解析式為y'＝﹣，設D（4，t），C（c，﹣），①AP'與DC為對角線時，，∴，∴D（4，），②P'D與AC為對角線時，，∴，∴D（4，﹣），③AD與P'C為對角線時，，∴，∴D（4，），綜上：D（4，）或（4，﹣）或（4，）．8．（2022?青羊區(qū)校級模擬）拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（﹣3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C（0，3），點P是拋物線上的一個動點．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）如圖1，點P在線段AC上方的拋物線上運動（不與A，C重合），過點P作PD⊥AB，垂足為D，PD交AC于點E．作PF⊥AC，垂足為F，求△PEF的面積的最大值；（3）如圖2，點Q是拋物線的對稱軸l上的一個動點，在拋物線上，是否存在點P，使得以點A，P，C，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，說明理由．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（﹣3，0），B（1，0）兩點，∴設y＝a（x+3）（x﹣1），把C（0，3）代入，得：3＝a×（0+3）×（0﹣1），解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3，∴該拋物線的函數(shù)表達式為y＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵A（﹣3，0），C（0，3），∴OA＝OC＝3，∴∠ACO＝45°，∵PD⊥AB，OC⊥AB，∴PD∥OC，∴∠PEF＝∠ACO＝45°，∵PF⊥AC，∴△PEF是等腰直角三角形，如圖1，過點F作FH⊥PE于點H，則FH＝PE，∴S△PEF＝×PE×FH＝PE2，當PE最大時，S△PEF最大，設直線AC的解析式為y＝kx+d，則，解得：，∴直線AC的解析式為y＝x+3，設P（t，﹣t2﹣2t+3），則E（t，t+3），∴PE＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t＝﹣（t+）2+，∵﹣1＜0，∴當t＝﹣時，PE取得最大值，∴S△PEF＝PE2＝×（）2＝，∴△PEF的面積的最大值為；（3）①當AC為平行四邊形的邊時，則有PQ∥AC，且PQ＝AC，如圖2，過點P作對稱軸的垂線，垂足為G，設AC交對稱軸于點H，則∠AHG＝∠ACO＝∠PQG，在△PQG和△ACO中，，∴△PQG≌△ACO（AAS），∴PG＝AO＝3，∴點P到對稱軸的距離為3，又∵y＝﹣（x+1）2+4，∴拋物線對稱軸為直線x＝﹣1，設點P（x，y），則|x+1|＝3，解得：x＝2或x＝﹣4，當x＝2時，y＝﹣5，當x＝﹣4時，y＝﹣5，∴點P坐標為（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）；②當AC為平行四邊形的對角線時，如圖3，設AC的中點為M，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴M（﹣，），∵點Q在對稱軸上，∴點Q的橫坐標為﹣1，設點P的橫坐標為x，根據(jù)中點公式得：x+（﹣1）＝2×（﹣）＝﹣3，∴x＝﹣2，此時y＝3，∴P（﹣2，3）；綜上所述，點P的坐標為（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）或（﹣2，3）．9．（2022?九龍坡區(qū)自主招生）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點A，B分別位于原點的左右兩側(cè)，且BO＝3AO＝3．已知直線y＝kx+n過B，C兩點．（1）求拋物線的表達式；（2）點P是拋物線上的一個動點．①如圖1，若點P在第一象限內(nèi)，連接PA，交直線BC于點D．記△PDC的面積為S1，△ADC的面積為S2，若S1：S2＝1：2，求點P的坐標；②如圖2，拋物線的對稱軸l與x軸交于點E，過點E作EF⊥BC，垂足為F．點Q是對稱軸l上的一個動點，是否存在以點E，F(xiàn)，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點P，Q的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）∵BO＝3AO＝3．∴AO＝1．∴A（﹣1，0），B（3，0），把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得，拋物線的表達式為y＝﹣x2+2x+3；（2）①∵y＝﹣x2+2x+3，∴點C坐標為（0，3），把B（3，0），C（0，3）代入y＝kx+n得：，解得，∴直線BC的表達式為y＝﹣x+3．過P作PM⊥x軸交BC于M，過A作AN⊥x軸交BC于N，如圖1，AN∥PM，∴△PMD∽△AND，∴，∴＝，設P（m，﹣m2+2m+3），則M（m，﹣m+3），∴PM＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∵A（﹣1，0），∴N（﹣1，4），∴AN＝4，∴＝，∴m＝1或2，∴點P的坐標為（1，4）或（2，3）；②存在，理由如下：過點F作FG⊥OB于G，如圖2中，∵y＝﹣x2+2x+3的對稱軸為x＝1，∴OE＝1，∵B（3，0），C（0，3）∴OC＝OB＝3，又∵∠COB＝90°，∴△OCB是等腰直角三角形，∵