專題08二次函數(shù)與平行四邊形有關(guān)問題(專項訓(xùn)練)_第1頁
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專題08二次函數(shù)與平行四邊形有關(guān)問題(專項訓(xùn)練)1.(2022?攀枝花)如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于O(O為坐標(biāo)原點),A兩點,且二次函數(shù)的最小值為﹣1,點M(1,m)是其對稱軸上一點,y軸上一點B(0,1).(1)求二次函數(shù)的表達式;()在二次函數(shù)圖象上是否存在點N,使得以A、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫出所有符合條件的點N的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.【解答】解:(1)∵二次函數(shù)的最小值為﹣1,點M(1,m)是其對稱軸上一點,∴二次函數(shù)頂點為(1,﹣1),設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a(x﹣1)2﹣1,將點O(0,0)代入得,a﹣1=0,∴a=1,∴y=(x﹣1)2﹣1=x2﹣2x;(2)連接OP,當(dāng)y=0時,x2﹣2x=0,∴x=0或2,∴A(2,0),∵點P在拋物線y=x2﹣2x上,∴點P的縱坐標(biāo)為t2﹣2t,∴S=S△AOB+S△OAP﹣S△OBP=+(﹣t2+2t)﹣t=﹣t2++1;(3)設(shè)N(n,n2﹣2n),當(dāng)AB為對角線時,由中點坐標(biāo)公式得,2+0=1+n,∴n=1,∴N(1,﹣1),當(dāng)AM為對角線時,由中點坐標(biāo)公式得,2+1=n+0,∴n=3,∴N(3,3),當(dāng)AN為對角線時,由中點坐標(biāo)公式得,2+n=0+1,∴n=﹣1,∴N(﹣1,3),綜上:N(1,﹣1)或(3,3)或(﹣1,3).2.(2022?內(nèi)蒙古)如圖,拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過B(3,0),D(﹣2,﹣)兩點,與x軸的另一個交點為A,與y軸相交于點C.(1)求拋物線的解析式和點C的坐標(biāo);(2)設(shè)點Q在y軸上,點P在拋物線上,要使以點A,B,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形,求所有滿足條件的點P的坐標(biāo).(請在圖2中探索)【解答】解:(1)將B(3,0),D(﹣2,﹣)代入y=ax2+x+c,∴,解得,∴y=﹣x2+x+,令x=0,則y=,∴C(0,);(3)令y=0,則﹣x2+x+=0,解得x=3或x=﹣1,∴A(﹣1,0),設(shè)Q(0,t),P(m,﹣m2+m+),①當(dāng)AB為平行四邊形的對角線時,m=3﹣1=2,∴P(2,);②當(dāng)AQ為平行四邊形的對角線時,3+m=﹣1,解得m=﹣4,∴P(﹣4,﹣);③當(dāng)AP為平行四邊形的對角線時,m﹣1=3,解得m=4,∴P(4,﹣);綜上所述:P點坐標(biāo)為(2,)或(﹣4,﹣)或(4,﹣).3.(2022?牡丹區(qū)三模)如圖,直線y=﹣x+4與x軸交于點C,與y軸交于點B,拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過B,C兩點.(1)求拋物線的解析式;(2)Q是拋物線對稱軸上的動點,在拋物線上是否存在點P,使得以P,Q,B,C為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.【解答】解:(1)∵直線y=﹣x+4與x軸交于點C,與y軸交于點B,∴點B,C的坐標(biāo)分別為B(0,4),C(4,0),把點B(0,4)和點C(4,0)代入拋物線y=ax2+x+c,得:,解之,得,∴拋物線的解析式為.(32存在.由拋物線可得對稱軸是直線x=1.∵Q是拋物線對稱軸上的動點,∴點Q的橫坐標(biāo)為1.①當(dāng)BC為邊時,點B到點C的水平距離是4,∴點Q到點P的水平距離也是4.∴點P的橫坐標(biāo)是5或﹣3,∴點P的坐標(biāo)為或;②當(dāng)BC為對角線時,點Q到點C的水平距離是3,∴點B到點P的水平距離也是3,∴點P的坐標(biāo)為.綜上所述,在拋物線上存在點P,使得以P,Q,B,C為頂點的四邊形是平行四邊形,點P的坐標(biāo)是或或.4.(2022?東莞市校級一模)如圖所示,拋物線y=x2+bx+c交x軸于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),交y軸于點C(0,﹣3),已知AB=4,對稱軸在y軸左側(cè).(1)求拋物線的表達式;(2)若點N在對稱軸上,則拋物線上是否存在點M,使得點A、O、N、M構(gòu)成平行四邊形,若存在,請求出點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;【解答】解:(1)∵拋物線y=x2+bx+c交y軸于點C(0,﹣3),∴c=﹣3,∴拋物線的解析式為y=x2+bx﹣3,設(shè)A(x1,0),B(x2,0),由題意得x2﹣x1=4,∴(x1+x2)2﹣4x1x2=16,∵x1+x2=﹣b,x1x2=﹣3,∴b2+12=16,∴b=±2,又∵對稱軸在y軸左側(cè),∴b=2,∴拋物線的表達式為y=x2+2x﹣3;(2)存在點M,使得點A、O、N、M構(gòu)成平行四邊形.∵拋物線的解析式為y=x2+2x﹣3,∴y=0時,x=﹣3或x=1,∴A(﹣3,0),B(1,0),①若OA為邊,∴AO∥MN,OA=MN=3,∵N在對稱軸x=﹣1上,∴點M的橫坐標(biāo)為2或﹣4,當(dāng)x=2時,y=5,當(dāng)x=﹣4時,y=5,∴M(2,5)或(﹣4,5);②若OA為對角線時,∵A(﹣3,0),O(0,0),∴OA的中點的坐標(biāo)為(﹣,0),∵N在直線x=﹣1上,設(shè)M的橫坐標(biāo)為m,∴,∴m=﹣2,把m=﹣2代入拋物線解析式得y=﹣3,∴M(﹣2,﹣3).綜上所述,M的坐標(biāo)為(2,5)或(﹣4,5)或(﹣2,﹣3);5.(2022?畢節(jié)市)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,頂點為D(2,1),拋物線的對稱軸交直線BC于點E.(1)求拋物線y=﹣x2+bx+c的表達式;(2)把上述拋物線沿它的對稱軸向下平移,平移的距離為h(h>0),在平移過程中,該拋物線與直線BC始終有交點,求h的最大值;(3)M是(1)中拋物線上一點,N是直線BC上一點.是否存在以點D,E,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,求出點N的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.【解答】解:(1)∵拋物線y=﹣x2+bx+c的頂點為D(2,1),∴拋物線的表達式為:y=﹣(x﹣2)2+1=﹣x2+4x﹣3.(2)由(1)知,拋物線的表達式為:y=﹣x2+4x﹣3,令x=0,則y=﹣3,∴C(0,﹣3);令y=0,則x=1或x=3,∴A(1,0),B(3,0).∴直線BC的解析式為:y=x﹣3.設(shè)平移后的拋物線的解析式為:y=﹣(x﹣2)2+1﹣h,令﹣(x﹣2)2+1﹣h=x﹣3,整理得x2﹣3x+h=0,∵該拋物線與直線BC始終有交點,∴Δ=9﹣4h≥0,∴h≤.∴h的最大值為.(3)存在,理由如下:由題意可知,拋物線的對稱軸為:直線x=2,∴E(2,﹣1),∴DE=2,設(shè)點M(m,﹣m2+4m﹣3),若以點D,E,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形,則分以下兩種情況:①當(dāng)DE為邊時,DE∥MN,則N(m,m﹣3),∴MN=|﹣m2+4m﹣3﹣(m﹣3)|=|﹣m2+3m|,∴|﹣m2+3m|=2,解得m=1或m=2(舍)或m=或m=.∴N(1,﹣2)或(,)或(,).②當(dāng)DE為對角線時,設(shè)點N的坐標(biāo)為t,則N(t,t﹣3),∴,解得m或(舍),∴N(3,0).綜上,點N的坐標(biāo)為N(1,﹣2)或(,)或(,)或(3,0).6.(2022?婁底)如圖,拋物線y=x2﹣2x﹣6與x軸相交于點A、點B,與y軸相交于點C.(1)請直接寫出點A,B,C的坐標(biāo);(2)點P(m,n)(0<m<6)在拋物線上,當(dāng)m取何值時,△PBC的面積最大?并求出△PBC面積的最大值.(3)點F是拋物線上的動點,作FE∥AC交x軸于點E,是否存在點F,使得以A、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請寫出所有符合條件的點F的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.【解答】解:(1)當(dāng)x=0時,y=﹣6,∴C(0,﹣6),當(dāng)y=0時,x2﹣2x﹣6=0,∴x1=6,x2=﹣2,∴A(﹣2,0),B(6,0);(2)方法一:如圖1,連接OP,設(shè)點P(m,﹣2m﹣6),∴S△POC=xP==3m,S△BOP=|yP|=+2m+6),∵S△BOC==18,∴S△PBC=S四邊形PBOC﹣S△BOC=(S△POC+S△POB)﹣S△BOC=3m+3(﹣+2m+6)﹣18=﹣(m﹣3)2+,∴當(dāng)m=3時,S△PBC最大=;方法二:如圖2,作PQ⊥AB于Q,交BC于點D,∵B(6,0),C(0,﹣6),∴直線BC的解析式為:y=x﹣6,∴D(m,m﹣6),∴PD=(m﹣6)﹣(﹣2m﹣6)=﹣+3m,∴S△PBC===﹣(m﹣3)2+,∴當(dāng)m=3時,S△PBC最大=;(3)如圖3,當(dāng)?ACFE時,AE∥CF,∵拋物線對稱軸為直線:x==2,∴F1點的坐標(biāo):(4,﹣6),如圖4,當(dāng)?ACEF時,作FG⊥AE于G,∴FG=OC=6,當(dāng)y=6時,x2﹣2x﹣6=6,∴x1=2+2,x2=2﹣2,∴F2(2+2,6),F(xiàn)3(2﹣2,6),綜上所述:F(4,﹣6)或(2+2,6)或(2﹣2,6).7.(2022?宜賓)如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(3,0)、B(﹣1,0)兩點,與y軸交于點C(0,3),其頂點為點D,連結(jié)AC.(1)求這條拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)的表達式及頂點D的坐標(biāo);(2)在拋物線的對稱軸上取一點E,點F為拋物線上一動點,使得以點A、C、E、F為頂點、AC為邊的四邊形為平行四邊形,求點F的坐標(biāo);【解答】解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(3,0)、B(﹣1,0),C(0,3),∴,解得,∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3,∵y=﹣(x﹣1)2+4,∴頂點D的坐標(biāo)為(1,4);(2)設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,把A(3,0),C(0,3)代入,得,∴,∴直線AC的解析式為y=﹣x+3,過點F作FG⊥DE于點G,∵以A,C,E,F(xiàn)為頂點的四邊形是以AC為邊的平行四邊形,∴AC=EF,AC∥EF,∵OA∥FG,∴∠OAC=∠GFE,∴△OAC≌△GFE(AAS),∴OA=FG=3,設(shè)F(m,﹣m2+2m+3),則G(1,﹣m2+2m+3),∴FG=|m﹣1|=3,∴m=﹣2或m=4,當(dāng)m=﹣2時,﹣m2+2m+3=﹣5,∴F1(﹣2,﹣5),當(dāng)m=4時,﹣m2+2m+3=﹣5,∴F2(4,﹣5)綜上所述,滿足條件點F的坐標(biāo)為(﹣2,﹣5)或(4,﹣5);7.(2022?重慶)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A(4,0),與y軸交于點B(0,3).(1)求拋物線的函數(shù)表達式;(2)點P為直線AB上方拋物線上一動點,過點P作PQ⊥x軸于點Q,交AB于點M,求PM+AM的最大值及此時點P的坐標(biāo);(3)在(2)的條件下,點P′與點P關(guān)于拋物線y=﹣x2+bx+c的對稱軸對稱.將拋物線y=﹣x2+bx+c向右平移,使新拋物線的對稱軸l經(jīng)過點A.點C在新拋物線上,點D在l上,直接寫出所有使得以點A、P′、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形的點D的坐標(biāo),并把求其中一個點D的坐標(biāo)的過程寫出來.【解答】解:(1)∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A(4,0),與y軸交于點B(0,3).∴,∴.∴拋物線的函數(shù)表達式為y=﹣;(2)∵A(4,0),B(0,3),∴OA=4,OB=3,由勾股定理得,AB=5,∵PQ⊥OA,∴PQ∥OB,∴△AQM∽△AOB,∴MQ:AQ:AM=3:4:5,∴AM=,,∴PM+,∵B(0,3),A(4,0),∴l(xiāng)AB:y=﹣,∴設(shè)P(m,﹣),M(m,﹣),Q(m,0),∴PM+2MQ=﹣=﹣,∵﹣,∴開口向下,0<m<4,∴當(dāng)m=1時,PM+的最大值為,此時P(1,);(3)由y=﹣知,對稱軸x=,∴P'(2,),∵直線l:x=4,∴拋物線向右平移個單位,∴平移后拋物線解析式為y'=﹣,設(shè)D(4,t),C(c,﹣),①AP'與DC為對角線時,,∴,∴D(4,),②P'D與AC為對角線時,,∴,∴D(4,﹣),③AD與P'C為對角線時,,∴,∴D(4,),綜上:D(4,)或(4,﹣)或(4,).8.(2022?青羊區(qū)校級模擬)拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于點A(﹣3,0),B(1,0)兩點,與y軸交于點C(0,3),點P是拋物線上的一個動點.(1)求拋物線的函數(shù)表達式;(2)如圖1,點P在線段AC上方的拋物線上運動(不與A,C重合),過點P作PD⊥AB,垂足為D,PD交AC于點E.作PF⊥AC,垂足為F,求△PEF的面積的最大值;(3)如圖2,點Q是拋物線的對稱軸l上的一個動點,在拋物線上,是否存在點P,使得以點A,P,C,Q為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,求出所有符合條件的點P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.【解答】解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于點A(﹣3,0),B(1,0)兩點,∴設(shè)y=a(x+3)(x﹣1),把C(0,3)代入,得:3=a×(0+3)×(0﹣1),解得:a=﹣1,∴y=﹣(x+3)(x﹣1)=﹣x2﹣2x+3,∴該拋物線的函數(shù)表達式為y=﹣x2﹣2x+3;(2)∵A(﹣3,0),C(0,3),∴OA=OC=3,∴∠ACO=45°,∵PD⊥AB,OC⊥AB,∴PD∥OC,∴∠PEF=∠ACO=45°,∵PF⊥AC,∴△PEF是等腰直角三角形,如圖1,過點F作FH⊥PE于點H,則FH=PE,∴S△PEF=×PE×FH=PE2,當(dāng)PE最大時,S△PEF最大,設(shè)直線AC的解析式為y=kx+d,則,解得:,∴直線AC的解析式為y=x+3,設(shè)P(t,﹣t2﹣2t+3),則E(t,t+3),∴PE=﹣t2﹣2t+3﹣(t+3)=﹣t2﹣3t=﹣(t+)2+,∵﹣1<0,∴當(dāng)t=﹣時,PE取得最大值,∴S△PEF=PE2=×()2=,∴△PEF的面積的最大值為;(3)①當(dāng)AC為平行四邊形的邊時,則有PQ∥AC,且PQ=AC,如圖2,過點P作對稱軸的垂線,垂足為G,設(shè)AC交對稱軸于點H,則∠AHG=∠ACO=∠PQG,在△PQG和△ACO中,,∴△PQG≌△ACO(AAS),∴PG=AO=3,∴點P到對稱軸的距離為3,又∵y=﹣(x+1)2+4,∴拋物線對稱軸為直線x=﹣1,設(shè)點P(x,y),則|x+1|=3,解得:x=2或x=﹣4,當(dāng)x=2時,y=﹣5,當(dāng)x=﹣4時,y=﹣5,∴點P坐標(biāo)為(2,﹣5)或(﹣4,﹣5);②當(dāng)AC為平行四邊形的對角線時,如圖3,設(shè)AC的中點為M,∵A(﹣3,0),C(0,3),∴M(﹣,),∵點Q在對稱軸上,∴點Q的橫坐標(biāo)為﹣1,設(shè)點P的橫坐標(biāo)為x,根據(jù)中點公式得:x+(﹣1)=2×(﹣)=﹣3,∴x=﹣2,此時y=3,∴P(﹣2,3);綜上所述,點P的坐標(biāo)為(2,﹣5)或(﹣4,﹣5)或(﹣2,3).9.(2022?九龍坡區(qū)自主招生)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,點A,B分別位于原點的左右兩側(cè),且BO=3AO=3.已知直線y=kx+n過B,C兩點.(1)求拋物線的表達式;(2)點P是拋物線上的一個動點.①如圖1,若點P在第一象限內(nèi),連接PA,交直線BC于點D.記△PDC的面積為S1,△ADC的面積為S2,若S1:S2=1:2,求點P的坐標(biāo);②如圖2,拋物線的對稱軸l與x軸交于點E,過點E作EF⊥BC,垂足為F.點Q是對稱軸l上的一個動點,是否存在以點E,F(xiàn),P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出點P,Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.【解答】解:(1)∵BO=3AO=3.∴AO=1.∴A(﹣1,0),B(3,0),把A(﹣1,0),B(3,0)代入y=﹣x2+bx+c得:,解得,拋物線的表達式為y=﹣x2+2x+3;(2)①∵y=﹣x2+2x+3,∴點C坐標(biāo)為(0,3),把B(3,0),C(0,3)代入y=kx+n得:,解得,∴直線BC的表達式為y=﹣x+3.過P作PM⊥x軸交BC于M,過A作AN⊥x軸交BC于N,如圖1,AN∥PM,∴△PMD∽△AND,∴,∴=,設(shè)P(m,﹣m2+2m+3),則M(m,﹣m+3),∴PM=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m,∵A(﹣1,0),∴N(﹣1,4),∴AN=4,∴=,∴m=1或2,∴點P的坐標(biāo)為(1,4)或(2,3);②存在,理由如下:過點F作FG⊥OB于G,如圖2中,∵y=﹣x2+2x+3的對稱軸為x=1,∴OE=1,∵B(3,0),C(0,3)∴OC=OB=3,又∵∠COB=90°,∴△OCB是等腰直角三角形,∵

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