專題08二次函數(shù)與平行四邊形有關(guān)問題（專項(xiàng)訓(xùn)練）

專題08二次函數(shù)與平行四邊形有關(guān)問題（專項(xiàng)訓(xùn)練）1．（2022?攀枝花）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于O（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），A兩點(diǎn)，且二次函數(shù)的最小值為﹣1，點(diǎn)M（1，m）是其對(duì)稱軸上一點(diǎn)，y軸上一點(diǎn)B（0，1）．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（）在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)N，使得以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)的最小值為﹣1，點(diǎn)M（1，m）是其對(duì)稱軸上一點(diǎn)，∴二次函數(shù)頂點(diǎn)為（1，﹣1），設(shè)二次函數(shù)解析式為y＝a（x﹣1）2﹣1，將點(diǎn)O（0，0）代入得，a﹣1＝0，∴a＝1，∴y＝（x﹣1）2﹣1＝x2﹣2x；（2）連接OP，當(dāng)y＝0時(shí)，x2﹣2x＝0，∴x＝0或2，∴A（2，0），∵點(diǎn)P在拋物線y＝x2﹣2x上，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為t2﹣2t，∴S＝S△AOB+S△OAP﹣S△OBP＝+（﹣t2+2t）﹣t＝﹣t2++1；（3）設(shè)N（n，n2﹣2n），當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，2+0＝1+n，∴n＝1，∴N（1，﹣1），當(dāng)AM為對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，2+1＝n+0，∴n＝3，∴N（3，3），當(dāng)AN為對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，2+n＝0+1，∴n＝﹣1，∴N（﹣1，3），綜上：N（1，﹣1）或（3，3）或（﹣1，3）．2．（2022?內(nèi)蒙古）如圖，拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過B（3，0），D（﹣2，﹣）兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，與y軸相交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）設(shè)點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)P在拋物線上，要使以點(diǎn)A，B，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．（請(qǐng)?jiān)趫D2中探索）【解答】解：（1）將B（3，0），D（﹣2，﹣）代入y＝ax2+x+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+x+，令x＝0，則y＝，∴C（0，）；（3）令y＝0，則﹣x2+x+＝0，解得x＝3或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），設(shè)Q（0，t），P（m，﹣m2+m+），①當(dāng)AB為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，m＝3﹣1＝2，∴P（2，）；②當(dāng)AQ為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，3+m＝﹣1，解得m＝﹣4，∴P（﹣4，﹣）；③當(dāng)AP為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，m﹣1＝3，解得m＝4，∴P（4，﹣）；綜上所述：P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，）或（﹣4，﹣）或（4，﹣）．3．（2022?牡丹區(qū)三模）如圖，直線y＝﹣x+4與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過B，C兩點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）Q是拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以P，Q，B，C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）∵直線y＝﹣x+4與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B，∴點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別為B（0，4），C（4，0），把點(diǎn)B（0，4）和點(diǎn)C（4，0）代入拋物線y＝ax2+x+c，得：，解之，得，∴拋物線的解析式為．（32存在．由拋物線可得對(duì)稱軸是直線x＝1．∵Q是拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為1．①當(dāng)BC為邊時(shí)，點(diǎn)B到點(diǎn)C的水平距離是4，∴點(diǎn)Q到點(diǎn)P的水平距離也是4．∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是5或﹣3，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；②當(dāng)BC為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)Q到點(diǎn)C的水平距離是3，∴點(diǎn)B到點(diǎn)P的水平距離也是3，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．綜上所述，在拋物線上存在點(diǎn)P，使得以P，Q，B，C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)P的坐標(biāo)是或或．4．（2022?東莞市校級(jí)一模）如圖所示，拋物線y＝x2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C（0，﹣3），已知AB＝4，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)N在對(duì)稱軸上，則拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)A、O、N、M構(gòu)成平行四邊形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c交y軸于點(diǎn)C（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴拋物線的解析式為y＝x2+bx﹣3，設(shè)A（x1，0），B（x2，0），由題意得x2﹣x1＝4，∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，∵x1+x2＝﹣b，x1x2＝﹣3，∴b2+12＝16，∴b＝±2，又∵對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，∴b＝2，∴拋物線的表達(dá)式為y＝x2+2x﹣3；（2）存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)A、O、N、M構(gòu)成平行四邊形．∵拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3，∴y＝0時(shí)，x＝﹣3或x＝1，∴A（﹣3，0），B（1，0），①若OA為邊，∴AO∥MN，OA＝MN＝3，∵N在對(duì)稱軸x＝﹣1上，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2或﹣4，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝5，當(dāng)x＝﹣4時(shí)，y＝5，∴M（2，5）或（﹣4，5）；②若OA為對(duì)角線時(shí)，∵A（﹣3，0），O（0，0），∴OA的中點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣，0），∵N在直線x＝﹣1上，設(shè)M的橫坐標(biāo)為m，∴，∴m＝﹣2，把m＝﹣2代入拋物線解析式得y＝﹣3，∴M（﹣2，﹣3）．綜上所述，M的坐標(biāo)為（2，5）或（﹣4，5）或（﹣2，﹣3）；5．（2022?畢節(jié)市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D（2，1），拋物線的對(duì)稱軸交直線BC于點(diǎn)E．（1）求拋物線y＝﹣x2+bx+c的表達(dá)式；（2）把上述拋物線沿它的對(duì)稱軸向下平移，平移的距離為h（h＞0），在平移過程中，該拋物線與直線BC始終有交點(diǎn)，求h的最大值；（3）M是（1）中拋物線上一點(diǎn)，N是直線BC上一點(diǎn)．是否存在以點(diǎn)D，E，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c的頂點(diǎn)為D（2，1），∴拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣（x﹣2）2+1＝﹣x2+4x﹣3．（2）由（1）知，拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+4x﹣3，令x＝0，則y＝﹣3，∴C（0，﹣3）；令y＝0，則x＝1或x＝3，∴A（1，0），B（3，0）．∴直線BC的解析式為：y＝x﹣3．設(shè)平移后的拋物線的解析式為：y＝﹣（x﹣2）2+1﹣h，令﹣（x﹣2）2+1﹣h＝x﹣3，整理得x2﹣3x+h＝0，∵該拋物線與直線BC始終有交點(diǎn)，∴Δ＝9﹣4h≥0，∴h≤．∴h的最大值為．（3）存在，理由如下：由題意可知，拋物線的對(duì)稱軸為：直線x＝2，∴E（2，﹣1），∴DE＝2，設(shè)點(diǎn)M（m，﹣m2+4m﹣3），若以點(diǎn)D，E，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則分以下兩種情況：①當(dāng)DE為邊時(shí)，DE∥MN，則N（m，m﹣3），∴MN＝|﹣m2+4m﹣3﹣（m﹣3）|＝|﹣m2+3m|，∴|﹣m2+3m|＝2，解得m＝1或m＝2（舍）或m＝或m＝．∴N（1，﹣2）或（，）或（，）．②當(dāng)DE為對(duì)角線時(shí)，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為t，則N（t，t﹣3），∴，解得m或（舍），∴N（3，0）．綜上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為N（1，﹣2）或（，）或（，）或（3，0）．6．（2022?婁底）如圖，拋物線y＝x2﹣2x﹣6與x軸相交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，與y軸相交于點(diǎn)C．（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P（m，n）（0＜m＜6）在拋物線上，當(dāng)m取何值時(shí)，△PBC的面積最大？并求出△PBC面積的最大值．（3）點(diǎn)F是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，作FE∥AC交x軸于點(diǎn)E，是否存在點(diǎn)F，使得以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)寫出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣6，∴C（0，﹣6），當(dāng)y＝0時(shí)，x2﹣2x﹣6＝0，∴x1＝6，x2＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（6，0）；（2）方法一：如圖1，連接OP，設(shè)點(diǎn)P（m，﹣2m﹣6），∴S△POC＝xP＝＝3m，S△BOP＝|yP|＝+2m+6），∵S△BOC＝＝18，∴S△PBC＝S四邊形PBOC﹣S△BOC＝（S△POC+S△POB）﹣S△BOC＝3m+3（﹣+2m+6）﹣18＝﹣（m﹣3）2+，∴當(dāng)m＝3時(shí)，S△PBC最大＝；方法二：如圖2，作PQ⊥AB于Q，交BC于點(diǎn)D，∵B（6，0），C（0，﹣6），∴直線BC的解析式為：y＝x﹣6，∴D（m，m﹣6），∴PD＝（m﹣6）﹣（﹣2m﹣6）＝﹣+3m，∴S△PBC＝＝＝﹣（m﹣3）2+，∴當(dāng)m＝3時(shí)，S△PBC最大＝；（3）如圖3，當(dāng)?ACFE時(shí)，AE∥CF，∵拋物線對(duì)稱軸為直線：x＝＝2，∴F1點(diǎn)的坐標(biāo)：（4，﹣6），如圖4，當(dāng)?ACEF時(shí)，作FG⊥AE于G，∴FG＝OC＝6，當(dāng)y＝6時(shí)，x2﹣2x﹣6＝6，∴x1＝2+2，x2＝2﹣2，∴F2（2+2，6），F(xiàn)3（2﹣2，6），綜上所述：F（4，﹣6）或（2+2，6）或（2﹣2，6）．7．（2022?宜賓）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（3，0）、B（﹣1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），其頂點(diǎn)為點(diǎn)D，連結(jié)AC．（1）求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）在拋物線的對(duì)稱軸上取一點(diǎn)E，點(diǎn)F為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，使得以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)、AC為邊的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A（3，0）、B（﹣1，0），C（0，3），∴，解得，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣（x﹣1）2+4，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）；（2）設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，把A（3，0），C（0，3）代入，得，∴，∴直線AC的解析式為y＝﹣x+3，過點(diǎn)F作FG⊥DE于點(diǎn)G，∵以A，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是以AC為邊的平行四邊形，∴AC＝EF，AC∥EF，∵OA∥FG，∴∠OAC＝∠GFE，∴△OAC≌△GFE（AAS），∴OA＝FG＝3，設(shè)F（m，﹣m2+2m+3），則G（1，﹣m2+2m+3），∴FG＝|m﹣1|＝3，∴m＝﹣2或m＝4，當(dāng)m＝﹣2時(shí)，﹣m2+2m+3＝﹣5，∴F1（﹣2，﹣5），當(dāng)m＝4時(shí)，﹣m2+2m+3＝﹣5，∴F2（4，﹣5）綜上所述，滿足條件點(diǎn)F的坐標(biāo)為（﹣2，﹣5）或（4，﹣5）；7．（2022?重慶）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，3）．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)P為直線AB上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，交AB于點(diǎn)M，求PM+AM的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P′與點(diǎn)P關(guān)于拋物線y＝﹣x2+bx+c的對(duì)稱軸對(duì)稱．將拋物線y＝﹣x2+bx+c向右平移，使新拋物線的對(duì)稱軸l經(jīng)過點(diǎn)A．點(diǎn)C在新拋物線上，點(diǎn)D在l上，直接寫出所有使得以點(diǎn)A、P′、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)D的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)D的坐標(biāo)的過程寫出來．【解答】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，3）．∴，∴．∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣；（2）∵A（4，0），B（0，3），∴OA＝4，OB＝3，由勾股定理得，AB＝5，∵PQ⊥OA，∴PQ∥OB，∴△AQM∽△AOB，∴MQ：AQ：AM＝3：4：5，∴AM＝，，∴PM+，∵B（0，3），A（4，0），∴l(xiāng)AB：y＝﹣，∴設(shè)P（m，﹣），M（m，﹣），Q（m，0），∴PM+2MQ＝﹣＝﹣，∵﹣，∴開口向下，0＜m＜4，∴當(dāng)m＝1時(shí)，PM+的最大值為，此時(shí)P（1，）；（3）由y＝﹣知，對(duì)稱軸x＝，∴P'（2，），∵直線l：x＝4，∴拋物線向右平移個(gè)單位，∴平移后拋物線解析式為y'＝﹣，設(shè)D（4，t），C（c，﹣），①AP'與DC為對(duì)角線時(shí)，，∴，∴D（4，），②P'D與AC為對(duì)角線時(shí)，，∴，∴D（4，﹣），③AD與P'C為對(duì)角線時(shí)，，∴，∴D（4，），綜上：D（4，）或（4，﹣）或（4，）．8．（2022?青羊區(qū)校級(jí)模擬）拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖1，點(diǎn)P在線段AC上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)（不與A，C重合），過點(diǎn)P作PD⊥AB，垂足為D，PD交AC于點(diǎn)E．作PF⊥AC，垂足為F，求△PEF的面積的最大值；（3）如圖2，點(diǎn)Q是拋物線的對(duì)稱軸l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A，P，C，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，∴設(shè)y＝a（x+3）（x﹣1），把C（0，3）代入，得：3＝a×（0+3）×（0﹣1），解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3，∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵A（﹣3，0），C（0，3），∴OA＝OC＝3，∴∠ACO＝45°，∵PD⊥AB，OC⊥AB，∴PD∥OC，∴∠PEF＝∠ACO＝45°，∵PF⊥AC，∴△PEF是等腰直角三角形，如圖1，過點(diǎn)F作FH⊥PE于點(diǎn)H，則FH＝PE，∴S△PEF＝×PE×FH＝PE2，當(dāng)PE最大時(shí)，S△PEF最大，設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+d，則，解得：，∴直線AC的解析式為y＝x+3，設(shè)P（t，﹣t2﹣2t+3），則E（t，t+3），∴PE＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t＝﹣（t+）2+，∵﹣1＜0，∴當(dāng)t＝﹣時(shí)，PE取得最大值，∴S△PEF＝PE2＝×（）2＝，∴△PEF的面積的最大值為；（3）①當(dāng)AC為平行四邊形的邊時(shí)，則有PQ∥AC，且PQ＝AC，如圖2，過點(diǎn)P作對(duì)稱軸的垂線，垂足為G，設(shè)AC交對(duì)稱軸于點(diǎn)H，則∠AHG＝∠ACO＝∠PQG，在△PQG和△ACO中，，∴△PQG≌△ACO（AAS），∴PG＝AO＝3，∴點(diǎn)P到對(duì)稱軸的距離為3，又∵y＝﹣（x+1）2+4，∴拋物線對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，設(shè)點(diǎn)P（x，y），則|x+1|＝3，解得：x＝2或x＝﹣4，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝﹣5，當(dāng)x＝﹣4時(shí)，y＝﹣5，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）；②當(dāng)AC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，如圖3，設(shè)AC的中點(diǎn)為M，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴M（﹣，），∵點(diǎn)Q在對(duì)稱軸上，∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為﹣1，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，根據(jù)中點(diǎn)公式得：x+（﹣1）＝2×（﹣）＝﹣3，∴x＝﹣2，此時(shí)y＝3，∴P（﹣2，3）；綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）或（﹣2，3）．9．（2022?九龍坡區(qū)自主招生）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A，B分別位于原點(diǎn)的左右兩側(cè)，且BO＝3AO＝3．已知直線y＝kx+n過B，C兩點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．①如圖1，若點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，連接PA，交直線BC于點(diǎn)D．記△PDC的面積為S1，△ADC的面積為S2，若S1：S2＝1：2，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②如圖2，拋物線的對(duì)稱軸l與x軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥BC，垂足為F．點(diǎn)Q是對(duì)稱軸l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)E，F(xiàn)，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）∵BO＝3AO＝3．∴AO＝1．∴A（﹣1，0），B（3，0），把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得，拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+3；（2）①∵y＝﹣x2+2x+3，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，3），把B（3，0），C（0，3）代入y＝kx+n得：，解得，∴直線BC的表達(dá)式為y＝﹣x+3．過P作PM⊥x軸交BC于M，過A作AN⊥x軸交BC于N，如圖1，AN∥PM，∴△PMD∽△AND，∴，∴＝，設(shè)P（m，﹣m2+2m+3），則M（m，﹣m+3），∴PM＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∵A（﹣1，0），∴N（﹣1，4），∴AN＝4，∴＝，∴m＝1或2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，4）或（2，3）；②存在，理由如下：過點(diǎn)F作FG⊥OB于G，如圖2中，∵y＝﹣x2+2x+3的對(duì)稱軸為x＝1，∴OE＝1，∵B（3，0），C（0，3）∴OC＝OB＝3，又∵∠COB＝90°，∴△OCB是等腰直角三角形，∵