2024-2025學年新教材高中數(shù)學第七章隨機變量及其分布階段復習課第二課隨機變量及其分布教師用書教案新人教A版選擇性必修第三冊

PAGE其次課隨機變量及其分布核心整合·思維導圖考點突破·素養(yǎng)提升素養(yǎng)一數(shù)學運算角度1概率計算【典例1】(1)(2024·赤峰高二檢測)將三顆相同的一般骰子各擲一次,設事務A=“擲得的向上的三個點數(shù)都不相同”,B=“至少出現(xiàn)一個6點向上”,則P(B|A)=()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE(2)世衛(wèi)組織就新型冠狀病毒感染的肺炎疫情稱,新型病毒可能造成“持續(xù)人傳人”.通俗點說就是存在A傳B,B又傳C,C又傳D,這就是“持續(xù)人傳人”.那么A,B,C就會被稱為第一代、其次代、第三代傳播者.假設一個身體健康的人被第一代、其次代、第三代傳播者感染的概率分別為0.95,0.9,0.85,健康的小明參與了一次多人宴會,事后知道,參與宴會的人有5名第一代傳播者,3名其次代傳播者,2名第三代傳播者,試計算,小明參與聚會,僅和感染的10個人其中一個接觸,感染的概率為________.

【解析】(1)選B.P(A)=QUOTE=QUOTE,P(AB)=QUOTE=QUOTE,所以P(B|A)=QUOTE=QUOTE=QUOTE.(2)設事務A,B,C為和第一代、其次代、第三代傳播者接觸,事務D為小明被感染,則由已知得:P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(C)=0.2,P(D|A)=0.95,P(D|B)=0.90,P(D|C)=0.85,則P(D)=P(D|A)P(A)+P(D|B)P(B)+P(D|C)P(C)=0.95×0.5+0.90×0.3+0.85×0.2=0.915.答案:0.915【類題·通】1.關于條件概率的求法條件概率的公式PQUOTE=QUOTE=QUOTE,第一個是通用的公式,其次個是針對古典概型,利用相應的基本領件求條件概率.2.關于概率公式的應用概率的乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式特別抽象,條件概率是公式的基礎,可以通過簡潔的詳細例子入手,由淺入深從概率的意義上理解公式.【加練·固】一個盒子內(nèi)裝有3個紅球,4個白球,從盒子中取出兩個球,已知一個球是紅球,則另一個也是紅球的概率是()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.取出兩個球,設其中一個球是紅球為事務A,則P(A)=QUOTE=QUOTE,設取出的另一個球是紅球為事務B,則P(AB)=QUOTE=QUOTE,所以從盒子中取出兩個球,已知一個球是紅球,則另一個也是紅球的概率是P(B|A)=QUOTE=QUOTE=QUOTE.角度2求均值、方差【典例2】(2024·西寧高二檢測)已知ξ的分布列為ξ1234Pm設η=2ξ-5,則E(η)=()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.由題意可得:QUOTE+QUOTE+QUOTE+m=1,解得m=QUOTE,所以E(ξ)=1×QUOTE+2×QUOTE+3×QUOTE+4×QUOTE=QUOTE.η=2ξ-5,則E(η)=2×QUOTE-5=QUOTE.【延長探究】若隨機變量ξ的分布列變?yōu)?ξ-102Pxy且E(ξ)=QUOTE.則D(ξ)=________.

【解析】由題意得QUOTE解得x=QUOTE,y=QUOTE,D(ξ)=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE【類題·通】關于均值、方差的計算首先嫻熟駕馭均值、方差的公式,其次是駕馭均值、方差的性質(zhì)的應用.【加練·固】已知隨機變量X的分布列為X012Pa2ab(a>0,b>0),當D(X)最大時,E(X)=________.

【解析】由隨機變量X的分布列知:b=1-3a,所以E(X)=2a+2(1-3a)=2-4a,D(X)=(4a-2)2·a+(4a-1)2·2a+(4a)2·(1-3a)=-16a2+6a,所以當a=QUOTE時,D(X)最大,此時E(X)=2-4×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE素養(yǎng)二數(shù)學建模角度1二項分布【典例3】乒乓球單打競賽在甲、乙兩名運動員間進行,競賽采納5局3勝制(即先勝3局者獲勝,競賽結束),假設每局競賽甲勝的概率QUOTE,乙勝的概率QUOTE.(1)求乙以3∶1獲勝的概率;(2)求甲獲勝且競賽局數(shù)多于3局的概率.【解析】(1)乒乓球單打競賽在甲、乙兩名運動員間進行,競賽采納5局3勝制(即先勝3局者獲勝,競賽結束),假設每局競賽甲勝的概率QUOTE,乙勝的概率QUOTE.所以乙以3∶1獲勝的概率P=QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.(2)甲獲勝且競賽局數(shù)多于3局的概率為:P=QUOTE+QUOTE=QUOTE.【類題·通】關于二項分布的應用把握二項分布的關鍵是理解隨機試驗中n次、獨立、重復這些字眼,即試驗是多次進行,試驗之間是相互獨立的,每次試驗的概率是相同的,判定隨機變量符合二項分布后結合相應的公式進行計算.【加練·固】某射擊運動員射擊一次命中目標的概率為p,已知他獨立地連續(xù)射擊三次,至少有一次命中的概率為QUOTE,則p為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.由題意可得,獨立地連續(xù)射擊三次,至少有一次命中的概率1-QUOTE(1-p)3p0=QUOTE,解得,p=QUOTE.角度2超幾何分布【典例4】某校高二年級某班的數(shù)學課外活動小組有6名男生,4名女生,從中選出4人參與數(shù)學競賽考試,用X表示其中男生的人數(shù),(1)請列出X的分布列;(2)依據(jù)你所列的分布列求選出的4人中至少有3名男生的概率.【解析】(1)依題意得,隨機變量X聽從超幾何分布,隨機變量X表示其中男生的人數(shù),X可能取的值為0,1,2,3,4.P(X=k)=QUOTE,k=0,1,2,3,4.所以X的分布列為:X01234P(2)由分布列可知至少選3名男生,即P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)=QUOTE+QUOTE=QUOTE.【類題·通】關于超幾何分布的應用不放回取次品是超幾何分布的典型試驗,可以將取球、選隊員等試驗歸入超幾何分布問題,再利用其概率、均值公式進行計算.【加練·固】盒中裝著標有數(shù)字1,2,3,4的卡片各2張,從盒中隨意抽取3張,每張卡片被抽出的可能性都相等,求:(1)抽出的3張卡片上最大的數(shù)字是4的概率;(2)抽出的3張中有2張卡片上的數(shù)字是3的概率;(3)抽出的3張卡片上的數(shù)字互不相同的概率.【解析】(1)“抽出的3張卡片上最大的數(shù)字是4”的事務記為A,由題意P(A)=QUOTE=QUOTE.(2)“抽出的3張中有2張卡片上的數(shù)字是3”的事務記為B,則P(B)=QUOTE=QUOTE.(3)“抽出的3張卡片上的數(shù)字互不相同”的事務記為C,“抽出的3張卡片上有兩個數(shù)字相同”的事務記為D,由題意,C與D是對立事務,因為P(D)=QUOTE=QUOTE,所以P(C)=1-P(D)=1-QUOTE=QUOTE.角度3正態(tài)分布【典例5】(2024·三明高二檢測)已知某批零件的長度誤差X聽從正態(tài)分布N(μ,σ2),其密度函數(shù)f(x)=QUOTE的曲線如圖所示,則σ=________;從中隨機取一件,其長度誤差落在[3,6]內(nèi)的概率為______.

【解析】由題圖可得σ=3,μ=0,則長度誤差落在[3,6]內(nèi)的概率為P(3≤X≤6)=QUOTE[P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)-P(μ-σ≤X≤μ+σ)]=QUOTE(0.9545-0.6827)=0.1359.答案:30.1359【類題·通】關于正態(tài)分布的應用(1)正態(tài)密度函數(shù)的解析式是由μ,σ確定的,其中μ是均值,是正態(tài)曲線的對稱軸,σ是標準差.(2)駕馭三個特定區(qū)間上概率的值及3σ原則,利用曲線的對稱性求解概率問題.【加練·固】(2024·泰州高二檢測)現(xiàn)有1000名學生參與數(shù)學測試,其中測試成果近似聽從正態(tài)分布N(110,σ2)(σ>0),試卷滿分150分,統(tǒng)計結果顯示測試成果優(yōu)秀(高于135分)的人數(shù)占總人數(shù)的QUOTE